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直线与圆的位置关系 单元模拟全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
2．如图，为的直径，延长至点M，使得，过点M作的切线，C为切点，连接，若的半径为2，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
3．如图，已知点A的坐标为（3，4），⊙A的半径为3，延长OA交⊙A于点B，过点B作⊙A的切线，交y轴于点C，则OC长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5． 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为( )
A． B． C． D．
6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．70°
7．如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 分别与 相切于 点，C为 上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于圆的半径；③三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为 ，已知AB=20.线段PQ在AB上（AP
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于 ．
12．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A的度数为 °.
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B．
（1）若OA=3，∠APB=60°，则OP=
（2）若OP=10，OA=5，则∠APB=
（3）若∠APB=80°，则的度数是
14．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则 .
15．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=
16．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
18．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
19．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．如图，AB是的切线，为切点，直线AO交于C，D两点，连结BC，BD.过圆心作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G
（1）求证：∠D=∠E.
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积.
21．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．
（1）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接， ▲ ．求证： ▲ ．
从①与相切；②；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，求的长．
23．已知：如图，在中，与AB相切于点C.求证：.小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
24．如图，是的直径，，分别与相切于点，，连接，点在的延长线上，延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
25．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集，即透明条的运动路径为：，假设在同一直线上，，于点D，，P为中点．
（1）点B到的距离为 ．
（2）若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 ．
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直线与圆的位置关系 单元模拟全优测评卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．6 C．12 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故答案为：C.
【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案.
2．如图，为的直径，延长至点M，使得，过点M作的切线，C为切点，连接，若的半径为2，则的长度为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵过点作的切线，为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵的半径为2，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接，根据切线的性质以及直径所对的圆周角是直角得到，求出，由直角三角形斜边上的中线性质得，，最后利用勾股定理即可求出的长．
3．如图，已知点A的坐标为（3，4），⊙A的半径为3，延长OA交⊙A于点B，过点B作⊙A的切线，交y轴于点C，则OC长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，
∵A的坐标为（3，4），且BC与⊙O相切，
∴AD=3、OD=4，∠ODA=∠OBC=90°，
∴ =5，
∵∠AOD=∠COB，
∴△AOD∽△COB，
∴ = ，即 = ，
解得：OC=10，
故答案为：C．
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，根据点到坐标轴的距离及切线的性质知AD=3、OD=4，∠ODA=∠OBC=90°由勾股定理得OA的长度，进一步得出△AOD∽△COB，由相似三角形对应边成比例得出结论。
4．如图，以的边为直径的恰好过的中点，过点作于，连接，则下列结论中：；；；，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：连接AD，
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，故①正确；
∵AB为的直径，∴∠ADB=90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴∠B=∠C，AC=AB=2OA，故②③正确；
∵OD∥AC，DE⊥AC，
∴∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，
∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB+∠ODA=90°，∴∠EDA=∠ODB，
即得∠EDA=∠B，故④正确；
故答案为：D.
【分析】连接AD，易得OD为△ABC的中位线，可得OD∥AC，故①正确；由圆周角定理可得∠ADB=90°，即得AD垂直平分BC，可得AB=AC，即得AC=AB=2OA，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C，故②③正确；利用平行线的性质可得∠ODE=90°，即得∠EDA+∠ODA=90°，利用等腰三角形的性质可得∠B=∠ODB，根据余角的性质可得∠EDA=∠ODB，即得∠EDA=∠B，故④正确.
5． 如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，以顶点 C 为圆心，BC 的长为半径画. 交CD 于点 H，过 AB 的中点 P 作扇形 BCH的切线 PE，E为切点，连结 AE 并延长交CD 于点F，则 tan∠DAF 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连结 PC，BE，CE，PC 与BE 交于点 G.
∵ 四边形 ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，即AB⊥BC.
∵ BC 是扇形 BCH 的半径，
∴ PB 是扇形 BCH 的切线.
∵ PE 是扇形BCH 的切线，
∴ PB=PE.
∵ BC=CE，
∴ PC 垂直平分BE.
∴∠BGC = 90°.
∴ ∠BCG +∠CBG=90°，
∴∠ABC=90°，
∴∠PBG+∠CBG=90°.
∴∠ABE=∠BCP.
∵ P 是AB的中点，
∴ AP=PB=4.
∴ AP=BP=PE.
∴∠PAE=∠AEP，∠PBE=∠PEB.
∴ ∠BAE+∠ABE =90°.
