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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第5关 不等式
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2． 公司计划用不超过500万元的资金购买单价为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
3．若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
4．已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C． D．
5．对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8
6．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣6＜m＜﹣5 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣6＜m≤﹣5 D．﹣6≤m≤﹣5
7．我们知道不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，点A在上，且，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧，交于点A1，得到第1条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第2条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第3条线段．
……这样画下去，直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
（第8题） （第9题）
9．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30°
C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60°
10．对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为 .
12．若不等式有解，则实数最小值是 ．
13．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
14． 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
15．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
16．设表示不超过x的最大整数{例如：请你认真理解的意义，当，若，则的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在平面直角坐标系中，我们将点 P 关于x轴的对称点记作点 再将点 P1关于y轴的对称点记作点. 则称点. 为点 P 关于x 轴和y轴的“一中对称点”.例如：点P(3，1)关于x轴的对称点为点. -1)，点 关于y轴的对称点为点. ，所以点 P(3，1)关于x轴和y轴的“一中对称点”为点.
（1）点A(3，-4)关于x 轴和 y 轴的“一中对称点”A2 的坐标是 ；
（2）点B(2a+b，a-b)关于x轴和y 轴的“一中对称点” 的坐标是(-8， 4)，求a和b的值；
（3）若点C(x-m+1，9m+3-4x))关于x轴和y轴的“一中对称点”C2在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围.
18．综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
19．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答例如：解不等式解：
①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或．
（1）请用以上方法解不等式关于的不等式：；
（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求整数的和；
（3）已知关于，的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且求满足条件的和的值．
20．设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
（1）设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度” ；
（2）设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标： ；
（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围： ．
21．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
22．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a、b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{-1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：
（1）min{，，}＝ ，若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝ ．
23．阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
24．深化理解：
新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为 ，
即：当n为非负整数时，如果 ；
反之，当n为非负整数时，如果
例如：<0> = <0.48> = 0，<0.64> = <1.49> = 1，<2> = 2，<3.5> = <4.12> = 4，……
试解决下列问题：
（1）填空：① = （ 为圆周率）； ②如果 的取值范围为 .
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围.
（3）求满足 的所有非负实数x的值.
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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第5关 不等式
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，，，
∵实数，，满足条件，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2． 公司计划用不超过500万元的资金购买单价为60万元、70万元的甲、乙两种设备.根据需要，甲种设备至少买3套，乙种设备至少买2套，则不同的购买方式共有( )
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【答案】C
【解析】 设甲设备购买 x 台，乙设备购买 y 台，
根据题意得 60 x + 70 y ≤ 500，且x ≥ 3， y ≥ 2，x、y都为正整数，
当x=3时，70 y ≤ 500 60 × 3 = 500 180 = 320，
∴y ≤ ≈ 4.57，
∴y可能取值为2，3，4，共3种购买方式；
当x=4时，70 y ≤ 500 60 × 4 =260，
∴y ≤≈3.71，
∴y可能取值为2，3，共2种购买方式；
当x=5时，70 y ≤ 500 60 × 5 =200，
∴y ≤≈2.86，
∴y可能取值为2，共1种购买方式；
当x=6，70 y ≤ 500 60 × 6 =140，
∴y ≤2，
∴y可能取值为2，共1种购买方式；
综上所述， 不同的购买方式共有 1+1+2+3=7种，
故答案为：C.
3．若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
4．已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得：，
由①+②可得：1≤2a≤5，
解得：，
故答案为：C.
5．对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8【答案】B
【解析】根据题中的新定义得到不等式组： ，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
6．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣6＜m＜﹣5 B．﹣6≤m＜﹣5 C．﹣6＜m≤﹣5 D．﹣6≤m≤﹣5
【答案】B
【解析】，
解不等式①得：
解不等式②得： ∴不等式组的解集为
∵不等式组的整数解仅有5个，
∴不等式组的整数解有2、 1、 0、 -1、 -2，
故答案为：B.
