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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第5关 角的和差
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角（ ）．
A．一个是锐角，一个是钝角 B．都是钝角
C．都是直角 D．必有一个是直角
【答案】D
【解析】设两个角为α，β．则（α＋β）+（α﹣β）=180°，即α=90°．故选D．
2．已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设∠DOE=x，则∠BOD=3x，
∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-3x.
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD= ∠AOD= （180°-3x）=90°- x.
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°- x+x=90°- ，
由题意可得，90°- =m，
解得x=180°-2m，即∠DOE=180°-2m，
∴∠BOE=360°-4m，
故答案为：C.
3．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
4．如图，∠AOB 是平角，射线OM 从OA开始，先绕点O按顺时针方向向射线OB 旋转，到达OB 后再绕点O按逆时针方向朝射线OA 旋转，速度为6度/秒.射线ON 从OB 开始，以4度/秒的速度绕点O向OA 旋转，到当ON 到达OA 时，射线OM与ON 都停止运动.当∠BON=2∠MON 时，有以下t的值：①t=15；②t=22.5；③t=30；④t=45.其中正确的序号是( )
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【解析】180÷6=30（秒），
180÷4=45（秒），
180÷（6+4）=18（秒），
（1）当0＜t＜18时，
∠BON=4t°，
∠MON=（180-6t-4t）°=（180-10t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-10t）°，
解得：t=15，
（2）当18＜t≤30时，
∠BON=4t°，
∠MON=（6t+4t-180）°=（10t-180）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（10t-180）°，
解得：t=22.5，
（3）当30＜t≤45时，
∠BON=4t°，
∠MON=4t°-6（t-30）°=（180-2t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-2t）°，
解得：t=45，
综上所述，正确的序号为①②④，
故答案为：C .
5． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】因为∠AOB=90°，∠COD=45°，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=45°。
①因为∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠BOD=45°，
所以∠AOC=∠BOD=22.5°，
所以∠AOD=∠COB=67.5°，
所以∠AOD+∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
所以图中有4对互余的角，故①错误；
②设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x。
因为OE平分∠BOC，
所以 ，
所以 =
所以∠AOC=2∠DOE，故②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
因为OM平分∠AOC，
所以
所以 ，
所以 =x，
所以∠BOD不一定等于∠DON，
即 OD 不一定是∠BON 的平分线，故③错误；
④设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，
所以 因为∠COD=45°，所以∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
故答案为：B.
6．如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】∵∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
①如图，当ON的反向延长线恰好平分锐角∠AOC时，
∴∠BON=∠AOC=30°，
此时，三角板旋转的角度为90° 30°=60°，
∴t=60°÷10°=6；
②如图，当ON在∠AOC的内部时，
∴∠CON=∠AOC=30°，
∴三角板旋转的角度为90°+120°+30°=240°，
∴t=240°÷10°=24；
∴t的值为：6或24．
故答案为：D
7．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 ( )
A．或3x或 B． 或3x或9x
C．或 或9x D．3x或 或9x
【答案】C
【解析】如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，
射线是的三等分线，
则，，
；
综上，为或或，
故答案为：C
8．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ 与 互补，
∴ ，
∵ ， 分别为 ， 的平分线，
①当点B、O、C三点共线时，
则 ；
∵ ，
∴点B、O、C三点共线时，不符合题意；
②当点B、O、C三点不共线时， ，如下图：
则 ，
∵ ，
∴ ；
③当点B、O、C三点不共线时， ，如下如：
则 ，
∵ ，
∴ ；
综上可得： .
故答案为：D.
