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图形的初步知识 单元综合提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列现象中，①把弯曲的公路改直，就能缩短路程；②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树；③解放军叔叔打靶瞄准；④在墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固．可以用“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．数轴上有O、A、B三点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点C，C点所表示的数为c，且，则关于C点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A的右边 B．介于A、O之间
C．介于B、O之间 D．在B的左边
3．若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（ ）
A．55° B．65° C．145° D．165°
5．两个长方形的位置如图所示． 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
6．一个角的补角，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
7．如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．在同一平面内，若∠BOA=60°，∠BOC=20°，则∠AOC的度数为( )
A．80° B．40°
C．20°或 40° D．80°或40°
9．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1=15°，∠2=105°，则∠AOC的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．125°
10．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠AOB=72°30′，射线OC在∠AOB内，∠BOC=30°．
（1）∠AOC=
（2）在图中画出∠AOC的一个余角，要求这个余角以O为顶点，以∠AOC的一边为边．图中你所画出的∠AOC的余角是∠ ，这个余角的度数等于 ．
12．在同一平面内，已知，，则 .
13．一个角的补角为 ，那么这个角的余角的度数为 .
14．在直线l上取A、B、C三点，使得AB＝3cm，BC＝5cm，若点D是线段AC的中点，则线段DB的长度等于 cm.
15．已知 与 互为补角，且 ，则 ．
16．如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一个角的补角比它的余角的2倍还多45°，求这个角的度数．
18．已知点 B 在线段AC上，点D 在线段AB上.
（1）如图①，若 ，，D为线段AC 的中点，求线段 DB 的长度.
（2）如图②，若 E 为线段AB 的中点， 12cm，求线段AC 的长度.
19．已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，画图并求线段AM的长．
20．已知线段AB的长为a，延长线段AB至点C(如图)，使BC=AB．问线段AC的长为多少？
21．如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数．
22．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOE＝2∠DOE，试求∠COE的度数.
23．如图，已知线段AB=10cm，延长AB到C，使AC=18cm，D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长.
24．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
25．已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为－5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）BP= ，点P表示的数 （分别用含 的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB=2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
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图形的初步知识 单元综合提升测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列现象中，①把弯曲的公路改直，就能缩短路程；②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树；③解放军叔叔打靶瞄准；④在墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固．可以用“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
②园林工人栽一行树，先栽首尾的两棵树，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
③解放军叔叔打靶瞄准，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
④在墙上钉木条至少要两颗钉子才能牢固，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故答案为：C．
【分析】①根据“两点之间线段最短”进行解答；②③④根据“两点确定一条直线”进行解答即可.
2．数轴上有O、A、B三点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点C，C点所表示的数为c，且，则关于C点的位置，下列叙述正确的是（ ）
A．在A的右边 B．介于A、O之间
C．介于B、O之间 D．在B的左边
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴点C与点A的距离等于点C与点B的距离，
∴点C在A，B之间，
∵，
∴点C介于A、O之间，
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出点C与点A的距离等于点C与点B的距离，再利用数轴求出，最后判断求解即可。
3．若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】将∠A的度数转化为用度表示，再比较大小可得答案.
4．已知∠α=35°，则∠α的补角的度数是（ ）
A．55° B．65° C．145° D．165°
【答案】C
【解析】【解答】∠α的补角=180°﹣35°=145°．故选：C．
【分析】根据互补即两角的和为180°，由此即可得出∠α的补角度数．
5．两个长方形的位置如图所示． 若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠1的邻补角+∠2的余角=90°，∠1=，
∴180°-+90°-∠2=90°，
∴∠2=180°-.
故答案为：C.
【分析】根据邻补角的定义可知：∠1的邻补角=180°-；由余角的定义可知：∠2的余角=90°-∠2。由已知：两个长方形的位置如图所示，可知：∠1的邻补角+∠2的余角=90°，所以180°-+90°-∠2=90°，所以可以得到：∠2=180°-.
6．一个角的补角，等于这个角的余角的3倍，则这个角是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】D
【解析】【解答】设这个角为x，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，
根据题意可得：3（90-x）=180-x，
解得：x=45，
故答案为：D.
【分析】设这个角为x，则这个角的余角为（90-x）°，这个角的补角为（180-x）°，根据“ 一个角的补角，等于这个角的余角的3倍 ”列出方程3（90-x）=180-x，再求解即可.
7．如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：①、由，得：，故正确；
②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确；
③、由D，E分别是的中点，得：，故正确；
④、由上述结论，得：，故正确；
⑤、由，，得到，又，则，，，
，
，
，，
图中所有线段之和为，故正确，
综上所述，正确的结论共有5个，
故答案为：D.
【分析】利用线段的和差、线段中点的性质并结合图形逐项分析判断即可.
