等腰三角形的性质2—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·开福期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴，即，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到即可．
2．（2025八上·临澧期末）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，利用三角形内角和定理以及对顶角的性质得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到的度数.
3． 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，D是AE上的一点，则下列结论错误的是( )
A．AE⊥BC B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD D．∠ABD=∠DBE
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴ AE⊥BC ，BE=CE，故选项A正确；
又DE=DE，
∴ △BED≌△CED （SAS），故选项B正确；
∴BD=CD，
又AB=AC，AD=AD，
∴ △BAD≌△CAD （SSS），故选项C正确；
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”知选项A正确，根据“SAS”证△BED≌△CED知选项B正确，根据“SSS”证 △BAD≌△CAD 知选项C正确.
4．（2023八上·射洪月考）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴BP=AP，AQ=CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故答案为：D．
【分析】由三角形内角和定理求出∠B+∠C＝70°，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BP=AP，AQ=CQ，由等边对等角可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，从而由等式性质求出∠BAP+∠CAQ＝70°，最后根据 ∠PAQ＝∠BAC-( ∠BAP+∠CAQ )可算出∠PAQ的度数.
5．（2025八上·温岭期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解∶∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由等边对等角得出∠DAC=∠C=40°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ADB=∠DAC+∠C=80°，最后再根据等边对等角得出∠B=∠ADB，从而可得答案.
6．（2024八上·衡山期中）已知：如图，在中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而证明，得，然后结合三角形内角和定理求出，最后再由三角形内角和定理即可求得答案．
7．（2025八上·海曙期中） 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， ①连接OB，
∵AB=AC， BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO =∠ABO， ∠DBO =∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；
②∵△OBP中， ∠BOP =180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中， ∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC =360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB =∠OBP， ∠OBC =∠OCB，
∴∠POC =2∠ABD = 60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ = OA， 则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，
∴△BQO≌△PAO(AAS)，
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC = AO+AP， 故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°， ∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
∵△OPC是等边三角形，
∴OC=CP，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP(AAS)，
，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，
∵四边形OAPC面积=
，
∴四边形OAPC面积.故④正确.
⑤∵AB=AC， ∠BAC =120°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD，
∴当AO=2OD时结论才成立，
∴AB不一定等于3AO， 故⑤错误.
故选： B.
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP， 即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC = 2∠ABD=60°， 即可解题；③AB上找到Q点使得AQ =OA， 易证△BQO ≌△PAO， 可得PA= BQ， 即可解题；④作CH⊥BP， 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌ Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题；⑤根据∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 进而可得AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD， 故当AO=2OD时结论成立.
8．（2024八上·惠城开学考） 如图， 在 中， ， 高 与角平分线 相交于点 的平分线 分别交 于点 ， 连接 ； 下列结论：① ：② ：③；④， 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，
结论正确；
由结论得，
平分，
，
，
，
，
，
，
即，
结论正确；
为的高，
，，
无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确．
综上所述，正确的结论是
故答案为：B
【分析】①根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合题意即可判断；②先根据角平分线的定义得到，再根据三角形的高结合垂直得到，，等量代换得到；由结论得，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再等量代换得到，即；④根据三角形的面积结合题意即可求解 .
二、填空题
9．（2024八上·庄浪期中）如图，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
10．（2025八上·丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∴∠ADC=90°，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得、∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据角的和差即可得 ∠EDC 的度数．
11．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=CD，∠C=40°，则∠B的度数为 .
【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
故答案为：80°.
【分析】根据等边对等角求得 进而可求得 再根据等边对等角即可求解.
12．（2024八上·恩平月考）如图，在中，，，于，则 ．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴
故答案为：3.
【分析】由，得是的中线，则，代入数据即可求解.
13．（2025八上·北川期中）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
如图，连接BE，BP，
∵等边中，是边上的高，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP=PE，
∴PE+PC=BP+PE，
∴当B、P、E三点共线时，的值最小，为BE的长，
∵ 点E是边的中点 ，
∴BE⊥AC，
∴BE=AD=，
故的最小值是.
故答案为：.
【分析】根据等边三角形“三线合一”知AD是△ABC的对称轴，根据“将军饮马”思想知的最小值即为BE的长.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，角平分线AE交CD于点H，EF⊥AB于点F.有下列结论：
①∠ACD=∠B；
②CH=CE=EF；
③AC=AF；
④CH=HD.
