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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第6关 线段的和差
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知A，B，C三点， ， ，则 （ ）
A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定
【答案】D
【解析】如图1，当点B在线段AC上时，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=6+2=8cm；
如图2，当点B在线段AC外时，
∵AB=6cm，BC=2cm，
∴AC=6-2=4cm.
当A、B、C三点不在同一直线上时，A、C两点间的距离无法确定.
故答案为：D.
2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（ ）
A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm
【答案】D
【解析】①当点C在点A的右边时，如图所示：
∵AB=18，AC=2，
∴BC=AB-AC=18-2=16，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=1，CN=BC=8，
∴MN=MC+CN=1+8=9；
②当点C在点A的左边时，如图所示：
∵AB=18，AC=2，
∴BC=AB+AC=18+2=20，
∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=AC=1，CN=BC=10，
∴MN=CN-MC=10-1=9，
综上，MN的长为9，
故答案为：9.
3．如图，数轴上点 所对应的数分别为 ，且都不为0，点 是线段 的中点，若 ，则原点 的位置（ ）
A．在线段 上 B．在线段 的延长线上
C．在线段 上 D．在线段 的延长线上
【答案】A
【解析】∵C为AB之中点，
∴b-c=c-a，即a+b=2c，
∴ ，
∴|a+b|-|b|+|a|=0，
∴|a+b|=|b|-|a|＞0，
∴a与b异号，并且|b|＞|a|，即b为正数，a为负数，点B离原点比点A离原点要远，
∴原点在点A与点C之间.
故答案为：A.
4．已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1.
∵AC=a，BC=b，
∴AB=AC+BC=a+b.
∵点M是AB的中点，
∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = .
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2.
∵AC=a，BC=b，
∴AB=AC-BC=a-b.
∵点M是AB的中点，
∴AM AB= ，
∴MC=AC﹣AM= = .
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3.
∵AC=a，BC=b，
∴AB=AC+BC=a+b.
∵点M是AB的中点，
∴AM AB= ，
∴MC=AM﹣AC= = .
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4.
∵AC=a，BC=b，
∴AB=BC-AC=b-a.
∵点M是AB的中点，
∴AM AB= ，
∴MC=AC+AM= = .
综上所述：MC的长为 或 （a＞b）或 （a＜b），即MC的长为 或 .
故答案为：D.
5．如图，、顺次为线段上的两点，，，是的中点，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】∵C是AD的中点，
，BE=AB-AE，
，AE=AD+DE，
=====
故答案为：C.
6．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【解析】①运动4s后，AP=2×4=8cm，PB=AB-AP=16cm，
∵M为的中点 ，∴AM=MP=4cm，
∴PB=4AM，故①错误；
设运动ts时，AP=2t，PB=24-2t，
∵M为的中点，N为的中点，
∴AM=PM=t，PN=BN=12-t，
∴PM+MN=PM+PM+PN=t+t+12-t=12+t，
∴的值随着运动时间的改变而改变 ，故②正确；
∵MB=AB-AM=24-t，PB=AB-AP=24-2t，
∴=2（24-t）-（24-2t）=24cm，故③正确；
由AN=AP+PN=2t+（12-t）=12+t，PM=t，
∵ ，∴12+t=6t，解得t=2.4s，故④正确.
故答案为：D.
