勾股定理基本概念—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A+∠C+∠B=180°，∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠B=90°，即△ABC为直角三角形，进而根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得答案.
2．如图，在Rt中，，边BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得，然后代值计算可得答案.
3．（2022八上·越城期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ，
任意两个格点间的距离为 ， ， ， 1，2，3， ， ， .
任意两个格点间的距离不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】利用方根纸的特点及勾股定理算出任意两点间距离的所有情况，即可判断得出答案.
4．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
5．（2022八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB=6，AC=10，则△ABE的周长为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA=EC，
在Rt△ABC中，BC= =8，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=6+8=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得EA=EC，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出BC，进而根据周长的计算方法及等量代换、线段的和差即可求出答案.
6．（2021八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴AC 20，
在Rt△ACB中，
AB 25.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ADC中，运用勾股定理求出AC，然后在Rt△ACB中，运用勾股定理就可得到AB.
7．（2025八上·安吉期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
8．（2025八上·婺城月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为( )
A．12 B．14 C．21 D．25
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】延长到点G，使，连接，，根据题意易证，得到，，，进而得到垂直平分，为直角三角形，然后由垂直平分线的性质可知，最后利用勾股定理求得即可得到答案．
二、填空题
9．（2024八上·东阳期中）直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当和是两条直角边时，
由勾股定理知，斜边为，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边中线的长为；
当是斜边时，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边中线的长为，
综上可知斜边上的中线长等于或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上中线的性质。解题时需要注意题目中未明确直角边和斜边，因此应分两种情况讨论；全面考虑两种情形是解题的关键。
10．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
11．（2023八上·兰溪月考）如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为16．
【分析】本题考查勾股定理和图形面积计算.先由勾股定理求得AB边的长度，则正方形面积为20；再计算三角形面积为4，然后利用正方形面积减去三角形的面积，得阴影部分面积为20-4=16．
12．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是 .
【答案】5或
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当两直角边分别为3，4时
则第三边长为：
当3，4分别为直角边和斜边时，则斜边为4，直角为3
∴第三边长为：
故答案为：5或
【分析】根据直角三角形性质分情况讨论，结合勾股定理即可求出答案.，
13．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， ∠ABC =45°， CD⊥AB 于点 D ， BE 平分 ∠ABC ， 且 BE⊥AC 于点 E ， 与 CD 相交于点 F ， DH⊥BC 于点 H ， 交 BE 于点 G . 下列结论： ① BD = CD ，② CE= BF， ③ DG=CF ，④ BD=(1+ ) AD，其中正确的有 (填序号)
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴等腰直角三角形，
∴，①正确；
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误；
∵，
∴，
∴，，即，故②正确；
在上取一点Q，使得，连接，如图所示：
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②④；
故答案为①②④．
【分析】由题意易得是等腰直角三角形，，然后可得，，进而证明，最后问题可求解．
14．（2021八上·长兴期中）如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，若AB=10，AD=6 ，当△CEF是直角三角形时，则BD的长为 ．
【答案】2或2
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当∠CFE＝90°时，
∵△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°
∵∠BAC＝∠AFD=90°，
∴∠GAF=45°，
∴∠BAD＝∠ADE＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴2AG2＝BA2，
∴
∴；
在Rt△BDG中，
；
当∠FEC＝90°，过A作AG⊥DE于G，
∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEC＝∠ADB＝45°＋90°＝135°，
∴∠ADB＋∠ADE＝135°＋45°＝180°，
∴B、D、E共线，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴2AG2＝AD2
解之：AG=DG=6
设BD＝x，则BG=6+x，
AB2＝BG2＋AG2即102＝62＋（6＋x）2，
x＝2（取正）
∴BD＝2，
∴BD的长为或2.
【分析】分情况讨论：当∠CFE＝90°时，利用等腰直角三角形的性质可证得∠ADE=45°，∠GAF=45°，同时可证得∠BAD＝∠ADE＝45°，可推出AD⊥BC，可推出△ABG是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG，DG的长，再利用勾股定理求出BD的长；当∠FEC＝90°，过A作AG⊥DE于G，易证B、D、E共线，利用勾股定理可求出AG，DG的长；设BD＝x，则BG=6+x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长；综上所述可得到BD的长.
