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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第4关 解直角三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知是的直径，弦，是上一点，连接交于点，连接．若的半径为，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，记的面积为，三个正方形的面积和为，过点C作于点M，连接交于点N，设，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，点E，F分别在， 上（不与顶点重合），且，在上取一点G，连结、，若，，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，中，，．分别以三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与面积比为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时， ．
12．如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ．
13．如图，正方形的边长为10，绕点C顺时针旋转至，旋转角为，连接并延长，交的平分线于点F，连接．当，的值为 ．
（第13题） （第14题） （第15题）
14．如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示）
15．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为 .
16．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
18．在正方形ABCD 中，M 是边AB 的中点，点 E 在线段AM上(不与点A 重合)，点 F在边BC上，且.AE=2BF，连结EF，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH.
（1）如图①，若AB=4，当点 E 与点M 重合时，求正方形 EFGH 的面积.
（2）如图②，直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH 与射线AD 交于点K.
①求证：EK=2EH.
②设 和四边形AEHI的面积分别为 求证：
19．如图1，在等腰Rt中，为AC的中点，为边BC上一点，连结AE，过点作于点经过点，交射线BG于点，连结CF.
（1）求证：.
（2）连结DF，CG，如图2，若.
①求DF的长.
②记BF交AC于点，求的值.
（3）当时（点D，G不重合），求的值.
20．已知内接于，为的内心，延长交于点，交于点．连结，，．
（1）若求的度数；
（2）设四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知求的值．
21．如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
22．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F.
（1）求证：DO∥AC；
（2）若，
①求的值；
②求的值.
23．如图1，在等腰直角三角形中，，D为边上的动点，连结，过点A作的垂线，交的外接圆于点E．
（1）求证：．
（2）如图2，作直径，交于点G，连结．
①若四边形中的一组对边比为，求的长．
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
24．如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．
（1）如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．
（2）在（1）的条件下，若，，求的半径．
（3）如图①，连结，若，，求的值．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第4关 解直角三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知是的直径，弦，是上一点，连接交于点，连接．若的半径为，，，则的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接交于点，则，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，连接．设，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点E作EP⊥AD于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵PE⊥AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴PE//CD//AB，
∴∠PED=∠CDE=β，∠BAE=∠AEP=90°.
大正方形是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一小正方形拼成，，，
∴，，
∵，
∴，
设，
则，
∴，.
∴.
∴，
∴.
∴.
故答案为：C．
3．如图，在四边形中，，．记，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点作于，作的角平分线交于，过点作于，则，
∵，，，
∴，，，
∵平分，
∴，
设，，
∵，
∴，∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
在中，，
∴，
∴，，
当时，，
∴不合，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
4．如图，在中，，，，点为的中点，线段的垂直平分线交边于点．设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴ ∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点Q作于N，连接Q、B、F，
四边形、四边形是正方形，，，
，
点Q、B、F三点共线，
，
、都是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，，（），
，，，，
设，则，
，，
，
在和中，，（），
，，，
在和中，，（），
，，
在中，，
在中，，
，
，
．
故选：B．
6．如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，记的面积为，三个正方形的面积和为，过点C作于点M，连接交于点N，设，，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设与交于点P，在中，，在中，，
∴，
∵，，∴ ，∵，∴四边形为矩形，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，，∴，
∵，∴ ，
∴，
∴（负值已舍），∴，即，
∴，
∵为直角三角形，∴，∴，
∴，
故答案为：D．
7．如图，在中，，分别以、为边向外作正方形、，连结并延长交于点H，连结．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AF，过点H作HP⊥AF于点P，如图：
∵ 正方形、中，AD和AF为对角线，
∴∠DAB=∠CAF=45°=∠HFP.
∵∠DAB+∠BAC+∠CAF+∠α=180°.
∴∠BAC+∠α=90°.
∵ 在中，，
∴∠BAC+∠BCA=90°.∴∠α=∠BCA.
∵，
设CF=x，，∴HF=kx，
∵.
.
∴
∴.
故答案为：D.
