6.7 角的和差
1．两个锐角的和为(D)
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 以上三种都有可能
2．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是(C)
A. 15° B. 30° C. 45° D. 75°
3．将一副直角三角尺按如下不同方式摆放，则图中锐角α与β相等的是(B)
(第4题)
4．如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中和为180°的两个角有(D)
A. 3对 B. 4对
C. 5对 D. 6对
5．如图，∠AOB和∠COD具有公共顶点O，且∠AOB＝∠COD＝90°.若∠AOD是∠BOC的5倍，则∠BOC＝30°．
(第5题) (第6题)
6．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COD＝2∠COB.若∠COB＝20°，则∠AOD＝__120°__．
7．如图，已知∠BOC－∠AOB＝14°，∠BOC∶∠COD∶∠DOA＝2∶3∶4，求∠COD的度数．
(第7题)
【解】 设∠BOC＝2x，则∠COD＝3x，∠DOA＝4x.
∴∠AOB＝360°－2x－3x－4x＝360°－9x.
∵∠BOC－∠AOB＝14°，
∴2x－(360°－9x)＝14°，
解得x＝34°.
∴∠COD＝3×34°＝102°.
(第8题)
8．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上，不与点B，C重合)，使点C落在长方形的内部点E处．若FH平分∠BFE，求∠GFH的度数．
【解】 ∵将∠C沿着GF折叠使点C落在点E处，
∴FG平分∠CFE，
∴∠GFE＝∠CFE.
又∵FH平分∠BFE，
∴∠EFH＝∠EFB.
∴∠GFE＋∠EFH＝∠CFE＋∠EFB
＝(∠CFE＋∠EFB)
＝∠CFB
＝×180°＝90°.
又∵∠GFH＝∠GFE＋∠EFH，
∴∠GFH＝90°.
(第9题)
9．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的60°的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的OD边平分∠AOB时，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC.请判断∠AOC的度数，并说明理由．
【解】 ∠AOC＝120°.理由如下：
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD.
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE.
∵∠EOD＝∠BOD＋∠BOE＝60°，
∴∠AOC＝2(∠BOD＋∠BOE)＝120°.
10．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在点D′的位置．若∠CED′＝60°，则∠AED的度数是(C)
(第10题)
A. 50° B. 55°
C. 60° D. 75°
【解】 由折叠易知，∠AED＝∠AED′＝∠DED′.
∵∠DED′＋∠CED′＝180°，
∴∠DED′＝180°－∠CED′.
∵∠CED′＝60°，
∴∠DED′＝180°－60°＝120°.
∴∠AED＝∠DED′＝60°.
11．已知∠AOB＝40°，过点O引射线OC，若∠AOC∶∠COB＝2∶3，且OD平分∠AOB，求∠COD的度数．
【解】 有两种情况：
(1)如解图①所示，当线射OC在∠AOB的内部时，
由∠AOC∶∠COB＝2∶3，可设∠AOC＝2x°，则∠COB＝3x°.
∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＋∠COB＝40°.
∴2x＋3x＝40，解得x＝8.∴∠AOC＝2x°＝16°.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×40°＝20°.
∴∠COD＝∠AOD－∠AOC＝20°－16°＝4°.
(第11题解)
(2)如解图②所示，当射线OC在∠AOB的外部时，
由∠AOC∶∠COB＝2∶3，可设∠AOC＝2x°，则∠COB＝3x°.
∵∠AOB＝40°，∴∠COB－∠AOC＝40°.
∴3x－2x＝40，解得x＝40.∴∠AOC＝2x°＝80°.
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠AOB＝×40°＝20°.
∴∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.
综上所述，∠COD的度数为4°或100°.
(第12题)
12．如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．
(2)若∠AOB＝α，求∠EOF的度数．
(3)若将题中“平分”的条件改为“∠EOB＝∠COB，∠COF＝∠COA”，且∠AOB＝α，直接写出∠EOF的度数．
【解】 (1)∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝60°.
∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠BOC＝30°，
∠FOC＝∠AOC＝15°，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝30°＋15°＝45°.
(2)∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠BOC，∠FOC＝∠AOC.
∵∠EOF＝∠EOC＋∠FOC，
∴∠EOF＝∠BOC＋∠AOC
＝(∠BOC＋∠AOC)
＝∠AOB＝α.
(3)∠EOF＝α.
(第13题)
13．(1)如图，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
(2)如果(1)中的∠AOB＝m°，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中的∠BOC＝n°(∠BOC为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得出什么结论？
【解】 (1)∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝(∠AOB＋∠BOC)＝60°.
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝15°.
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝60°－15°＝45°.
(2)∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝(∠AOB＋∠BOC)＝(m°＋30°)．
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝15°.
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(m°＋30°)－15°＝m°.
(3)∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝(∠AOB＋∠BOC)＝(90°＋n°)．
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝n°.
∴∠MON＝∠MOC－∠NOC＝(90°＋n°)－n°＝45°.
(4)由(1)(2)(3)可知，不论∠AOB和∠BOC为多少度，∠MON的度数始终是∠AOB的度数的一半．
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