直角三角形的性质—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·永康期中） 如图，在 Rt △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD ⊥ BC于点 D， ∠BAD=35° ， E 是斜边 BC的中点，则∠DAE 的度数为 ( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
2．（2025八上·浙江期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内不适合填入的是( )
A．有两个角相等 B．两个内角互余
C．有一个角45° D．两条直角边相等
3． 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点.现测得∠ABC=∠ACB=45°，BC=30m，则两岸之间的距离为( )
A．10m B．15m C． D． 30m
4．如图， Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠1+∠2=90° B．∠2=∠3
C．∠1=∠4 D．∠1=30°
5． 若直角三角形中有一锐角为15°，则另一锐角为( )
A．15° B．65° C．75° D．85°
6．（2024八上·温州期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·宁波期末）如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．（2025八上·镇海区期末）如图，在 Rt 中， ，从点 射出的光线经过 反射恰好回到 点，根据光的反射性质，有 ，连结 ．若 ，以下结论正确的是：① ，② ，③ ，④ 平分 ．（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
9．（2025八上·宁波期中）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 .
10．（2025八上·温州期中） 如图， △ABC是等边三角形， 在△ACD中， AC=CD， ∠ACD=90°， 连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 .
11．（2025八上·临平期中） 如图，∠ABC=30°， D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当∠ADC= °时，△ABD为直角三角形。
12．（2025八上·西湖月考）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ．
13．（2025八上·鄞州期中）如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为 ．
14．（2025八上·杭州月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接．
（）如图，当时，若，则 度；
（）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
三、解答题
15．（2025八上·金华期中）如图， 在△ABC中， 点D， E在BC上， AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=70°， ∠C=30°. 求∠DAE的度数.
16．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，AE是经过点A的一条线段，于点，于点，BD=AE.
（1）求证：△ABD≌△CAE；
证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴ ▲ (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∵
∴△ABD≌△CAE( )
（2）若CE=3，BD=9，求DE的长．
17．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG1求证：DG⊥CE。
18．（2024八上·杭州期末）如图1，等腰直角三角形ABP是由两块完全相同的小直角三角板ABC、EFP（含45°）拼成的，其中△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF＝FP．
（1）将三角板△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）将三角板△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（1）中猜想的关系还成立吗？请写出你的结论（不需证明）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设 ∠DAE =x，
∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-x，
∵ 在 Rt △ABC 中， E 是斜边 BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵ ∠BAD=35° ，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=35°+x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AED=180°，
即 2（35°+x）+90°-x=180°，
∴x=20°，
故答案为： A.
【分析】根据垂直定义知∠DAE与∠AED互余，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知AE=BE，从而得∠ABE=∠BAE，再根据三角形内角和列式求解即可.
2．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意；
．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D.
∵∠ABC=∠ACB=45° ，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=BC=x30=15m.
故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形三线合一的性质，求出AD是中线；再根据直角三角形的中线定理，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A 选项，因为∠ACB=90°，所以∠1+ ，故本选项不符合题意. B选项，因为CD⊥AB，所以∠ADC=90°，所以∠1+∠3=90°.因为∠1+∠2=90°，所以∠2=∠3，故本选项不符合题意. C选项，因为 CD⊥AB，所以∠BDC=90°，所以∠2+∠4=90°.因为∠1+∠2=90°，所以∠1=∠4，故本选项不符合题意. D选项，根据已知条件不能推出∠1=30°，故本选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据垂直得出再根据直角三角形的性质逐个判断即可.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形中有一锐角为15° ，
∴ 另一个锐角为90°-15°=75°.
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质，通过角的简单运算可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】 根据直角三角形两锐角互余可得 ，从而可得，计算求解即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①：由题意知，，，且，，
∴，
在与中，
∴≌，故①正确；
②：由①知，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③和④：如图，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，故③正确；
∴，故④正确；
故答案为： D．
【分析】由等腰直角三角形性质得∠CBA=∠OBD=90°，CB=AB，OB=OD，由角的构成及等式性质推出∠CBO=∠ABD，从而利用“SAS”判断出△BCO≌△BAD，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得，再用八字形模型可推出∠AGM=∠CBM=90°，即可判断②；过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而用“AAS”证△CBE≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CE=BO，BE=AO=8，推出CE=BD，然后再利用“AAS”证△CPE≌△DPB，由全等三角形的对应边相等得PC=PD，BP=EP，据此可判断③④.