8．在同一平面内，若∠BOA=60°，∠BOC=20°，则∠AOC的度数为( )
A．80° B．40°
C．20°或 40° D．80°或40°
【答案】D
【解析】【解答】解：①当OC在∠BOA外部时，
②当OC在∠BOA内部时，
综上所述，∠AOC的度数为：80°或40°，
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论，①当OC在∠BOA外部时，②当OC在∠BOA内部时，分别根据角之间的数量关系计算即可.
9．如图，点B，O，D在同一直线上，若∠1=15°，∠2=105°，则∠AOC的度数是（ ）
A．75° B．90° C．105° D．125°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠2=105°，
∴∠BOC=180°﹣∠2=75°，
∴∠AOC=∠1+∠BOC=15°+75°=90°．
故选：B．
【分析】由图示可得，∠2与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠AOC=∠COB+∠1，即可解答．
10．如图，C，D在线段上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；
②图中有3对互为补角的角；
③若，，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；
④若，，，点F是线段上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为25
其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段共6条，故①正确；
②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即和互补，和互补，故②错误；
③由，根据图形可以求出
，故③正确；
④当F在线段上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为，④正确.
故答案为：C.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④当F在线段CD上最小，当F和E重合时最大，计算得出答案即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠AOB=72°30′，射线OC在∠AOB内，∠BOC=30°．
（1）∠AOC=
（2）在图中画出∠AOC的一个余角，要求这个余角以O为顶点，以∠AOC的一边为边．图中你所画出的∠AOC的余角是∠ ，这个余角的度数等于 ．
【答案】42°30′；AOD；47°30′
【解析】【解答】解：（1）∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=42°30′；
（2）如图，∠AOC的余角是∠AOD，
90°﹣42°30′=47°30′．
故答案为：（1）42°30′；（2）AOD；47°30′．
【分析】（1）根据图形进行角的计算即可；
（2）根据余角的概念作图、计算即可．
12．在同一平面内，已知，，则 .
【答案】38°或98°.
【解析】【解答】解：①如图1，OC在∠AOB内，
∵∠AOB=68°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=68°-30°=38°；
②如图2，OC在∠AOB外，
∵∠AOB=68°，∠COB=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=68°+30°=98°；
综上所述，∠AOC的度数是38°或98°.
故答案为：38°或98°.
【分析】当OC在∠AOB内部时，根据∠AOC=∠AOB-∠BOC进行计算；当OC在∠AOB外部时，根据∠AOC=∠AOB+∠BOC进行计算.
13．一个角的补角为 ，那么这个角的余角的度数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵一个角的补角是124°，
∴这个角为： ，
∴这个角的余角为： ，
故答案为：34.
【分析】根据补角、余角的概念进行解答.
14．在直线l上取A、B、C三点，使得AB＝3cm，BC＝5cm，若点D是线段AC的中点，则线段DB的长度等于 cm.
【答案】4或1
【解析】【解答】解：如图，当C在B的右边时，
点D是线段AC的中点，
当 C在 B的左边时，如图，
点D是线段AC的中点，
故答案为：4或1.
【分析】当C在B的右边时，易得AC=AB+BC=8，根据线段中点的概念可得AD=4，然后根据BD=AD-AB进行计算；当C在B的左边时，易得AC=BC-AB=2，根据线段中点的概念可得AD=1，然后根据BD=AD+AB进行计算.
15．已知 与 互为补角，且 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ 与 互为补角，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】先求出 ，再根据计算求解即可。
16．如图，点为直线外一点，为直线上顺次排列的五个点，连接．下列四个结论：①若平分平分，则；②若，则；③若为的中点，，则；④若平分平分，则图中以为顶点的所有角的和为．其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
即，
若，
，
故结论①正确，符合题意；
在中，不是的角平分线，也不是三等分线，
若，能得到，
不能得到，
故结论②不正确，不符合题意；
若为的中点，
，
，
，
，
即，
，
故结论③正确，符合题意；
以为顶点的所有角为，，，，，，，，，，
，
故结论④正确，符合题意；
正确的结论为①③④，
故答案为：①③④．
【分析】本题考查了角平分线的定义、线段中点的性质及角的和差运算.①由角平分线定义，=45°，正确；②∠EAD与∠FAD的大小关系与ED、DF的长度无关（角的大小与边的长度无关，错误）；③由F是CD中点及BC=2EF，可推得BE=DE，正确；④计算以A为顶点的所有角的和，结合角平分线的性质可得和为10∠EAF，正确.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．一个角的补角比它的余角的2倍还多45°，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x=2（90﹣x）+45，
解得x=45
【解析】【分析】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．
18．已知点 B 在线段AC上，点D 在线段AB上.
（1）如图①，若 ，，D为线段AC 的中点，求线段 DB 的长度.
（2）如图②，若 E 为线段AB 的中点， 12cm，求线段AC 的长度.
【答案】（1）解：因为AC=AB+BC， AB=6cm， BC=4cm，
所以AC=6+4=10cm.
又因为D为线段AC的中点，
所以DC
所以DB=DC-BC=5-4=1cm.
（2）解：设BD=x(cm).
