等边三角形的性质与判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·柯城期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·绍兴期中）一副三角板如图摆放，则的值是（ ）
A．125° B．100° C．115° D．105°
3．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
4．（2020八上·柯桥开学考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60 ，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
5．下列推理中，不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A．∠A=∠B=∠C B．AB=AC，∠B=60°
C．∠A=60°，∠B=60° D．AB=AC，且∠B=∠C
6．（2021八上·衢江月考）下列命题是假命题的是（ ）
A．有两个角为60°的三角形是等边三角形
B．对顶角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．同位角相等
7．（2025八上·长兴期中）如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC =120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP =OC有下列结论：①∠APO +∠DCO =30°；②∠APO =∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB =AO+AP.其中正确的是( )
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
8．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2024八上·诸暨期末）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
10．校园科技节上，小华展示了一件小发明作品——“简便衣架”.该衣架在使用时能轻松地收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm.
11．（2016八上·龙湾期中）已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为 .
12．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点，再以为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点，画射线OC，则的度数为 .
13．（2023八上·宁波期末）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）．
14．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
三、解答题
15．（2025八上·温州期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形．
16．（2024八上·拱墅期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由；
（2）若，，且c是奇数，求的周长．
17．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
18．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，
是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形三个内角都是60°可得答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图由题意得，，
B为AG中点，，，
，是等边三角形，，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度，利用三角形内角和定理和外角性质求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①当顶角为60°，
则底角=（180°-60°）=60°，
则这个三角形为等边三角形；
②当底角为60°，
则顶角=180°-60°×2=60°
则这个三角形为等边三角形.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论，即当顶角为60°或底角为60°，分别利用三角形内角和等于180°求解即可.
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故A选项不符合题意.由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故B选项不符合题意.由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意.由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故D 选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的判定、对顶角的性质、角平分线的性质、平行线的性质分别判断即可.
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
①如图，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
可证△OPA≌△CPE，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④.
故答案为：A .
【分析】 ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
8．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
9．【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据等边三角形的判定定理解题即可．
10．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB=20cm，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=20cm
故答案为：20.
【分析】由OA=OB，∠AOB=60°可知△AOB是等边三角形，即可得出答案.
11．【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得：AB=AC=BC=4，则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4，再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12．【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠O=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据等边三角形的判定即可求得.
13．【答案】②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵点O是AD上任意一点，
∴OC不一定是∠ACD的角平分线，
∴∠ACO不一定是15°，故①错误；
如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
又∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确，
综上，正确的有②③④.
故答案为：②③④．
【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理可得 ∠ABC=∠ACB=30°，由题目已知条件不能证明OC一定是∠ACD的角平分线，据此可判断①；连接OB，根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，从而得到AD是BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质推出 OB=OC=OP， 由等边对等角得出∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此可判断②；根据三角形的内角和定理证明∠POC=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证得△OPC是等边三角形，据此可判断③； 在AC上截取AE=PA，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证得△APE是等边三角形，根据等边三角形性质可推出PE=AP， ∠APO=∠CPE， 从而用SAS证明△OPA≌△CPE，得AO=CE，从而根据线段的和差、等量代换可判断④.
14．【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD.
∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm.
故OP=CD=6 cm
故答案为：6cm.
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
15．【答案】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴180°-∠ABE=180°-∠CAD，
即，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由等角的补角相等推出，利用等角对等边求得，再根据三边相等的三角形是等边三角形即可得出结论．
16．【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为，，，
∴，
∴
∵c为奇数，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，结合绝对值的非负性得到，最后根据等边三角形的判定得证；
（2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，最后求出三边的和即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为
∴，
即
∵c为奇数，
∴，
∴的周长．
17．【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
18．【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
1 / 1等边三角形的性质与判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·柯城期末）如图，分别以A，B为圆心，长为半径所作弧的交点为C，连结，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由作图可知，
是等边三角形，
故答案为：C．
【分析】由三边相等的三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形三个内角都是60°可得答案.
2．（2023八上·绍兴期中）一副三角板如图摆放，则的值是（ ）
A．125° B．100° C．115° D．105°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图由题意得，，
B为AG中点，，，
，是等边三角形，，
，
.
故答案为：D.
【分析】根据三角板中的角度，利用三角形内角和定理和外角性质求解.
3．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项A不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项B不符合题意；
C、由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故选项C不符合题意；
D、由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据三条边都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形，逐项分析即可求解.
4．（2020八上·柯桥开学考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60 ，那么这个三角形一定为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①当顶角为60°，
则底角=（180°-60°）=60°，
则这个三角形为等边三角形；
②当底角为60°，
则顶角=180°-60°×2=60°
则这个三角形为等边三角形.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论，即当顶角为60°或底角为60°，分别利用三角形内角和等于180°求解即可.
5．下列推理中，不能判定△ABC是等边三角形的是( )
A．∠A=∠B=∠C B．AB=AC，∠B=60°
C．∠A=60°，∠B=60° D．AB=AC，且∠B=∠C
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故A选项不符合题意.由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故B选项不符合题意.由“∠A=60°，∠B=60°”可以得到“∠A=∠B=∠C=60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判定△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意.由“AB=AC，且∠B=∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故D 选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断.