8．【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解： 设∠CEB=∠AED=α， ∠ADE=∠CDB=β，
∴∠DEB=180°-∠CEB-∠AED=180°-2α，
∠FDE=180°-∠ADE-∠CDB=180°-2β，
∵CD⊥EB，
∴∠DFE=∠EFC=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°， 即180°-2α+180°-2β=90°，整理得α+β=135°，
∴∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-α-
β=180°-135°=45°，故①正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
假设AC=BD， 则AC=BD=BC，
∵CD⊥EB，
∴∠EBC=∠EBD，
∴△ECB≌△EDB(SAS)，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠CDB=β=180°-∠EDB=90°， 此时ED与CD重合， 不符合题意，
故②错误；
如图， 作∠DAN=45°交CD延长线于N， 过A作AG⊥DN交于G， AH⊥BE交BE延长线于H， 则∠CEB=∠AED=∠AEH=α，
∠ADE=∠CDB=∠ADN=β，
∴AF平分. 故④正确；
设 则
∴，
，
∴，
中，
解得
∵ ，
，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④.
故答案为： B.
【分析】设 ，利用三角形内角和判断结论①；根据 反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②； 如图，作 交CD延长线于N，过A作 交于G， 交BE延长线于H，则 ，先证明 得到再证明 得到 即可判断AF平分 得到④正确；证明 得到 设 则 利用勾股定理和面积依次求出 再在 中， 利用勾股定理求出. 最后计算即可判断③正确.
9．【答案】75°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角等于90°-15°=75°.
故填：75°.
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”可求得另外一个锐角的度数.
10．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°
∵AC=CD
∴BC=CD
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+90°=150°
∴∠CBD=
∵∠BEC=180°-∠CBD-∠ACB
∴∠BEC=180°-15°-60°=105°
故答案为： 105°.
【分析】由等边三角形的性质知AC=CB，得CB=CD，由此得∠CBD=15°，再由三角形内角和定理得∠BEC的度数.
11．【答案】90°或 120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠ADB=90°时，∠ADC=90°，如下左图；
当∠DAB=90°时，∠ADC=∠ABD+∠DAB=90°+30°=120°，如下右图，
故答案：90°或 120°.
【分析】分别讨论D为直角顶点和A为直角顶点的情形，利用草图即可得∠ADC的度数.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠E的度数.
13．【答案】或
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）在线段上．
过作交的延长线于点，如图：
由作图可知，，
，
又为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
（2）在的延长线上．
过作于，如图所示：
同（1）得：，，
，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：（1）在线段上； 过作交的延长线于点，首先用“ASA”判断出△ACP≌△QNA，由全等三角形的对应边相等得QN=AC=BC=2，AN=PC；再用“ASA”证△QNM≌△BCM，由全等三角形的对应边相等得CM=MN，由等底三角形面积之间的关系就是对应高的关系得出BP=3AM，据此结合线段的和差建立方程求出AM，进而求出BP、最后根据CP=BP-BC可得答案；（2）在的延长线上．过作于，解法同（1），综上，可得答案.
14．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
即，
∵∠BAD=35°，
∴∠CAE=35°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-∠CAE-∠AED-∠ACE=180°-35°-60°-60°=25°，
故答案为：；
（）同理（）可证，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACE=，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（）根据题意，易证，可得，再根据平行线的性质得到，即可证明是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，再得到是等边三角形，即得，最后根据三角形内角和定理即可得出答案.
（）同理（）可得，得到，，由等腰三角形的性质得，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
15．【答案】解：在△ABC中，∠BAC=180-∠B-∠C=80°，
又∵AE平分∠BAC
∴∠EAC = 40°，
在直角△ACD中， ∠DAC=90-∠C=60°，
∴∠DAE = ∠DAC-∠EAC = 20°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠EAC的度数，在直角△ACD中根据三角形内角和定理，得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出.
