勾股数—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·锦江开学考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
2． 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为( )
A． B．13 C．或13 D．14
3．（2024八上·肃州期中）下列几组数中，勾股数有（ ）
4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
4．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
5．（2024八上·深圳期中）我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（ ）
A．4， 5， 6 B．5， 7， 8 C．3， 4， 5 D．5， 10， 13
6．（2019八上·靖远月考）给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若 ， ， 是勾股数，且 最大，则一定有 ；④若三个整数 ， ，是直角三角形的三边长，则 ， ， 一定是勾股数.其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
二、填空题
9．（2016八上·绍兴期中）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．
10．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
11．（2024八上·成都期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ．
12．5，12，m是一组勾股数，则m= .
13．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如 ， ， ， 等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数；若 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为 ，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为 ，则 .
14．观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5，
当n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10，
当n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17，…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．
三、解答题
15．（2023八上·太原月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、.
16．说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数。
17．（1）大家知道(3，4，5)(5，12， 13)(8，15，17)都是勾股数组.有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗 请说明你的理由.
（2）你还能发现勾股数组具有哪些规律 与同伴进行交流.
（3）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成 再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确.满足这个规律的数组都是勾股数组吗
18．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、0.6，0.8，1。这三个数中存在小数（非整数），不符合勾股数的定义（必须为正整数），不符合题意。
B、3，4，5。均为正整数。验证平方关系：32+42=9+16=25=52，满足勾股定理。因此选项B是勾股数。
C、，，。这三个数均为分数（非整数），不符合勾股数的定义，不符合题意。
D、1，2，。是无理数（非整数），不符合勾股数的定义，不符合题意。
故选：B．
【分析】
根据勾股数需满足的条件是“正整数”且“满足平方关系（两数的平方和等于第三个数的平方）”逐一判断各选项是否符合这两个条件即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】 解：题目中三个数为5、a、12，若这三个数构成勾股数，则需满足以下两种情况之一：
①若5和a为直角边，12为斜边：
52+a2=122，
解得：；
②若5和12为直角边，a为斜边：
52+122=a2，
解得：a=13，
综上，a的值为13或，
故答案为：C.
【分析】根据勾股数的定义，两边的平方和等于第三边的平方，分情况讨论a是直角边或是斜边，然后分别计算即可得到a的值.
3．【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，是勾股数；
综上所述：勾股数有1组．
故答案为：A．
【分析】勾股数，即三个数中两个较小数据的平方和等于第三个数的平方。本题需要对每组数据进行计算，即可得出勾股数。
4．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意；
B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意；
C、∵，和不是整数，∴C不符合题意；
D、∵72+242=252，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】∵a，b，c为直角三角形的三边，其中a、b是直角边，C为斜边。
∴，
A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了勾股定理等知识点，根据勾股定理即可得到结论，解题的关键看较短的两边平方和是否等于较长边的平方，如果.则三边可以组成直角三角形。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①由于 ，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若 ， ， 是勾股数，且 最大，则一定有 ，故③说法正确；
④若三个整数 ， ， 是直角三角形的三边长，则 ，所以 ，所以 ， ， 一定是勾股数故④说法正确.
故答案为：C.
【分析】如果三个正整数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，则这三个数就是勾股数；三个正数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，则以这三个数为边长的三角形三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一计算即可．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股数
【解析】【解答】设直角三角形的另一条直角边为 k ，则斜边为 ，由勾股定理得 ，解之得 ，则其周长为 ，
故答案为：C．
【分析】能够运用代数式求解勾股定理产生的方程，并得出正确结论．
9．【答案】12，35，37
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
10．【答案】15
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15，
②172+82=x2，
解得：x=（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得出①x2+82=172，②172+82=x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．
11．【答案】60，61；
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是；
故答案为：60，61；
（2）6，8，10，可以写成；
8，15，17，可以写成，
根据规律，可知这些勾股数的股为：．
故答案为：．
【分析】（1）通过计算可得规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，根据这个规律即可求解；
（2）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
12．【答案】13
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：在直角三角形中，当12是最长边长时， m的值不是整数，舍去；当m是最长边长时， 所以m=13.
故答案为：13
【分析】分类讨论：12是最长边； m是最长边，利用勾股定理求出m的值，然后根据勾股数的定义解答即可.
