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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第3关 代数式
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．借助符号，数学语言变得简洁明了。例如可用代数式 来表示“”。观察其中的规律，将 “化简后得 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知， =+-=+，
故答案为：D.
2．已知甲、乙码头相距s( km)，某船在静水中的速度为a( km/h)，水流速度为b( km/h)(a>b)，则该船一次往返两个码头所需的时间为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得，顺流所用的时间为h，逆流所用的时间为h，
∴该船往返两个码头所需的时间为（+）h，
故答案为：D.
3．如图：圆，三角形，正方形三个图形的面积相等，重叠部分面积分别记为和，不重叠部分面积分别记为，，，，若，则，，，之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵S1+a=S3+S4+a+b，S3+S4+a+b=S2+b，
∴S1-S3-S4=b，S2-S3-S4=a。
∵3a=2b，
∴3（S2-S3-S4）=2（S1-S3-S4），
∴2S1+S4=3S2-S3.
故正确答案选：B.
4．如果4个不同的正整数m，n，p，q满足（7-m）（7-n）（7-p）（7-q）=4，那么m+n+p+q 等于（ ）.
A．10 B．21 C．24 D．26 E．28
【答案】E
【解析】∵m，n，p，q为四个不同的正整数
∴（7-m），（7-n），（7-p），（7-q）的值也为不同的整数
∵4=2×(-2)×1×(-1)
∴令7-m=2，7-n=-2，7-p=1，7-q=-1
解得：m=5，n=9，p=6，q=8
∴m+n+p+q=5+9+6+8=28
故答案为：E
5．将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（ ）
A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和
C．乙的面积与丙的面积和 D．的值
【答案】C
【解析】由题意得，甲的长和宽为：，，
乙的长和宽为：，，
丙的长和宽为：，，
∴甲的周长为：，
乙的周长为：，
丙的周长为：，
的周长为：，
的周长为：，
乙的面积为：，
丙的面积为：，
∴乙的周长与丙的周长和为：，
的周长与的周长和为：，
乙的面积与丙的面积和为：
，
∵甲的周长为，
∴只要确定了的值，就能求出甲的周长，
由上可知，已知选项的值，均能确定的值，已知选项的值，不能确定的值，
∴不能求出甲的周长的是，
故答案为：C．
6．已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（ ）
A． B．7 C．7.5 D．8
【答案】B
【解析】设正方形甲的边长为x，长方形乙的长为a，宽为b，，
∵正方形甲和长方形乙的周长相等，
∴，
阴影部分①的周长，
阴影部分②的周长，
∴
n=阴影③的周长+阴影④的周长，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴正方形甲的边长为7．
故选：B．
【分析】
分别设正方形甲的边长为x，长方形乙的长为a，宽为b，， 则由题意知，则阴影①的周长为，阴影 ②的周长为，则由整式的加减运算可得、，再由可得，即 正方形甲的边长为7 ．
7．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如，
．若，则常数a，b的值分别是（ ）
A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴时，，化简得：
∴，
故答案为：B．
8．如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为 、 、 ，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为（ ）
A．a+b B． C． D．
【答案】D
【解析】设重叠部分的小长方形的长与宽分别为 ，
如图，在图上依次表示阴影部分的各边的长，
所以右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为：
.
故答案为：D.
9．当分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2009
【答案】C
【解析】 ，
即当x分别取值，n（n为正整数）时，计算所得的代数的值之和为0，
而当x=1时，，
故当分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，
计算所得各代数式的值之和为0．
故答案为： C．
10．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①，②，③，若要求两个阴影部分的周长差，只要知道下列哪两条线段的差的绝对值 （ ）
A．|AB-CD| B．|CD-EF| C．|DE-CD| D．|DE-EF|
【答案】B
【解析】如图：
设小正方形①，②，③的边长分别是a，b，c，
∵PN=a-CD，BN=b-BC，
∴长方形 PABN 的周长
C1=2PN+2BN=2a-2CD+2b-2BC.
∵PQ=a+（b-BC）=HR，
∴HG=a+b-BC-c.
∵MH=c-EF，
∴长方形 MSGH 的周长
C2=2HG+2MH=2a+2b-2BC-2c+2c-2EF
=2a+2b-2BC--2EF，
∴|C1-C2|=|（2a+2b-2BC-2EF）-（2a-2CD
+2b-2BC）|
=|2CD-2EF|
=2|CD-EF|，
∴只要知道|CD-EF|，即可求出两个阴影部分的周长差.
故选B.
