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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第6关 一次函数
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y=-| kx+1|+b(k，b为常数，k≠0)的图象上，下列说法正确的是( )
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
2．为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．4 B． C． D．
（第2题） （第3题） （第5题） （第6题）
3．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
4．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3） C．（ ， ） D．（ ， ）
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=x
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ．
12．定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
15．如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ．
16．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点．
（1）如图，点，的坐标分别为______，______；
（2）如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：；
（3）如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值．
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点两点，一次函数与轴，轴分别交于点两点，两直线相交于点，已知．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，过点作平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，连接，．
①点是直线上一动点，设的面积为的面积为，若，求出点的坐标；
②点是直线上一动点，是否存在动点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
（1）如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
（2）如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
（3）如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
21．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．
（1）如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”．
（2）已知为的“中根线”，．
如图2，若，求的面积；
如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
23．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
24．已知，如图1，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
（1）求点的坐标和的值；
（2）如图2，点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，当点对应点刚好落在轴上时，求ME所在直线解析式；
（3）在直线AB上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.
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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第6关 一次函数
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y=-| kx+1|+b(k，b为常数，k≠0)的图象上，下列说法正确的是( )
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
【答案】A
【解析】由题知，函数y=| kx+1|的图象是将函数y=kx+1图象在x轴下方的部分关于x轴对称到x轴的上方，函数y=-|kx+1|的图象与函数y=|kx+1|的图象关于x轴对称，函数y=-| kx+1|+b的图象可由函数y=-| kx+1|的图象向上(或向下)平移|b|个单位长度得到，所以函数y=-lkx+1|+b的大致图象如图所示.由函数的图象可知，函数图象上的点，纵坐标越大，这个点离直线 越近.当 时， 即 所以A 选项符合题意，C选项不符合题意.当 时，点A 在直线 的左侧，点B 在直线 的右侧，但这两个点离直线y=b的远近无法判断，所以B、D选项不符合题意.
故答案为： A.
2．为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，，，，
，整理得：，
当，时，
，或，，，
，或，整理后均不符合条件，
由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成：
一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为，
则动点P的轨迹长度为，
故选：C
3．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP⊥AB于点A．若点C是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则OD的长为（ ）
A．2或+1 B．3或 C．2或 D．3或+1
【答案】D
【解析】∵直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，
∴A（1，0），B（0，2）．
∴OA＝1，OB＝2．
∴AB＝．
∵AP⊥AB，点C是射线AP上，
∴∠BAC＝90°，即∠OAB＋∠CAD＝90°，
∵∠OAB＋∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，
若以C、D、A为顶点的三角形与△AOB全等，则∠ACD＝90°或∠ADC＝90°，
即△ACD≌△BOA或△ACD≌△BAO．
如图1所示，当△ACD≌△BOA时，∠ACD＝∠AOB＝90°，AD＝AB，
∴OD＝AD＋OA＝＋1；
如图2所示，当△ACD≌△BAO时，∠ADC＝∠AOB＝90°，AD＝OB＝2，
∴OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．
综上所述，OD的长为3或＋1．
故答案为：D．
4．定义：平面直角坐标系中，若点A到x轴、y轴的距离和为1，则称点A为“和一点”．例如：点到x轴、y轴距离和为1，则点B是“和一点”，点也是“和一点”．一次函数的图象l经过点，且图象l上存在“和一点”，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：点A到x轴，y轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
∵一次函数的图象l经过点，
且图象l上存在“和一点”，
∴一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当k最小时，一次函数与图象最右侧点相连，如图；
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最小值为．
当k最大时，一次函数与图象最下面的点相连，如图∶
此时一次函数经过两点，
则有，解得：，即k的最大值为．
∴k的取值范围为．
故选A．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H，
，，
线段绕点O顺时针旋转得到线段，
，，，
，，
，，
当点B在第二象限时，设点B的坐标为（），
则，，，，
，
令，消去m，得，
点C在直线上，
令，则，
所以直线与y轴的交点为，
令，则，
解得，
所以直线与x轴的交点为，
，
，
，
分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，，
则，，，，，
，
，，
，
，
的周长，
当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点，
设直线的解析式为，
把，代入，得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
所以点C的坐标为．
故选：D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象与x轴、y轴交于点M，N，直线：经过点N，且与x轴交于的中点P，以，，为顶点的在第一象限内，将向左平移n个单位，若的各边始终与直线或直线有交点，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，将代入得，，
所以点N的坐标为，
将代入得，，
所以点M的坐标为，
因为点P为的中点，
所以点P的坐标为，
将点N和点P的坐标代入得，，解得，
所以直线的函数解析式为，
根据所给平移方式可知，平移后各点坐标为，，，
当点A在直线上时，n取得最小值，此时将代入得，
，解得；
当点C在直线上时，n取得最大值，将代入得，
，解得，
所以n的取值范围是：．
故选：B．
7．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（ ）
A．90个 B．92个 C．104个 D．106个
【答案】D
【解析】当x＝0时，y＝﹣15，
∴B（0，﹣15），
当y＝0时，0x﹣15，∴x＝12，∴A（12，0），
x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点，
同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点
x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点，
x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个．
故答案为：D．
10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4···时点的个数，再加上两坐标轴上的点，即可得解.