7．如图，AB=30，C为射线AB 上一点，BC 比AC 的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，各以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿射线 AB运动，运动时间为 t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点，有以下结论：①BC=2AC.②运动过程中，QM的长度保持不变.③AB=4NQ.④当 BQ=PB时，t=12.其中正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】设AC=x，
∵BC比AC 的4倍少20，∴BC=4x-20，
∵AC+BC=AB=30即x+4x-20=30
解之：x=10，
∴AC=10，BC=40-20=20，
∴BC=2AC，故①正确；
∵P，Q两点分别从A，B两点同时出发，各以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿射线 AB运动，
∴AP=2t，BQ=t，
当0＜t≤15时，点P在线段AB上，∴BP=AB-AP=30-2t，
∵点M为BP的中点，
∴BM=BP=15-t，
QM=BM+BQ=15-t+t=15，
∴QM为定值；
∵点N为QM的中点，
∴NQ=QM=7.5，
∴4NQ=30，
∴AB=4QN；
当15＜t≤30时，点P在Q的右侧，∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
QM=BQ-BM=t-（t-15）=15，
∴QM为定值；
∵点N为QM的中点，
∴NQ=QM=7.5，
∴4NQ=30，
∴AB=4QN；
综上所述，运动过程中，QM的长度保持不变且AB=4NQ，故②③正确；
当0＜t≤15时，PB=BQ，此时点P在线段AB上，
BP=30-2t，BQ=t，
∴30-2t=t，
解之：t=10；
当15＜t≤30时，PB=BQ，此时点P在点Q的右侧，
点P和点Q重合，
∴t=30，
当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，PB＞QB，
∴当 BQ=PB时，t=10或30，故.④错误；
∴正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③.
8．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是( )
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】∵AD=BM，
∴AD=MD+BD，
∴，
∴AD=2BD，
∴AD+BD=2BD+BD，即AB=3BD，故①正确；
∵AC=BD，
∴AD=BC，
∴，
∵M、N分别是线段AD、BC的中点，
∴AM=BN，故②正确；
∵AC-BD=AD-BC，
∴AC-BD=2MD-2CN=2(MC-DN)，故③正确；
∵2MN=2MC+2CN，MC=MD-CD，
∴2MN=2(MD-CD)+2CN，
∵，，
∴，故④正确，
故答案选：D.
9．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动；第一次将点A向左移动3个单位长度到达点 ，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点 ，如果点 与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】根据题目已知条件，A1表示的数，1-3=-2；A2表示的数为-2+6=4；A3表示的数为4-9=-5；A4表示的数为-5+12=7；A5表示的数为7-15=-8；A6表示的数为-8+18=10，A7表示的数为10-21=-11，A8表示的数为-11+24=13，A9表示的数为13-27=-14，A10表示的数为-14+30=16，A11表示的数为16-33=-17．
所以点An与原点的距离不小于17，那么n的最小值是11．
故答案为：C．
10．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵分别为的中点，，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
根据规律得到，
∴.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知线段，，点、分别是、的中点，当点在直线上时，则的长为 .
【答案】7.5或15
【解析】①点M在线段AB上时，如图1所示：
∵AB＝AM＋MB，AM＝BM，AB＝20，∴AM＝5，BM＝15，
又∵Q是AB的中点，∴AQ＝BQ＝AB＝10，
又∵MQ＝BM-BQ，∴MQ＝15-10＝5，
又∵点P是AM的中点，∴AP＝PM＝AM＝2.5，
又∵PQ＝PM＋MQ，∴PQ＝2.5＋5＝7.5；
②点M在线段AB的反向延长线上时，如图2所示：
同理可得：AQ＝AB＝10，
又∵AM＝BM，∴AM＝AB＝10，
又∵点P是AM的中点，∴AP＝AM＝5，
∵PQ＝PA＋AQ，∴PQ＝5＋10＝15，
综合所述PQ的长为7.5或15．
故答案为：7.5或15.
12．如图，点A、点B在数轴上表示的数分别是-4和4.若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的3倍，则点P所表示的数是 .
【答案】2或8
【解析】设P所表示的数为x，由题意可得|x-（-4）|=3|x-4|.
当x≤-4时，方程可化为-4-x=-3x+12，∴x=8（舍）；
当-4＜x≤4时，方程可化为x+4=-3x+12，∴x=2；
当x＞4时，方程可化为x+4=3x-12，∴x=8.
故答案为：2或8.
