直角三角形斜边中线—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=8，则CD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025八上·永康期中） 如图，在 Rt △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD ⊥ BC于点 D， ∠BAD=35° ， E 是斜边 BC的中点，则∠DAE 的度数为 ( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
3．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面滑下的过程中，OP长度的变化情况是( )
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
4．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
5．（2025八上·瑞安期中）借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是( ).
A． B．
C． D．
6．（2025八上·宁波期中） 如图， 已知AD⊥BD， AC⊥BC， E为 AB中点， ∠ACD+∠BAC=75°， 则∠DEC的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
7．（2024八上·吴兴期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2025八上·义乌期中）已知直角三角形的两条直角边长为3、4，则斜边上的中线长为 .
10．（2022八上·鄞州期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝ ．
11．（2025八上·南湖期中）如图， AB是Rt△ABC与Rt△ABD的斜边， ∠ADB=∠ACB=90°， C、D位于AB 的异侧， E是AB 的中点， 连结DE、EC、DC.若AC=BC， ∠DBA=20°，则∠DEC= .
12． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠B=30°，点E在BC上，且CE=AC，那么∠CDE的大小为 .
13．（2024八上·长兴期中）如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点，且GC.若，则的度数是 .
14．（2019八上·南浔月考）如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC，AB=10，AB边上的高CH=12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 .
三、解答题
15． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°。求∠A，∠B的度数。
16． 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点。试判断DE与CE是否相等，并给出证明。
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G， 连结DE.
（1）求证：CG=EG；
（2）已知BC=13，CD=5.
①求△BEC的面积；
②求DG的长.
18．（2024八上·杭州月考）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题：
（1）若，求证：；
（2）连接，当点在线段上时：
①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ；
②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=，
故答案为：B .
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设 ∠DAE =x，
∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-x，
∵ 在 Rt △ABC 中， E 是斜边 BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵ ∠BAD=35° ，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=35°+x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AED=180°，
即 2（35°+x）+90°-x=180°，
∴x=20°，
故答案为： A.
【分析】根据垂直定义知∠DAE与∠AED互余，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知AE=BE，从而得∠ABE=∠BAE，再根据三角形内角和列式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为∠AOB=90°，P 为 AB 的中点，所以 即在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP 的长度始终保持不变.
故答案为： D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
5．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：A、由基本作图，作斜边的垂直平分线得到斜边上的中线，从而把直角三角形的面积二等分，故A不符合题意，
B、由基本作图得到等腰三角形，从而得到斜边上的中线，则把直角三角形的面积二等分，故B不符合题意，
C、由基本作图得到角平分线，根据角平分线的性质和三角形面积公式，把直角三角形分成的两部分的面积比等于两直角边的比，故C符合题意，
D、由基本作图，作直角边的垂直平分线，从而得到斜边上的中线，则把直角三角形的面积二等分，故D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据三角形面积二等分需要找到三角形的中线，然后分析每个选项的作图是否作出了中线即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴．
∴结论正确；
②∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
∴结论正确；
③连接，如图：
∵是高，是中线，
∴点是斜边上的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
假设成立
∴，
此时，
根据已知条件不能确定，
因此假设不成立．
∴结论不正确；
④∵，是角平分线，是高，
∴，，，
∴，
即．
∴结论正确；
综上可得，错误的结论是③．
故答案为：C．
【分析】①由线段中线的定义可得AE=CE，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等可判断求解；
②由角平分线的定义可得，然后根据等角的余角相等和对等角相等可得∠AFG=∠AGF；
③连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等角对等边和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，，所以，于是可得，根据已知条件不能确定，由反证法可判断求解；
④由同角的余角相等可得∠BAD=∠ACD，然后结合角平分线的定义可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
9．【答案】2.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边c=，故斜边上的中线长为2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先由勾股定理得斜边长，即可中线长.
10．【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC的斜边AC=10，
∴斜边上的中线BD=AC=×10=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形的性质即可求得.
11．【答案】130°
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，
∴∠EDB=∠DBA=20°，
∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=20°+20°=40°，
∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点， AC = BC
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=∠DEA+∠AEC=40°+90°=130°，
故答案为： 130°.