13．【答案】142
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41
∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41，
∵ ，
∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101，
∴ .
故答案为：142.
【分析】根据题述“由 生成的勾股数”的计算方式，分别求得A和B求和即可.
14．【答案】2n；n2﹣1；n2+1．
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：经过观察可知：a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．
故答案分别为：2n，n2﹣1，n2+1．
【分析】通过观察可知a中不变的量有“2”，b中不变的量有“平方减1”，C中不变的量有“平方加1”，故不难得到答案．
15．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）看到3、4、5很容易想到勾股数，想到是直角三角形的三边，故作直角边分别为3、4的直角三角形；
（2）是直角边为1和2的直角三角形的斜边，是直角边为1和3的直角三角形的斜边；是直角边为2和3的直角三角形的斜边，据此可数格作图。
16．【答案】解：
∴三个直角三角形的三边长分别为：3，4，5；5，12， 13； 7， 24， 25， 且这三个三角形的三边长都不相等，也不会全等，符合题意.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】根据勾股数、勾股定理及其逆定理求解即可.
17．【答案】（1）解：正确。若三个数均为奇数，则为偶数，而为奇数，矛盾，故必含偶数。
（2）解：关勾股数组的规律如下：
①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数，如3，4，5，都乘以2得到6， 8， 10也是勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，如5，12，13，最大的两个数12，13是连续整数，最小数的平方是25是奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数，如8，15，17，最大的两个数是连续的奇数，另一数的平方是64，是4的倍数；
（3）解：他发现的规律正确，理由如下：
如： 勾股数5， 12， 13， 其中1 2 = 2 × 3 × 2 ， 5 = 满足该形式；
勾股数6， 8， 10， 约去公因数后为3， 4， 5， 满足该形式；
故他发现的规律正确；
满足这个规律的数组都是勾股数组，理由如下：
∴满足这个规律的数组都是勾股数组.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】(1)利用反证法说明即可.
(2)①勾股数组中的正整数倍也是勾股数；②最大的两个数是连续整数，有规律；③最大的两个数是连续奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数；并分别举例说明；
(3)先举例验证2mn， 是一组勾股数， 如5， 12， 13；6， 8， 10等， 再根据勾股定理的逆定理计算可得结论.
18．【答案】（1）a=n 2﹣1；b=2n；c=n 2+1
（2）解：a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2=（n2﹣1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）112+602=612
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：⑴由图表可以得出：
∵n=2时，a=22﹣1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32﹣1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42﹣1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n 2﹣1，b=2n，c=n 2+1．
⑶由分析得出：第5组的式子为：112+602=612．
故答案为：112+602=612
【分析】（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；（2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．（3）①这些式子每个都呈a2+b2=c2（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40，所以第5个式子为112+602=612．
1 / 1勾股数—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·锦江开学考）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、0.6，0.8，1。这三个数中存在小数（非整数），不符合勾股数的定义（必须为正整数），不符合题意。
B、3，4，5。均为正整数。验证平方关系：32+42=9+16=25=52，满足勾股定理。因此选项B是勾股数。
C、，，。这三个数均为分数（非整数），不符合勾股数的定义，不符合题意。
D、1，2，。是无理数（非整数），不符合勾股数的定义，不符合题意。
故选：B．
【分析】
根据勾股数需满足的条件是“正整数”且“满足平方关系（两数的平方和等于第三个数的平方）”逐一判断各选项是否符合这两个条件即可。
2． 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为( )
A． B．13 C．或13 D．14
【答案】C
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】 解：题目中三个数为5、a、12，若这三个数构成勾股数，则需满足以下两种情况之一：
①若5和a为直角边，12为斜边：
52+a2=122，
解得：；
②若5和12为直角边，a为斜边：
52+122=a2，
解得：a=13，
综上，a的值为13或，
故答案为：C.
【分析】根据勾股数的定义，两边的平方和等于第三边的平方，分情况讨论a是直角边或是斜边，然后分别计算即可得到a的值.
3．（2024八上·肃州期中）下列几组数中，勾股数有（ ）
4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】A
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，不是勾股数；
∵，∴，，是勾股数；
综上所述：勾股数有1组．
故答案为：A．
【分析】勾股数，即三个数中两个较小数据的平方和等于第三个数的平方。本题需要对每组数据进行计算，即可得出勾股数。
4．（2024八上·威宁期末）下列各组数，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】A、∵12+22≠32，∴A不符合题意；
B、∵0.3，0.4和0.5是小数不是整数，∴B不符合题意；
C、∵，和不是整数，∴C不符合题意；
D、∵72+242=252，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股数的定义逐项分析判断即可.