故答案为：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵且为非零整数
∴，
要使得最小，则都为最小值，
∴
∵，且最小，则
∵
∴
∵，为整数，且最小，则都为负数，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是 （用含的代数式表达）．
【答案】
【解析】根据题意可得，图1，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图2，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
图3，竖式中第一行：中的是中的平方，中的是中的平方；第二行：是中；
∴图4中，第二行的这个两位数可表示为：，这个数是某个乘方数中十位上的数字与个位上的数字之积的倍，
∴这个两位数的十位上的数字与个位上的数字之积为：，
∵这个两位数的十位数字为，
∴这个两位数的个位数字为，
∴这个两位数是，
故答案为：．
13．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
（2） （m，n）是“相伴数对”，则代数式m-[n+（6-12n-15m）]的值为 ．
【答案】（1）
（2）-3
【解析】（1）∵（m，1）是“相伴数对”，
∴
解得：
故答案为：；
（2）∵（m，n）是相伴数对，
∴，
即：
∵
∴原式=
故答案为：-3.
14．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4=90，其中d>1，则a+b+c+d的最大值是 ．
【答案】70
【解析】依题可得：
要使a+b+c+d最大，则d4、c3、b2都最小，a最大即可，
∵ d>1，
∴d=2，
∴a+b2+c3+16=90，
∴c=1，b=3，a=64，
∴（a+b+c+d）max=64+3+1+2=70.
故答案为：70.
15．对于一个三位数，若其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数为“首尾数”．例如：数142，因为，所以142是“首尾数”，数264，因为，所以264不是“首尾数”，则最小的“首尾数”为 ；若“首尾数”的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为一个整数的平方，则满足条件的的最大值为 ．
【答案】120；692
【解析】∵其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数N为“首尾数”．
∴最小的“首尾数”百位上是1，个位上是0，
∴十位上是2，
∴最小的“首尾数”是120，
设三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
则，
∴，
∴，
∵为一个整数的平方，
∴为一个整数的平方，
∵N要最大，
∴，
∴为一个整数的平方，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵N要最大，
∴，
∴，，
∴N的最大值为：692．
故答案为：120，692．
16．若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ．
（2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ．
【答案】1452或2541；6952
【解析】（1）假设这个四位数为，
则有，
因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，
所以，或，，
因为，，
所以当，时，，，这个数是1452；
当，时，，，这个数是2541；
故答案为：1452或2541；
（2）设P的千位为a，个位为b，百位为，十位为，
，
Q，
因为Q除以9后余数为2，
所以除以9后余数为2，
因为四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，
所以，，所以，
所以，所以，
因为Q取得最大值，
所以，，所以，，
因此这个数为6952．
故答案为：6952．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图题2023年11月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数为，数字之和为.
（1） （用含式子表示）， （用含式子表示）；
（2）的值能否为69，若能求，的值，若不能说明理由；
（3）若，则的最大值为 .
【答案】（1）；
（2）解：由题意得：
又的正整数，的正整数
，或，
（3）234
【解析】（1）由题意可知，“型”覆盖的五个数字左上角的数为，
则其余各数为，
∴；
“十字型”覆盖的五个数字中间数为，
则其余各数为，
∴．
故答案为：；；
（3）∵，
∴，
整理可得，
又∵的正整数，的正整数，
∴当，时，的值最大，
此时．
故答案为：234．
18．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数 M 分解成 的过程，称为“合分解”.
例如：∵609=21×29，21 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609 是“合和数”.
又如：∵234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234 不是“合和数”.
（1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由.
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令 当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的 M.
【答案】（1）解：168不是“合和数”，理由如下：
分解为两个两位数相乘，（十位不同）、（不是两位数 ），所有两位数分解中，无十位相同且个位和为的情况，故不是“合和数”.
621是“合和数”，理由如下：
，与十位均为，个位，符合“合和数”定义，故是“合和数”.
（2）解：设A 的十位数字为m，个位数字为n(m，n为自然数，且3≤m≤9，1≤n≤9)，则A=10m+n，B=10m+10-n，∴P(M)=m+n+m+10-n=2m+10，Q(M)=|(m+n)-(m+10-n)|=|2n-10|，
∴
当G(M)能被4 整除时，设 (k是整数).
∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14.
∵k是整数，∴m+5=8或m+5=12.
①当m+5=8时， 或 ∴M=36×34=1224或M=37×33=1221.
②当m+5=12时， 或 ∴M=76×74=5624或M=78×72=5616.
综上，所有满足条件的M 为1224，1221，5624，5616.
19．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”．
（1）数对，其中是“和谐有理数对”的是_________；
（2）若是“和谐有理数对”，求的值；
（3）若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由．
【答案】（1）
（2）解：是“和谐有理数对”，
，
，
，
，
；
（3）解：是，理由如下：
，是和谐有理数对，
，
当，时，
，，
是“和谐有理数对”，
【解析】（1）解：当，时，
，，
，
是“和谐有理数对”；
当，时，
，
不是“和谐有理数对”；
当，时，
，
是“和谐有理数对”；
故答案为：．
20．【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
【答案】解： 【模型探究】 （1）7（2）（3）
【问题解决】 476
【问题拓展】 从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
【解析】 【模型探究】
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：.
