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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第2关 实数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
3．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．阅读以下材料：
∵面积为107的正方形的边长是 且 ∴设 ，其中0<1， 画出边长为10+x的正方形，如图1：根据图中面积，得 当x2较小时，忽略x2，得100+20x=107. 解得. ，请用以上方法求无理数 的近似值(保留两位小数)为( )
A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57
5．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
7． 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知：m， n是两个连续自然数（m
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
10． 设表示最接近的整数，则
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
12．若 的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2024= .
13．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4， ，现对72进行如下操作：72→ =8→ → =1，类似地：
（ 1 ）对64只需进行 次操作后变为1；
（ 2 ）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
14．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数， 记 . 例如： . 则 的值为 .计算 .
15．我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②如，则实数的取值范围是；③若且，则；④方程的实数解有4个．
16．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是 ；边长是 ；（填实数）
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图3），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．并求出它的边长.
18．如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根…
（1）求256的四次方根；
（2）计算；
（3）一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a．
19． 先阅读理解，再解决问题：
因为 且
所以 的整数部分是1；
因为 且
所以 的整数部分是2；
因为 且
所以 的整数部分是3；
……
（1） 的整数部分是 ；
（2） (n为正整数)的整数部分是多少 试说明理由.
20．小华学习《实数》一章后，进行了如下探究：
①因为 和 都是36的算数平方根，而36 的算数平方根只有一个，所以
②和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以 ▲ .
（1）请仿照①帮助小华完成②的填空.
（2）运用以上结论，计算 .
（3）猜想 的计算结果为 .
21．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9这三个数，3，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6。
（1）试判断2，8，50这三个数是否为“老根数”。如果是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”。
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值。
22．阅读下面的材料，解答问题：
大家知道 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此我们不可能将 的小数部分全部写出. 的整数部分是1，于是我们可用 表示 的小数部分.比如 的整数部分是1.小数部分是 .
（1）的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）若 的小数部分是 ，的整数部分为n，求 的值.
（3）已知a为3的算术平方根，b为 的整数部分，若规定a☆，求a☆b+a的值.
23．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
24．[阅读材料]
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 的近似值．
小明的方法：因为 < < ，
所以设 =3+k(0所以13=9+6k+k2．所以13≈9+6k．解得k≈
所以 ≈3+ ≈3.67．
[解决问题]
（1）请你依照小明的方法，估算 的近似值．
（2）请结合上述具体实例，概括出估算 的公式：已知非负整数a，b，m，若a< （3）请用(2)中的结论估算 的近似值．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第2关 实数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为：C
2．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
【答案】C
【解析】
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
3．设 p1，p2，p3，p4是不等于零的有理数，是无理数，有下列四个数：①p12+q12；②（p2+q2）2；③（p3+q3）q3；④p4（p4+q4）.其中必为无理数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】①当 则p12+q12=3，是有理数；
②当 时， 是有理数；
③当 时， 是有理数；
④无论取何值，原式都是无理数.
故答案为：B
4．阅读以下材料：
∵面积为107的正方形的边长是 且 ∴设 ，其中0<1， 画出边长为10+x的正方形，如图1：根据图中面积，得 当x2较小时，忽略x2，得100+20x=107. 解得. ，请用以上方法求无理数 的近似值(保留两位小数)为( )
A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57
【答案】B
【解析】面积为422的正方形的边长是 ，且 ，
设 ，其中．
画出边长为 的正方形，如图：
根据图中面积得：，当较小时，忽略，
得，
解得：，
，
故答案为：B .
5．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1，
如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，
则大正方形的面积为
设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为，
则，
，
圆的半径为，
点表示的数为．
故选：C．
6．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
7． 已知min{，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{，x2，x}＝min{，92，9}＝3．当min{，x2，x}＝时，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若则 x<， 不符合最小；
若x2=，x=，当x=-时，x若x=，x2=， x>x2， 不符合x最小.
故答案为：C.
