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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第1关 二次函数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵当时，，∴抛物线经过点，
又∵ 抛物线（且都是常数）经过点，
∴即该抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，
∴ 恒正， 恒负．
该抛物线经过点和，设该抛物线的函数表达式为 ，
代入，得，
解得，
当 时， ，
即抛物线顶点的纵坐标.
故答案为：B．
2．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
【答案】B
【解析】由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故答案为：B．
3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．无论取何值，都有
【答案】A
【解析】二次函数图象如下图所示：
A、，则，故A是错误的；B、当时，，故B是正确的；
C、若，如图所示：则，故C是正确的；
D、∵，，
∵，∴，
故D是正确的；
故选：A．
4．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】由题知，，
如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，
∵轴，
∴，
∴．
令，则有，解得，
∴，
∴．
将代入，得：，
∴点C的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
∴直线的函数解析式为．
∵，
令点P坐标为，
则，
∴
∴，
则，
∴，
则当时，有最大值为：，
即的最大值为．
故选：C．
5．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9，
∴在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而减小；
①当时，当时，y随的x增大而增大，
那么时取得最小值，时取得最大值，
最小值为，最大值为，
已知最大值与最小值的差为12，
则可列出方程-，
解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去；
②当时，
此时时取得最大值，时取得最小值，
最大值为9，最小值为，
此时最大值与最小值的差为12，
符合题意；
③当时，
此时时取得最大值，时取得最小值，
最大值为9，最小值为，
已知最大值与最小值的差为12，
则可列出方程，
解得，
但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去．
∴综上，得到n的取值范围为：．
故选：B．
6．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵二次函数，当时，，
∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，
故A、B、D选项错误，
故选：C．
7．已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】当和时，，
抛物线的对称轴是直线，
当时，抛物线开口向上，
，
，，
，
即，
，
没有符合的选项；
当时，抛物线开口向下，
，
，，
，
解得，
符合题意；
综上所述，符合题意．
故选：B．
8．已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】①∵ac<0，
∴b2-4ac>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不同的实数根，故正确；
②∵x=0时，y=ax2+bx+c=c，
∴二次函数的图象过点(0，c)，
∵二次函数的图象过点(2，c)，
∴图象的对称轴为直线，故错误；
③当a>0时，二次函数的图象开口向上，
∵二次函数的图象与x轴负半轴交于A(m，0)和B(n，0)，且m∴二次函数的图象与直线y=-3x交点的横坐标为p、q，
如图，
由图象可知p④若a=-1，则二次函数为y=-x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，
又图象与直线y=x有两个交点(x1，0)，(x2，0)，且x1<2∴当x=2时，y=-4+2b+c>0.
∴2b+c>4，故正确.
故答案为：B.
9．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】将代入得：，
，
，
解得：或（舍去）
，
即，
，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
当时，二次函数有最小值，
当时，二次函数有最大值，
即二次函数的最大值与最小值的差为．
故选D．
10．已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则( )
A．若，当时，
B．若，当时，
C．若，当时，
D．若，当时，
【答案】A
【解析】∵与轴的交点为
∴对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，
当时，即
∴
∴
∴，故A选项正确
当时，抛物线开口向下，
，无法判断的大小，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
【答案】2或6
【解析】由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6．
12．已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】点，都在二次函数的图象上，
是方程的两个根，
，且，，
即，
．
故答案为：．
13．二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；
②函数图象开口向上；
③当 时， 随 的增大而增大；
④当 时， 的取值范围是 ．
【答案】①②③
【解析】 和 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 故①正确；
∵当 时的函数值大于 时的函数值，
∴当 时的函数值是该函数的最小值，
∴函数图象开口向上，故②正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时，y随x的增大而增大，故③正确；
的关于对称轴的对称点是(
∴当 时， x的取值范围是 或 故
④不正确.
故答案为： ①②③.
14．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大。
【答案】150
【解析】设宾馆客房租金每间日租金提高x个10元，
将有6x间客房空出，客房租金总收入为y，
由题意可得：
y=(100+10x)(120-6x)(10≤x≤ 50且x是整数)，
=60(-x2+10x+200)
=-60(x-5)2+13500
当x=5时，ymax=13500，
因此每间租金100+10×5=150元时，客房租金总收入最高，日租金13500元.
故答案为：150.
15．当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
【答案】或
【解析】二次函数，
该函数的对称轴是直线，
①当时，即，，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
②当时，即，
最大值与最小值的差为3，
，
即，
解得；
故答案为：或.