因为
所以AB=4BD=4x(cm)，CD=3BD=3x(cm).
又因为DC=DB+BC，
所以BC=3x-x=2x.
又因为AC=AB+BC，
所以AC=4x+2x=6x(cm).
因为E 为线段AB的中点，
所以
又因为EC=BE+BC，
所以EC=2x+2x=4x(cm).
又因为EC=12cm.
所以4x=12， 解得x=3，
所以AC=6x=6×3=18(cm).
【解析】【分析】这道题主要考查线段的和差关系以及中点的性质，通过这些知识来求解线段的长度，
（1）首先根据线段的和的关系求出AC的长度，再利用中点的性质求出DC的长度，最后通过DB = DC - BC求出DB的长度。
（2）设BD的长度为x cm，根据BD与AB、CD的关系分别表示出AB和CD的长度，再根据E为AB中点求出BE的长度，最后利用EC = BE + BC以及BC = CD - BD的关系列出方程求解x，进而求出AC的长度。
19．已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，画图并求线段AM的长．
【答案】解：如图1，点C在线段AB的延长线上，
AM=AC=（AB+BC）=×（8+4）=6（cm）；
如图2，点C在线段AB上，
AM=AC=（AB-BC）=×（8-4）=2（cm），
综上所述，线段AM的长为6cm或2cm．
【解析】【分析】分类讨论，①点C在线段AB的延长线上，②点C在线段AB上，再分别画出图形并利用线段的和差求出AM的长即可.
20．已知线段AB的长为a，延长线段AB至点C(如图)，使BC=AB．问线段AC的长为多少？
【答案】解：如图，
∵AB=a，
∴ BC=AB =a，
∴AC=AB+BC=a+a=.
【解析】【分析】由题意可得BC=AB =a，根据AC=AB+BC即可求解.
21．如图，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，求∠AOB的度数．
【答案】解：因为OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，∠AOD＝40°，∠BOE＝25°，
所以∠AOC=2∠AOD=40°×2=80°，∠BOC=2∠BOE=25°×2=50°，
因为∠AOB=∠AOC+∠BOC，
所以∠AOB=80°+50°=130°
【解析】【分析】根据已知条件及角平分线的定义求出∠AOC和∠BOC，再根据∠AOB=∠AOC+∠BOC，计算即可求出∠AOB的度数。
22．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOE＝2∠DOE，试求∠COE的度数.
【答案】解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
又∵∠COD=90°，
∴∠BOD=45°
∵∠BOE=2∠DOE，
∴∠DOE=15°，∠BOE=30°，
∠COE=45°+30°=75°.
【解析】【分析】根据角平分线的定义以及余角的性质求得∠BOD的度数，然后根据∠BOE=2∠DOE即可求解.
23．如图，已知线段AB=10cm，延长AB到C，使AC=18cm，D是AB的中点，E是AC的中点，求DE的长.
【答案】解：∵E是AC的中点
∴
∵D是AB的中点
∴
∴
【解析】【分析】由于E是AC的中点，可求 ，由D是AB的中点，可得 ，从而得到 ，从而求解.
24．知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．
情景二：A、B是河流l两旁的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
【答案】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；
情景二：（需画出图形，并标明P点位置）
理由：两点之间的所有连线中，线段最短．
赞同情景二中运用知识的做法．
【解析】【分析】因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间线段最短；连接AB，使AB两点同在一条直线上，与河流的交点既是最佳位置．
25．已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为－5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）BP= ，点P表示的数 （分别用含 的代数式表示）；
（2）点P运动多少秒时，PB=2PA？
（3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】（1）；
（2）解：当点P在AB之间运动时，由题意得，
PB=4t，PA=13-（-5+4t）=18-4t，
∵PB=2PA，
∴4t=2（18-4 t），
∴t=3；
当点P在运动到点A的右侧时，由题意得，
PB=4t，PA=-5+4t-13=4 t -18，
∵PB=2PA，
∴4t=2（4t-18），
∴t=9；
综上可知，点P运动多3秒或9秒时，PB=2PA
（3）解：当点P在AB之间运动时，由题意得，
PB=4t，PA=18-4 t，
∵M为BP的中点，N为PA的中点，
∴ ， ，
∴MN=MP+NP=2t+9-2t=9；
当点P在运动到点A的右侧时，由题意得，
PB=4t，PA=4t-18，
∵M为BP的中点，N为PA的中点，
∴ ， ，
∴MN=MP-NP=2t-（2t-9）=9；
综上可知，线段MN的长度不发生变化，长度是9。
【解析】【解答】解：（1）由题意得，BP=4t，点P表示的数是-5+4t；
【分析】(1)根据路程=速度×时间，以及线段的和差定义计算。（2）分两种情况构建方程即可解决问题。当点P在AB之间运动时；当点P在运动到点A的右侧时。（3）分两种情况分别讨论即可解决问题。当点P在AB之间运动时；当点P在运动到点A的右侧时。
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