【分析】根据直角三角形的性质得到 所以∠EDB=∠DBA=20°， 进而求出∠DEA的度数，再根据等腰三角形的性质得到∠AEC =90°，即可求出∠DEC的度数.
12．【答案】75°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD=BD，
∵ ∠B=30°，
∴AC=AB=AD=BD，∠CAB=60°，
∴∠DCB=∠B=30°，
∵ CE=AC，
∴∠CDE=∠CED=(180°-30°）÷2=75°，
故答案为：75°.
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知CD=AD=BD，根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”知AC=AD=BD，结合已知 CE=AC ，知CD=CE，再根据“等边对等角”计算 ∠CDE的度数即可.
13．【答案】36°
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接DE，
∵，且GC，
∴DC=DE，∠DCE=∠DEC
∵ AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴ED=EB，
∴∠B=∠EDB=2∠DCE，
∵∠BEC=126°，
∴∠B+∠B+126°=180°，解得∠B=36°
故答案为：36°.
【分析】连接DE后，得到等腰三角形DEC和等腰三角形EBD，从而得到∠B=∠EDB=2∠DCE，进而求解.
14．【答案】7
【知识点】两点之间线段最短；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，作CH⊥AB于H，连接OH，
∵△AOB为直角三角形，H为斜边AB的中点，
∴AH=BH=AB=5，
∵OC+OH≥CH，
∵OC≥CH OH，
当点C、O、H共线时取等号， 当C、O、H共线时，
∴OC的最小值为：OC=CH-OH=12 5=7.
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得OH的长，再由两点之间线段最短，得当C、O、H三点共线时OC最短， 求得此时的OC的长即可.
15．【答案】解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠CDA=80°，
∴∠A=50°，
∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据△ABC为直角三角形，可得∠A+∠B=90°，又根据CD是斜边AB上的中线，可得CD=AD，然后因为∠CDA=80°，求出∠A的度数，进而求出∠B的度数即可.
16．【答案】解：DE=CE，理由如下：
∵ AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵E为AB的中点，
∴在Rt△ADB中，DE为斜边上的中线，
∴，
同理可知在Rt△ACB中，，
∴DE=CE.
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】两次使用直角三角形斜边上中线的性质即可说明.
17．【答案】（1）证明：∵ AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴∠ADB=90°，BE=AE，
∴DE=AB，
∵
∴DE=CD，
∵ DG⊥CE ，
∴ CG=EG
（2）解：
① 如图，过E作EF⊥BC于F点，
由（1）知DE=AB=BE，
∴DF=BF=BD，
∵ BC=13，CD=5，
∴BD=BC-CD=8，DE=CD=5，
∴DF=4，
由勾股定理知EF==3，
∴S△BEC=BC×EF=.
②∵CF=CD+DF=9，EF=3，
∴CE==，
∵S△CDE=CD×EF=CE×DG，
∴×5×3=××DG，
∴DG=
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】⑴根据高线及中线定义知∠ADB=90°，BE=AE，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知DE=AB，结合已知 得DE=CD，再根据等腰三角形“三线合一”知 CG=EG；
⑵①根据等腰三角形“三线合一”性质知DF=BF=BD，根据勾股定理得EF的长，从而计算 △BEC的面积； ②根据勾股定理计算CE的长，再根据等面积法计算 DG的长.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）①，；
②，
理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，.
【分析】本题考差了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题．（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）①利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，根据等角对等边得出，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60度得出，即可求解；
②利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，根据等角对等边得出，然后利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可求解.
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
②，理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
1 / 1直角三角形斜边中线—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=8，则CD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=，
故答案为：B .
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
2．（2025八上·永康期中） 如图，在 Rt △ABC 中， ∠BAC=90° ， AD ⊥ BC于点 D， ∠BAD=35° ， E 是斜边 BC的中点，则∠DAE 的度数为 ( )
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：设 ∠DAE =x，
∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°-x，
∵ 在 Rt △ABC 中， E 是斜边 BC的中点，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠ABE，
∵ ∠BAD=35° ，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=35°+x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AED=180°，
即 2（35°+x）+90°-x=180°，
∴x=20°，
故答案为： A.
