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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第3关 相似三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
3．如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B． C． D．
4．如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连结MN．有下列结论：①∠AMN=∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ．
12．如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
13．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 ．若，则 ．
15．在矩形中，，E是的中点，连接，过点D作于点F．
（1）线段的长为 ；
（2）连接，若交于点M，则 ．
16． 如图， 在 ABCD中， 点E在边BC上， 将△ABE沿着直线AE翻折得到△AEF， 点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF 的延长线交边CD于点G.若 则 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=2，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值.
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BF上时，求DF的长.
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，连接CD，CE，试探究当与ABC一个内角相等时，求CE的长.
18．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
19．平行四边形ABCD中，， AB=6，对角线 .
（1） 如图1，求BC的长。
（2） 如图2，P是AB边上一点，Q是BC边上一点，连结PD，AQ，记交点为E。
①当AP：AB=2：3，且△ACQ是等腰三角形时，求EQ：AE的值。
②当 时， 求 的值.
20．（1）问题发现
如图1，在正方形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：；
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：；
（3）拓展延伸
如图3，在中，，点和分别在和上，与交于点且 ，求的值．
21．如图
（1）【基础凡固】
如图1，点A，F，B在同一直线上，若，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，AB是半圆的直径，弦长分别是AC，AB上的一点，，若设，求出与的函数关系.
（3）【拓展提高】
已知是等边边AB上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）
22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：
（1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，对角线BD平分.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，，连接EG，若的面积为，求FH的长.
23．如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．
（1）求的度数．
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作垂直于点P，连结．
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式．
24．如图，点C在以为直径的上．将沿直径对折，点C落在上的点D处，分别连接，，，与交于点E．另有一动点F在上运动，连接交于点G，交于点H．
（1）当平分时．
①连结，求证：．
②若，求的值．
（2）当时，探究线段与的长度关系．
（3）如图2，若点F运动到上，交于点I，求证：．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第3关 相似三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】在矩形中，，
，，
是边的中点，，
，，故①正确；
如图，过作交于，
，，，
，，四边形是平行四边形，
，，
，，且，
是的垂直平分线，，故②正确；
四边形是矩形，
，，，
，，
，故④正确；
，，，
，且，，
，且，，
，，，，
∴，故③错误．
故选：B．
2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．①②③
【答案】D
【解析】由勾股定理可得：，，
∴，∴，故①正确；
如图，连接、，则，，
∵，
∴，∴，
∴，故②正确；
∴，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，故③正确；
如图，取格点、，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
3．如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
设
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：
∵，∴，∴，
∴，取，则
∴，∴，
∴．
故答案为：D．
4．如图，等腰中，点为斜边的中点，点、分别为、上的动点，满足，连结．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，
∵是等腰直角三角形，点为斜边的中点，
∴，，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，，
∴为等腰直角三角形，
延长至点，使得，连接，
∵为等腰直角三角形，∴，
∵，∴设，∴，
∵，
∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
设，，∴，∴，
解得：，
∴．
故答案为：D．
5．如图，在四边形中，，过作于点，过作于点与交于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，、、、四点共圆，∴，，
∵，，∴，
∵，∴．
∵∴，
，即，∴，
∴，∴．
∵，，∴，
∴，即，
解得：．
故答案为：B ．
6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，BM，CN交于点O，连结MN．有下列结论：①∠AMN=∠ABC；②图中共有8对相似三角形；③BC=2MN．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】∵ BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∠A=∠A，
∴. ∴，即.
又∵∠A=∠A，
∴.
∴ ∠AMN=∠ABC ，①正确；
根据两角对应相等的性质，可以得出：
△ABM∽△ACN∽△OBN∽△OCM，
△AMN∽△ABC，
△BCO∽△NMO，
∴图中共有8对相似三角形，②正确；
∵在Rt△AMB中，∠A=60°，即∠ABM=30°，∴AB=2AM
∵，
，即BC=2MN，③正确.
综上所述，所有结论均正确.
故答案为：C.
7．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，∴，
设AB=AC=6a，∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，∴
∴，
即，解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
8．如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H，
在正方形和正方形中，
，
，
∴，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，，
∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
设，
∴，∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，.设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④.正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴，，，，∴，，
∵点是边的三等分点，点是边的中点，
∴，，
设，则，，，，，
∴，，故①②正确；
∵，∴，
同理可得：，
∵，，，
设，则，，，
∴，，
∴，，故③④正确；
故答案为：D.