∵∠BAE+∠DAF=90°，
∴ ∠DAF=∠ABE=∠BCP.
∴ tan ∠DAF =
故答案为：D.
【分析】先利用切线长定理得到线段相等关系，再通过角度转换将∠DAF转化为与∠BCP相等的角，最后在直角三角形中计算正切值.
6．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（ ）
A．35° B．45° C．65° D．70°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别是圆的切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，∠BAC=35°，
∴ ∠ABO=∠BAC=35°，
∴∠AOB=180°-35°-35°=110°，
在四边形APBO中，∠OAP=∠OBP=90°， ∠AOB=110°，
则∠ P=360°-（∠OAP+∠OBP+∠AOB）=70°，
故答案为：D.
【分析】利用圆的切线的性质得OA⊥AP，OB⊥BP，可得∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠ABO和∠AOB的度数，然后利用四边形的内角和为360°，可求出∠P的度数.
7．如图为 和一圆的重叠情形，此圆与直线 相切于 点，且与 交于另一点 ．若 ， ，则 的度数为何（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴弧CD的度数=2∠C=100°．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和定理，求出∠C的度数，再根据切线的性质，可得出弧CD的度数等于弦切角∠C度数的2倍。
8．如图， 分别与 相切于 点，C为 上一点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-66°=114°，
由圆周角定理得，∠C= ∠AOB=57°，
故答案为：A．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质定理得到∠OAP=90°，∠OBP=90°，根据四边形的内角和等于360°求出∠AOB，最后根据圆周角定理解答．
9．下列说法正确的个数是（ ）
①平分弦的直径，必垂直于这条弦；②圆的切线垂直于圆的半径；③三点确定一个圆；④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径，必垂直于这条弦；
②圆的切线垂直于过切点的半径；
③平面内不共线三点确定一个圆；
④同圆或等圆中；等弦所对的圆周角相等或互补.
故没有正确的.
故答案为：A
【分析】 根据垂径定理的推论、切线的性质、三点共圆的条件及弧、弦、圆周角的关系只有判断即可.
10．李白笔下“孤帆一片日边来”描述了在喷薄而出的红日映衬下，远远望见一叶帆船驶来的壮美河山之境.聪明的小芬同学利用几何图形，构造出了此意境！如图半径为5的⊙O在线段AB上方，且圆心O在线段AB的中垂线上，到AB的距离为 ，已知AB=20.线段PQ在AB上（APA． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】 解：如图，当DE于圆0于左侧相切时，过点O作OM⊥AB于R，OH⊥DE于H，过H作HG⊥AB于G，过点O作OM⊥HG于M，延长ED交AB于N，
cos∠DCE=，
sin∠DCE=sin∠DCQ= ，
∴∠DCE=∠DCQ，即∠DCE=∠DCN，
在Rt△DCN和Rt△DCE中，DC公用，∠DCE=∠DCN，
∴Rt△DCN≌Rt△DCE(ASA)，
∴CN=CE=5，
在Rt△OMH中，MH=OHcos∠OHM=OHcos∠HNG=4，
OM=OH∠OHM=5×=3，
∴CG=GN-CN=，
则AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG=10-3+=.
∴AP=AC-PC=
如图，当DE在圆O右侧，E在圆上时，过点E作EG⊥AB于G，过点O作OH⊥AB于H，过点E作EM⊥OH于M，延长ED交AB于N，
在Rt△CDE中，易求DE=4，CE=5，
∴EN=2DE=8，CN=CE=5，
在Rt△EGN中，易求GN=，EG=，
∴CG=GN-CN=，MH=EG=，
∴OM=OH-MH=3，从而HG=ME=4，
∴AP=AC-PC=AH+HG+GC-PC=10+4+-3=，
综上所述，m的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】如图1所示，当DE在圆O左侧有交点时，DE与圆O相切，延长ED至AB上于点N，记切点为点H，过点O作OH⊥AB，根据已知条件得到△ECF为等腰三角形，求得CE=CN=5，再由三角函数求得OM和MH，进而推得CG，则AC=AG+CG=AR-GR+CG=AR-OM+CG，求得AC，从而由AP=AC-PC求得AP；如图2所示，当DE在圆O右侧有交点时，点E在圆O上，延长ED交AB的延长线于点N，过点O作OH⊥AB，过点E作EG⊥AB，EM⊥OH，由三角函数的定义得到DE=DN=4，CE=CN=5，在Rt△EGN中，由三角函数求得GN、EG，进而求得CG和MH，由三角函数求得ME，则HG长度可求，进一步求得HG，由AP=AC-PC=AH+HG+GC-PC求得AP，即可得到结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心， OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，若BA′与⊙O相切，则旋转的角度α（0°＜α＜180°）等于 ．
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：如图；
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°；
Rt△OPB中，OB=2OP，
∴∠A′BO=30°；
∴∠ABA′=60°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；
同①，可求得∠A′BO=30°；
此时∠ABA′=90°+30°=120°；
故旋转角α的度数为60°或120°．
【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
12．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC.若∠CPA=20°，则∠A的度数为 °.