8．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，
，
，
…，，
∴，
，
，
……
，
∴
．
故答案为：A．
9．已知：m， n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时奇数，有时偶数 D．有时有理数，有时无理数
【答案】A
【解析】【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，
∵q=mn，
∴q=m（m+1)，
∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2，q-m=m（m+1)-m=m2，
∴
=m+1+m=2m+1，
即p的值总是奇数．
故选A．
10． 设表示最接近的整数，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 解： ∴
∵ ∴ ∴
∴
∵ ∴ ∴
∴
∵ ∴
∴，∴
∵，∴
∴，∴
原式
答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．一个正偶数的算术平方根为m，则下一个正偶数的算术平方根为
【答案】
【解析】∵一个正偶数的算术平方根为m，
∴这个偶数为，
∴下一个正偶数为，
∴下一个正偶数的算术平方根为.
故答案为：.
12．若 的小数部分为a，的小数部分为b，则（a+b）2024= .
【答案】1
【解析】，， ，所以
故应填：1 .
13．任何实数a，可用[a]表示不大于a的最大整数，如[4]=4， ，现对72进行如下操作：72→ =8→ → =1，类似地：
（ 1 ）对64只需进行 次操作后变为1；
（ 2 ）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .
【答案】3；255
【解析】（1）由题意得：
64→ =8→ → =1，
∴对64只需进行3次操作后变为1，
故答案为：3；
（ 2 ）与上面过程类似，有256→ =16→ → =2→ ，对256只需进行4次操作即变为1，类似的有255→ =15→ → =1，即只需进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；
故答案为：255.
14．若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记n#表示不大于n的最大完全平方数， 记 . 例如： . 则 的值为 .计算 .
【答案】88；2024
【解析】因为2024#表示不大2024的最大完全平方数，且442=1936＜2024＜2025=452，
所以2024△=2024-2024#=2024-1936=88；因为1#=1，所以1△=1-1#=0，=1；
因为2#=1，所以2△=2-2#=0，=1；因为3#=1，所以3△=3-3#=2，=1；
因为4#=4，所以4△=4-4#=0，=2；因为5#=4，所以5△=5-5#=1，=2；
因为6#=4，所以6△=6-6# =2，=2；因为7#=4，所以7=7△-7#=3，=2；
因为8#=4，所以8△=8-8#=4，=2；……；因为2024#=1936，
所以2024△=2024-2024#=88，=44；
分母的规律是从1开始到44；
分子的规律从0开始，到分数的值为2结束，
所以
=
=
=3+5+7+9+...+89=（3+89）×44÷2
=2024；
故答案为：88；2024.
15．我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，则下列说法正确的是 （填序号）．
①；②如，则实数的取值范围是；③若且，则；④方程的实数解有4个．
【答案】①
【解析】①，，，，①正确；
②，，解得，②错误；
③，当时，，，
，，
当时，，，
，，综上，的值为或，③错误；
④，，，，
，，，，则的值为或或0或1或2，
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，，
综上，方程的实数解有，，0.4，1.6，2.8，共5个，④错误．
故答案为：①．
16．我们规定：表示不超过x的最大整数．如：，．现已知对所有正整数n成立，则的值为 ．
【答案】301
【解析】∵，=2，，=4，=5，=6，=7，=8
∴可知[]+[]+[]=1+1+1=3；
[]+[]+[]+[]+[]=2+2+2+2+2=10；
[]+[]++[]=3+3+3++3=3×（15-9+1）=21；
[]+[]+[]+[]=4+4+4++4=4×（24-16+1）=36；
[]+[]++[]=5+5++5=5×（35-25+1）=55；
[]+[]++[]=6+6++6=6×（48-36+1）=78；
[]+[]++[]=7+7++7=7×（62-49+1）=98；
∴ =3+10+21+36+55+78+98=301.
故答案为：301.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是 ；边长是 ；（填实数）
（2）你能把十个小正方形组成的图形纸（图3），剪开并拼成正方形吗？若能，请仿照图2的形式把它重新拼成一个正方形．并求出它的边长.