6．（2021八上·衢江月考）下列命题是假命题的是（ ）
A．有两个角为60°的三角形是等边三角形
B．对顶角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．同位角相等
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、有两个角为60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的判定、对顶角的性质、角平分线的性质、平行线的性质分别判断即可.
7．（2025八上·长兴期中）如图，在△ABC中，AB =AC，∠BAC =120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP =OC有下列结论：①∠APO +∠DCO =30°；②∠APO =∠DCO；③△OPC是等边三角形； ④AB =AO+AP.其中正确的是( )
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
①如图，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图，在AC上截取AE=PA，连接PE，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
可证△OPA≌△CPE，
∴AO=CE，
∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④.
故答案为：A .
【分析】 ①利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．
8．（2025八上·宁海期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，①正确；
，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
【分析】先根据等边三角形的性质得到，由此可推出，利用SAS证明，利用全等三角形的性质，可对①进行判断；利用ASA证明，利用全等三角形的性质可证得CM=CN，可对②③进行判断；由此可证得是等边三角形，可对④进行判断；综上所述，可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2024八上·诸暨期末）小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：添加，理由如下：
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据等边三角形的判定定理解题即可．
10．校园科技节上，小华展示了一件小发明作品——“简便衣架”.该衣架在使用时能轻松地收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=20cm，当衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，此时A，B两点之间的距离是 cm.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OB=20cm，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB=20cm
故答案为：20.
【分析】由OA=OB，∠AOB=60°可知△AOB是等边三角形，即可得出答案.
11．（2016八上·龙湾期中）已知△ABC中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC的周长为 .
【答案】12
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形可得：AB=AC=BC=4，则△ABC的周长为12.
【分析】根据有一个为60°的等腰三角形为等边三角形判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三边相等得出AB=AC=BC=4，再根据三角形周长的计算方法即可算出答案。
12．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点，再以为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点，画射线OC，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意得：OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠O=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据等边三角形的判定即可求得.
13．（2023八上·宁波期末）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 （填上所有正确结论的序号）．
【答案】②③④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵点O是AD上任意一点，
∴OC不一定是∠ACD的角平分线，
∴∠ACO不一定是15°，故①错误；
如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
又∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确，
综上，正确的有②③④.
故答案为：②③④．
【分析】利用等边对等角及三角形的内角和定理可得 ∠ABC=∠ACB=30°，由题目已知条件不能证明OC一定是∠ACD的角平分线，据此可判断①；连接OB，根据等腰三角形的三线合一可得BD=CD，从而得到AD是BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质推出 OB=OC=OP， 由等边对等角得出∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此可判断②；根据三角形的内角和定理证明∠POC=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证得△OPC是等边三角形，据此可判断③； 在AC上截取AE=PA，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可证得△APE是等边三角形，根据等边三角形性质可推出PE=AP， ∠APO=∠CPE， 从而用SAS证明△OPA≌△CPE，得AO=CE，从而根据线段的和差、等量代换可判断④.
14．（2020八上·镇海期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是 .
【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD.
∴△PMN的周长的最小值＝PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN≥CD＝6cm.
故OP=CD=6 cm
故答案为：6cm.
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
三、解答题
15．（2025八上·温州期末）如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形．
【答案】证明：∵，，，
∴，
∴，
∴180°-∠ABE=180°-∠CAD，
即，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用SAS证明，由全等三角形的对应角相等得到，由等角的补角相等推出，利用等角对等边求得，再根据三边相等的三角形是等边三角形即可得出结论．
16．（2024八上·拱墅期中）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
（1）若a，b，c满足，试判断的形状，请说明理由；
（2）若，，且c是奇数，求的周长．
【答案】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为，，，
∴，
∴
∵c为奇数，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0，结合绝对值的非负性得到，最后根据等边三角形的判定得证；
（2）根据三角形的三边关系得出的取值范围，再由为奇数得出的值，最后求出三边的和即可.
（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵的三边长分别为
∴，
即
∵c为奇数，
∴，
∴的周长．
17．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
18．（2025八上·鄞州月考）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.
（1）结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；
（2）问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.
（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. ，过点D作 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.
【答案】（1）证明（方法1）：∵BD平分
∴
在与中，
∴
∴DA=DM，
∵，
∴
∴DC=DM=DA
（2）解：BD=BA+BC。理由如下：
在BD上截取BE=BA，连接AE。
易证与为等边三角形
∵
∴
在与中，
∴
∴BC=EC
∵BD=BE+EC
∴BD=BA+BC
（3）解：BC-AB=2EC。理由如下：
过点D作的延长线于点F。
∵
∴
在与中，
∴
∴AF=EC，DF=DE
在与中，
∴
∴BF=BE
∴BA+AF=BC-EC
∵AF=EC
∴BC-AB=2EC
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定易证，等量代换可证，故DC=DM=DA；
(2)截长补短，将BD分为BE，DE两段，其中BE=BA，然后利用SAS判定证明，从容得到BC=EC，故而可证明BD=BA+BC；
(3)首先等量代换得到，利用AAS判定证明，可知AF=EC，DF=DE，再利用HL判定证明，得到BF=BE，最后等量代换得出BC-AB=2EC。
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