垂直平分线的判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2021八上·东阳期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
2．（2024八上·北京市期中）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·海淀期中）如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
4．（2023八上·东安期中）如图，在中，，点E是斜边的中点，，且，则 （ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
5．（2022八上·黄石月考）点P到三顶点的距离相等，则点P是（ ）的交点．
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线
6．（2019八上·重庆月考）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角平分线就是角的对称轴
C．如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角
D．到线段两端点距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上
7．（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
8．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
二、填空题
9．（2024八上·东莞期中）如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ．
10．（2023八上·松原期中）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线，则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是 ：
11．（2020八上·金山期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是 ．
12．（2024八上·北京市期中）如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．
13．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
14．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
三、解答题
15．（2025八上·盐城经济技术开发期末）已知：如图，，点E在上，求证：．
16．（2023八上·沭阳月考）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
17．（2023八上·江都月考）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
18．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的判定“到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P线段BC上，∴
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
结合选项，D中的直线为线段BC的垂直平分线，
故选：D．
【分析】根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解．
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质（位于垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离是相等的）解答即可．
4．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意得，ED所在直线为线段AB的垂直平分线，则DA=DB，∠DAB=∠B，∵，∴∠CAD：∠B=5：2，∴∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，在中，∠C=90°，则∠CAB+∠B=90°，∴∠CAB=90°x=70°，B正确。
故答案为：B.
【分析】根据条件，判断出线段AB的中垂线，利用中垂线性质，找到等角∠DAB=∠B，通过等角代换，计算出角度比，即∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，最终求出答案。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到A、B两点的距离相等，
∴点P在线段的垂直平分线上，
同理，点P在线段、的垂直平分线上，
则点P是三边的垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质及判定方法分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；轴对称图形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确符合题意；
B、角平分线所在的直线是角的对称轴，错误，不符合题意；
C、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误，不符合题意；
D、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质以及对顶角进行判断即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，则，故①正确；
由得，
∵，
∴，
则，
∵平分，
∴，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故⑤正确；
由得，
则，故③正确；
，平分，
为的垂直平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
又平分，平分，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质结合题意对①②③④⑤ 逐一判断即可求解。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
9．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，
，，，
，，
，垂直平分，
①②④正确，
无法得出，故③错误，
故答案为：①②④．
【分析】由，可得，，，推出，，即可求解．
10．【答案】到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接BD，AD
由作图可知，BD=BC，AC=AD
∴A，B一定在线段CD的垂直平分线上（到线段CD两端距离相等的点在CD的垂直平分线上）
故答案为：到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求出答案.
11．【答案】线段 的垂直平分线
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以到这两点距离相等的点的轨迹是线段 的垂直平分线.
故答案为：线段 的垂直平分线.
【分析】本题要理解题目的含义，从中挖掘出所学的知识点，考查线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
12．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵周长为16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：5．
【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出，，推出，由此求出，由此求出．
13．【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
14．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
15．【答案】解：∵
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∵点E在上，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
17．【答案】证明：（1），
点E是CD的中点，
，
又∵∠FEC=∠AED，
∴在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，FC=AD，
又，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
又∵BE=BE，
∴△AEB≌△FEB（SAS）
，
．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后可利用ASA证明，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形全等的性质可得，FC=AD，证明△AEB≌△FEB，即可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
18．【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
1 / 1垂直平分线的判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2021八上·东阳期末）在△ABC纸片上有一点P，且PA＝PB，则P点一定（ ）
A．是边AB的中点 B．在边AB的垂直平分线上
C．在边AB的高线上 D．在边AB的中线上
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵PA=PB，
∴P点一定在边AB的垂直平分线上，
故答案为：B.
【分析】根据线段的垂直平分线的判定“到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”可判断求解.
2．（2024八上·北京市期中）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P线段BC上，∴
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
即点为的垂直平分线与的交点．
结合选项，D中的直线为线段BC的垂直平分线，
故选：D．
【分析】根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解．
3．（2023八上·海淀期中）如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【分析】根据线段垂直平分线的性质（位于垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离是相等的）解答即可．
4．（2023八上·东安期中）如图，在中，，点E是斜边的中点，，且，则 （ ）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：由题意得，ED所在直线为线段AB的垂直平分线，则DA=DB，∠DAB=∠B，∵，∴∠CAD：∠B=5：2，∴∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，在中，∠C=90°，则∠CAB+∠B=90°，∴∠CAB=90°x=70°，B正确。
故答案为：B.
【分析】根据条件，判断出线段AB的中垂线，利用中垂线性质，找到等角∠DAB=∠B，通过等角代换，计算出角度比，即∠CAD：∠DAB：∠B=5：2：2，最终求出答案。
5．（2022八上·黄石月考）点P到三顶点的距离相等，则点P是（ ）的交点．
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点P到A、B两点的距离相等，
∴点P在线段的垂直平分线上，
同理，点P在线段、的垂直平分线上，
则点P是三边的垂直平分线的交点，
故答案为：D．
【分析】利用垂直平分线的性质及判定方法分析求解即可.
6．（2019八上·重庆月考）下列说法正确的是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．角平分线就是角的对称轴
C．如果两个角相等，那么这两个角互为对顶角
D．到线段两端点距离相等的点不一定在线段的垂直平分线上
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；轴对称图形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确符合题意；
B、角平分线所在的直线是角的对称轴，错误，不符合题意；
C、如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误，不符合题意；
D、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质以及对顶角进行判断即可.