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点是轴上的一个动点，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，连接．则长度的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】如图，过点D作DE⊥y轴于点E.
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC，∠DBC=90°.
∵∠DBE+∠DBC+∠CBO=180°，∠CBO+∠OCB=80°，
∴∠DBE=∠OCB.
在△DBE和△BCO中∴△DBE≌△BCO（AAS），
∴DE=BO.
直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴DE=BO=2，
∴P（-1，1）.
故不论点C怎么移动，点D到y轴的距离固定不变都是2，即点D总在直线x=2上移动.
∴当DP垂直直线x=2时DP最小.
最小值为2+1=3.
故答案为：D.
9．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A．（ ， ） B．（3，3）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】D
【解析】过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝ ，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝ ＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣ ，
即直线CD的解析式是y＝﹣ x+3，即方程组 得： ，
即Q的坐标是（ ， ）．
故答案为：D．
10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．y=x
【答案】B
【解析】设直线l和八个正方形最上面的交点为A，过A作AB⊥OB于点B，过 A作AC⊥OC于点C，如图：
∵正方形边长为1，
∴OB=3，
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴S△AOB=4+1=5，
∴×OB×AB=5，∴AB=，
∴OC=，∴A（，3），
设直线l方程为y=kx，
∵直线l经过点A，∴k=3，∴k=，
∴直线l解析式为：y=x.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，以为斜边向下方作等腰，延长交y轴于点C，连接，过点D作交x轴于点E．点P在线段上，当与的一边平行时，所有符合条件的点P的坐标为 ．
【答案】或
【解析】设与x轴交于点H，过点D作DM⊥y轴于点M，DN⊥x轴于点N，如图所示：
直线分别交x轴、y轴于点A，B，
令，则，令，则，
∴点，点，
∴在中，，，
根据勾股定理得：，
∵是以为斜边的等腰三角形，
∴AD=BD，，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，
∴设，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，∴点，∴，
∵是等腰直角三角形，轴，
∴，∴，
∴点E的坐标为，
当点P在线段上，与的一边平行时，有以下两种情况：
①当时，即轴，如图2所示：
∴点P的横坐标为，
把代入得：，
∴点P的坐标为；
②当时，则，如图3所示：
设直线的表达式为：，
将点，点代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
设直线的表达式为：，
∵，
∴，
将，点代入，得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
解方程组：，得：，
∴点P的坐标为，
∴所有符合条件的点P的坐标为或．
故答案为：或．
12．定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ．
【答案】；
【解析】（1）∵是“好点”，∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，直线上存在“好点”，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
13．如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ．
【答案】；
【解析】作轴于点D，则，
∵点，
∴
∴
∵，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标是，
∴点B的坐标是；
将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，作轴于点H，则，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为，
连接交于点P，连接，
设直线的函数解析式为，
则，解得，
∴，
设直线的解析式为，，解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，解得，
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴当点E与点P重合时，取得最小值，
∴当的值最小时，点的坐标为，
故答案为：，
14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，将直线绕点按顺时针方向旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 .
