中小学教育资源及组卷应用平台
期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第2关 圆的基本性质
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题）
2．小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 ， ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，是的直径，作，，，交于点G，连接，若，的半径为2，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
5．如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E.记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
7．如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是的直径，点在上，，，为上任意一点，连接，，，若与的一边相等，则的长为 ．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
12．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
13．如图，四边形 内接于 ，则 的半径长为 .
14．如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ．
15．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ．
16．如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形内接于，满足，连接，，延长，于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
18．如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．
（1）求证：．
（2）如图2，若点为的中点，求证：．
（3）在（2）的条件下，的面积为2，求的长．
19．如图 1， 是 的直径，点 在 上，作 ，垂足为 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连结 。
（1）判断 的形状，并说明理由。
（2）若 ，求 和 的长。
（3）如图 2，若 是 中点，求 的正弦值。
20．如图，在等腰中，以底边为直径作，分别交边、于点、，点在直径下方的圆弧上，连结，，过点作交的延长线于点，已知．
（1）证明：；
（2）当，时，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
21．四边形内接于，为直径，连结，过A作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点，连结，且；
①求证：；
②若，，求的长．
22．如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②当时，求的值．
23．如图，在正方形中，点分别在边上，，连接交于点，过点的圆交于点，连接交于点．
（1）证明：．
（2）证明：．
（3）当时，求的值．
24．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且.
（1）求证：.
（2）若的半径为4，，求的长.
（3）设.
①若点为中点，求.
②若，求与的函数表达式.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
期末压轴冲刺大挑战浙教版九年级上数学第2关 圆的基本性质
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，内接于，，它的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵四边形内接于，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，圆内接四边形对角互补，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
2．小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图 1 所示，于是他手绘了如图 2 所示的图形。图 2 中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形。若 ， ，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设小正六边形的边长为x，则BC=3+x，
∵∠BCD是小正六边形的外角，
∴∠BCD=60°，
将△BCD作简化图如下，
过D作DF⊥BC于点F，
在Rt△CDF中，，
，∴，
在Rt△BDF中，DF2+BF2=BD2，∴，
整理得x2+3x-40=0，
解得x1=5，x2=-8(舍)，∴小正六边形得边长为5，
∵小正六边形与圆内接正六边形是相似图形，∴相似比为5：7，
∴面积比为25：49，
故答案为：D.
3．如图，在矩形中，，是边上的一点，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是弧的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点作于点，连接、，如图，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
∴
为弧的中点，
，，，
在中，，
∴
在中，，
，
设，，则，
在和中，
，
解得，
，，，
，．
故答案为：B.
4．如图，四边形内接于，是的直径，作，，，交于点G，连接，若，的半径为2，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵四边形内接于，是的直径，∴，
∵，，∴，，
∴，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，的半径为2，
在中，，，
∴，
∵，∴，
故答案为：C．
5．如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】连结，
是的半径，弦，，
，
，，
，，，
，，，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
6．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E.记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【答案】D
【解析】因为AB固定，
所以∠AEB固定，定弦定角，
故x不随C、D运动而变化；
∵CD为定长1，∠DEC为定角60°，
∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，
此时E在圆O′上运动，如图，
由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化，
即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化.
故答案为：D.
7．如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点作于点，作于点，过点作于点F，
又，四边形是矩形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
8．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 如图，连接AC，CM，BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AMC=90°，
∵该圆的半径为5，
∴AC=10，
∵点M是 的中点 ，
∴弧AM=弧CM，
∴AM=CM，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，
∴∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，
设AB为x，BC=y，且x＞y，
则，
解得或(舍去)，
即，
∵MN⊥AB，且∠ABM=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∴AN=AB-BN=-MN，
∵AN2+MN2=AM2，
∴，
解得MN=或MN=（舍去）.
故答案为：A.
9．如图，在矩形中，，若点E在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取中点记为点，连接，取中点为，连接，连接，作，且使得，则，∴，
∴，∴，，
∴，∴，
∴，
∴由①+②得：，
当且仅当点三点共线时，取得最小值，
∴此时，即点共圆时，取得最小值，
过点作于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在等腰中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
∵，
∴
∴，
∴，
由对称性可知：当点在右侧时，此时，如图：
则，
故答案为：D
10．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，∵G是BE的中点，∴，
∴，∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，是的直径，点在上，，，为上任意一点，连接，，，若与的一边相等，则的长为 ．
【答案】或或
【解析】①当时，则：，
∴，∴，
∵为直径，∴，
∴，
过点作，则：，
∴，即：，∴，
∴，
在中，，
∴，∴，∴；
②当时，连接，取的中点，连接，则：，，
∴三点共线，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，则：为等腰直角三角形，
∴，
连接，交于点，由②知，
∵，，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
在中，，即：，
解得：或（舍去），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或或；
故答案为：或或．
12．如图，经过的直角顶点，交于点，交于点，交于点，且满足，则的半径为 ．
【答案】
【解析】如图，过点O作于点M，于点N，于点P，连接，
∵，
∴，，
∴小是的内切圆，
∵于点N，于点P，
∴∠ONC=∠OPC=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠ONC=∠OPC=∠C=90°，
∵四边形是正方形，
∴，，，是等腰直角三角形，
∵PG=MD，NF=ME，
∴，，
即，，
设，
∵，
∴，，
∴BC=BF+FC=x+，，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴的半径为，
故答案为：．
13．如图，四边形 内接于 ，则 的半径长为 .
【答案】
【解析】过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接AF，如图所示：
则∠ACE=90°
∵∠BAC =45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，AC=EC，∠E=45°，
∴∠CAD=∠E =45°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=∠CBE，
在△CAD和△CBE中，∠D=∠CBE，∠CAD=∠E，AC =EC，
∴△CAD≌△CBE(AAS)，
∴AD=BE.