10．如图是一张矩形纸片，点E是中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与BC相交于点G，的延长线经过点C．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，过点G作于点T，
设，，
，
设，则，
点E是AD中点，
，
由翻折的性质知，，，
，
，
，
，
，
C，，共线，，
，
，
，
（舍去）或，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
．
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在等腰中，，是边上一点，，连结，点在线段上，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】过点E作交于点P，交于点Q，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ．
【答案】
【解析】
解：如图，延长，交于点H，
设，，
∵四边形和四边形都是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（舍），，
∴．
故答案为：．
13．如图，在中，，，，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ．
【答案】
【解析】过点作，交的延长线于点，∵，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴；
故答案为：．
14．如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 ．若，则 ．
【答案】；
【解析】∵将沿直线翻折得到，
∴垂直平分线段，
∴，
∵为上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：
∴，即：
∵ ∴
∴
∴
故答案为：，．
15．在矩形中，，E是的中点，连接，过点D作于点F．
（1）线段的长为 ；
（2）连接，若交于点M，则 ．
【答案】；
【解析】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
在中，∵，
∴，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴∠BAE+∠DAF=90°=∠DAF+∠ADF，
∴∠BAE=∠ADF，
∴△BAE∽△FDA.
∴.
∴；
故答案为：；
（2）若交于点M，延长交延长线于点K，如图所示：
在中，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴AD//BC，
∠FAD=∠FEK，∠FDA=∠FKE，
∴△FAD∽△FEK.
∴，即，
∴.
∴，
∵，
∴
∴．
故答案为：．
16． 如图， 在 ABCD中， 点E在边BC上， 将△ABE沿着直线AE翻折得到△AEF， 点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF 的延长线交边CD于点G.若 则 的值为 .
【答案】
【解析】如图， 延长BC， AG交于点H，
∵BE：EC=3：2，
∴设BE = 3x， EC = 2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC = 5x， AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，
∴∠AEB=∠AEF， BE= EF =3x，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD= DE =5x，
∴DF =2x，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△HEF，
∴
∴
∴
设AG=10y，GH=11y，
∴
∴
∴
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=2，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°.
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值.
（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BF上时，求DF的长.
（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，连接CD，CE，试探究当与ABC一个内角相等时，求CE的长.
【答案】（1）解：在中，，
，
，
由题意知，，
，
即，
，
又，
，
．
（2）解：如图所示，连接，过点作，
由题意知，，
，
即，
，
又，
，
，
又为的中线，，
，
，
，
即，
又，
四边形为矩形，
，
，
，
由可得，
，
，
．
（3）解：在纸片绕点旋转过程中研究，相当于将固定，绕点旋转．
①如图所示，当时，
过点作，，
，，
又，，
，
又，
，
为矩形，，
故，，
为等腰直角三角形，
，，
②当时，
过点作于，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
由于，，，
四边形为矩形，
设，，则，，
，，
，
，
，
，，，
在和中，
，，
，
解得，
，为等腰直角三角形，
，，
由于，，
．
③当时，
过点作于，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
由于，，，
四边形为矩形，
设，，则，，
，，
，
，
，
，，，
在和中，
，，
，
解得，
在中，，
，
．
18．图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，点在网格线上不在格点上．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
（1）在图1中作的中线；
（2）在图2中作的高线；
（3）在图3中的边上确定点，连结，使得．
【答案】（1）（2）
（3）解：如图所示，即为所求；
理由如下，找到格点，连接交于点，
∵
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴
19． ABCD中，， AB=6，对角线 .
（1） 如图1，求BC的长。
（2） 如图2，P是AB边上一点，Q是BC边上一点，连结PD，AQ，记交点为E。
①当AP：AB=2：3，且△ACQ是等腰三角形时，求EQ：AE的值。
②当 时， 求 的值.
【答案】（1）解：过点A作/ 于点H.
∵在 中，
∴∠BAH=30°，
，，
在 中，
由勾股定理得：
（2）解：
由 (1) 知 144.
又∵
∴△ABC是直角三角形， ∠BAC=90°.
当 时， BQ=BC-CQ=12
过P作PFIIBC交AQ于F， 则△APF~△ABQ.
即：
又∵PF∥BC，
∴△PEF~ △QEA.
当AQ=CQ时， ∠QAC=∠QCA.
∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠AQB.
∵∠BAC=90°， ∠B=60°，
∴∠ACB=30°.
∴∠QAC=∠QCA=30°， ∠AQB=∠DAQ=∠BAC-∠QAC=60°.
∴△ABQ是等边三角形， BA=AQ=6
过P作 交AQ于F， 则
当 时，过A作 于H，在 中，
在 中，
，即Q与C重合，不符合题意，舍去.
综上，EQ：AE=3：2.
②过P作AG∥PD交CB延长线于G.
∵∠AEP=120°， ∠B=60°，
∴∠EAP+∠AEP+∠APE=180°， ∠EAP+∠APE=60°.
又∵∠G+∠BAG=∠ABC=60°， ∠APE=∠BAG，
∴∠G=∠EAP.
∵AD∥BC，
∴△APD~△FPB.
∵AD=BC=12，
∵△ABP~△GBA，
即： AP·AB=BP·BG.
∴AP·AB-AP·BQ=BP·BG-AP·BQ.
又∵
20．（1）问题发现
如图1，在正方形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：；
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点P和Q分别在和上，，垂足为点M．求证：；
（3）拓展延伸
如图3，在中，，点和分别在和上，与交于点且 ，求的值．
【答案】证明：（1）∵正方形，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵矩形，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴；
（3）如图：过点作，
∵在中，，∴，
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
设，则，解得：，
∴
21．如图
（1）【基础凡固】
如图1，点A，F，B在同一直线上，若，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，AB是半圆的直径，弦长分别是AC，AB上的一点，，若设，求出与的函数关系.
（3）【拓展提高】
已知是等边边AB上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上.如图3，如果，求CE：CF的值（用含n的代数式表示）
【答案】（1）证明： ∵∠A=∠EFC，
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB，
∴∠E =∠CFB，
∵∠A=∠B，
∴△AFE∽△BCF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠A =∠B=∠CFE =45°，
由 (1) 可得△AFE∽△BCF，
即
；
（3）解：连接DE， DF，
∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF =∠ECF=60°， EC = ED，FC=FD，
∵∠BDF+∠EDF =∠BDE =∠A+∠DEA，
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠BDF=∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
设AD=x， CE=DE=a， CF = DF =b，
∵AD：BD=1：n，
，
∵
∴
∴
由前两项得， 由后两项得，
解得，
由①得，
.
22．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.理解：
（1）如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，对角线BD平分.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，，连接EG，若的面积为，求FH的长.
【答案】（1）解：如图所示：
由勾股定理得：，，∠ABC=90°，AC=5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD=90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴CD=10，或CD=2.5，
②当∠CAD=90°时，
同理：AD=2.5或AD=10；
∴CD=10或CD=2.5，AD=2.5或AD=10
（2）解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=35°，
∴∠A+∠ADB=145°
∵∠ADC=145°，
∴∠BDC+∠ADB=145°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”
（3）解：∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG
∴△FEH∽△FHG，
∴
∴FH2=FE·FG，
过点E作EQ⊥FG于Q，
∴
∵，
∴，
∴FG·FE=8，
∴FH2=FE·FG=8，
∴.
23．如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为．
（1）求的度数．
（2）将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作垂直于点P，连结．
①求证：；
②记，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）解：∵，
在正方形中，，
，
，
，
∴；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴∠PFB=45°=∠EBF，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴，
∵四边形为正方形，
∴为等腰直角三角形，，
∴同理可得，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，过点作于点，设，
∵，
∴，
∴，
∴
∵是正方形的对角线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴同理可得：，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴y关于x的函数表达式为．
24．如图，点C在以为直径的上．将沿直径对折，点C落在上的点D处，分别连接，，，与交于点E．另有一动点F在上运动，连接交于点G，交于点H．
（1）当平分时．
①连结，求证：．
②若，求的值．
（2）当时，探究线段与的长度关系．
（3）如图2，若点F运动到上，交于点I，求证：．
【答案】（1）①证明：为的平分线，
．
折叠，
，
．
，
，
，
即，
．
②解：如图所示，，
由折叠得，
．
由①得，
，
，
是直径，
，
，
，
，，
．
．
（2）解：如图，连结并延长，交于点M，连结．
，，
为直径，，
，
又，，
，，，
∵点O，E分别是，的中点，
是的中位线，
（3）解：折叠，
，，
，
，
即，
又，，
，
，
即，
，
即
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