【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）.
21．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
【答案】（1），
（2）解：设两个正方形纸片的边长分别为，由题意得：，，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，．
（3）
【解析】（1）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，
解得：，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
即，
当时，两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：，．
（3）解：设两个正方形纸片的边长分别为，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴两个正方形纸片的面积之和为，
故答案为：．
22．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所以3252不是一个“五颜六色数”．
（1）判断2315 “五颜六色数”，4223 “五颜六色数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”m表示成，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝．
①若＝135，试求4b﹣2c+a+d的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b2+2的所有整数解分别为x1，x2，…，xn，试求|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|的最小值．
【答案】（1）是；不是
（2）解：① 表示成 是 “五颜六色数”，
∴a+b＝5，c+d＝6，
∵
∴1000a+100b+10c+d-（1000a+100c+10b+d）＝270，
∴b-c＝3，
∴b+d＝9，
∴ 4b﹣2c+a+d=3b﹣2c+a+b+d＝11+9＝20；
②∵m'也是五颜六色数，
∴a+c＝5，b+d＝6，
∵a+b＝5，c+d＝6，
∴b＝c，
∴a＝5-b，d＝6-b，
∴（4-d+a）x＝（4-6+b+5-b）x＝3x＝b2+2，
，
∵x 是整数，
∴b＝1 或 b＝2 或 b＝4，
∴x＝1 或 x＝2 或 6，
∴|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|＝|y﹣1|+|y﹣2|+|y﹣6|，
当 y＝2 时，|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|有最小值 5
【解析】(1)2315十位与个位1+5=6，同时百位与千位2+3=5，故2315是“五颜六色数”；
4223十位与个位2+3=5 ≠ 6，百位与千位4+2=6，故4223不是“五颜六色数”.
23．数学中有很多可逆的推理，例如：
（1）若输入7时，输出 .
（2）拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则；，则.
①根据定义，填空： ▲ ； ▲ .
②若有如下运算性质 ：，根据运算性质填空，填空：若，则 ▲ ； ▲ .
③表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.
1.5 3 5 6 8 9 12 27
【答案】（1）23
（2）①1；3；②0.6020；0.6990；
③若（3），则（9）（3），
（3），
从而表中有三个对应的是错误的，与题设矛盾，
（3）；
若（5），则（2）（5），
（8）（2），
（6）（3）（2），
表中也有三个对应的是错误的，与题设矛盾，
（5），
表中只有和的对应值是错误的，应改正为：
（3）（2），
（6）（3）．
【解析】（1）当时，，
故答案为：23；
（2）①根据定义知：，
，
．
故答案为：1，3；
②根据运算性质，得：（4）（2）（2）（2），
（5）（2）．
故答案为：0.6020；0.6990；
24．定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”．
例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”．
数学理解
（1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____；
（2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值；
尝试探究
（3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由；
（4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值．
【答案】解：（1）；；
（2）整式，，为常数2的“相关整式”，
∴，
当，，时，（px+q）-（x+1）+3（-x+）=2，即（p-1-2）x+（q-1+1-2）=0，
∴x项的系数为0，即 p-1-2 =0，
解得：p=3，q=2；
（3）②成立，
理由：∵整式，为常数0的“相关整式”，
∴，
∴，∴，，
，，，，
②成立；
（4）∵整式，，为常数0的“相关整式”，
∴，
即，
，，
∴.
【解析】（1）整式，，为常数的“相关整式”，
∴，
当时，x+（3x+1）+k3（x+4）=a，
即（4+k3）x+（4 k3 +1-a）=0，
∵a为常数，∴x项的系数为0，即4+k3=0，
解得：k3=-4，
∴a=4 k3 +1=-15，
故答案为：-15；-4.
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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第3关 代数式
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．借助符号，数学语言变得简洁明了。例如可用代数式 来表示“”。观察其中的规律，将 “化简后得 ( )
A． B． C． D．
2．已知甲、乙码头相距s( km)，某船在静水中的速度为a( km/h)，水流速度为b( km/h)(a>b)，则该船一次往返两个码头所需的时间为( )
A． B． C． D．
3．如图：圆，三角形，正方形三个图形的面积相等，重叠部分面积分别记为和，不重叠部分面积分别记为，，，，若，则，，，之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
（第3题） （第5题） （第6题）
4．如果4个不同的正整数m，n，p，q满足（7-m）（7-n）（7-p）（7-q）=4，那么m+n+p+q 等于（ ）.