7．我们知道不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令3x-1=t，则不等式化为，
∵不等式的解集是，
∴t>-5，
∴
解得：，
故答案为：A．
8．如图，，点A在上，且，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧，交于点A1，得到第1条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第2条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第3条线段．
……这样画下去，直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】B
【解析】当画出1条线段时：∵，∴，
∴，
当画出2条线段时：∵，
∴，
∴，
同理可得：当画出3条线段时：，
……
当画出n条线段时：，
∵直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：B．
9．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，若90°＜∠BOC＜120°，则∠A的取值范围是（ ）
A．0°＜∠A＜30° B．10°＜∠A＜30°
C．0°＜∠A＜60° D．10°＜∠A＜60°
【答案】C
【解析】∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴；
故答案为：C．
10．对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时， 不等式组 得，
∴，与不符，舍去.
当时， 不等式组 得，
∴，
∵不等式组有4个整数解，
∴，
∴
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知非负实数满足条件，，设的最大值为，最小值为，则的值为 .
【答案】7
【解析】∵a，b，c为非负数，∴S=a+b+c≥0．
又∵c-a=5，∴c=a+5，∴c≥5．
∵a+b=7，∴S=a+b+c=7+c．
∵c≥5， ∴c=5时S最小，即S最小值为7+5＝12，即n=12．
∵a+b=7，∴a≤7，∴S=a+b+c=7+c=7+a+5=12+a，
∴a=7时S最大，S最大值为12+7＝19，即m=19，
∴m-n=19-12=7
故答案为：7．
12．若不等式有解，则实数最小值是 ．
【答案】4
【解析】当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，∴＜1，∴ a＞6；
当1≤x≤3时，∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
13．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝ .
【答案】175
【解析】∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175.
故答案为：175.
14． 若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有的和为 ．
【答案】34
【解析】
∵的不等式组有且只有个整数解，
解得：
则
解得13＜m≤19
∵关于，的二元一次方程组的解为整数
解得
∴ 满足条件的m的值是：15，19
则符合条件的所有的和为 34.
故答案为：34.
15．邮政部门规定：信函重100克以内（包括100克）每20克贴邮票0.8元，不足20克重以20克计算；超过100克，先贴邮票4元，超过100克部分每100克加贴邮票2元，不足100克重以100克计算．八（9）班有11位同学参加项目化学习知识竞赛，若每份答卷重12克，每个信封重4克，将这11份答卷分装在两个信封中寄出，所贴邮票的总金额最少是 元．
【答案】5.6
【解析】11份答卷以及两个信封总计：12×11＋2×4＝140（克），
由题意知，把它分成两个小于或等于100克的信封比较省钱，
设其中一个信封装x份答卷，则另一个信封装（11 x）份答卷，
由题意得： ，
解得：3≤x≤8，
∴共有三种情况：
①一个信封装3份答卷，另一个信封装8份答卷，装3份答卷的信封重量为12×3＋4＝40（克），装8份答卷的信封重量为140－40＝100（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×2＋0.8×5＝5.6（元）；
②一个信封装4份答卷，另一个信封装7份答卷，装4份答卷的信封重量为12×4＋4＝52（克），装7份答卷的信封重量为140－52＝88（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×3＋0.8×5＝6.4（元）；
③一个信封装5份答卷，另一个信封装6份答卷，装5份答卷的信封重量为12×5＋4＝64（克），装6份答卷的信封重量为140－64＝76（克），
此时所贴邮票的总金额为：0.8×4＋0.8×4＝6.4（元）；
∴所贴邮票的总金额最少是5.6元，
故答案为：5.6．
16．设表示不超过x的最大整数{例如：请你认真理解的意义，当，若，则的值为 ．
【答案】4
【解析】 ，
，
又 表示不超过x的最大整数 ，
， ，，，等于0，或等于1，
，
， ，，，中应共有32个1，47个0，
= == =0， = ===1，
，，
解得：，
=4.
故答案为：4.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．在平面直角坐标系中，我们将点 P 关于x轴的对称点记作点 再将点 P1关于y轴的对称点记作点. 则称点. 为点 P 关于x 轴和y轴的“一中对称点”.例如：点P(3，1)关于x轴的对称点为点. -1)，点 关于y轴的对称点为点. ，所以点 P(3，1)关于x轴和y轴的“一中对称点”为点.