其中正确的是 .(填写序号)
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵CD是斜边AB上的高线，
∴∠ADC=90°，
∵∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
在△ACE和△AEF中，
，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，故③正确；
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠AEF=∠CHE，
∴∠CEH=∠CHE，
∴CH=CE=EF，故②正确；
CH=CE=EF＞HD，故④错误．
故正确的结论为①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余以及等角的余角相等可得∠ACD=∠B，判断①正确、根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠CAE=∠BAE，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△ACE≌△AFE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，判断③正确、根据垂直于同一直线的两直线互相平行得出EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEF=∠CHE，推得∠CEH=∠CHE，根据等角对等边得出CH=CE=EF，判断②正确、结合图形即可判断④错误.
三、解答题
15．（2025八上·惠州期中）如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC.
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠B=35°，求∠C的度数.
【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴BE=AE，
∵AC=BE，
∴AC=AE，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC．
（2）解：∵BE=AE，
∴∠B=∠BAE=35°，
∴∠AEC=2∠B=70°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2∠B=70°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线性质可得BE=AE，则AC=AE，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）根据等边对等角即可求出答案.
16．（2025八上·开福期末）如图，在和中，，，，点在上．
（1）证明：；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，∴，即：，
∵，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定证出即可；
（2）根据全等三角形的性质，对应边相等得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理计算求解即可．
（1）解：∵，
∴，即：，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
17． 如图，在Rt△ABC中， 的平分线交AC于点D，从点C向BD的延长线信垂线，垂足为E.求证：BD=2CE.
【答案】证明：
如图，延长BA、CE交于F点，
∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴BF=BC，CF=2CE，∠AEF=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠F=∠ADB，
∵∠BAD=CAF=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE
【知识点】三角形全等的判定-AAS；余角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形“三线合一”知CF=2CE，∠AEF=90°，根据“同角的余角相等”知∠F=∠ADB，结合题意可证△ABD≌△ACF，从而知BD=CF=2CE.
18．（2022八上·长沙期中）（1）尝试探究：如图1，是等边三角形，，，连接，求的度数．
（2）类比延伸：如图2，是等边三角形，，连接，平分，交 于 ，交 于，求的度数．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想之间有怎样的数量关系？并给出证明．
【答案】解：（1）∵，，∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的度数是；
（2）设，如图：
∵，
∴，
，
∴．
（3），理由如下：
连接，延长至点，使得，连接；
∵是等边三角形，且，
∴，
∵平分，
∴垂直且平分（三线合一），
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴即，
在中，，
∴，即．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形性质可得；根据等边三角形得每一个内角都是60°、三边相等及等量代换得∠BAC=60°，AB=AC=AD，由角的构成求出∠DAC的度数，由等边对等角及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，最后根据 ∠CDB=∠ADB-∠ADC代值计算即可；
（2） 设∠BAD=x，根据等边三角形得每一个内角都是60°、三边相等及等量代换得∠BAC=60°，AB=AC=AD，由角的构成表示出∠DAC的度数，由等边对等角及三角形内角和定理表示出∠ADC及∠ADB的度数，最后根据∠CDB=∠ADB-∠ADC代值计算即可；
（3），理由如下：连接EC，延长EB至点G，使得BG=AF，连接CG；由等腰三角形的三线合一得出AE垂直平分CD，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DE=CE，由等边对等角得∠CDB=∠DCE=30°，由三角形外角性质求出∠BEC=60°，由平角及等腰三角形的三线合一求出∠AEC=60°，由直角三角形两锐角互余、平角定义、三角形内角和定理及同角的余角相等推出∠GBC=∠FAC，从而用“SAS”判断出△FAC≌△GBC，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得FC=GC及∠BGC=∠AFC=90°，再利用HL判断出Rt△EFC≌Rt△EGC，由全等三角形的对应边相等得EG=EF，即EF=EB+AF，最后在Rt△EFD中，根据含30°角直角三角形的性质得出DE=2EF，从而即可得出结论.
1 / 1等腰三角形的性质2—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·开福期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
2．（2025八上·临澧期末）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，D是AE上的一点，则下列结论错误的是( )
A．AE⊥BC B．△BED≌△CED
C．△BAD≌△CAD D．∠ABD=∠DBE
4．（2023八上·射洪月考）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
5．（2025八上·温岭期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·衡山期中）已知：如图，在中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025八上·海曙期中） 如图， 等腰三角形ABC， AB=AC， ∠BAC=120°， AD⊥BC于点D， 点P是BA 延长线上一点， 点O 是线段 AD上一点， OP=OC， 以下结论： ①∠APO+∠DCO=30°； ②△OPC是等边三角形； ；④；⑤，其中正确个数是( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2024八上·惠城开学考） 如图， 在 中， ， 高 与角平分线 相交于点 的平分线 分别交 于点 ， 连接 ； 下列结论：① ：② ：③；④， 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
9．（2024八上·庄浪期中）如图，，，则 ．
10．（2025八上·丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
11．（2025八上·杭州月考）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=CD，∠C=40°，则∠B的度数为 .