8．如图，在正方形中，点E，F分别在， 上（不与顶点重合），且，在上取一点G，连结、，若，，则为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】如图，延长交于点H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，，
∵，∴，
∴设，，则，，
∴，，
∴，∵，
∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
9．如图，中，，．分别以三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与面积比为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵、、是等腰直角三角形，
∴，，
∵，∴，
∴四点共圆，
∵，∴，
∴，
∴，，∴，，
∴到的距离相等，到的距离相等，
∴是以为底的等高三角形，是以为底的等高三角形，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∴
=，
∵与面积比为，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，令，∴，∴，
解得：，，
∵，即，∴，∴，
∴，
故答案为：B．
10．如图，在中，，，点是的中点，将绕着点顺时针旋转至，连接，交于点，交于点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点作于点，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
在△ACD和△EHA中
∴，
∴，，
∵点是中点，∴，∴
∴，
∵，，∴，且，
∴，
在△EHF和△BCF中∴，
∴，
∴，
∴设，则，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：D ．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，正方形的边长为，线段绕着点逆时针方向旋转，且，连接，以为边作正方形，为边上的点，且，当线段的长最小时， ．
【答案】
【解析】连接，
正方形的边长为，正方形，
，，，
，，
，
，，
，
，
点在以点为圆心，以为半径的圆上，
当点、、三点一线时，的长最小，
过点作，
，正方形的边长为，
，，
，
．
故答案为：．
12．如图，已知点，点B为直线上的一动点，点，于点C，连接．若直线与x轴正半轴所夹的锐角为α，那么当的值最大时，n的值为 ．
【答案】
【解析】过点A作轴于点M，作交于点N，
∵直线与x轴平行，∴，
当的值最大时，则值最大，
故最小，即最大时，最大，
即当最大时，的值最大，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，∴，
∵，∴当时，m取得最大值，
故，
故答案为：．
13．如图，正方形的边长为10，绕点C顺时针旋转至，旋转角为，连接并延长，交的平分线于点F，连接．当，的值为 ．
【答案】
【解析】如图：作于M，作于N，作于P，
在中，
设，则，即，解得：
∴
∵
∴
∴
∵CD=CE，CM⊥DE
∴
∴
在和中∴
∴
∵ ∴
∵平分，
∴，
∴，
∴
∵CM⊥FM ∴为等腰直角三角形
∴∠AFN=90°-∠CDM=45°
∴为等腰直角三角形
∴
故答案为：．
14．如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为 ．（用含x的代数式表示）
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，∴，∴.
∵，∴.
∴.
∵，∴，∴，
，
由题意得：，
，，
，，
，，
，，
，
故答案为：
15．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为 .
【答案】（ ）
【解析】∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC
∴∠OBC＝45°，
如图，
过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，
∴∠COB＝∠MGB＝90°∴∠CBO+∠MBG＝90°
∴∠MBG＝45°
∴MG＝BG∴△OCB∽△GBM
∴ ＝
∵tan∠DCB＝ ＝3 ∴
∴BG＝6 ∴MG＝6
∴M（8，6）
设直线CM解析式为y＝kx+b，
把C（0，2），M（8，6）代入，
解得k＝ ，b＝2
所以直线CM的解析式为y＝ +2
联立 解得 ，
∴D（ ）
故答案为：（ ）.
16．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
【答案】；（52 ﹣78）
【解析】如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝
AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝
QB＝10
cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝
FM＝18
（cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18
cm，
∴PM＝2PF＝36
cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36
﹣10
＝26
（cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10
cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10
）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝
xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+
x）cm，
∴tan15°＝
，
∴tan15°＝
＝2+
，
∴P′F＝（2+
）（54+10
）＝（78﹣34
）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18
﹣（78﹣34
）＝（52
﹣78）cm.
故答案为：18
；（52
﹣78）cm.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）．
素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）．
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变．
【任务1】如图2，求，的长．
【任务2】如图3，求劣弧的弓高．
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）．
【答案】解：【任务1】如图，
由题意得，
∴
∴
设 则
∴
∴
【任务2】如图，取BD的中点O，连接OF交CD于点E， 则
∴BD为直径，∴点O为圆心，
∴OE是 的中位线，
∴
∴
∴弧CD的弓高
【任务3】如图，连接 交CD于点G，作 于点H，
由题意得，此时 与太阳光线平行，则
∴
∴
∴点G为CD的中点，
∴
∴，
∴
，
∴点. 到CD的距离为
即遮阳篷点D上升高度的最小值为
18．在正方形ABCD 中，M 是边AB 的中点，点 E 在线段AM上(不与点A 重合)，点 F在边BC上，且.AE=2BF，连结EF，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH.
（1）如图①，若AB=4，当点 E 与点M 重合时，求正方形 EFGH 的面积.
（2）如图②，直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH 与射线AD 交于点K.
①求证：EK=2EH.
②设 和四边形AEHI的面积分别为 求证：
【答案】（1）解：∵ M 是边AB 的中点，点 E与点M 重合，
∵AE=2BF，∴ BF=1.
∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴ 在 Rt△EBF 中，.
（2）解：①∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴∠A=∠B=90°.
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴∠KEF=90°，EH=EF.
90°-∠AEK.
∴∠K=∠BEF.
∴△AKE∽△BEF.
∵AE=2BF，
∴ EK=2FE.
∴EK=2EH.
②∵ 四边形ABCD 是正方形，
∴AD∥BC.
∴∠KIH=∠FJG.
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴ ∠KHI = ∠EHG =∠HGF =∠FGJ=90°，EH=FG.
∵KE=2EH，
∴EH=KH=FG.
在△KHI 和△FGJ 中，
∴△KHI≌△FGJ.
∵∠K=∠K，∠A=∠IHK=90°，
∴△KAE∽△KHI.
在 Rt△AKE 中，
19．如图1，在等腰Rt中，为AC的中点，为边BC上一点，连结AE，过点作于点经过点，交射线BG于点，连结CF.
（1）求证：.
（2）连结DF，CG，如图2，若.
①求DF的长.
②记BF交AC于点，求的值.
（3）当时（点D，G不重合），求的值.
【答案】（1）证明：经过点
（2）解： ① 如图所示，连接
，即是的直径
Rt中、
是等腰直角三角形，且
，即也是的直径
中，
是中点
②是直径
矩形是正方形
∴ ∴
∵ ∴
又中，
中，
中，即
，即
∴
（3）解：如图所示，延长交于点H，连接，则
∴
设，则，
则在中，
即 ：
解得：
当时，，故应舍去，所以
∴
20．已知内接于，为的内心，延长交于点，交于点．连结，，．
（1）若求的度数；
（2）设四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知求的值．
【答案】（1）解：∵
∴
又∵为的内心，，
∴
（2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴
∴
∴
∴；
②解：如图所示，过点作于点，
∵是的内心
∴，
设
又∵
∴
∴，
∴
∴，则
∴
又∵
∴
∴，
∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
由①可得
又．
∴．
21．如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
【答案】（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
22．如图，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F.
（1）求证：DO∥AC；
（2）若，
①求的值；
②求的值.
【答案】（1）证明：∵点D是BC弧中点，OD是圆的半径，
∴OD⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC//OD.
（2）解：①连接BD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=90°，
∵ D是弧BC的中点 ，
∴弧CD=弧BD，
∴∠CAD=∠CBD=∠DAB，
∴=tan∠CBD==tan∠DAB=
∴；
②∵，
∴
∵∠CAD=∠DCB，∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
设DE=a，则CD=2a，AD=4a，
∴AE=3a，，
∵AC∥OD，
∴△ACE∽△DFE，
∴
设EF=k，则CE=3k，CF=CE+EF=4k，
∵D是弧BC的中点，
∴BC=2CF=8K，
∵，
∴AC=6k，
∴AB=10k，
∴sin∠CDA=sin∠B==.
23．如图1，在等腰直角三角形中，，D为边上的动点，连结，过点A作的垂线，交的外接圆于点E．
（1）求证：．
（2）如图2，作直径，交于点G，连结．
①若四边形中的一组对边比为，求的长．
②记的面积为，的面积为，当时，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
为的直径，
；
，
；
，
，
，
（2）解：①为等腰直角三角形，且，
；
四边形是圆内接四边形，
，
为直径，，
，；
分两种情况考虑：
当时；则，
，，
，
即；
在中，由勾股定理得：，，
即，
解得：或（舍去）；
当时，则；
，
，
，
即；
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去）；
综上，或；
②如图，连接，过点作于，则
四边形是正方形
∵
∴
设，则；
中
中：
即
答：的值为或；的值为
24．如图①，是的外接圆，，以为边作菱形，点B，E在直线的同侧，与交于点M，连结交于N，交于T．
（1）如图②，若点E在上，与交于点F，连结，求证．
（2）在（1）的条件下，若，，求的半径．
（3）如图①，连结，若，，求的值．
【答案】（1）证明：菱形，
，，
．
，
．
（2）解：如图①，连结，，连结并延长交于，
，
为的直径．
，，
，
，，
，
．
设的半径为，则，
解得：．
（3）解：如图②，连结，，过B作于K，设，
，．
，
．
同理可得：，
．
，
．
，
，
．
同理．
为直径，
，
而．
，
，．
设，则，设，则．
，
，①
延长交的延长线于点，则，
在中，，，，则，
即，②
由①得：，③
由②得：，④
得：，代入③得：，
．
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