7．（2024八上·叙州期末）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，且AD，BE交于点O，延长AC至点P，使CP=CD，连接BP，OP；延长AD交BP于点F．则下列结论：①BP=AD；②BF=CP；③BP=2PF；④PO⊥BE；⑤AC+CD=AB．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，则，故①正确；
由得，
∵，
∴，
则，
∵平分，
∴，
，
假设，
在和中，，
，
，
，
，
在中，，
又，
，与相矛盾，
则假设不成立，②错误；
在与中，，
∴，
，
即，故⑤正确；
由得，
则，故③正确；
，平分，
为的垂直平分线，
，
为等腰三角形，
，
，
又平分，平分，
，
，
∴，
为等腰直角三角形，且，
即，故④正确；
综上，①③④⑤正确，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质结合题意对①②③④⑤ 逐一判断即可求解。
8．（2024八上·景县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
∴
D为中点，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
故②正确；
连接，
，
，
在中，，
，
不可能是等边三角形，
故③错误；
，
，，
点M、B在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明，根据SAS证明，得出，即可证明；由得出，根据，得出，证明不可能是等边三角形；由得出，，可以说明点M、B在线段的垂直平分线上，证明垂直平分。
二、填空题
9．（2024八上·东莞期中）如图所示，四边形的对角线，相交于点，，有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：，
，，，
，，
，垂直平分，
①②④正确，
无法得出，故③错误，
故答案为：①②④．
【分析】由，可得，，，推出，，即可求解．
10．（2023八上·松原期中）如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：
（1）连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；（2）连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；（3）连接CD，且过A，B作直线，则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是 ：
【答案】到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上
【知识点】线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：连接BD，AD
由作图可知，BD=BC，AC=AD
∴A，B一定在线段CD的垂直平分线上（到线段CD两端距离相等的点在CD的垂直平分线上）
故答案为：到线段CD两端点距离相等的点在CD的垂直平分线上
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求出答案.
11．（2020八上·金山期末）已知两点A、B，到这两点距离相等的点的轨迹是 ．
【答案】线段 的垂直平分线
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以到这两点距离相等的点的轨迹是线段 的垂直平分线.
故答案为：线段 的垂直平分线.
【分析】本题要理解题目的含义，从中挖掘出所学的知识点，考查线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等。
12．（2024八上·北京市期中）如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵周长为16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：5．
【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得出，，推出，由此求出，由此求出．
13．（2024八上·海曙开学考）如图所示，已知平分，于点E，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （把正确结论的序号填写在横线上）．
【答案】①②③④
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，在上取点使
∵平分
∴
∵
∴
∴，
∵
∴AB=AF＋2BE
∵
∴
∵
∴CE是BF的垂直平分线
∴
∴
∴③正确
∵
∴①正确
∵
∴∠CFB=∠CBF
∵
∵
∴
∴②正确
∵EF=EB，
∵，
∴
∴④正确
综上：①②③④均正确
故答案为：①②③④．
【分析】，得出：在上取点使，根据SAS证明：，得出，，再根据，证明出CE是BF的垂直平分线，因而可以得到：，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，可以得出：，
再由，结合∠CFB=∠CBF，得出：，最后根据EF=EB，，可以得到：，，因此可以得到：.
14．（2023八上·西安月考）如图，在中，，以为边，作，满足，点为上一点，连接，，连接.下列结论中正确的是 .（填序号）
①；②；③若，则；④.
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长EB至点G，使得BE=BG，假设AC与DE交于点M，如下图：
∵∠ABC=90°，BE=BG
∴AB垂直平分∠GAE
∴∠GAE=2∠BAE，AG=AE
∵
∴∠GAE=∠CAD
∴∠GAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠GAC=∠EAD；
∵AG=AE，∠GAC=∠EAD，AC=AD；
∴△AGC≌△AED（SAS）
∴∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，②正确；
∵AB垂直平分∠GAE
∴∠G=∠AEG=∠AED
∴EA平分∠BDE
当∠BAE≠∠EAM时，∠AME≠90°；
∴无法证明AC⊥DE，①错误；
设∠BAE=a，则∠CAD=2a，∠ACD=∠ADC=90°-a；
∵CD∥AB
∴∠BAC=∠ACD=90°-a
∴∠CAE=90°-a-a=90°-2a
∴∠DAE=90°-2a+2a=90°
∴AE⊥AD，③正确；
∵△AGC≌△AED
∴CG=DE
∴CG=CE+GE=CE+2BE，④正确；
综上所述，正确的为②③④.
故答案为：②③④.
【分析】根据垂直平分线的判定和性质，可得∠GAE=2∠BAE，AG=AE；根据三角形全等的判定（SAS）和性质，可得∠G=∠AED，∠ACB=∠ADE，CG=DE；根据平行线的性质，可得∠BAC=∠ACD；根据交的和差性质，可得∠DAE=90°-2a+2a=90°.
三、解答题
15．（2025八上·盐城经济技术开发期末）已知：如图，，点E在上，求证：．
【答案】解：∵
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∵点E在上，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】根据垂直平分线判定定理及性质即可求出答案.
16．（2023八上·沭阳月考）如图，与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据垂直平分线判定定理即可求出答案.
（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
17．（2023八上·江都月考）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【答案】证明：（1），
点E是CD的中点，
，
又∵∠FEC=∠AED，
∴在和中，
，
，
；
（2）由（1）得：，
，FC=AD，
又，
∴∠AEB=∠FEB=90°，
又∵BE=BE，
∴△AEB≌△FEB（SAS）
，
．
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后可利用ASA证明，再利用全等三角形的性质即可得到结论；
（2）先根据三角形全等的性质可得，FC=AD，证明△AEB≌△FEB，即可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
18．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
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