16．【答案】（1）解：证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；余角
【解析】【分析】（1）根据余角的定义得到：然后利用"AAS"证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
17．【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
18．【答案】（1）解：，；
理由如下：
延长BQ交AP于点H
∵三角板ABC、EFP 是 含45° 的直角三角板
∴AC=BC，EF=FP，∠FPE=∠E=45°，∠ACB=∠ACP=90°
∴∠CPQ=∠CQP=45°
∴是等腰直角三角形
∴PC=PQ
∵PC=PQ，AC=BC，∠ACB=∠ACP=90°
∴(SAS)
∴，∠PAC=∠QBC
∵∠PAC+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=90°
∴∠BHP=90°
∴
（2）解：成立，，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】 (2)成立，，，理由如下，
如图延长BQ交AP于点H
∵三角板ABC、EFP 是 含45° 的直角三角板
∴AC=BC，EF=FP，∠FPE=∠CPQ=45°，∠ACB=∠BCQ=90°
∴∠CPQ=∠CQP=45°
∴是等腰直角三角形
∴PC=PQ
∵PC=PQ，AC=BC，∠ACB=∠ACP=90°
∴(SAS)
∴，∠PAC=∠QBC
∵∠PAC+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=∠PBH+∠APC=90°
∴∠BHP=90°
∴
【分析】 (1) 本题考查全等手拉手模型，利用全等证明边相等，再通过对应角相等得到垂直关系；
(2)第二问在第一问的基础上继续向右平移，依然满足上一问的结论，解决思路和方法和第一问相同。
1 / 1直角三角形的性质—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·永康期中） 如图，在 Rt △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD ⊥ BC于点 D， ∠BAD=35° ， E 是斜边 BC的中点，则∠DAE 的度数为 ( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设 ∠DAE =x，
∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-x，
∵ 在 Rt △ABC 中， E 是斜边 BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵ ∠BAD=35° ，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=35°+x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AED=180°，
即 2（35°+x）+90°-x=180°，
∴x=20°，
故答案为： A.
【分析】根据垂直定义知∠DAE与∠AED互余，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知AE=BE，从而得∠ABE=∠BAE，再根据三角形内角和列式求解即可.
2．（2025八上·浙江期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内不适合填入的是( )
A．有两个角相等 B．两个内角互余
C．有一个角45° D．两条直角边相等
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意；
．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意；
．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可．
3． 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点.现测得∠ABC=∠ACB=45°，BC=30m，则两岸之间的距离为( )
A．10m B．15m C． D． 30m
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D.
∵∠ABC=∠ACB=45° ，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，
∴AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=BC=x30=15m.
故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形三线合一的性质，求出AD是中线；再根据直角三角形的中线定理，即可得出答案.
4．如图， Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠1+∠2=90° B．∠2=∠3
C．∠1=∠4 D．∠1=30°
【答案】D
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：A 选项，因为∠ACB=90°，所以∠1+ ，故本选项不符合题意. B选项，因为CD⊥AB，所以∠ADC=90°，所以∠1+∠3=90°.因为∠1+∠2=90°，所以∠2=∠3，故本选项不符合题意. C选项，因为 CD⊥AB，所以∠BDC=90°，所以∠2+∠4=90°.因为∠1+∠2=90°，所以∠1=∠4，故本选项不符合题意. D选项，根据已知条件不能推出∠1=30°，故本选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据垂直得出再根据直角三角形的性质逐个判断即可.
5． 若直角三角形中有一锐角为15°，则另一锐角为( )
A．15° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形中有一锐角为15° ，
∴ 另一个锐角为90°-15°=75°.
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质，通过角的简单运算可得出答案.
6．（2024八上·温州期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】 根据直角三角形两锐角互余可得 ，从而可得，计算求解即可.
7．（2025八上·宁波期末）如图，在直角坐标系中，点、分别是轴、轴上的两个动点，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰直角和等腰直角，连接交轴于点，连接、．下列说法：①≌；②；③；④若，则．其中正确的有（ ）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①：由题意知，，，且，，
∴，
在与中，
∴≌，故①正确；
②：由①知，，
设与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③和④：如图，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
∴≌，
∴，故③正确；
∴，故④正确；
故答案为： D．
【分析】由等腰直角三角形性质得∠CBA=∠OBD=90°，CB=AB，OB=OD，由角的构成及等式性质推出∠CBO=∠ABD，从而利用“SAS”判断出△BCO≌△BAD，据此可判断①；由全等三角形的对应角相等得，再用八字形模型可推出∠AGM=∠CBM=90°，即可判断②；过点作轴于点，由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出∠CBE=∠BAO，从而用“AAS”证△CBE≌△BAO，由全等三角形的对应边相等得CE=BO，BE=AO=8，推出CE=BD，然后再利用“AAS”证△CPE≌△DPB，由全等三角形的对应边相等得PC=PD，BP=EP，据此可判断③④.
