勾股定理求最短路径—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2019八上·郑州期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm
C．cm D．2cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=
==13（Cm）．故选：A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
2．（2023八上·吴兴期中）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是BC上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．5cm B．cm C．cm D．7cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图如下所示：
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm.
∵PC=BC，
∴PC′=BC′=4cm，
∴AP===5cm.
故答案为：A.
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长求出AC′，由PC=BC可求出PC′的值，然后在Rt△APC′中，由勾股定理计算即可.
3．（2020八上·郑州月考）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A．3 B．+2 C． D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AB==．故选C．
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
4．（初中数学北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用练习题）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
故选B．
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
5．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+2）cm B．cm C．cm D．9cm
【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：AB就是蚂蚁爬的最短路线．
但有三种情况：
当：AD=3，DB=4+6=10．
AB=
当AD=4，DB=6+3=9．
AB=．
当AD=6，DB=3+4=7
AB=．
所以第三种情况最短．
故选C．
【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．
6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B． C．5 D．2+
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
所以MC=BC=1，
在直角三角形中AM=
故选A．
【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．
7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ）
A．10 B． C．5+3 D．6+
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，
∴BE=6，BF=5+3=8，
∴EF==10；
如图2，∵AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，
B′C′中点F处有一米粒，
∴BE=6，EN=9，FN=5，
∴EF==．
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故选A．
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出EF的长即可．
8．2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′==10（cm）．
故选B．
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
二、填空题
9．如图所示是长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD = 80 cm，高 AB =60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只小虫想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则小虫爬行的最短路线长为 cm.
【答案】100
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，作点 A 关于BC 的对称点 A'，连结A'G交BC 于点 Q，
小虫沿着A→Q→G 的路线爬行时路程最短，AQ+QG=A'Q+QG=A'G，即最短路线长为A'G的长.
在Rt△A'EG中，A' E=80 cm， EG=60 cm，
所以
所以 A'G=100 cm，
所以最短路线长为 100 cm.
故答案为：100.
【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A'G为直角△A'EG的斜边，根据勾股定理求解即可.
10．（2021八上·杭州期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝24cm，BC＝12cm，BF＝7cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 .
【答案】 cm
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
由题意可知AB=24cm，BC=FG=12cm，AM=6cm，
∴BM=AB-AM=24-6=18cm，
∵点N是FG的中点，
∴NF=FG=×12=6cm，
∴BN=BF+NF=7+6=13，
在Rt△BMN中
；
如图2，
由题意可知CG=BF=KN7=7cm，BK=NF=6cm，
∴MK=BM+BK=18+6=24
在Rt△MNK中，
∵
∴它需要爬行的最短路程为.
故答案为：cm.
【分析】根据题意画出展开图，如图1可知AB=24cm，BC=FG=12cm，AM=6cm，求出BM的长，利用线段中点的定义求出NF的长，从而可求出BN的长，利用勾股定理求出MN的长；如图2，利用已知可求出NK，MK的长，再利用勾股定理求出MN的长，然后比较大小可得答案。
11．（2024八上·鄞州竞赛） 正实数 满足 ，则代数式 的最小值为 。
【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可以看着是直角边为a和1的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为b和2的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为c和3的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为d和4的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为e和5的直角三角形的斜边，
∵两点之间线段最短，
∴ 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长
∴ 的最小值
故答案为：17.
【分析】利用几何意义可知可以看着是直角边为a和b的直角三角形的斜边，根据题意，利用两点之间线段最短可得到 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长，利用勾股定理计算即可.