【答案】
【解析】过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，如图，
∵ ∠ABD=45°，AD⊥AB，
∴ △ABD是等腰直角三角形，
∴ AB=AD，
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠OAB+∠EAD=90°，
∵ ∠OAB+∠OBA=90°，
∴ ∠EAD=∠OBA，
∵ ∠AOB=∠DEA=90°，
∴ △AOB≌△DEA（AAS），
∴ DE=AO，AE=BO，
∵ y=2x-2，
∴ A（1，0），B（0，-2），
∴ OA=1，OB=2，
∴ D（3，-1），
设BC的函数表达式为y=kx+b，
∴，
∴ k=，b=-2，
∴ y=x-2.
故答案为： y=x-2.
15．如图，直线与轴交于点A，与轴交点，直线与轴交于点，与轴交点，连接，点在直线上，使得，则点的坐标为 ．
【答案】或
【解析】对于，
令，则，即，
令，则，即，
对于，
令，则，即，
令，则，即，
，
；
连接交直线于，在上截取，连接，
，
和关于轴对称，
、在轴上，
，
为符合题意的一个点，
，，
，
，
，，，
，
，
为符合题意的另一个点；
，，
直线的解析式为，
，，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
，
由对称性得：的横坐标为，
代入，则，
，
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
16．如图，直线分别与 轴、轴交于点、，是线段上一点，连接，将沿着翻折得，若点落在第四象限，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】过点作轴，垂足为点．
令，则，
解得：．
．
令，则．
．
，．
由勾股定理可得：
．
沿着翻折得．
．
设 ．
在中，，即．
在中，，即．
，
解得：．．
．
设，则．
由勾股定理得：．
即．
，
解得：．
．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图1，
过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点B坐标为，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为，∵过，
∴，
∴，
∴坐标为，坐标为，
设的解析式为，
∴可得，解得，
∴直线的解析式：；
（3）点坐标为
【解析】（3）如图，
作轴于S，作，交于T，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理（1）得，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知：，
设直线的解析式为，则有：
，解得，
∴直线的解析式为，
由，可得，
∴，
延长至，使，连接，
∴，
∴，
∵，，
∴根据中点坐标公式可得：，
∴，
综上所述：点坐标为．
18．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点．
（1）如图，点，的坐标分别为______，______；
（2）如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：；
（3）如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值．
【答案】（1），
（2）证明：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设直线的解析式为，
∵，，∴，
解得：，直线的解析式为，
设，
将点向下平移个单位到点，，
的面积是的面积的倍，
，
解得：或．
【解析】（1）现将点向右平移个单位得到点，
∴，，
∵，，
，
故答案为：，；
19．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点两点，一次函数与轴，轴分别交于点两点，两直线相交于点，已知．
（1）求直线的函数表达式；
（2）如图2，过点作平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，连接，．
①点是直线上一动点，设的面积为的面积为，若，求出点的坐标；
②点是直线上一动点，是否存在动点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵一次函数与轴，轴分别交于点两点，
∴把代入，；把代入，；
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，，
设直线的函数表达式为：，
把，代入，
解得：，，
∴，
故直线的函数表达式为：；
（2）解：①把分别代入和，解得：和；
∴，，
把和联立，解得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
第一种情况：点在线段上，，
，
即，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴点和点重合，即；
第二种情况：点在线段延长线上，，
，
即，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴此种情况不存在，即点不可能在线段延长线上；
第三种情况：点在线段延长线上，，
，
即，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
把代入，，
∴，
综上所述：点坐标为或；
②存在，连接，延长交于点，另外一种情况是点关于点的对称点，
如图：
∵线段平行于轴，，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∴点即为所求，
∵是的垂直平分线，，，
∴点和点关于轴对称，
∴，
设直线解析式为，
把，代入，解得：，，
∴，
把代入，解得，
∴，
∵点关于点的对称点，
∴，
∴，
∵点和点关于轴对称，点关于点的对称点，
∴，
把代入，解得，
∴，
综上所述点的坐标为或；
20．直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P．
（1）如图1，若交y轴于点G，，，求的大小；
（2）如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式；