A．10 B．21 C．24 D．26 E．28
5．将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（ ）
A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和
C．乙的面积与丙的面积和 D．的值
6．已知正方形甲和长方形乙的周长相等，将它们分别按下图方式放置在同一个大长方形内（两种方式均有重叠）．按图1放置时，阴影部分①和②的周长之和为；按图2放置时，阴影部分③和④的周长之和为．若，，则正方形甲的边长为（ ）
A． B．7 C．7.5 D．8
7．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“Σ”．如，
．若，则常数a，b的值分别是（ ）
A．10，54 B．，54 C．10，55 D．，55
8．如图，在一个长方形中放入三个正方形，从大到小正方形的边长分别为 、 、 ，则右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分周长差为（ ）
A．a+b B． C． D．
9．当分别取值，，，…，，1，2，…，2007，2008，2009时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．2009
10．如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①，②，③，若要求两个阴影部分的周长差，只要知道下列哪两条线段的差的绝对值 （ ）
A．|AB-CD| B．|CD-EF| C．|DE-CD| D．|DE-EF|
（第8题） （第10题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是 ．
12．在计算两位数的平方运算时，我们可以利用“竖式”方式进行快速运算，其步骤如图所示（图1，2，3），现有一个两位数，其十位数字为，在进行平方运算时，部分步骤如图4所示（为小于的正整数），则这个两位数是 （用含的代数式表达）．
13．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝ ；
（2） （m，n）是“相伴数对”，则代数式m-[n+（6-12n-15m）]的值为 ．
14．已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4=90，其中d>1，则a+b+c+d的最大值是 ．
15．对于一个三位数，若其百位数字与个位数字之和比十位上的数字少1，则称数为“首尾数”．例如：数142，因为，所以142是“首尾数”，数264，因为，所以264不是“首尾数”，则最小的“首尾数”为 ；若“首尾数”的个位数字不为零，将其百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，若为一个整数的平方，则满足条件的的最大值为 ．
16．若一个四位数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，同时满足百位数字比千位数字大3，十位数字比个位数字大3，那么称这个四位数为“对称数”．
（1）当一个四位数的个位数字与千位数字之和为3时，这个“对称数”为 ．
（2）记某个“对称数”为，若存在一个自然数，满足且除以9后余数为2．当取得最大值时，这个“对称数”的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图题2023年11月份的月历，其中“型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“型”覆盖的五个数字左上角的数为，数字之和为，“十字型”覆盖的五个数字中间数为，数字之和为.
（1） （用含式子表示）， （用含式子表示）；
（2）的值能否为69，若能求，的值，若不能说明理由；
（3）若，则的最大值为 .
18．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数 M 分解成 的过程，称为“合分解”.
例如：∵609=21×29，21 和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609 是“合和数”.
又如：∵234=18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234 不是“合和数”.
（1）判断168，621是否为“合和数”，并说明理由.
（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M=A×B，A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M），A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）.令 当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的 M.
19．对于有理数，我们给出如下定义：若满足，则称为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”．
（1）数对，其中是“和谐有理数对”的是_________；
（2）若是“和谐有理数对”，求的值；
（3）若是“和谐有理数对”，则________(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，说明你的理由．
20．【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
21．已知是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是，边长之差是．
（1）如图，用含的代数式表示两个正方形纸片的面积之和：______；
当时，两个正方形纸片的面积之和：______．
（2）如图，如果两个正方形纸片的面积之和为，阴影部分的面积为，试求的值．
（3）现将正方形纸片并排放置后构成新的正方形（图），将正方形放在正方形的内部（图），如果图和图中阴影部分的面积分别是和，那么两个正方形纸片的面积之和为：______．
22．任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所以3252不是一个“五颜六色数”．
（1）判断2315 “五颜六色数”，4223 “五颜六色数”（填“是”或“不是”）；
（2）若一个“五颜六色数”m表示成，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝．
①若＝135，试求4b﹣2c+a+d的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b2+2的所有整数解分别为x1，x2，…，xn，试求|y﹣x1|+|y﹣x2|+…+|y﹣xn|的最小值．
23．数学中有很多可逆的推理，例如：
（1）若输入7时，输出 .
（2）拓展：如果，那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则；，则.
①根据定义，填空： ▲ ； ▲ .
②若有如下运算性质 ：，根据运算性质填空，填空：若，则 ▲ ； ▲ .
③表中与数对应的有且只有两个是错误的，请找出错误，说明理由并改正.
1.5 3 5 6 8 9 12 27
24．定义：个关于的一次整式，，…，，存在不等于零的数，，…，，使，其中是常数，我们称这个一次整式为常数的“相关整式”．
例如：对于一次整式，，，存在，，，使，我们就称一次整式，，为常数的“相关整式”．
数学理解
（1）若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数_____，____；
（2）若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值；
尝试探究
（3）若整式，为常数0的“相关整式”，则等式①；②中有一个成立，判断哪一个成立，并说明理由；
（4）若整式，，为常数0的“相关整式”，直接写出的值．
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