三、解答题
15．（2025八上·临平期中）如图， 在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上。
（1）直接写出 三边的长度。
（2）判断△ABC的形状，并说明理由。
【答案】（1）(或： ，，
（2）解：△ABC是直角三角形
理由如下：
5
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)由勾股定理得AB=，AC=，BC=；
【分析】(1)根据风格，由勾股定理分别计算AB、AC、BC的长即可；
(2)由(1)中数据知，即知△ABC为直角三角形.
16．（2024八上·舟山期中）（1）已知等腰三解形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数；
（2）中，，，，求的长．
【答案】解：（1）设顶角的度数为，则底角的度数为，
∴，
解得：，
∴这个三角形各个内角的度数分别为，，；
（2）∵，，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）设顶角的度数为，则底角的度数为，根据三角形内角和定理得到关于的方程并解之即可；
（2）直接利用勾股定理进行求解.
17．（2025八上·瑞安期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8， AD为BC边上的中线， 求AD 的长.
【答案】解：因为AB=AC=5，BC=8，AD为BC边上的中线
所以
所以在直角三角形ADC中，
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，再利用勾股定理即可得出答案.
18．（2025八上·金华月考）在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
【答案】（1）解： ①∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，即AB-BE=AC+CF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+BE，即10-BE=6+BE，
∴BE=2；
②∵∠BAC=80°，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=360°-80°-90°-90°=100°，如图1，连接BD，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=∠EDF=100°，即∠BDC=100°，
∵BD=CD，
（2）解：如图2，延长GF交AB于H，
∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠AFE=∠DFB=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°，
∴∠AFH=∠DFG=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
在△AFH和△AFE中，
∴△AFH≌△AFE(ASA)，
在和中，
在中，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)①根据角平分线的性质易证DE=DF，从而证得Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，得到AE=AF，即AB-BE=AC+CF，结合BE=CF，求解即可；②根据四边形的内角和为360°可求得∠EDF的度数，连接BD，易证△BDE≌△CDF(SAS)，得到BD=CD，∠BDE=∠CDF，通过角的等量代换可求得∠BDC的度数，进而利用三角形内角和定理即可求得∠BCD的度数；
(2)如图2，延长GF交AB于H，根据角平分线的性质结合三角形内角和定理易求得∠ABF+∠BAF，根据外角的性质可得∠DFB，从而得到∠DFG的度数，根据对顶角相等可得∠AFE，∠AFH，得到∠AFH=∠AFE，从而证明△AFH≌△AFE(ASA)，可得到AH、BH的长，易证△BFG≌△BFH(ASA)，得到BG=BH，在Rt△ABC中，通过勾股定理可求得BC，从而得到GC的长.
②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ'，连接QQ'证明.，推出QQ'，推出点Q的运动轨迹是线段QQ'，即可解决问题.
1 / 1勾股定理基本概念—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt中，，边BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．
3．（2022八上·越城期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（ ）
A．13 B．13或 C． D．12或13
5．（2022八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB=6，AC=10，则△ABE的周长为（）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．（2021八上·杭州期中）如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB＝（ ）
A．20 B．25 C．35 D．30
7．（2025八上·安吉期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则 S△ABF=S△BDE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2025八上·婺城月考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为( )
A．12 B．14 C．21 D．25
二、填空题
9．（2024八上·东阳期中）直角三角形两边的长分别为和，则斜边上的中线等于 ．
10．（2024八上·浙江期中）如图是边长均为的小正方形网格，，，，均在格点上，则 ．
11．（2023八上·兰溪月考）如图，在中，，，．以AB为一边在的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
12．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则第三边长是 .