5．（2024八上·深圳期中）我国汉代数学家赵爽利用“赵爽弦图”证明了勾股定理，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，其中直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c．下列各组数中，满足a，b，c关系的是（ ）
A．4， 5， 6 B．5， 7， 8 C．3， 4， 5 D．5， 10， 13
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】∵a，b，c为直角三角形的三边，其中a、b是直角边，C为斜边。
∴，
A、，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、，故不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了勾股定理等知识点，根据勾股定理即可得到结论，解题的关键看较短的两边平方和是否等于较长边的平方，如果.则三边可以组成直角三角形。
6．（2019八上·靖远月考）给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；③若 ， ， 是勾股数，且 最大，则一定有 ；④若三个整数 ， ，是直角三角形的三边长，则 ， ， 一定是勾股数.其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：①由于 ，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0. 4，0.5不是勾股数，故①说法错误；
②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
③若 ， ， 是勾股数，且 最大，则一定有 ，故③说法正确；
④若三个整数 ， ， 是直角三角形的三边长，则 ，所以 ，所以 ， ， 一定是勾股数故④说法正确.
故答案为：C.
【分析】如果三个正整数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，则这三个数就是勾股数；三个正数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，则以这三个数为边长的三角形三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.
7．发现下列几组数据能作为三角形的边：（1）8，15，17；（2）5，12，13；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一计算即可．
8．（华师大版数学八年级上册第14章第1节14.1.1直角三角形三边的关系同步练习）直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）
A．121 B．120 C．90 D．不能确定
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股数
【解析】【解答】设直角三角形的另一条直角边为 k ，则斜边为 ，由勾股定理得 ，解之得 ，则其周长为 ，
故答案为：C．
【分析】能够运用代数式求解勾股定理产生的方程，并得出正确结论．
二、填空题
9．（2016八上·绍兴期中）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．
【答案】12，35，37
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
故答案为：12，35，37．
【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
10．有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是
【答案】15
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82=172，
解得：x=15，
②172+82=x2，
解得：x=（不合题意，舍去），
故答案为：15．
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得出①x2+82=172，②172+82=x2，求出x的值后根据勾股数必须是正整数即可求解．
11．（2024八上·成都期中）我们学习了勾股定理后，知道：勾股定理中的“勾”、“股”和“弦”分别指的是直角三角形中较短的直角边，较长的直角边，和直角三角形的斜边．
观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是从3起就没有间断过的奇数，事实上，勾是3时，股和弦的算式分别是，；勾是5时，股和弦的算式分别是，．根据你发现的规律：
（1）当勾是十一时，则股和弦分别为： ；（直接写出结果）
（2）根据上述规律，继续观察：6，8，10；8，15，17；…，可以发现这些勾股数的勾都是从6起就没有间断过的偶数，通过探索，请用含m（m为偶数，且）的代数式来表示所有这些勾股数的股为 ．
【答案】60，61；
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：（1）勾是11时，股和弦的算式分别是；
故答案为：60，61；
（2）6，8，10，可以写成；
8，15，17，可以写成，
根据规律，可知这些勾股数的股为：．
故答案为：．
【分析】（1）通过计算可得规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，根据这个规律即可求解；
（2）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
12．5，12，m是一组勾股数，则m= .
【答案】13
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：在直角三角形中，当12是最长边长时， m的值不是整数，舍去；当m是最长边长时， 所以m=13.
故答案为：13
【分析】分类讨论：12是最长边； m是最长边，利用勾股定理求出m的值，然后根据勾股数的定义解答即可.
13．（2020八上·柯桥期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如 ， ， ， 等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若 是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数；若 是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加l得到两个整数，那么 与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由 生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”的“弦数“记为 ，“由20生成的勾股数”的“弦数“记为 ，则 .
【答案】142
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵92=81，81=40+41
∴“由9生成的勾股数”的“弦数“记为41，即A=41，
∵ ，
∴“由20生成的勾股数”的“弦数“记为101，即B=101，
∴ .