【答案】35
【解析】【解答】解：连接OC，
∵PC切半圆O于点C，
∴PC⊥OC，即∠PCO=90°，
∵∠CPA=20°，
∴∠POC=70°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=35°.
故答案为35.
【分析】根据切线的性质得出∠PCO=90°，再利用三角形内角和定理得出∠POC=70°，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案.
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B．
（1）若OA=3，∠APB=60°，则OP=
（2）若OP=10，OA=5，则∠APB=
（3）若∠APB=80°，则的度数是
【答案】（1）6
（2）60°
（3）100°
【解析】【解答】解：（1）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，
∵OA=3，
∴OP=2OA=2×3=6，
故答案为：6；
（2）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB，
∵OP=10，OA=5，
∴在Rt△APO中，sin∠APO=，
∴∠APO=30°，
∴∠APB=2∠APO=60°，
故答案为：60°；
（3）∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=80°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=100°，
故答案为：100°.
【分析】（1）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得OP=2OA=2×3=6；
（2）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO=∠APB，再求出sin∠APO=，可得∠APO=30°，最后求出∠APB=2∠APO=60°即可；
（3）利用切线长性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再结合∠APB=80°，利用四边形的内角和求出∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=100°即可.
14．如图，在菱形ABCD中，E，F是AD，BC上的点，BC，连结DF，与过B，E，F三点的相切于点.已知，则 .
【答案】15°
【解析】【解答】解：如图，连接BE，OF，
∵∠BFE=90°，
∴BE是直径；
∵AE=FC，四边形ABCD是菱形，
∴ED=BF，ED∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵OF⊥FD，
∴OF⊥BE，
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，
∵∠A=120°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠ADF=∠ADC-∠EDF=60°-45°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可判断出BE经过圆心，再证明四边形DEBF是平行四边形，从而根据平行四边形的性质可推出OF⊥BE，算出∠OBF=∠BFB=∠EDF=45°，从而得到答案.
15．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若PA=10，则△PCD的周长=
【答案】20
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20．
故答案为：20．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=10，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
16．如图，已知 的半径为2，弦 ，点 为优弧 上动点，点 为 的内心，当点 从点 向点 运动时，点 移动的路径长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接 ， ，过 作 ，
∴ ，
∵ ，
∴sin∠AOD= ，
∴ ，
，
，
∴ ，
连接 ， ，
∵点 为 的内心，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为优弧 上动点，
∴ 始终等于 ，
∴点 在以 为弦，并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动，
设 ， ， 三点所在的圆的圆心为 ，
连接 ， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 移动的路径长 .
故答案为： .
【分析】连接OB，OA，过O 作OD⊥AB ，根据垂径定理可得AD的长，根据余弦的定义、特殊角三角函数值及圆周角定理求出∠P的度数，连接IA、IB ， 根据三角形的内心的性质得 ， ，由三角形内角和定理求出，设A ，B ，I 三点所在的圆的圆心为O' ，连接O'A，O'B ，则∠AO'B=120° ，根据等腰三角形的性质得∠O'AB=∠O'BA=30°，连接O'D，可得O'D⊥AB，利用解直角三角形求出AO'的长，利用弧长公式计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图1，一个圆球放置在V型架中．图2是它的平面示意图，CA、CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB．
【答案】解：如图，连接OC交AB于点D∵CA、CB分别是⊙O的切线∴CA=CB，OC平分∠ACB∴OC⊥AB∵AB=6∴BD=3在Rt△OBD中∵OB=∴sin∠BOD=∴∠BOD=60°∵B是切点∴OB⊥BC∴∠OCB=30°∴∠ACB=60°．
【解析】【解答】我们可通过构建直角三角形，将数据转换到直角三角形中进行计算．连接OC交AB于点D，那么我们不难得出BD是AB的一半，CD平分∠ACB，那么只要求出∠COB的度数就能求出∠ACB的度数，已知了OB的长，BD（AB的一半）的长，这样在直角三角形ODB中根据三角函数我们不难得出∠DOB的值，也就能求出∠ACB的度数了．
【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有切线性质，解直角三角形，根据三角函数求角的度数.