13．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， ∠ABC =45°， CD⊥AB 于点 D ， BE 平分 ∠ABC ， 且 BE⊥AC 于点 E ， 与 CD 相交于点 F ， DH⊥BC 于点 H ， 交 BE 于点 G . 下列结论： ① BD = CD ，② CE= BF， ③ DG=CF ，④ BD=(1+ ) AD，其中正确的有 (填序号)
14．（2021八上·长兴期中）如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，若AB=10，AD=6 ，当△CEF是直角三角形时，则BD的长为 ．
三、解答题
15．（2025八上·临平期中）如图， 在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格线的交点上。
（1）直接写出 三边的长度。
（2）判断△ABC的形状，并说明理由。
16．（2024八上·舟山期中）（1）已知等腰三解形的底角是顶角的2倍，求这个三角形各个内角的度数；
（2）中，，，，求的长．
17．（2025八上·瑞安期中） 如图， 在△ABC中， AB=AC=5， BC=8， AD为BC边上的中线， 求AD 的长.
18．（2025八上·金华月考）在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A+∠C+∠B=180°，∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2.
故答案为：B.
【分析】首先根据三角形的内角和定理求出∠B=90°，即△ABC为直角三角形，进而根据直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方可得答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得，然后代值计算可得答案.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 的正方形网格中，若小正方形的边长是1 ，
任意两个格点间的距离为 ， ， ， 1，2，3， ， ， .
任意两个格点间的距离不可能是 ，
故答案为：A.
【分析】利用方根纸的特点及勾股定理算出任意两点间距离的所有情况，即可判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12；
②当12是直角边时，它的斜边长==13.
故答案为：D.
【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由作法得ED垂直平分AC，
∴EA=EC，
在Rt△ABC中，BC= =8，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=6+8=14.
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得EA=EC，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出BC，进而根据周长的计算方法及等量代换、线段的和差即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，AD＝16，CD＝12，
∴AC 20，
在Rt△ACB中，
AB 25.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ADC中，运用勾股定理求出AC，然后在Rt△ACB中，运用勾股定理就可得到AB.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵ ∠CAD=∠CBE，
又∠AFE=∠BFD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
即BE⊥AC，
∵ 点E是边AC的中点，
∴AB=BC，
∴ BE平分∠ABC，即①正确；
∵∠ADC=90°， 点E是边AC的中点，
∴DE=， AD2+CD2=AC2，
∴ AD2+CD2=4DE2，即②正确；
由①②知，∠ABE=∠CBE，∠DAE=∠ADE，
又 ∠CAD=∠CBE，
∴∠ABE=∠ADE，
又∵∠AFB=∠DFE，
∴∠BAD=∠BED，
∴∠CDE=∠CBE+∠BED=∠ABE+∠BAD，即③正确；
∵ S△ABF=， S△BDE =，
∵BF>BD，AE=CE，
∴ S△ABF>S△BDE，即④错误；
故答案为：A.
【分析】根据 AD⊥BC 、三角形内角和定理、勾股定理知BE⊥AC，从而知①②正确；结合题意，根据三角形内角和定理及外角性质知③正确；根据“直角三角形中斜边大于直角边”及三角形面积公式知④不正确.
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】延长到点G，使，连接，，根据题意易证，得到，，，进而得到垂直平分，为直角三角形，然后由垂直平分线的性质可知，最后利用勾股定理求得即可得到答案．
9．【答案】或
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当和是两条直角边时，
由勾股定理知，斜边为，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边中线的长为；
当是斜边时，
∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，
∴斜边中线的长为，
综上可知斜边上的中线长等于或，
故答案为：或．
【分析】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上中线的性质。解题时需要注意题目中未明确直角边和斜边，因此应分两种情况讨论；全面考虑两种情形是解题的关键。
10．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：观察得：，构造Rt△ABE和Rt△DCF，如图所示：
由网格可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】在网格中利用勾股定理得AB=CD，构造Rt△ABE和Rt△DCF，由网格可知，，，可得，然后根据全等三角形的性质即可求解.
