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相似三角形 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．如图，在中，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是线段的黄金分割点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图， 和 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的中点， ，则 的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
8．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为1﹕2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是 ．
13．如图，在 中， ， ， ，点 为边 上一点， ，将 绕点 旋转得到 （点 、 、 分别与点 、 、 对应），使 ，边 与边 交于点 ，那么 的长等于 .
14．如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ．
15．如图，△ABC∽△DEF，AB=3，DE=2，若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为 ．
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
18．如图，在菱形中，E为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
19．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
20．已知：如图，点、分别在的边、上，，点在上，且．求证：
（1）；
（2）．
21．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB'），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B'C'）为1.8米，求路灯离地面的高度．
22．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
23．如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
24．如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点．
【问题发现】
（1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）；
【类比探究】
（2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长．
25．如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
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相似三角形 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线，直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F．AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AG=2，GB=1，
∴AB=3，
∵ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得答案。
2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解∶如图，过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
，
即：，
解得∶，
故选∶D．
【分析】
过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理可得，代值计算即可求出答案.
3．如图，在中，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，
∵AD=2，DB=3，则AB=2+3=5，
∴A、，此选项不符合题意；
B、≠，此选项符合题意；
C、=，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质可得比例式、、，结合已知依次判断即可求解.
4．已知是线段的黄金分割点，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：线段，点是黄金分割点，，
；
故答案为：A．
【分析】由点是黄金分割点，，可得，从而得解.
5．如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】【解答】解析：①由尺规作图可得，，故①符合题意；
②，，
，
， 故②不符合题意；
③∵当与重合时，最大，此时，，
即，
解得，故③符合题意；
④ 当为中点时，，由尺规作图可得，
由，可得，
∴，故④符合题意；
综上所述，①③④正确，
故答案为：．
【分析】根据作一个角等于已知角的步骤可判断①；先利用两角相等的两个三角形相似判定，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；先找到当与重合时，最大，再根据相似三角形的对应边成比例可判断③；利用，推出的值，再根据可判定④.
6．如图， 和 是以点 为位似中心的位似三角形，若 为 的中点， ，则 的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
【答案】B
【解析】【解答】∵ 和 是以点 为位似中心的位似三角形， 为 的中点，
面积是3，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：B．
【分析】根据 为 的中点，则位似比为 ，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连结AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（ ）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2＝，＝＝ ，
∴＝＝＝（等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质可得DC＝AB，DC∥AB，由已知条件可得DE：AB＝2：5，证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得＝，＝＝ ，根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比可得＝＝，据此求解.
8．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（ ）
A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米
【答案】B
【解析】【解答】根据题意画出图形如图所示，
其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，
∵ ，
∴EH=0.3×0.6=0.18，
∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，
∵ ，
∴AB= =8（米），
故答案为：B．
【分析】根据题意画出图形。其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，根据物长：影长=物长：影长可求解。
9．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
10．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥AD，交DA延长线于H，
，
在正方形ABCD中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
；
故答案为：D．
【分析】过点E作EH⊥AD，交延长线于H，由正方形的性质，推出∠H＝∠BCD，根据同角的余角相等，推出∠1＝∠3，证明△DEH∽△DGC，推出，由正方形的性质得∠EAH=∠DAC=45°，求出，进而根据平行线分线段成比例，据此即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为1﹕2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是 ．
【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）
【解析】【解答】解：∵顶点E的坐标是（﹣4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O，
∴点E′的坐标是：（×（﹣4），×2），[﹣×（﹣4），﹣×2]，
即（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1、l2、l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF，若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是 ．
【答案】4.5
【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3，
∴，
∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，
∴，
解得：EF＝4.5，
故答案为：4.5．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入可得，最后求出EF的长即可。
13．如图，在 中， ， ， ，点 为边 上一点， ，将 绕点 旋转得到 （点 、 、 分别与点 、 、 对应），使 ，边 与边 交于点 ，那么 的长等于 .