9．如图．，、分别是∠AOM和∠MOB的平分线，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，…，、分别是和的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，、分别是∠AOM和∠MOB的平分线，
∴∴
、分别是和的平分线，∴
∴
、分别是和的平分线，∴
∴
…，由此规律得
∴
故答案为：C．
10．一副三角板 、 ，如图1放置，（ =30°、 45°），将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜ ＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
① 的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作 ，则 平分
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】
如图1，当 时
如图2，当 时
因此， 的角度不恒为 ，则①错误
如图1，当 时
由角平分线的定义得
如图2，当 时
由角平分线的定义得
因此， 的角度恒为定值 ，则②正确
边与三角板 的三边所在直线夹角不可能成
如图1，当 时，设DE与AB的交点为F
，即
DE只与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次；DB只与三角板 的BC边所在直线夹角成 ，次数为1次
如图2，当 时，延长DE交AB于点F
，即
只有DB与三角板 的AB边所在直线夹角成 ，次数为1次
因此，在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成 的次数为3次，
则③错误
如图3，作
，即 平分
如图4，作
显然 不平分 ，则④错误
综上，正确的个数只有②这1个
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知∠AOB=120°，∠COD 在∠AOB 内部且 .如果在 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则
【答案】2
【解析】如图，设∠AOC=x，
∵∠AOP 与∠AOC 互余，
∠BOD=∠AOB-∠AOC-∠COD
∵∠BOQ与∠BOD互余，
+x，
=120°，
∴
故答案为：2
12．如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【解析】平分，平分，平分，，
，，②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
13．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC，OD，OE．若∠AOC= 51°，∠BOE =∠BOC，∠BOD=∠AOB，则∠DOE= °
【答案】17
【解析】设∠BOE=x，
∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=3∠BOE=3x，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=51°+3x．
∵∠BOD= ∠AOB，
∴∠BOD= ×(51°+3x)=17°+x，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=17°+x-x=17°．
故答案为：17.
14．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．
【答案】20°或40°或30°
【解析】由题意可得，
当时，
∵，∴；
当时，
∵，∴，
∴，∴；
当时，
∵，∴，
∴，∴；
综上所述或或，
故答案为20°或40°或30°．
15．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
【答案】
【解析】∵∠BOE= ∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD= ∠AOB= +∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE= ，
故答案为： .
16．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 ， 在直线 上，第一步， 绕点 顺时针旋转 度 至 ；第二步， 绕点 顺时针旋转 度至 ；第三步， 绕点 顺时针旋转 度至 ， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 则立即绕点 反方向旋转.当 时，则 等于 度.
【答案】 或 或
【解析】根据题意，可对射线 进行讨论分析：
① 未反弹时，如图：
∵ ，
∴ ，
∴
此时 满足题意；
② 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
此时 ，不符合题意，舍去；
③ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴
此时 ，成立；
④ 反弹后落在 之间，如图：
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，成立；
∵ ，
∴ ，
∴射线 不可能反弹；
综上所述， 等于 或 或 .
故答案为： 或 或 .
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．将一副直角三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上（直角三角尺和直角三角尺，，，，）．保持三角尺不动，将三角尺绕点O顺时针方向转动．当转动至射线上时，三角尺停止转动．
（1）如图2，当平分时，的度数为__________．
（2）三角尺转动到如图3所示的位置，使得、同时在的右侧，猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（3）在三角尺转动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）112.5
（2）结论：，
理由如下：
∵，，
∴
（3）解：当在内部时，∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当在外部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的度数为或
【解析】（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：112.5；
18．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：平分 ∴
，解得，
的值为21；
（3）解：由题意可得，
当未转动到时，
，解得；
当与重合时，
∴
解得，不符合题意，应舍去；
当越过时，则，所以，
，
解得，此时，恰好符合题意.
综上所述， 当时，或；
．
【解析】
（1）解：，，
，，
，
根据题意，，
当射线位于射线的左侧时，，
故答案为：；
(3)
②解：当未转动到时，、
；
当越过时，则，所以，
，
，
19．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
【答案】（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴
（3）解：或，
理由如下：①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，∴
=，
，
∴，
综上所述或
20．如图．已知，平分．
（1）在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°；
（2）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由．
【答案】（1），
（2）解：；
理由如下，∵平分，
∴，
设，，则，
∴，，
∴.
（3）解：和的数量关系会发生变化，设，，则，
如图，当射线在外，且在射线上方时，
∴，，
∴；
如图，当射线在射线下方时，
∴，，
∴；
如图，当射线在射线左边时，
∴，，
∴；
综上，当射线在射线下方且在射线右边时，如图，
变化后的数量关系为．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：，.