12．（2024八上·恩平月考）如图，在中，，，于，则 ．
13．（2025八上·北川期中）等边中，是边上的高，且，点E是边的中点，若点P是线段上的动点，则的最小值是 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，角平分线AE交CD于点H，EF⊥AB于点F.有下列结论：
①∠ACD=∠B；
②CH=CE=EF；
③AC=AF；
④CH=HD.
其中正确的是 .(填写序号)
三、解答题
15．（2025八上·惠州期中）如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC.
（1）求证：AD⊥BC；
（2）若∠B=35°，求∠C的度数.
16．（2025八上·开福期末）如图，在和中，，，，点在上．
（1）证明：；
（2）求的度数．
17． 如图，在Rt△ABC中， 的平分线交AC于点D，从点C向BD的延长线信垂线，垂足为E.求证：BD=2CE.
18．（2022八上·长沙期中）（1）尝试探究：如图1，是等边三角形，，，连接，求的度数．
（2）类比延伸：如图2，是等边三角形，，连接，平分，交 于 ，交 于，求的度数．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，试猜想之间有怎样的数量关系？并给出证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴，即，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到即可．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出，根据等腰三角形“等边对等角”性质得到，利用三角形内角和定理以及对顶角的性质得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到的度数.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AE是∠BAC的平分线，
∴ AE⊥BC ，BE=CE，故选项A正确；
又DE=DE，
∴ △BED≌△CED （SAS），故选项B正确；
∴BD=CD，
又AB=AC，AD=AD，
∴ △BAD≌△CAD （SSS），故选项C正确；
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”知选项A正确，根据“SAS”证△BED≌△CED知选项B正确，根据“SSS”证 △BAD≌△CAD 知选项C正确.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴BP=AP，AQ=CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝70°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°．
故答案为：D．
【分析】由三角形内角和定理求出∠B+∠C＝70°，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BP=AP，AQ=CQ，由等边对等角可得∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，从而由等式性质求出∠BAP+∠CAQ＝70°，最后根据 ∠PAQ＝∠BAC-( ∠BAP+∠CAQ )可算出∠PAQ的度数.
5．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解∶∵ ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】由等边对等角得出∠DAC=∠C=40°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ADB=∠DAC+∠C=80°，最后再根据等边对等角得出∠B=∠ADB，从而可得答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形“等边对等角”的性质得，从而证明，得，然后结合三角形内角和定理求出，最后再由三角形内角和定理即可求得答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图， ①连接OB，
∵AB=AC， BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO =∠ABO， ∠DBO =∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°.故①正确；
②∵△OBP中， ∠BOP =180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中， ∠BOC =180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC =360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB =∠OBP， ∠OBC =∠OCB，
∴∠POC =2∠ABD = 60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ = OA， 则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，在△BQO和△PAO中，
∴△BQO≌△PAO(AAS)，
∴PA=BQ，
∵AB=BQ+AQ，
∴AC = AO+AP， 故③正确；
④作CH⊥BP，
∵∠HCB=60°， ∠PCO=60°，
∴∠PCH=∠OCD，
∵△OPC是等边三角形，
∴OC=CP，
在△CDO和△CHP中，
∴△CDO≌△CHP(AAS)，
，
∴CH=CD，
∵CD=BD，
∴BD=CH，
在Rt△ABD和Rt△ACH中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACH(HL)，
∵四边形OAPC面积=
，
∴四边形OAPC面积.故④正确.
⑤∵AB=AC， ∠BAC =120°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD，
∴当AO=2OD时结论才成立，
∴AB不一定等于3AO， 故⑤错误.
故选： B.
【分析】①连接OB，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP， 即可解题；②根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC = 2∠ABD=60°， 即可解题；③AB上找到Q点使得AQ =OA， 易证△BQO ≌△PAO， 可得PA= BQ， 即可解题；④作CH⊥BP， 可证△CDO≌△CHP和Rt△ABD≌ Rt△ACH，根据全等三角形面积相等即可解题；⑤根据∠BAC=120°， 可得∠B=30°， 进而可得AB=2AD=2(AO+OD)=2AO+2OD， 故当AO=2OD时结论成立.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确；
是的角平分线，
，
为的高，，
，，
又，
，
结论正确；
由结论得，
平分，
，
，
，
，
，
，
即，
结论正确；
为的高，
，，
无法判定与相等，
无法判定与相等，
结论不正确．
综上所述，正确的结论是
故答案为：B
【分析】①根据等腰三角形的性质（等边对等角）结合题意即可判断；②先根据角平分线的定义得到，再根据三角形的高结合垂直得到，，等量代换得到；由结论得，根据角平分线的定义得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再等量代换得到，即；④根据三角形的面积结合题意即可求解 .