（1）点A(3，-4)关于x 轴和 y 轴的“一中对称点”A2 的坐标是 ；
（2）点B(2a+b，a-b)关于x轴和y 轴的“一中对称点” 的坐标是(-8， 4)，求a和b的值；
（3）若点C(x-m+1，9m+3-4x))关于x轴和y轴的“一中对称点”C2在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围.
【答案】（1）(－3，4)
（2）解：由题意可得：B(8，－4)，
∴，
∴a＝，b＝.
（3）解：由题意可得：点C在第一象限，
∴，
∴不等式组的解集为：m－1∵x恰有2个整数解，
则存在这样的整数a满足：
，整理得：，
为保证不等式组有解：，
解得：－∴a取－1，0，1，
当a＝－1时，可得：，
此时，－当a＝0时，可得：，
此时当a＝1时，可得：，
此时m＝1.
综上所述：－【解析】（1）解：∵ 点 A(3，-4) 关于x轴的对称点为点. (3，4) ，点 (3，4)关于y轴的对称点为点. (-3，4)，
∴点 A(3，-4) 关于x轴和y轴的“一中对称点”为点. (－3，4).
故答案为：(－3，4).
18．综合与实践
项目任务：设计由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计．
素材1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图1，．弹簧A拉力与长度之间有关系式；测得弹簧B拉力与长度的数据如下表：
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材2：在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧A每根6元，弹簧B每根3元．
（1）任务1：在图2中描出以弹簧B测得数据的各对x与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务2：求关于x的函数表达式，并求出弹簧B在弹性限度内的最大拉力．
（3）任务3：如何购买A，B两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
【答案】（1）解：如图所示，是在同一直线上：
（2）解：设，把和代入，得：
，
解得，
，
，
随x增大而增大，
当时，，
∴弹簧B的最大拉力为；
（3）解：设弹簧A为m根，则弹簧B为根，
则，
解得，
记最大拉力为y，
因当时弹簧A最大拉力为，弹簧B最大拉力为，
则.
且m为整数，y随m增大而增大，
当时，，
购置3根弹簧A，7根弹簧B时，弹簧拉力计最大拉力为．
19．解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答例如：解不等式解：
①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或．
（1）请用以上方法解不等式关于的不等式：；
（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求整数的和；
（3）已知关于，的方程组满足方程组的未知数的值为整数，系数也为整数且求满足条件的和的值．
【答案】（1）解：当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为或；
（2）解：，
得，，
，
，
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
当时，即时，
原式化为：，
解得：，此时，不等式的解集为；
综上可知，原不等式的解集为，
为整数，
，，，，，，
它们的和为．
（3）解：，
得，，
，
，
未知数的值为整数，系数也为整数且，
，，
或，．
20．设等腰三角形的底边长为w，底边上的高长为h，定义为等腰三角形的“胖瘦度”，设坐标系内两点，，，，若P，Q为等腰三角形的两个顶点，且该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，则称这个等腰三角形为点P，Q的“逐梦三角形”．
（1）设是底边长为2的等腰直角三角形，则的“胖瘦度” ；
（2）设，点Q为y轴正半轴上一点，若P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，直接写出点Q的坐标： ；
（3）以x轴，y轴为对称轴的正方形的一个顶点为，且点A在第一象限，点，若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，直接写出a的取值范围： ．
【答案】（1）
（2）或．
（3）或或
【解析】（1）解：如图，
∵是底边长为2的等腰直角三角形，
∴，
又∵是高，
∴，
∴等腰直角的“胖瘦度”；
故答案为：，
（2）
设以P，Q为顶点的“逐梦三角形”为，
因为，点Q为y轴正半轴上一点，故该等腰三角形的底边与某条坐标轴垂直，有三种情况，、
①当为底边时，若轴，如图：
则底边上的高长为，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，
∴，
∴，
∴此时点Q坐标为，
②当为底边时，若轴，为底边的高，如图：
则底边长为，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，
∴，
∴，
∴此时点Q坐标为，
③当为底边时，若轴，为底边的高，如图：
则底边上的高长为，
∵P，Q的“逐梦三角形”的“胖瘦度”，
∴，
∴，
∴此时点Q坐标为，
综上所述：点Q的坐标或．
（3）
①当时，点P在正方形内，如图：
此时点P到正方形边的两个较小距离，，
若正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，则，，
∴，解得，