13．如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为5厘米．
【答案】 或1或3或9
【解析】设运动时间为t秒．
①如果点P向左、点Q向右运动，
由题意，得：t+2t=5﹣4，
解得t= ；
②点P、Q都向右运动，
由题意，得：2t﹣t=5﹣4，
解得t=1；
③点P、Q都向左运动，
由题意，得：2t﹣t=5+4，
解得t=9．
④点P向右、点Q向左运动，
由题意，得：2t﹣4+t=5，
解得t=3．
综上所述，经过 或1或3或9秒时线段PQ的长为5厘米．
14．如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为 ．
【答案】35cm或40cm或45cm
【解析】设绳子三段的长分别为2xcm、3xcm和5xcm，两个断点分别为F、E，
则2x+3x+5x=100，
解得：x=10；
①若AF=3x，FE=5x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=2.5x+2x=4.5x=45cm；
②若AF=5x，FE=3x，EB=2x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=1.5x+2x=3.5x=35cm；
③若AF=5x，FE=2x，EB=3x，如图：
∵N为EF的中点，
∴，
∴BN=x+3x=4x=40cm；
故答案为：35cm或40cm或45cm.
15．如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm．
【答案】或
【解析】由题意，最长段那部分的长度为，
另两段的长度分别为和，
因为没完全盖住的部分最长，
所以剪断处对应的刻度为，
设折痕对应的刻度是，
则或，
解得或，
故答案为：或．
16．如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动.在运动过程中满足 ，若点M为直线 上一点，且 ，则 的值为 .
【答案】1或
【解析】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；
∴；
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；
∴ ；
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述， 的值为1或 .
故答案为：1或 .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，点P是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点．
（1）如图1，若点P是线段的中点，且，则线段的长 ，线段的长 ；
（2）如图2，若点P是线段上的任一点，且，求线段的长；
（3）若点P是直线上的任意一点，且，直接写出线段的长．
【答案】（1）20；10
（2）解：∵点M、N分别是线段的中点，
∴，，∴，
即，
∵，
∴；
（3）解：线段的长为：．
理由：①当点P在线段上时，由（3）得，
②当P点在线段延长线上时，
∵点分别是线段的中点，
∴，
∴，
即，
③当P点在线段延长线上时，
∵点分别是线段的中点，
∴，
∴，
即，
综上所述：点P是直线上的任意一点时，
∵，
∴．
【解析】（1）∵点M、N分别是线段的中点，∴，
∵，∴，
∵P为的中点，
∴，，∴，
∴，
故答案为：20；10；
18．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若 ，点C是线段AB的巧点，则 ；
（3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
【答案】（1）是
（2）或或
（3）解：t秒后，，
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点，此情况排除；
②当P为A、Q的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴(12﹣t)，
解得：；
③当Q为A、P的巧点时，
i）当，即时，
∴，
解得：（舍去）；
ii）当，即时，
∴，
解得：；
iii）当，即时，
∴，解得：；
综上，t为或3或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点．
【解析】（1）线段的中点把原线段分成两条相等的线段，原线段是所分成线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的“巧点”；
故答案为：是；
（2）解：∵线段，点C是线段AB的“巧点”，
∴①当时，
此时；
②当时，
此时；
③当时，
此时；
综上，AC的长为或或，
故答案为：或或．
19．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
【答案】解：（1）①8
②9
（2），理由如下：
如图所示，当点B在点C左边时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
如图所示，当点B在点C右侧时，
∵，分别为，的中点，
∴，，
∴
，
，
∴；
综上所述，；
（3）∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线，故答案为：8；
②∵，，，
∴，
如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），
如图所示，当点P在A、D之间时，，
如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），；
综上所述，的最大值为9；
故答案为：9；
20．【建立概念】
直线a上有三个点A，B，C，若满足，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
（1）【概念理解】
如图②，直线l上有两个点M，N，且．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 ．
（2）点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧），，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m，则点N对应的数可表示为 ，点P对应的数可表示为 （均用含有m的式子表示）
（3）【拓展应用】
点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n，且，点W是线段的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位
若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．
（4）在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．
【答案】（1）2
（2）；或
（3）解：是点关于点的“半距点”
理由如下
∵，且
∴
∴，
所以
因为点是线段的中点
所以
设、两点的运动时间为秒，则
解得
所以点表示的数为：
所以
所以
所以
所以是点关于点的“半距点”．
（4）解：设原点为，
1 若在的右边，
则，，
若点恰好是点关于原点的“半距点”，
则，
解得；
②若在的左边，
则，，
若点恰好是点关于原点的“半距点”，
则，
解得；
综上所述，的值为4或7.2.