8．（2025八上·镇海区期末）如图，在 Rt 中， ，从点 射出的光线经过 反射恰好回到 点，根据光的反射性质，有 ，连结 ．若 ，以下结论正确的是：① ，② ，③ ，④ 平分 ．（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解： 设∠CEB=∠AED=α， ∠ADE=∠CDB=β，
∴∠DEB=180°-∠CEB-∠AED=180°-2α，
∠FDE=180°-∠ADE-∠CDB=180°-2β，
∵CD⊥EB，
∴∠DFE=∠EFC=90°，
∴∠DEF+∠EDF=90°， 即180°-2α+180°-2β=90°，整理得α+β=135°，
∴∠BAC=180°-∠AED-∠ADE=180°-α-
β=180°-135°=45°，故①正确；
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
假设AC=BD， 则AC=BD=BC，
∵CD⊥EB，
∴∠EBC=∠EBD，
∴△ECB≌△EDB(SAS)，
∴∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠CDB=β=180°-∠EDB=90°， 此时ED与CD重合， 不符合题意，
故②错误；
如图， 作∠DAN=45°交CD延长线于N， 过A作AG⊥DN交于G， AH⊥BE交BE延长线于H， 则∠CEB=∠AED=∠AEH=α，
∠ADE=∠CDB=∠ADN=β，
∴AF平分. 故④正确；
设 则
∴，
，
∴，
中，
解得
∵ ，
，
故③正确，
综上所述，正确的有①③④.
故答案为： B.
【分析】设 ，利用三角形内角和判断结论①；根据 反推回去，发现矛盾的地方，即可判断结论②； 如图，作 交CD延长线于N，过A作 交于G， 交BE延长线于H，则 ，先证明 得到再证明 得到 即可判断AF平分 得到④正确；证明 得到 设 则 利用勾股定理和面积依次求出 再在 中， 利用勾股定理求出. 最后计算即可判断③正确.
二、填空题
9．（2025八上·宁波期中）若直角三角形的一个锐角为15°，则另一个锐角等于 .
【答案】75°
【知识点】直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角等于90°-15°=75°.
故填：75°.
【分析】由直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”可求得另外一个锐角的度数.
10．（2025八上·温州期中） 如图， △ABC是等边三角形， 在△ACD中， AC=CD， ∠ACD=90°， 连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 .
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°
∵AC=CD
∴BC=CD
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+90°=150°
∴∠CBD=
∵∠BEC=180°-∠CBD-∠ACB
∴∠BEC=180°-15°-60°=105°
故答案为： 105°.
【分析】由等边三角形的性质知AC=CB，得CB=CD，由此得∠CBD=15°，再由三角形内角和定理得∠BEC的度数.
11．（2025八上·临平期中） 如图，∠ABC=30°， D是射线BC上的一个动点(不与点B重合)，当∠ADC= °时，△ABD为直角三角形。
【答案】90°或 120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当∠ADB=90°时，∠ADC=90°，如下左图；
当∠DAB=90°时，∠ADC=∠ABD+∠DAB=90°+30°=120°，如下右图，
故答案：90°或 120°.
【分析】分别讨论D为直角顶点和A为直角顶点的情形，利用草图即可得∠ADC的度数.
12．（2025八上·西湖月考）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，最后根据直角三角形两锐角互余求出∠E的度数.