（3）如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标．
【答案】（1）解：分别交、轴于、两点，
令，得，即，
令，得，即，
，
点坐标为，
，
，，
，，
，，
，
，
，
在中，。
（2）解：由（1）可知，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
如图，过作轴，且，连接，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长，
的最小值为，
，
，，
，
，
，
直线的表达式为。
（3）解：，
，
是中点，
，，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
过点作交于点，
设直线的解析式为，
将代入得，，
直线的解析式为，
令，
解得，
，
，
过作于点，
与的夹角是，
，
，
，
过作轴交轴于点，过作于点，
，
在和中，
，
，
，，
设，
，，
，，，，
，
解得，
，
设直线解析式为，将，代入得，
，解得，
直线解析式为，
再联立直线和直线解析式得，，解得，
．
21．定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．
（1）如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”．
（2）已知为的“中根线”，．
如图2，若，求的面积；
如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：作的中线，如图：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴为“中根三角形”
（2）解：①过B作于K，如图：
∵为的“中根线”，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵为的中线，
∴，
∴的面积为；
②存在，理由如下：
如图：
设直线上的点C坐标为，
∵为的“中根线”，，
∴，
∵有且只有一个点C落在直线上，
∴有两个相等实根，
即有两个相等实根，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A．
（1）求点A的坐标及的面积．
（2）在线段OA上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线AC交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过点A作y轴的垂线AE，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：由题意得：
解得．
∴．
把代入得．
∴．
∴
（2）解：存在．
如图1：设，则．
∴．
∵轴交y轴于点H，
∴．
∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：或
【解析】（3）如图2：
∵，当．
．
∴．
过点B作与AM的延长线交于点N．
∴是等腰直角三角形．
∴．
过点N作NF⊥x轴于点F．过点A作AG⊥x轴于点G．
易证．
∴，．
∵，．
∴，．
∴．
∴．
设NA的直线解析式为，
把，的坐标分别代入
得，
解得：
∴
令，得．
∴．
如图3：点E坐标为（0，3）由对称性可知．
综上所述：或．
23．在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，过点A的直线与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求正比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的倍，求直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，在线段上找一点D，使平分，求点D的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：，
解得：，
正比例函数的表达式．
（2）解：当点在轴负半轴时，根据题意可画出图形，如图1所示，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，
则，，
设的面积为，则的面积为，
的面积为，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
直线的解析式为；
当点在轴正半轴时，如图2所示，
设的面积为，则的面积为，
∴，即，
，，
，即，
令，则，
，
，
，即，
将，代入函数解析式得：
，
解得：，
∵0直线的解析式为.
（3）解：如图，∵角平分线OC在y轴上，
∴作点关于轴的对称点，连接，与直线AB相交于点D，如图：
由对称可知，，即平分，
平分，
由对称可知，，
直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
．
24．已知，如图1，直线AB：y=kx-k-4，分别交平面直角坐标系于A，B两点，直线与坐标轴交于C，D两点，两直线交于点；
（1）求点的坐标和的值；
（2）如图2，点是轴上一动点，连接ME，将沿ME翻折，当点对应点刚好落在轴上时，求ME所在直线解析式；
（3）在直线AB上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：把E(a，-a)代入得：，解得，
把代入得：，解得，
点的坐标为的值是2；
（2）解：①当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
由(1)知直线AB解析式为，
在中，令得，
设，则，
在Rt中，，
解得，
设直线EM解析式为，把代入得：，解得，
直线EM解析式为；
②当的对应点在轴正半轴时，如图：
与重合，即，此时ME的解析式为
综上所述，ME所在直线解析式为或；
（3）解：在直线AB上存在点，使得，理由如下：
当在CE右侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
是等腰直角三角形，，
，
，
设
，
，解得，
由可得直线CH解析式为，
解得
∴
当在CE左侧时，过作于，过作轴，过作于，过作于，如图：
同理可得，由可得CR解析式为，解得；
综上所述，的坐标为或.
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