【解析】（1）由题意可得：
故答案为：2
（2）∵，点M在点N的左侧
∴N对应的数表示为m+4
∵点P是点M关于点N的“半距点”
∴
∴点P对应的数可表示为：或
故答案为：第1空、
第2空、或
21．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”．
如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
；；．
【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
【答案】解：【感悟体验】：以点为圆心，以长度为半径画弧，交点C右侧直线于点D；
则点D为所求点，如下图：
【认识概念】③
【运用概念】∵AB与CD互为“对称线段”，且AB=2，
∴CD=AB=2，
（1）当AD=12时，AC=AD-CD=12-2=10，
∵点M为AC的中点，
∴AM=AC=5；
（2）当AC=12时，BC=AC-AB=10，BD=BC+CD=12，AD=AC+CD=14，
∵点M为AC的中点，点N为BD的中点，
∴ AM=AC=6， ND=BD=6，
∴MN=AD-AM-ND=2；
【拓展提升】存在，理由：
设点对应的数为：，点对应的数为：，
则点、对应的数分别为：，，
则点对应的数为，
而，
则点对应的数为：，
则 ，
当时，为定值．
【解析】【认识概念】，故①不符合题意；
，故②不符合题意；
设，则，
同理可得：，故③符合题意，
故答案为：③；
22．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”；
（2）如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．
①当t为何值时，P、Q重合？
②当t为何值时，Q为的“巧点”？
【答案】（1）解：因为点C是线段的中点，
所以，
所以中点是这条线段“巧点”．
（2）解：①由题意，得：，
解得：；
②当为中点（）时，，
；（运动终止）
当时，，
；
当时，，
（舍去）
综上所述：或，Q为 “巧点”．
23．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
（1）根据题意，小明求得 ．
（2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则 ．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则 ．
【答案】（1）3（2）解：①；
②，，，，
，，；
③
【解析】（1）解：，，，
，分别是，的中点，，，
；故答案为：；
（2）解：①，分别是，的中点，
，，，
，；故答案为：；
③，，，，
，，，
故答案为：．
24．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是-1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．
（1）若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 ▲ 、 ▲ ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
（2）如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
（3）若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）解：①5，；
②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．
∴．
∴．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，
∴，且中点所对应的数为1，
∵，
∴中点所对应的数也为1，
∵，
，
∴M点为，即；N点为，即。
（2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称，
∴．
∴，
∴．
∴为，为.
（3）解：存在，理由：
∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”，
∴，
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，
∴的中点所表示的数为1，
∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．
∴．
∴，
∴点，到的中点的距离相等，
当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为，
当n为2时，为，为，
当n为3时，为，为，
当n为4时，为，为，
以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是，
令，
∴，
∴，
∴． ．
当表示的数为65时，，
解得：．
又∵和关于1对称，
∴为．
答：存在次数n使得为65，此时n为5，为．
【解析】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同，
∴．
∴．
∴．
∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，
∴，
∵，
，
∴M点为5，N点为，
故答案为：5，．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第6关 线段的和差
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知A，B，C三点， ， ，则 （ ）
A．8cm B．4cm C．8cm或4cm D．无法确定
2． 已知线段，点C为直线AB上一点，且，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN等于（ ）
A．8cm B．10cm C．9cm或8cm D．9cm
3．如图，数轴上点 所对应的数分别为 ，且都不为0，点 是线段 的中点，若 ，则原点 的位置（ ）
A．在线段 上 B．在线段 的延长线上
C．在线段 上 D．在线段 的延长线上
4．已知，点C在直线 AB 上， AC=a ， BC=b ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．如图，、顺次为线段上的两点，，，是的中点，则的值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；
④当时，运动时间为．
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
7．如图，AB=30，C为射线AB 上一点，BC 比AC 的4倍少20，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，各以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度沿射线 AB运动，运动时间为 t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点，有以下结论：①BC=2AC.②运动过程中，QM的长度保持不变.③AB=4NQ.④当 BQ=PB时，t=12.其中正确的是（ ）
A．① B．①④ C．②③ D．①②③
8．如图，C，D是线段AB 上两点，M，N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD.其中所有正确的结论是( )
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
9．如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动；第一次将点A向左移动3个单位长度到达点 ，第二次将点A向右移动6个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动9个单位长度到达点 ，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点 ，如果点 与原点的距离不小于17，那么n的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20，第一次操作：分别取线段AM和AN的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点；……连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知线段，，点、分别是、的中点，当点在直线上时，则的长为 .