21．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由；
（2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝ ；
（3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数．
【答案】（1）解：OC是∠AOB的“分余线，理由如下：
∵∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BOC+∠AOB＝20°+70°＝90°，
∴OC是∠AOB的“分余线；
（2）60°
（3）解：∠AOC的度数为100°或77.5°或88°
【解析】（2） 设∠A0B=x°，根据题意，得：，解得：x=60；
故答案为：60°；
（3）设∠AOC＝2x，
∵OM为∠AOC的平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝x，
∵∠AOB＝155°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝155°﹣2x，
∵ON为∠BOC的“分余线”，OC为∠MON的“分余线”，
①∠BON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，
∴∠BON＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°，∴∠MON＝155°﹣x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣3x，
∵∠MOC+∠MON＝90°，
∴x+220°﹣3x＝90°，
解得x＝65°（不符合题意，舍去）；
②∠BON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，
∵∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝155°﹣2x﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x，
∴220°﹣4x+220°﹣3x＝90°，
解得x＝50°，
∴∠AOC＝2x＝50°×2＝100°；
③∠CON+∠BOC＝90°，∠MOC+∠MON＝90°，
∵∠CON＝90°﹣∠BOC＝90°﹣（155°﹣2x）＝2x﹣65°，
∴∠MON＝∠MOC+∠CON＝x+2x﹣65°＝3x﹣65°，
∵∠MOC+∠MON＝90°，∴x+3x﹣65°＝90°，
∴x＝38.75°，
∴∠AOC＝2x＝38.75°×2＝77.5°；
④∠CON+∠BOC＝90°，∠NOC+∠MON＝90°，
∴∠MON＝∠BOC，∴∠MOC＝∠BON，
∵∠BON＝（155°﹣2x）﹣（2x﹣65°）＝220°﹣4x，
∴x＝220°﹣4x，
解得x＝44°，
∴∠AOC＝2x＝44°×2＝88°，
综上所述，满足条件的∠AOC的度数为100°或77.5°或88°．
22．若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”．
（1）已知且和互为“共轭角”，则 ；
（2）如图，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数；
（3）如图，，，射线从绕点逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止二者同时出发，设运动时间为秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求的值．
【答案】（1）或
（2）解：，图中存在“共轭角”，
．
，
．
．
，
，
．
．
．
，
．
．
答：的度数为或或．
（3）解：，，
．
射线速度为每秒，运动时间为秒，
，射线运动时间为秒．
，射线运动时间为秒．
，射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，
射线往返一次需要的时间为：秒．
当射线还未到达，即时，
射线速度为每秒，运动时间为秒，
．
．
Ⅰ、．
，
，
，
．
时间为负数，不合题意，舍去．
Ⅱ、．
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
当射线从返回，即时，
射线速度为每秒，运动时间为秒，
，
Ⅰ、．
，
，
，
．
Ⅱ、．
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
当射线第二次从出发，还未到达，即时，
，
．
Ⅰ、．
，
，
，
．
Ⅱ、．
，
，
，
．
不在相应时间范围内，舍去．
当射线第二次从返回，即时，
．
Ⅰ、．
．
，
，
．
Ⅱ、．
．
，
，
．
答：的值为或或或．
【解析】解：（1）∵∠1＝12°，∠1和∠2互为“共轭角”，
∴∠2＝2∠1或∠1＝2∠2．
∴∠2＝2∠1＝24°或．
故答案为：6°或24°．
23．
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
【答案】（1）①，；②
（2）平分，．设，
，
，
平分，
∴
∴
（3）假设射线OC从OB出发，顺时针旋转的度数为x，
本题分四种情况讨论：
①当时，如图，
解得：；
②当时，如图，，解得：；
③当时，如图，，
解得：；
③当时，如图，，
解得：；（舍去）
【解析】【问题探究】（1）①∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵平分，
∴；
∵，
又∵平分，
∴，
∴，
∴②；
24．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则．
（1）如图2，射线在的内部，
若射线是的平分线，则 ；
若，，则 ；
（2）如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒．
当到达时，求的值；
若，求t的值．
【答案】（1）；
（2）解：当到达时，
．
，
∴
当由向运动时，
，
．
解得：．
当由向运动时，
，
．
解得：．
综上所述，t的值为或．
【解析】（1）解：若射线是的平分线，
，即．
．
故答案为∶．
由题意可得∶．
．
．
故答案为∶．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版七年级上数学第5关 角的和差
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．两个角的和与这两个角的差互补，则这两个角（ ）．
A．一个是锐角，一个是钝角 B．都是钝角
C．都是直角 D．必有一个是直角
2．已知O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD=3∠DOE，∠COE= 则∠BOE的度数是（ ）
A． B． C． D．
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，∠AOB 是平角，射线OM 从OA开始，先绕点O按顺时针方向向射线OB 旋转，到达OB 后再绕点O按逆时针方向朝射线OA 旋转，速度为6度/秒.射线ON 从OB 开始，以4度/秒的速度绕点O向OA 旋转，到当ON 到达OA 时，射线OM与ON 都停止运动.当∠BON=2∠MON 时，有以下t的值：①t=15；②t=22.5；③t=30；④t=45.其中正确的序号是( )
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
5． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，点在直线上，过作射线，，一直角三角板的直角顶点与点重合，边与重合，边在直线的下方若三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把 分成大小为1：2的两部分，射线OC 叫作. 的三等分线.若在 中，射线OP 是∠MON 的三等分线，射线 OQ 是 的三等分线，设∠MOQ=x，则∠MON的大小用含x的代数式表示为 ( )
A．或3x或 B． 或3x或9x
C．或 或9x D．3x或 或9x
8．在同一平面内，点在直线上，与互补，，分别为，的平分线，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图．，、分别是∠AOM和∠MOB的平分线，、分别是和的平分线，、分别是和的平分线，…，、分别是和的平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．一副三角板 、 ，如图1放置，（ =30°、 45°），将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，如图2所示，且0°＜ ＜90°，则下列结论中正确的个数有（ ）
① 的角度恒为105°；
②在旋转过程中，若 平分 ， 平分 ， 的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成90°的次数为2次；
④在图1的情况下，作 ，则 平分
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第9题） （第10题） （第11题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，已知∠AOB=120°，∠COD 在∠AOB 内部且 .如果在 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则
12．如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
（第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
13．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC，OD，OE．若∠AOC= 51°，∠BOE =∠BOC，∠BOD=∠AOB，则∠DOE= °
14．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”，如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．
15．如图，在∠AOB的内部有3条射线OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝ ∠BOC，∠BOD＝ ∠AOB，则∠DOE＝ °.（用含n的代数式表示）
16．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序，如图所示，点 ， 在直线 上，第一步， 绕点 顺时针旋转 度 至 ；第二步， 绕点 顺时针旋转 度至 ；第三步， 绕点 顺时针旋转 度至 ， 以此类推，在旋转过程中若碰到直线 则立即绕点 反方向旋转.当 时，则 等于 度.
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．将一副直角三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上（直角三角尺和直角三角尺，，，，）．保持三角尺不动，将三角尺绕点O顺时针方向转动．当转动至射线上时，三角尺停止转动．
（1）如图2，当平分时，的度数为__________．
（2）三角尺转动到如图3所示的位置，使得、同时在的右侧，猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（3）在三角尺转动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
18．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒．
（1）当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）；
（2）当射线平分时，求的值．
（3）如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止．
①当时，求的值．
②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系．
19．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
20．如图．已知，平分．
（1）在图1中，若，，则的度数为______°，的度数为_____°；
（2）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究图2中和之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）若从图2的位置继续绕点顺时针旋转，和的数量关系是否会发生变化？若变化，请你画出发生变化时，射线所在的区域（用阴影表示)，并写出变化后的数量关系；若不变化，请简要说明理由．
21．定义：从∠α（45°＜α＜90°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为余角，则称该射线为∠α的“分余线”．
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝50°，请判断OC是否为∠AOB的“分余线”，并说明理由；
（2）若OC平分∠AOB，且OC为∠AOB的“分余线”，则∠AOB＝ ；
（3）如图2，∠AOB＝155°，在∠AOB的内部作射线OC，OM，ON，使OM为∠AOC的平分线，ON为∠BOC的“分余线”．当OC为∠MON的“分余线”时，请直接写出∠AOC的度数．
22．若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”．
（1）已知且和互为“共轭角”，则 ；
（2）如图，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数；
（3）如图，，，射线从绕点逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止二者同时出发，设运动时间为秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求的值．
23．
图1 图2 图3
【问题提出】如图1，（），OC在内，OD在外，OM平分，ON平分，试探究和的数量关系．
（1）【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若．
①直接写出的大小是 ▲ ，的大小是 ▲ ；
②直接写出的值．
（2）【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立
（3）如图3，，在绕着点O旋转一周的过程中，OM平分，ON平分，当时，直接写出的大小．
24．如图1，射线在的内部，与的大小之比定义为射线的分割值，，n为射线与的“分割值”，记为&（，）． 例如，，则，即&（，），反之&（，），则．
（1）如图2，射线在的内部，
若射线是的平分线，则 ；
若，，则 ；
（2）如图3，，，射线从位置开始，绕点D按顺时针方向匀速旋转，到达时立即原速返回，射线从位置开始，绕点C按顺时针方向匀速旋转，当到达时，也停止运动，设旋转的时间为t秒．若射线旋转的速度为每秒，射线旋转的速度为每秒．
当到达时，求的值；
若，求t的值．
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