9．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
10．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∴∠ADC=90°，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得、∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据角的和差即可得 ∠EDC 的度数．
11．【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
故答案为：80°.
【分析】根据等边对等角求得 进而可求得 再根据等边对等角即可求解.
12．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴
故答案为：3.
【分析】由，得是的中线，则，代入数据即可求解.
13．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：
如图，连接BE，BP，
∵等边中，是边上的高，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP=PE，
∴PE+PC=BP+PE，
∴当B、P、E三点共线时，的值最小，为BE的长，
∵ 点E是边的中点 ，
∴BE⊥AC，
∴BE=AD=，
故的最小值是.
故答案为：.
【分析】根据等边三角形“三线合一”知AD是△ABC的对称轴，根据“将军饮马”思想知的最小值即为BE的长.
14．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： ∵CD是斜边AB上的高线，
∴∠ADC=90°，
∵∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
在△ACE和△AEF中，
，
∴△ACE≌△AFE（AAS），
∴∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，故③正确；
∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠AEF=∠CHE，
∴∠CEH=∠CHE，
∴CH=CE=EF，故②正确；
CH=CE=EF＞HD，故④错误．
故正确的结论为①②③．
故答案为：①②③.
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余以及等角的余角相等可得∠ACD=∠B，判断①正确、根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠CAE=∠BAE，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等证明△ACE≌△AFE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠AEF=∠AEC，CE=EF，AC=AF，判断③正确、根据垂直于同一直线的两直线互相平行得出EF∥CD，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEF=∠CHE，推得∠CEH=∠CHE，根据等角对等边得出CH=CE=EF，判断②正确、结合图形即可判断④错误.
15．【答案】（1）证明：连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴BE=AE，
∵AC=BE，
∴AC=AE，
∵D为线段CE的中点，
∴AD⊥BC．
（2）解：∵BE=AE，
∴∠B=∠BAE=35°，
∴∠AEC=2∠B=70°，
∵AE=AC，
∴∠C=∠AEC=2∠B=70°．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线性质可得BE=AE，则AC=AE，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）根据等边对等角即可求出答案.
16．【答案】（1）解：∵，∴，即：，
∵，，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定证出即可；
（2）根据全等三角形的性质，对应边相等得到，再根据等边对等角和三角形的内角和定理计算求解即可．
（1）解：∵，
∴，即：，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
17．【答案】证明：
如图，延长BA、CE交于F点，
∵BE平分∠ABC，BE⊥CF，
∴BF=BC，CF=2CE，∠AEF=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠F=∠ADB，
∵∠BAD=CAF=90°，AB=AC，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE
【知识点】三角形全等的判定-AAS；余角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形“三线合一”知CF=2CE，∠AEF=90°，根据“同角的余角相等”知∠F=∠ADB，结合题意可证△ABD≌△ACF，从而知BD=CF=2CE.
18．【答案】解：（1）∵，，∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
∴的度数是；
（2）设，如图：
∵，
∴，
，
∴．
（3），理由如下：
连接，延长至点，使得，连接；
∵是等边三角形，且，
∴，
∵平分，
∴垂直且平分（三线合一），
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴即，
在中，，
∴，即．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形性质可得；根据等边三角形得每一个内角都是60°、三边相等及等量代换得∠BAC=60°，AB=AC=AD，由角的构成求出∠DAC的度数，由等边对等角及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，最后根据 ∠CDB=∠ADB-∠ADC代值计算即可；
（2） 设∠BAD=x，根据等边三角形得每一个内角都是60°、三边相等及等量代换得∠BAC=60°，AB=AC=AD，由角的构成表示出∠DAC的度数，由等边对等角及三角形内角和定理表示出∠ADC及∠ADB的度数，最后根据∠CDB=∠ADB-∠ADC代值计算即可；
（3），理由如下：连接EC，延长EB至点G，使得BG=AF，连接CG；由等腰三角形的三线合一得出AE垂直平分CD，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DE=CE，由等边对等角得∠CDB=∠DCE=30°，由三角形外角性质求出∠BEC=60°，由平角及等腰三角形的三线合一求出∠AEC=60°，由直角三角形两锐角互余、平角定义、三角形内角和定理及同角的余角相等推出∠GBC=∠FAC，从而用“SAS”判断出△FAC≌△GBC，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得FC=GC及∠BGC=∠AFC=90°，再利用HL判断出Rt△EFC≌Rt△EGC，由全等三角形的对应边相等得EG=EF，即EF=EB+AF，最后在Rt△EFD中，根据含30°角直角三角形的性质得出DE=2EF，从而即可得出结论.
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