12．如图，点A、点B在数轴上表示的数分别是-4和4.若在数轴上存在一点P到A的距离是点P到B的距离的3倍，则点P所表示的数是 .
13．如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上，且BC=4厘米．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过 秒时线段PQ的长为5厘米．
14．如图，将一段长为100cm绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处（点始终在点A右侧），在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为2∶3∶5，BN的值可能为 ．
15．如图，将一条长为的卷尺铺平后折叠，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（阴影处）沿与卷尺边垂直的方向剪一刀，此时卷尺分为了三段，若这三段长度由短到长的比为，其中没有完全盖住的部分最长，则折痕对应的刻度可能是 cm．
16．如图，数轴上有两点 ，点C从原点O出发，以每秒 的速度在线段 上运动，点D从点B出发，以每秒 的速度在线段 上运动.在运动过程中满足 ，若点M为直线 上一点，且 ，则 的值为 .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，点P是线段上的一点，点M、N分别是线段的中点．
（1）如图1，若点P是线段的中点，且，则线段的长 ，线段的长 ；
（2）如图2，若点P是线段上的任一点，且，求线段的长；
（3）若点P是直线上的任意一点，且，直接写出线段的长．
18．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
（2）若 ，点C是线段AB的巧点，则 ；
（3）如图2，已知，动点P从点A出发，以 的速度沿向点B匀速移动；点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？并说明理由．
19．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点．
①直线上以，，，为端点的射线共有______条；
②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______；
（2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；
（3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长．
20．【建立概念】
直线a上有三个点A，B，C，若满足，我们称点C是点A关于点B的“半距点”．如图①，，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．
（1）【概念理解】
如图②，直线l上有两个点M，N，且．若点P是点M关于点N的“半距点”，则 ．
（2）点M和点N是数轴上的两个点（点M在点N的左侧），，点P是点M关于点N的“半距点”，若点M对应的数为m，则点N对应的数可表示为 ，点P对应的数可表示为 （均用含有m的式子表示）
（3）【拓展应用】
点M和点N在数轴上对应的数分别为m、n，且，点W是线段的中点，P、Q两点分别从点M和N同时出发，沿数轴作匀速运动，点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒3个单位
若点P向右运动，点Q向左运动，在点K相遇，试判断点K是否是点M关于点W的“半距点”，并请说明理由．
（4）在（3）的条件下，若P、Q两点向左运动，运动时间为t秒．当点Q恰好是点P关于原点的“半距点”时，求t的值．
21．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置．
【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”．
如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）．
；；．
【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且．
（1）若，求的长；
（2）若，求的长；
【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由．
22．如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
（1）若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”；
（2）如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．
①当t为何值时，P、Q重合？
②当t为何值时，Q为的“巧点”？
23．小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
（1）根据题意，小明求得 ．
（2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则 ．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则 ．
24．如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是-1和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．
（1）若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 ▲ 、 ▲ ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；
（2）如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
（3）若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．
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