11．【答案】16
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
由勾股定理可知：，
∴正方形面积为：，三角形面积为：，
阴影部分面积为：，
故答案为16．
【分析】本题考查勾股定理和图形面积计算.先由勾股定理求得AB边的长度，则正方形面积为20；再计算三角形面积为4，然后利用正方形面积减去三角形的面积，得阴影部分面积为20-4=16．
12．【答案】5或
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：当两直角边分别为3，4时
则第三边长为：
当3，4分别为直角边和斜边时，则斜边为4，直角为3
∴第三边长为：
故答案为：5或
【分析】根据直角三角形性质分情况讨论，结合勾股定理即可求出答案.，
13．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴等腰直角三角形，
∴，①正确；
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误；
∵，
∴，
∴，，即，故②正确；
在上取一点Q，使得，连接，如图所示：
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②④；
故答案为①②④．
【分析】由题意易得是等腰直角三角形，，然后可得，，进而证明，最后问题可求解．
14．【答案】2或2
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，当∠CFE＝90°时，
∵△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°
∵∠BAC＝∠AFD=90°，
∴∠GAF=45°，
∴∠BAD＝∠ADE＝45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴2AG2＝BA2，
∴
∴；
在Rt△BDG中，
；
当∠FEC＝90°，过A作AG⊥DE于G，
∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEC＝∠ADB＝45°＋90°＝135°，
∴∠ADB＋∠ADE＝135°＋45°＝180°，
∴B、D、E共线，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴2AG2＝AD2
解之：AG=DG=6
设BD＝x，则BG=6+x，
AB2＝BG2＋AG2即102＝62＋（6＋x）2，
x＝2（取正）
∴BD＝2，
∴BD的长为或2.
【分析】分情况讨论：当∠CFE＝90°时，利用等腰直角三角形的性质可证得∠ADE=45°，∠GAF=45°，同时可证得∠BAD＝∠ADE＝45°，可推出AD⊥BC，可推出△ABG是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AG，DG的长，再利用勾股定理求出BD的长；当∠FEC＝90°，过A作AG⊥DE于G，易证B、D、E共线，利用勾股定理可求出AG，DG的长；设BD＝x，则BG=6+x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BD的长；综上所述可得到BD的长.
15．【答案】（1）(或： ，，
（2）解：△ABC是直角三角形
理由如下：
5
∴△ABC是直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：(1)由勾股定理得AB=，AC=，BC=；
【分析】(1)根据风格，由勾股定理分别计算AB、AC、BC的长即可；
(2)由(1)中数据知，即知△ABC为直角三角形.
16．【答案】解：（1）设顶角的度数为，则底角的度数为，
∴，
解得：，
∴这个三角形各个内角的度数分别为，，；
（2）∵，，，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）设顶角的度数为，则底角的度数为，根据三角形内角和定理得到关于的方程并解之即可；
（2）直接利用勾股定理进行求解.
17．【答案】解：因为AB=AC=5，BC=8，AD为BC边上的中线
所以
所以在直角三角形ADC中，
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得 ，再利用勾股定理即可得出答案.
18．【答案】（1）解： ①∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，即AB-BE=AC+CF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+BE，即10-BE=6+BE，
∴BE=2；
②∵∠BAC=80°，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=360°-80°-90°-90°=100°，如图1，连接BD，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=∠EDF=100°，即∠BDC=100°，
∵BD=CD，
（2）解：如图2，延长GF交AB于H，
∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠AFE=∠DFB=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°，
∴∠AFH=∠DFG=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
在△AFH和△AFE中，
∴△AFH≌△AFE(ASA)，
在和中，
在中，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)①根据角平分线的性质易证DE=DF，从而证得Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，得到AE=AF，即AB-BE=AC+CF，结合BE=CF，求解即可；②根据四边形的内角和为360°可求得∠EDF的度数，连接BD，易证△BDE≌△CDF(SAS)，得到BD=CD，∠BDE=∠CDF，通过角的等量代换可求得∠BDC的度数，进而利用三角形内角和定理即可求得∠BCD的度数；
(2)如图2，延长GF交AB于H，根据角平分线的性质结合三角形内角和定理易求得∠ABF+∠BAF，根据外角的性质可得∠DFB，从而得到∠DFG的度数，根据对顶角相等可得∠AFE，∠AFH，得到∠AFH=∠AFE，从而证明△AFH≌△AFE(ASA)，可得到AH、BH的长，易证△BFG≌△BFH(ASA)，得到BG=BH，在Rt△ABC中，通过勾股定理可求得BC，从而得到GC的长.
②如图2中，以BD为边向上作等边三角形DBQ'，连接QQ'证明.，推出QQ'，推出点Q的运动轨迹是线段QQ'，即可解决问题.
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