【答案】（1）5；
（2）能，如图，
∵面积=10，
∴边长=.
【解析】(1)∵每个小正方形的面积为1，
∴五个小正方形拼成的正方形的面积为5，
∴图2中拼成的正方形的边长=；
18．如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根…
（1）求256的四次方根；
（2）计算；
（3）一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a．
【答案】（1）解：，
的四次方根为
（2）解：，
（3）解：∵a的六次方根是和，
∴，解得，
∴，
∴
19． 先阅读理解，再解决问题：
因为 且
所以 的整数部分是1；
因为 且
所以 的整数部分是2；
因为 且
所以 的整数部分是3；
……
（1） 的整数部分是 ；
（2） (n为正整数)的整数部分是多少 试说明理由.
【答案】（1）2024
（2）解：整数部分是．理由：
∵为正整数，
∴，
∴，
∴，
即，
∴（为正整数）的整数部分为．
【解析】（1）因为 且 所以 的整数部分是1；
因为 且 所以 的整数部分是2；
因为 且 所以 的整数部分是3；
……
故的整数部分是2024，
故答案为：2024
20．小华学习《实数》一章后，进行了如下探究：
①因为 和 都是36的算数平方根，而36 的算数平方根只有一个，所以
②和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以 ▲ .
（1）请仿照①帮助小华完成②的填空.
（2）运用以上结论，计算 .
（3）猜想 的计算结果为 .
【答案】（1）
（2）解： .
（3）12
【解析】（1）∵和 都是400的算数平方根，而400 的算数平方根只有一个，所以.
故答案为：.
（3）
=
=
=
=
.
21．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”。例如：1，4，9这三个数，3，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6。
（1）试判断2，8，50这三个数是否为“老根数”。如果是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”。
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值。
【答案】（1）解：是“老根数”。=20，∴2，8，50这三个数是“老根数”。其中“最小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是20。
（2）解：分三种情况讨论：①当a<16时，则②当1622．阅读下面的材料，解答问题：
大家知道 是无理数，无理数是无限不循环小数，因此我们不可能将 的小数部分全部写出. 的整数部分是1，于是我们可用 表示 的小数部分.比如 的整数部分是1.小数部分是 .
（1）的整数部分是 ，小数部分是 .
（2）若 的小数部分是 ，的整数部分为n，求 的值.
（3）已知a为3的算术平方根，b为 的整数部分，若规定a☆，求a☆b+a的值.
【答案】（1）2；-2
（2）解：∵4＜7＜8，∴，其中，∴的整数部分是2，小数部分m就是-2；
∵16＜17＜18，∴，其中，∴的整数部分n是4；
.
（3）解：∵ a为3的算术平方根 ，∴，
∵ b为 的整数部分，∴b=3，
，∵a☆b=|a-b|，∴a☆
【解析】（1）解：∵4＜5＜6，∴，其中，因此的整数部分是2，小数部分是-2。
故答案为：（1）2；-2.
23．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2） = ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225
（2）
（3）解：由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)= =44 100－3 025=41 075
24．[阅读材料]
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算 的近似值．
小明的方法：因为 < < ，
所以设 =3+k(0所以13=9+6k+k2．所以13≈9+6k．解得k≈
所以 ≈3+ ≈3.67．
[解决问题]
（1）请你依照小明的方法，估算 的近似值．
（2）请结合上述具体实例，概括出估算 的公式：已知非负整数a，b，m，若a< （3）请用(2)中的结论估算 的近似值．
【答案】（1）解：因为 < < ，所以设 =6+k(0所以41=36+ 12k+k2．所以41≈36+12k．解得k≈
所以 ≈6+ ≈6+0.42=6.42．
（2）a+
（3）解：因为37=62+1，所以 ≈6+ ≈6.08
【解析】(2)解：设 =a+k(0因为m=a2+b，所以a2+2ak=a2+b．解得k=
所以 ≈a+
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