12．如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=4m，底面⊙o的直径AB=4m，B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，则小猫绕侧面前行的最短距离为 m．
【答案】3
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：由图可知，BC==6，
侧面展开是一个扇形．n=120°，
∴∠A1CB=60°，△A1CB是正三角形，
由D1是A1C的中点
∴BD1⊥A1C，CD1=3，BD1===，
∴小猫前行的最短距离是3m．
故答案为：3m．
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
13．为筹备2014年元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示，已知圆筒高108cm，其横截面周长为36cm，如果在圆筒表面恰好能缠绕油纸4圈，应至少裁剪 cm的油纸．
【答案】180
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC=cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴整个油纸的长为45×4=180（cm）．
故答案为：180
【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC=cm，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
14．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是
【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以它需要爬行的最短路线的长是，
故答案为：
【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
三、解答题
15．（平面展开-最短路径问题+++++++++ ）已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径．（结果保留根号）
【答案】解：长方体的展开图如图：
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2=（30+20）2+102=2600；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2=（10+20）2+302=1800；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2=（10+30）2+202=2000．
∵30＜20＜10，
∴最短路程长为30cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
16．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，
（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；
（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？
【答案】解：（1）如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，
∴AD=12cm，
∴AB===12（cm）．
答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；
（2）∵AD=12cm，
∴蚂蚁所走的路程==20，
∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．
17．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．
【答案】解：由正方形的对角线互相垂直平分，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；
故均有EP+BP=PE+PD成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为EP+BP的最小值时的位置，
此时EP+BP=DE==5．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置；进而可得EP+BP=DE==5，可得答案．
18．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
【答案】解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
1 / 1勾股定理求最短路径—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2019八上·郑州期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ）
A．13cm B．2cm
C．cm D．2cm
2．（2023八上·吴兴期中）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6cm，点P是BC上一点且PC＝BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ）
A．5cm B．cm C．cm D．7cm
3．（2020八上·郑州月考）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）
A．3 B．+2 C． D．4
4．（初中数学北师大版八年级上册1.3勾股定理的应用练习题）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．20 B．25 C．30 D．35
5．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A．（3+2）cm B．cm C．cm D．9cm
6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（ ）
A． B． C．5 D．2+
7．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为（ ）
A．10 B． C．5+3 D．6+
8．2015年是国际“光”年，某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为8cm，底面边长为2cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
二、填空题
9．如图所示是长方体透明玻璃鱼缸，假设其长 AD = 80 cm，高 AB =60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只小虫想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则小虫爬行的最短路线长为 cm.
10．（2021八上·杭州期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝24cm，BC＝12cm，BF＝7cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 .
11．（2024八上·鄞州竞赛） 正实数 满足 ，则代数式 的最小值为 。
12．如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=4m，底面⊙o的直径AB=4m，B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，则小猫绕侧面前行的最短距离为 m．
13．为筹备2014年元旦晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示，已知圆筒高108cm，其横截面周长为36cm，如果在圆筒表面恰好能缠绕油纸4圈，应至少裁剪 cm的油纸．
14．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是
三、解答题
15．（平面展开-最短路径问题+++++++++ ）已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它所走的最短路径．（结果保留根号）
16．如图，圆柱形容器高12cm，底面周长24cm，在杯口点B处有一滴蜂蜜，此时蚂蚁在杯外壁底部与蜂蜜相对的A处，
（1）求蚂蚁从A到B处吃到蜂蜜最短距离；
（2）若蚂蚁刚出发时发现B处的蜂蜜正以每秒钟1cm沿杯内壁下滑，4秒钟后蚂蚁吃到了蜂蜜，求蚂蚁的平均速度至少是多少？
17．如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE=3，EB=1，在AC上有一点P，使EP+BP为最短．求：最短距离EP+BP．
18．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】如图：∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=
==13（Cm）．故选：A
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：圆柱侧面展开图如下所示：
∵圆柱的底面周长为6cm，
∴AC′=3cm.
∵PC=BC，
∴PC′=BC′=4cm，
∴AP===5cm.
故答案为：A.
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长求出AC′，由PC=BC可求出PC′的值，然后在Rt△APC′中，由勾股定理计算即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，AB==．故选C．
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得：x=25（dm）．
故选B．
【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：AB就是蚂蚁爬的最短路线．
但有三种情况：
当：AD=3，DB=4+6=10．
AB=
当AD=4，DB=6+3=9．
AB=．
当AD=6，DB=3+4=7
AB=．
所以第三种情况最短．
故选C．
【分析】展成平面图形，根据两点之间线段最短，可求出解．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：展开正方体的点M所在的面，
∵BC的中点为M，
所以MC=BC=1，
在直角三角形中AM=
故选A．
【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
∵AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，B′C′中点F处有一米粒，
∴BE=6，BF=5+3=8，
∴EF==10；
如图2，∵AB=9，BB′=5，B′C′=6，在线段AB的三等分点E（靠近点A）处有一只蚂蚁，
B′C′中点F处有一米粒，
∴BE=6，EN=9，FN=5，
∴EF==．
∵10＜，
∴蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为10．
故选A．
【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出EF的长即可．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′==10（cm）．
故选B．
【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
9．【答案】100
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，作点 A 关于BC 的对称点 A'，连结A'G交BC 于点 Q，
小虫沿着A→Q→G 的路线爬行时路程最短，AQ+QG=A'Q+QG=A'G，即最短路线长为A'G的长.