【分析】根据垂直定义知∠DAE与∠AED互余，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知AE=BE，从而得∠ABE=∠BAE，再根据三角形内角和列式求解即可.
3．如图，一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上，P是AB的中点，在竹竿的顶端沿墙面滑下的过程中，OP长度的变化情况是( )
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：因为∠AOB=90°，P 为 AB 的中点，所以 即在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，OP 的长度始终保持不变.
故答案为： D.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
4．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
5．（2025八上·瑞安期中）借助直尺和圆规将直角三角形面积二等分，下列做法不正确的是( ).
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线；尺规作图-中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：A、由基本作图，作斜边的垂直平分线得到斜边上的中线，从而把直角三角形的面积二等分，故A不符合题意，
B、由基本作图得到等腰三角形，从而得到斜边上的中线，则把直角三角形的面积二等分，故B不符合题意，
C、由基本作图得到角平分线，根据角平分线的性质和三角形面积公式，把直角三角形分成的两部分的面积比等于两直角边的比，故C符合题意，
D、由基本作图，作直角边的垂直平分线，从而得到斜边上的中线，则把直角三角形的面积二等分，故D不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据三角形面积二等分需要找到三角形的中线，然后分析每个选项的作图是否作出了中线即可.
6．（2025八上·宁波期中） 如图， 已知AD⊥BD， AC⊥BC， E为 AB中点， ∠ACD+∠BAC=75°， 则∠DEC的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A .
【分析】由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解．
7．（2024八上·吴兴期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴．
∴结论正确；
②∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
∴结论正确；
③连接，如图：
∵是高，是中线，
∴点是斜边上的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
假设成立
∴，
此时，
根据已知条件不能确定，
因此假设不成立．
∴结论不正确；
④∵，是角平分线，是高，
∴，，，
∴，
即．
∴结论正确；
综上可得，错误的结论是③．
故答案为：C．
【分析】①由线段中线的定义可得AE=CE，然后根据等底同高的两个三角形的面积相等可判断求解；
②由角平分线的定义可得，然后根据等角的余角相等和对等角相等可得∠AFG=∠AGF；
③连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等角对等边和三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，，所以，于是可得，根据已知条件不能确定，由反证法可判断求解；
④由同角的余角相等可得∠BAD=∠ACD，然后结合角平分线的定义可判断求解.
8．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
二、填空题
9．（2025八上·义乌期中）已知直角三角形的两条直角边长为3、4，则斜边上的中线长为 .
【答案】2.5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直角三角形的斜边c=，故斜边上的中线长为2.5.
故答案为：2.5.
【分析】先由勾股定理得斜边长，即可中线长.
10．（2022八上·鄞州期中）如图，已知直角三角形ABC的斜边AC＝10，则斜边上的中线BD＝ ．
【答案】5
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC的斜边AC=10，
∴斜边上的中线BD=AC=×10=5.
故答案为：5.
【分析】根据直角三角形的性质即可求得.
11．（2025八上·南湖期中）如图， AB是Rt△ABC与Rt△ABD的斜边， ∠ADB=∠ACB=90°， C、D位于AB 的异侧， E是AB 的中点， 连结DE、EC、DC.若AC=BC， ∠DBA=20°，则∠DEC= .
【答案】130°
【知识点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点，
∴∠EDB=∠DBA=20°，
∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=20°+20°=40°，
∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点， AC = BC
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠DEC=∠DEA+∠AEC=40°+90°=130°，
故答案为： 130°.
【分析】根据直角三角形的性质得到 所以∠EDB=∠DBA=20°， 进而求出∠DEA的度数，再根据等腰三角形的性质得到∠AEC =90°，即可求出∠DEC的度数.
12． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∠B=30°，点E在BC上，且CE=AC，那么∠CDE的大小为 .