13．（2025八上·鄞州期中）如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为 ．
【答案】或
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）在线段上．
过作交的延长线于点，如图：
由作图可知，，
，
又为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
（2）在的延长线上．
过作于，如图所示：
同（1）得：，，
，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
【分析】分两种情况：（1）在线段上； 过作交的延长线于点，首先用“ASA”判断出△ACP≌△QNA，由全等三角形的对应边相等得QN=AC=BC=2，AN=PC；再用“ASA”证△QNM≌△BCM，由全等三角形的对应边相等得CM=MN，由等底三角形面积之间的关系就是对应高的关系得出BP=3AM，据此结合线段的和差建立方程求出AM，进而求出BP、最后根据CP=BP-BC可得答案；（2）在的延长线上．过作于，解法同（1），综上，可得答案.
14．（2025八上·杭州月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点重合），连接，作，且，连接．
（）如图，当时，若，则 度；
（）如图，设，在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
即，
∵∠BAD=35°，
∴∠CAE=35°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，
∴是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∴∠DEC=180°-∠CAE-∠AED-∠ACE=180°-35°-60°-60°=25°，
故答案为：；
（）同理（）可证，，
∴，
∵，，
∴，
∴∠ACE=，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（）根据题意，易证，可得，再根据平行线的性质得到，即可证明是等边三角形，得到∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ACE=60°，再得到是等边三角形，即得，最后根据三角形内角和定理即可得出答案.
（）同理（）可得，得到，，由等腰三角形的性质得，即得到，再根据直角三角形两锐角互余即可求解.
三、解答题
15．（2025八上·金华期中）如图， 在△ABC中， 点D， E在BC上， AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=70°， ∠C=30°. 求∠DAE的度数.
【答案】解：在△ABC中，∠BAC=180-∠B-∠C=80°，
又∵AE平分∠BAC
∴∠EAC = 40°，
在直角△ACD中， ∠DAC=90-∠C=60°，
∴∠DAE = ∠DAC-∠EAC = 20°.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，进而求出∠EAC的度数，在直角△ACD中根据三角形内角和定理，得到∠DAC的度数，则∠DAE的度数就可以求出.
16．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，，AE是经过点A的一条线段，于点，于点，BD=AE.
（1）求证：△ABD≌△CAE；
证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴ ▲ (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∵
∴△ABD≌△CAE( )
（2）若CE=3，BD=9，求DE的长．
【答案】（1）解：证明过程：
∵BD⊥AE，∠BAC=90°
∴∠1+∠3 =90°，∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)
（2）解：∵，
∴
∴.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；余角
【解析】【分析】（1）根据余角的定义得到：然后利用"AAS"证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到：最后根据线段间的数量关系即可求解.
17．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG1求证：DG⊥CE。
【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
18．（2024八上·杭州期末）如图1，等腰直角三角形ABP是由两块完全相同的小直角三角板ABC、EFP（含45°）拼成的，其中△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF＝FP．
（1）将三角板△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）将三角板△EFP沿直线向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（1）中猜想的关系还成立吗？请写出你的结论（不需证明）
【答案】（1）解：，；
理由如下：
延长BQ交AP于点H
∵三角板ABC、EFP 是 含45° 的直角三角板
∴AC=BC，EF=FP，∠FPE=∠E=45°，∠ACB=∠ACP=90°
∴∠CPQ=∠CQP=45°
∴是等腰直角三角形
∴PC=PQ
∵PC=PQ，AC=BC，∠ACB=∠ACP=90°
∴(SAS)
∴，∠PAC=∠QBC
∵∠PAC+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=90°
∴∠BHP=90°
∴
（2）解：成立，，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】 (2)成立，，，理由如下，
如图延长BQ交AP于点H
∵三角板ABC、EFP 是 含45° 的直角三角板
∴AC=BC，EF=FP，∠FPE=∠CPQ=45°，∠ACB=∠BCQ=90°
∴∠CPQ=∠CQP=45°
∴是等腰直角三角形
∴PC=PQ
∵PC=PQ，AC=BC，∠ACB=∠ACP=90°
∴(SAS)
∴，∠PAC=∠QBC
∵∠PAC+∠APC=90°
∴∠QBC+∠APC=∠PBH+∠APC=90°
∴∠BHP=90°
∴
【分析】 (1) 本题考查全等手拉手模型，利用全等证明边相等，再通过对应角相等得到垂直关系；
(2)第二问在第一问的基础上继续向右平移，依然满足上一问的结论，解决思路和方法和第一问相同。
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