在Rt△A'EG中，A' E=80 cm， EG=60 cm，
所以
所以 A'G=100 cm，
所以最短路线长为 100 cm.
故答案为：100.
【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A'G为直角△A'EG的斜边，根据勾股定理求解即可.
10．【答案】 cm
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，
由题意可知AB=24cm，BC=FG=12cm，AM=6cm，
∴BM=AB-AM=24-6=18cm，
∵点N是FG的中点，
∴NF=FG=×12=6cm，
∴BN=BF+NF=7+6=13，
在Rt△BMN中
；
如图2，
由题意可知CG=BF=KN7=7cm，BK=NF=6cm，
∴MK=BM+BK=18+6=24
在Rt△MNK中，
∵
∴它需要爬行的最短路程为.
故答案为：cm.
【分析】根据题意画出展开图，如图1可知AB=24cm，BC=FG=12cm，AM=6cm，求出BM的长，利用线段中点的定义求出NF的长，从而可求出BN的长，利用勾股定理求出MN的长；如图2，利用已知可求出NK，MK的长，再利用勾股定理求出MN的长，然后比较大小可得答案。
11．【答案】
【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：可以看着是直角边为a和1的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为b和2的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为c和3的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为d和4的直角三角形的斜边，
可以看着是直角边为e和5的直角三角形的斜边，
∵两点之间线段最短，
∴ 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长
∴ 的最小值
故答案为：17.
【分析】利用几何意义可知可以看着是直角边为a和b的直角三角形的斜边，根据题意，利用两点之间线段最短可得到 的最小值就是以a+b+c+d+e和1+2+3+4+5=15为直角边的斜边的长，利用勾股定理计算即可.
12．【答案】3
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：由图可知，BC==6，
侧面展开是一个扇形．n=120°，
∴∠A1CB=60°，△A1CB是正三角形，
由D1是A1C的中点
∴BD1⊥A1C，CD1=3，BD1===，
∴小猫前行的最短距离是3m．
故答案为：3m．
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为6cm的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点B是半圆的一个端点，而点P是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B和P在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
13．【答案】180
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将圆筒展开后成为一个矩形，如图，整个油纸也随之分成相等4段只需求出AC长即可，
在Rt△ABC中，
∵AB=36，BC=cm，
∴AC2=AB2+BC2=362+272，
∴AC=45cm，
∴整个油纸的长为45×4=180（cm）．
故答案为：180
【分析】将圆柱体沿一条母线展开，可得图形，如下图，只需求出每一圈所需的油纸的长度即可，展开后即转化为求解直角三角形的问题，在Rt△ABC中，AB已知，BC=cm，根据勾股定理即可得出AC的长度，由于油纸缠绕4圈，故油纸的总长度为4AC的长度．
14．【答案】
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和4，
则所走的最短线段是；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
所以它需要爬行的最短路线的长是，
故答案为：
【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
15．【答案】解：长方体的展开图如图：
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2=（30+20）2+102=2600；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2=（10+20）2+302=1800；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2=（10+30）2+202=2000．
∵30＜20＜10，
∴最短路程长为30cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
16．【答案】解：（1）如图所示，
∵圆柱形玻璃容器，高12cm，底面周长为24cm，
∴AD=12cm，
∴AB===12（cm）．
答：蚂蚁要吃到食物所走的最短路线长度是12cm；
（2）∵AD=12cm，
∴蚂蚁所走的路程==20，
∴蚂蚁的平均速度=20÷4=5（米/秒）．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】（1）先将圆柱的侧面展开，再根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理得到蚂蚁所走的路程，于是得到结论．
17．【答案】解：由正方形的对角线互相垂直平分，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；
故均有EP+BP=PE+PD成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为EP+BP的最小值时的位置，
此时EP+BP=DE==5．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD=PB；故均有EP+BP=PE+PD成立；所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置；进而可得EP+BP=DE==5，可得答案．
18．【答案】解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
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