故答案为：142.
【分析】根据题述“由 生成的勾股数”的计算方式，分别求得A和B求和即可.
14．观察下列式子：
当n=2时，a=2×2=4，b=22﹣1=3，c=22+1=5，
当n=3时，a=2×3=6，b=32﹣1=8，c=32+1=10，
当n=4时，a=2×4=8，b=42﹣1=15，c=42+1=17，…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a= ，b= ，c= ．
【答案】2n；n2﹣1；n2+1．
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：经过观察可知：a=2n，b=n2﹣1，c=n2+1．
故答案分别为：2n，n2﹣1，n2+1．
【分析】通过观察可知a中不变的量有“2”，b中不变的量有“平方减1”，C中不变的量有“平方加1”，故不难得到答案．
三、解答题
15．（2023八上·太原月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.
（1）在图1中以格点为顶点画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、4、5；
（2）在图2中以格点为顶点画△DEF，使△DEF的三边长分别为、、.
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【知识点】勾股数；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）看到3、4、5很容易想到勾股数，想到是直角三角形的三边，故作直角边分别为3、4的直角三角形；
（2）是直角边为1和2的直角三角形的斜边，是直角边为1和3的直角三角形的斜边；是直角边为2和3的直角三角形的斜边，据此可数格作图。
16．说出三个互不全等的直角三角形的边长，且要求它们的边长均为正整数。
【答案】解：
∴三个直角三角形的三边长分别为：3，4，5；5，12， 13； 7， 24， 25， 且这三个三角形的三边长都不相等，也不会全等，符合题意.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】根据勾股数、勾股定理及其逆定理求解即可.
17．（1）大家知道(3，4，5)(5，12， 13)(8，15，17)都是勾股数组.有人说勾股数组中一定有一个偶数，你认为这种观点正确吗 请说明你的理由.
（2）你还能发现勾股数组具有哪些规律 与同伴进行交流.
（3）小明发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数分别可以写成 再找几个勾股数组，看看他发现的规律是否正确.满足这个规律的数组都是勾股数组吗
【答案】（1）解：正确。若三个数均为奇数，则为偶数，而为奇数，矛盾，故必含偶数。
（2）解：关勾股数组的规律如下：
①将一组勾股数中的每一个数同时扩大正整数倍后，仍然是一组勾股数，如3，4，5，都乘以2得到6， 8， 10也是勾股数；
②当勾股数组中较大的两个数为连续整数时，最小数的平方为奇数，如5，12，13，最大的两个数12，13是连续整数，最小数的平方是25是奇数；
③当勾股数组中有两个连续的奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数，如8，15，17，最大的两个数是连续的奇数，另一数的平方是64，是4的倍数；
（3）解：他发现的规律正确，理由如下：
如： 勾股数5， 12， 13， 其中1 2 = 2 × 3 × 2 ， 5 = 满足该形式；
勾股数6， 8， 10， 约去公因数后为3， 4， 5， 满足该形式；
故他发现的规律正确；
满足这个规律的数组都是勾股数组，理由如下：
∴满足这个规律的数组都是勾股数组.
【知识点】勾股数
【解析】【分析】(1)利用反证法说明即可.
(2)①勾股数组中的正整数倍也是勾股数；②最大的两个数是连续整数，有规律；③最大的两个数是连续奇数或偶数时，另外一个数的平方必是4的倍数；并分别举例说明；
(3)先举例验证2mn， 是一组勾股数， 如5， 12， 13；6， 8， 10等， 再根据勾股定理的逆定理计算可得结论.
18．（初中数学北师大版八年级上册1.2一定是直角三角形吗练习题）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a= ，b= ，c= ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 ．
【答案】（1）a=n 2﹣1；b=2n；c=n 2+1
（2）解：a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2=（n2﹣1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）112+602=612
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：⑴由图表可以得出：
∵n=2时，a=22﹣1，b=4，c=22+1，
n=3时，a=32﹣1，b=2×3，c=32+1，
n=4时，a=42﹣1，b=2×4，c=42+1，
…
∴a=n 2﹣1，b=2n，c=n 2+1．
⑶由分析得出：第5组的式子为：112+602=612．
故答案为：112+602=612
【分析】（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；（2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．（3）①这些式子每个都呈a2+b2=c2（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40，所以第5个式子为112+602=612．
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