16．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵二次函数的图象过点，点
∴
∴A（2，c），B（-2，16+c），
∵二次函数的图象过点．且，
∴，
∵对称轴是直线，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵二次函数的开口向上，
∴或．
故答案为：或．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求二次函数的解析式；
（2）若，当时，的最小值为，求的值；
（3）已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴与轴的交点坐标为，
∵的图象经过点
∴抛物线的对称轴为直线
∴
∵
∴，
∴二次函数的解析式为，
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵，当时，的最小值为，
∴当时，，
解得：，
（3）解：a的取值范围为或．
【解析】（3）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴关于对称轴对称的点为，
∵，
∴，
当时，二次函数图象开口向上，
若对于，总有，
∴，
解得：，
∴的取值范围为，
当时，二次函数图象开口向下，
若对于，总有，
∴或，
解得：或，
∴的取值范围为，
综上所述，a的取值范围为或．
18．已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
【答案】（1）解：把代入得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴ 抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，
∴在中，且当时，二次函数有的最小值，
最小值为：；
（3）解：当对称轴在范围内时，，即，由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
19．设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… 0 1 2 …
… 1 1 …
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）求的最大值．
【答案】（1）解：若时，把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由表可知，抛物线经过两点，
∴当或时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，即，
∴
∵当时，有最小值为，
①当时，
∵，
∴时，有最小值为，
∴，解得：；
②当时，则，函数y取得最小值，
∴，解得：；
综上，的值为或．
（3）解：∵和时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴是顶点，
∵，
，
∴二次函数为，
∴，
，
∴，
∵，
，
∴的最大值为．
20．已知二次函数（，，是常数，且）．
（1）若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
（2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
【答案】（1）解∶①，
，
将代入，
得，
；
②证明∶令，
，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点；
（2）解∶，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向下，抛物线上的点离对称轴直线距离越远其函数值就越小，
点和在抛物线上，对称轴为直线，，
，
解得，
的取值范围为．
21．已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
【答案】（1）解：当时，∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
22．已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数，，
∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为，
∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1，
∴，
∴；
（2）解：①点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值为；
②∵，
∴，
∴，
整理可得：，
∵时，始终有，
∴的值不会随的变化而变化，
∴．
23．已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
24．如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离．
【探索】
①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则 ▲ ．（用含的代数式表示）
②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则 ▲ ．
【应用】
如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值．
【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？
【答案】【探索】：①；
②；
【应用】：
∵草坪倾斜角为，
∴解析式为：，
设N横坐标为a，
则，
当时，最大，；
∵，
∴此时最大，；
【拓展】：
∵圆弧与y轴相切，
∴圆心在x轴上，记圆心为Q，过Q作交圆弧于N，交于T，过N作x轴垂线交于M，
此时最大，即最大，，
则，
则．
【解析】【探索】：
①由题意得：；
故答案为：；
②设直线l和x轴的夹角为，
由直线l的表达式知：，则，
即，
故答案为：；
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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第1关 二次函数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线（且都是常数）经过点，且对于符合，的任意实数，其对应的函数值始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
（第2题） （第4题）
3．二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．无论取何值，都有
4．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知二次函数．当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数（为常数，），当时，，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
7．已知：二次函数的图象上有三点的坐标分别为，，．若在，，这三个实数中，有且只有两个是正数，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
8．已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①② B．①④ C．①③ D．③④
9．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（ ）
A． B． C．4 D．
10．已知二次函数的图象上有两点和 (其中)，则( )
A．若，当时，
B．若，当时，
C．若，当时，
D．若，当时，
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
12．已知两个不同的点，都在二次函数．的图象上，则代数式的值为 ．
13．二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示：
-1 0 1 2
下列说法正确的是 ．（填写序号）
①抛物线的对称轴为直线 ；②函数图象开口向上；③当 时， 随 的增大而增大；④当 时， 的取值范围是 ．
14．某宾馆有 120 间标准房，当标准房价格为 100 元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在 元之间（含 100 元， 150 元）浮动时，每提高 10 元，日均入住数减少 6 间。如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大。
15．当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，则 ．
16．在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数 （，为常数，且）的图象经过点．
（1）若，求二次函数的解析式；
（2）若，当时，的最小值为，求的值；
（3）已知是该二次函数图象上的两点．若对于，总有，请直接写出的取值范围．
18．已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
19．设二次函数（，、是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
… 0 1 2 …
… 1 1 …
（1）若时，求二次函数的表达式；
（2）当时，有最小值为，求的值；
（3）求的最大值．
20．已知二次函数（，，是常数，且）．
（1）若，函数图象过点．
①用含的代数式表达；
②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点．
（2）若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围．
21．已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
22．已知二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大1．
（1）求的值．
（2）已知点在二次函数的图象上，点在二次函数的图象上．
①若，求的最大值．
②若，且时，始终有，求的值．
23．已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
24．如图1，过点作直线于点，过点作轴交直线于点．线段的长度称为点到直线的竖直距离．
【探索】
①如图1，设点的坐标为，则点到直线的竖直距离即为的长度，则 ▲ ．（用含的代数式表示）
②当直线与轴不平行时，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，若此时直线，则 ▲ ．
【应用】
如图2，公园有一斜坡草坪（可看作线段），其倾斜角为，用喷水枪喷水的路径可看作抛物线，其最远处落在草坪的处．若在山上种一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，树的最高点不能超过喷水路线，同时为了加固树，沿斜坡垂直方向加一根支架，请求出支架的最大值．
【拓展】
如图3，原有斜坡倾斜角不变，通过改造喷水枪使喷水路径可看作圆弧，此时，圆弧与轴相切于点，若，为了保证灌溉山上种植的这棵树（垂直于水平面），即树的最高点不能超过喷水路线，请问树高的最大值是多少？
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