②当时，点P与点A的重合，此时正方形边上不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，
③当时，点P在正方形外，如图：
此时点P到正方形边的两个较小距离
，，
若正方形边上存在点使得，的“逐梦三角形”满足且，
当点Q在上，为“逐梦三角形”底边的高时，，
∵，即，
∴底边的一半为：，
，不等式无解，故此此时不存在点；
当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，，，
，解得，
∴即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，
当点在上，为“逐梦三角形”高时，，“逐梦三角形”为底边一半为：，
，不等式无解，故此此时不存在；
当点在上，为“逐梦三角形”为底边一半时，“逐梦三角形”为底边为：，底边的高为：，
，解得，即时，存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且，
④到、的距离大于5，故、没有满足条件的点，
综上所述：当或或时不存在点Q使得P，Q的“逐梦三角形”满足且．
21．对于 定义一种新运算 ，规定： （其中 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
（1）已知
①求 的值；
②若关于 的不等式组 恰好有三个整数解，求实数 的取值范围.
（2）若 对于任意不相等的实数 都成立，求 与 满足的关系式.
【答案】（1）解：①根据题意得：
解得：
②根据题意得：
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为
不等式组恰好有3个整数解，即
∴
解得 ；
（2）解：由 ，得到
整理得：
对任意实数 都成立，
，即
22．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a、b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{-1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝解决下列问题：
（1）min{，，}＝ ，若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围为 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y＝ ．
【答案】（1）；0≤x≤1
（2）解：①∵ M{2，x+1，2x} =x+1，
∴ min{2，x+1，2x} =x+1，
即，
解得：x=1；
②a=b=c，
证明：令 M{a，b，c} = min{a，b，c} =a，
则b+c=2a，
且，
所以，b=a且c=a，
即a=b=c.
③﹣4．
【解析】（1）∵，
∴min{，，}＝ ；
∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝2 ，
∴，
解得： 0≤x≤1；
（2）③由②的结论得：，
解得：x=-3，y=-1，
∴ x+y=-4.
故答案为： （1） ；0≤x≤1；（2）x=1；a=b=c；-4.
23．阅读材料：基本不等式 ，当且仅当 时，等号成立.其中我们把 叫做正数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，它是解决最大 小 值问题的有力工具.
例如：在 的条件下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解 ，
，即是
，
当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）若 ，函数 ，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值，
（2）当 时，式子 成立吗？请说明理由.
【答案】（1）解： ，
，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为
（2）解：式子不成立.
理由： ， ， ，
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值，且最小值为2，
， 不等式不能取等号，
亦即不等式 不成立.
24．深化理解：
新定义：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为 ，
即：当n为非负整数时，如果 ；
反之，当n为非负整数时，如果
例如：<0> = <0.48> = 0，<0.64> = <1.49> = 1，<2> = 2，<3.5> = <4.12> = 4，……
试解决下列问题：
（1）填空：① = （ 为圆周率）； ②如果 的取值范围为 .
（2）若关于x的不等式组 的整数解恰有3个，求a的取值范围.
（3）求满足 的所有非负实数x的值.
【答案】（1）3；3.5≤x＜4.5
（2）解：解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，
由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，
故1.5≤a＜2.5；
（3）解：∵x≥0， x为整数，
设 x=k，k为整数，则x= k，
∴＜ k＞=k，
∴k- ≤ k＜k+ ，k≥o，
∴0≤k≤2，
∴k=0，1，2，
则x=0， ， .
【解析】（1）①由题意可得：＜π＞=3；
故答案为：3，
②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案为：3.5≤x＜4.5；
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