【答案】75°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD=BD，
∵ ∠B=30°，
∴AC=AB=AD=BD，∠CAB=60°，
∴∠DCB=∠B=30°，
∵ CE=AC，
∴∠CDE=∠CED=(180°-30°）÷2=75°，
故答案为：75°.
【分析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知CD=AD=BD，根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”知AC=AD=BD，结合已知 CE=AC ，知CD=CE，再根据“等边对等角”计算 ∠CDE的度数即可.
13．（2024八上·长兴期中）如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点，且GC.若，则的度数是 .
【答案】36°
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接DE，
∵，且GC，
∴DC=DE，∠DCE=∠DEC
∵ AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴ED=EB，
∴∠B=∠EDB=2∠DCE，
∵∠BEC=126°，
∴∠B+∠B+126°=180°，解得∠B=36°
故答案为：36°.
【分析】连接DE后，得到等腰三角形DEC和等腰三角形EBD，从而得到∠B=∠EDB=2∠DCE，进而求解.
14．（2019八上·南浔月考）如图，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC，AB=10，AB边上的高CH=12，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 .
【答案】7
【知识点】两点之间线段最短；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】如图，作CH⊥AB于H，连接OH，
∵△AOB为直角三角形，H为斜边AB的中点，
∴AH=BH=AB=5，
∵OC+OH≥CH，
∵OC≥CH OH，
当点C、O、H共线时取等号， 当C、O、H共线时，
∴OC的最小值为：OC=CH-OH=12 5=7.
【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得OH的长，再由两点之间线段最短，得当C、O、H三点共线时OC最短， 求得此时的OC的长即可.
三、解答题
15． 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=80°。求∠A，∠B的度数。
【答案】解：∵△ABC为直角三角形，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠CDA=80°，
∴∠A=50°，
∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据△ABC为直角三角形，可得∠A+∠B=90°，又根据CD是斜边AB上的中线，可得CD=AD，然后因为∠CDA=80°，求出∠A的度数，进而求出∠B的度数即可.
16． 如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点。试判断DE与CE是否相等，并给出证明。
【答案】解：DE=CE，理由如下：
∵ AD⊥BD，AC⊥BC，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵E为AB的中点，
∴在Rt△ADB中，DE为斜边上的中线，
∴，
同理可知在Rt△ACB中，，
∴DE=CE.
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】两次使用直角三角形斜边上中线的性质即可说明.
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G， 连结DE.
（1）求证：CG=EG；
（2）已知BC=13，CD=5.
①求△BEC的面积；
②求DG的长.
【答案】（1）证明：∵ AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，
∴∠ADB=90°，BE=AE，
∴DE=AB，
∵
∴DE=CD，
∵ DG⊥CE ，
∴ CG=EG
（2）解：
① 如图，过E作EF⊥BC于F点，
由（1）知DE=AB=BE，
∴DF=BF=BD，
∵ BC=13，CD=5，
∴BD=BC-CD=8，DE=CD=5，
∴DF=4，
由勾股定理知EF==3，
∴S△BEC=BC×EF=.
②∵CF=CD+DF=9，EF=3，
∴CE==，
∵S△CDE=CD×EF=CE×DG，
∴×5×3=××DG，
∴DG=
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】⑴根据高线及中线定义知∠ADB=90°，BE=AE，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知DE=AB，结合已知 得DE=CD，再根据等腰三角形“三线合一”知 CG=EG；
⑵①根据等腰三角形“三线合一”性质知DF=BF=BD，根据勾股定理得EF的长，从而计算 △BEC的面积； ②根据勾股定理计算CE的长，再根据等面积法计算 DG的长.
18．（2024八上·杭州月考）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题：
（1）若，求证：；
（2）连接，当点在线段上时：
①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ；
②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）①，；
②，
理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，.
【分析】本题考差了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题．（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）①利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，根据等角对等边得出，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形得出是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60度得出，即可求解；
②利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明，根根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出，，根据等角对等边得出，然后利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得出，即可求解.
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
②，理由如下：
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，为中边上的中线，
∴，即，
又，，
∴．
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