18．独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点P，且，垂足为点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为5．
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，则，由直线平行判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，由切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，由正切定义可得，根据勾股定理可得BP，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
19．日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日器的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日器的底座，点C为日晷与底座的接触点，与相切于点C，点A，B，F均在上，且为不同时刻晷针的影长（A、O、B共线），的延长线分别与相交于点E，D，连接，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
即.
（2）解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）先利用直径所对的圆周角的性质可得，再结合OE//BC，可得，从而可证出；
（2）连接，先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可.
20．如图，AB是的切线，为切点，直线AO交于C，D两点，连结BC，BD.过圆心作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G
（1）求证：∠D=∠E.
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠DGO＝∠DBC＝90°，
∴BD⊥OF，
∴，
∴F是的中点；
（2）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠E+∠BOE＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠DCB＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OCB，
∴∠D＝∠E；
（3）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，
∴OF＝EF＝6，
∴OE＝12，
∴BOOE，
∵∠OBE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
∴OG＝3，BG＝3，
∴S△BOGOG BG3，S扇形BOF6π，
∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝6π．
【解析】【分析】（1）首先根据圆的切线的性质和平行线的性质得出BD⊥OF，利用垂径定理得出，即可解答；
（2）连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，由此可得出∠BOE＝∠OCB，即可解答；
（3）先求出∠BOG的度数，由S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG，然后利用三角形面积公式及扇形的面积公式代入即可解答．
21．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，过点作于点，
，
是的切线，是的直径，
，
，
平分，
，
在和中，
，
∴，
，
又∵为半径，，
∴是的切线.
（2）解：如图2，过点作于点，
由（1）知是的切线，
∵和分别是的切线，
，
，
，
，
，
，
都是的切线，
，
，
∴四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
由勾股定理得，，
，
，
平分，
，
，
，
∴是等边三角形，
．
【解析】【分析】（1）过点作于点，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得OF=OB，再结合为半径，，即可证出是的切线；
（2）过点作于点，先证出 四边形是矩形， 可得， 利用线段的和差求出CG的长，再利用勾股定理求出DG的长，再证出是等边三角形， 最后利用等边三角形的性质可得.
22．
（1）如图，是的直径，与交于点，弦平分，点在上，连接， ▲ ．求证： ▲ ．
从①与相切；②；中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，求的长．
【答案】（1）解：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
【解析】【分析】(1)连接，根据等边对等角和角平分线的定义求出，进而得到，再根据平行线的性质可得，最后根据圆的切线的判定证出即可；
(2)连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定得到是等边三角形，进而得到的长，求出EF即可.
23．已知：如图，在中，与AB相切于点C.求证：.小明同学的证明过程如下框：
证明：连结OC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，又∵OC＝OC，∴△OAC≌△OBC，∴AC＝BC．
小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】解：证法错误；
证明：连结OC，
∵⊙O与AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
【解析】【分析】连结OC，根据切线的性质得到OC⊥AB，进而根据等腰三角形的性质（三线合一）判断即可求解。
24．如图，是的直径，，分别与相切于点，，连接，点在的延长线上，延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，，
，均为的切线，
，，
在和中，
，
≌，
，
为等腰三角形，
，
为直径，
，
，
；
（2）解：如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
（1）连接BD，OD，先证明△ODC和△OBC全等得∠OCD和∠OCB相等，再结合已知条件推导出AF∥CO；
（2）先求出CE，AE，OE，再结合平行线分线段成比例求出EF，AF。
25．图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到收集，即透明条的运动路径为：，假设在同一直线上，，于点D，，P为中点．
（1）点B到的距离为 ．
（2）若的半径为，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：（1）过点B作交的延长线于H，如图（2）所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
∴点B到的距离为，
故答案为：；
（2）过点A作于F，如图（2）所示，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
∵点P是的中点，
，
由题意得，切于N，连接，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
，
记线段与的交点为E，则点E到点B的距离最小，
，
，
∴当点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为：
故答案为：．
【分析】（1）过点B作交的延长线于H，先求出，可得BH=3CH，再利用勾股定理可得，最后求出BH的长，即可得到点B到的距离为；
（2）过点A作于F，先求出，，，再求出，即可得到答案.
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