∵AB+AD =6，
∴AE=AB+BE=AB+AD=6，
在Rt△ACE中，AC =EC，
由勾股定理得：AE=，∴AC=AE=×6=，
∵CF是圆O的直径，∴∠CAF =90°，
在Rt△CAF中，∠F=∠ABC=60°，∴∠ACF=30°，∴AF=CF，
由勾股定理得：CF2-AF2=AC2，即CF2-（CF）2=（）2，
解得CF=2
∴圆O的半径长为。
故答案为：。
14．如图，以弦为直角边作等腰直角，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，设交于点，
设，
∵是等腰直角三角形，垂直平分，则，
∴
∴当且为直径时，面积的最大值为
故答案为：．
15．如图，将沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，且与弦相交于点，，连结．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】解∶如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，OB，BH，
∵将沿弦AB折叠后，圆弧恰好经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
过B作于E，
∴，，
∴，
∴，
又，，
∴，
在中，，
∴，
∴(负值舍去)，
∴，
故答案为∶．
16．如图，内接于，，，点E为中点，连结，点F为线段上一点且满足，若，则 ．
【答案】
【解析】如图，延长至点，过点作，连接、．
∵内接于，，
∴是的直径，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，点E为中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，即
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，四边形内接于，满足，连接，，延长，于点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴
∴；
（2）解：∵四边形内接于，
∴
∵
∴
又∵
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于点H
∵
∴
∴
∴
∴
同理可证，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
由（2）得，
∴
∴
∴．
18．如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，．
（1）求证：．
（2）如图2，若点为的中点，求证：．
（3）在（2）的条件下，的面积为2，求的长．
【答案】（1）解：，， ，
， ，
∵，
，
．
（2）证明：∵，，∴，
∴，∴，
∵，∴，，
∵点为的中点，∴，
∴，∴，
又∵，，
∴；
（3）解：如图，连接 ，作，
，
，
∴，
，
又，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
解得：（舍去），
，
设，
在 中，
．
，
，
解得（舍去），
的长为 ．
19．如图 1， 是 的直径，点 在 上，作 ，垂足为 的平分线交 于点 ，交 于点 ，连结 。
（1）判断 的形状，并说明理由。
（2）若 ，求 和 的长。
（3）如图 2，若 是 中点，求 的正弦值。
【答案】（1）解： 是等腰三角形．理由如下：
平分 ．
而 ．
是直径， ．
是等腰三角形
（2）解：作 ，垂足为 ．
．
．
，即 ．
．
连结 ．
而 ．
，即
（3）解：取 的中点 ，
连结 ．
则 ．
设 ，则 ．
．
，
（另解： ．
和 面积相等， 和 的面积比为 1： 2 ，故
不妨令 ，则
设 ，则 ．
，解之得： ．
20．如图，在等腰中，以底边为直径作，分别交边、于点、，点在直径下方的圆弧上，连结，，过点作交的延长线于点，已知．
（1）证明：；
（2）当，时，求的值；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：连结，∵是直径，∴，
∵，∴，∴，
又，，∴，
∴；
（2）解：如图，延长交延长线于点，过点A作，垂足为H.
四边形BDCF是圆内接四边形
∵为的直径，∴
∵∴∴
四边形AGFH是矩形
∵
∴
设BD=4x，则AB=MB=5x，由勾股定理知，
、
∴；
（3）解：由（2）可得，
∵，
∴
∴在中，
∴
∴．
21．四边形内接于，为直径，连结，过A作于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点，连结，且；
①求证：；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵为直径，于点H，∴，
∴，，
∵，∴．
（2）①证明：∵是的直径，
∴，即
∵，∴，
∴．
②解：∵ ∴
∴
∵ ∴
∵ ∴
∴
∵ ∴
∵
∴ ∴
∵ ∴
∴
∴．
22．如图，等腰内接于，．D为上一点，连结交于点E，连结并延长交延长线于点F．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②当时，求的值．
【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①过点A作于G，则，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴；
②延长交于点H，连接，
由①知，，，
∴过点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴．
23．如图，在正方形中，点分别在边上，，连接交于点，过点的圆交于点，连接交于点．
（1）证明：．
（2）证明：．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是圆的内接四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图所示，过点K作交AB于点G.
∴
；
（3）解：如图，延长交于点，作于点.
四边形是正方形
四边形是矩形
∴
，
，
设，则
是圆的直径
，即
，
，
．
24．如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且.
（1）求证：.
（2）若的半径为4，，求的长.
（3）设.
①若点为中点，求.
②若，求与的函数表达式.
【答案】（1）证明：连接 ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①连接 ，
∵点 为 中点， 与 互相垂直，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，由对称性知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②连接 交 于 ，设 ，则 ，设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
即 .
【解析】【分析】（1）连接DF、AF，由圆周角定理可得∠CDF=90°，由垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥DF，由平行线的性质可得∠BAF=∠AFD，据此证明；
（2）连接BF、AC，由圆周角定理可得∠CAF=90°，根据弧、弦的关系可得AC=AF=，则∠CFA=∠ACF=45°，进而推出∠B=∠AFC，证明△ABF∽△AFG，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）①连接AD，则∠CAG=∠CGA=∠BGF=∠BFG，推出BG=BF，由弧、弦的关系可得AD=BF，则BG=BF=AD，易得AD=AE，则BG=AE，据此求解；
②连接AO交CE于点P，设AE=1，则BG=x，设EG=t，易证△OCP≌△AGO，得到CP=AG=t+1，由①知CE=EB=t+x，则PE=x-1，然后根据相似三角形的性质可表示出t，然后根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