【答案】
【解析】【解答】如图，作PH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，sinB= ，
∴ = ，
∴AB=13，BC= =12，
∵PC=3，
∴PB=9，
∵∠BPH∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴PH= ，
∵AB∥B′C′，
∴∠HGC′=∠C′=∠PHG=90°，
∴四边形PHGC′是矩形，
∴CG′=PH= ，
∴A′G=5- = ，
故答案为 ．
【分析】如图，作PH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出PH，再证明四边形PHGC′是矩形即可解决问题．
14．如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ．
【答案】
15．如图，△ABC∽△DEF，AB=3，DE=2，若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴△DEF的周长：△ABC的周长= = ，
∵△DEF的周长为8，
∴△ABC的周长为12，
故答案为：12．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
16．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，
∴，
，
设，则，
，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
【分析】延长BF交DC于N，设小正方形在DE上的顶点为M，设，由面积比得，又，求得，利用，得到，，利用，得到，
设，根据相似比求出EF的长，进而求大正方形面积.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：原式= ，
所以， 的值是 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的值是 ．
【解析】【分析】（1）将代数式化简，再代入求值。
（2）利用等比的性质直接计算，等比的定理：(b+d...+f≠0）。
18．如图，在菱形中，E为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，，
，
为边长，
【解析】【分析】（1）先根据菱形的性质结合平行线的性质得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据菱形的性质得到，进而根据相似三角形的性质得到，从而结合题意代入数值即可求出AB。
19．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
20．已知：如图，点、分别在的边、上，，点在上，且．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定方法求出DE//BC，再根据平行线的性质求出 ， 最后利用相似三角形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 ， 再根据平行线的判定与性质证明求解即可。
21．为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB'），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B'C'）为1.8米，求路灯离地面的高度．
【答案】解：∵AB⊥OC'，OS⊥OC'，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴＝，
即，
解得：OB＝h﹣1①，
同理，∵A'B'⊥OC'，
∴△A'B'C'∽△SOC'，
∴，
②，
把①代入②得，，
解得：h＝9（米）．
答：路灯离地面的高度是9米
【解析】【分析】先根据AB⊥OC'，OS⊥OC'可得SO∥AB，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△SOC，同理可得△A'B'C'∽△SOC'，再由相似三角形的对应边成比例可得比例式求解．
22．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．
【答案】（1）证明：∵，
∵
∴
（2）解：∵
∴
∴△ADE与四边形DBCE的面积比为：4：9.
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可求证；
（2）根据相似三角形的性质得到 进而即可求解.
23．如图，已知△ADE∽△ABC，AB=15cm，AD=9cm，BC=12cm，∠BAC=65°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：∵∠BAC=65°，∠ABC=40°，
∴∠C =180°-∠BAC-∠ABC=180°-65°-40°=75°
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=75°
（2）解：∵△ABC∽△ADE，
∴
即，
解得：
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可得到∠ADE和∠AED的度数；
(2)根据相似三角形的相似比可直接得到答案.
24．如图，在中，为斜边上的高，在射线上有一点，连接，作交射线于点．
【问题发现】
（1）如图甲所示，如果，则与的数量关系______（填“>”“<”或“=”）；
【类比探究】
（2）如图乙所示，如果改变中两直角边的比例，使得，则与还存在图甲中的关系吗？说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图丙所示，在中，如果已知，试求的长．
【答案】（1）=；
【解答】（2）不存在图甲中的关系，理由：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，即；
（3）解：连接，如图，
由（2）可知，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：（舍），，
∴
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴为等腰直角三角形．
∵为斜边上的高，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：=；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，然后根据同角的余角相等可得，即可证明得到结论；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似得到，，即可得到对应边成比例解题；
（3）连接，即可证明，，即可求出．设，分别在和中，利用勾股定理求出x值即可．
25．如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围.
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象性质与不等式的综合，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键。
（1）由PQ∥BC得，则，可得函数解析式；
（2）结合函数解析式，利用描点法画出函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图像，计算y1=y2时的交点横坐标，以交点横坐标为分界，写出y1＞y2时x的取值范围。
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