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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第1关 角平分线的性质
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上Rt△ABC的动点，则PC+PQ的最小值是 ( )
A．4.8 B．5.6 C．6.4 D．3.9
3．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（第5题） （第6题） （第7题）
6．如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：
①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤，
正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
10．如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是 ．
12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
13．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
15．如图，在中，设，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则度数是 ．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
18．如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）当是等腰三角形时，求的度数．
19．感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
20．在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
21．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．
【理解定理】
（1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____；
【问题解决】
（2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和．
22．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于.
（1）求证：；
（2）若，连接，，，求的长度；
（3）如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：.
23．【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，．
，．
，．
，的周长为：．
（1）【知识应用】在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在B边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，求证：平分；
（3）【拓展应用】如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点连接，过点P作．若，，，直接写出长．
24．如图
（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第1关 角平分线的性质
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在纸片中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，过点作于E，于F，如图所示，
则，
由折叠可知，，
∴，∴是等边三角形，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，，∴，
∴，∴，
即，
∵，∴，
即．
故答案为：D.
2．如图，在中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上Rt△ABC的动点，则PC+PQ的最小值是 ( )
A．4.8 B．5.6 C．6.4 D．3.9
【答案】A
【解析】如图所示，过点D作AB的垂线段DG，再过点G作AC的垂线段GH，连接PG、QG.
是直角三角形且
平分
，即点C、G关于AD对称
，即
，即的最小值为GH
此时可过点C作AB的垂线段CK，连接CG.
∵
∵
∴
即PC+PQ的最小值是4.8
故答案为：A .
3．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB， PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，，∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故答案为：C.
4．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
5．如图，中，、的角平分线、交于点P，延长、、，，则下列结论中正确的个数（ ）
①平分； ②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】如图，过点作于，
平分平分，
，，
，
，，
点在的角平分线上，故①正确，符合题意；
，
，
，
在和中，，
，
，
同理：，
，
，
正确，符合题意；
平分平分，
，
正确，符合题意；
由可知，，，
，
，故正确，符合题意；
故选：．
6．如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】①在中，，∴，
∵平分平分，∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，∴BC=BG，
∵BC=AC，∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
7．如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，过点作于点．
，，，
平分，，
，，
，，
，，
，，
，故①正确，
平分，，，，
，，
，，
，故②正确，
在和中，，，
，
，，，，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，，，
，
，故③④正确；
若成立，
则有，
显然，，
∴④不正确，
故答案为：A．
8．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：
①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤，
正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】①∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BAC=60°
∴∠PBC+∠PCB=×（180°-∠BAC）=×（180°-60°）=60°，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=120°，
故①正确，符合题意；
②过点P分别作出PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，如图所示：
∵BE、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴PF=PG=PH，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故②正确，符合题意；
③∵假设AP=PC，则∠PAC=∠PCA，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，这与题干中任意画一个∠BAC=60°的△ABC不符合，
故③不正确，不符合题意；
④∵∠BAC=60°，∠AFP=∠AGP=90°，
∴∠FPG=120°，∴∠DPF=∠EPG，
在△PFD和△PGE中，，∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD=PE，
在Rt△BHP和Rt△BFP中，，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理可得：Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH=BD+DF，CH=CE-GE，
两式相加可得：BH+CH=BD+DF+CE-GE，
∵DF=EG，∴BC=BD+CE，
故④正确，符合题意；
⑤∵AP是∠BAC的角平分线，
∴点P到AB和AC的距离相等，∴S△ABP：S△ACP=AB：AC，
故⑤正确，符合题意；
综上，正确的结论是①②④⑤，共4个，
故答案为：B.
9．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，AC＝5，BC－AB＝2，则△ADC面积的最大值为（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．5
【答案】B
【解析】如图，延长CD、BA，交于点G，过G作GH⊥AC，交CA的延长线于点H，
∴∠GHA=90°，
∵BD平分∠ABC，BD⊥CD，
∴∠DBG=∠DBC，∠BDG=∠BDC=90°，
在△BDG和△BDC中，，∴△BDG≌△BDC（ASA），
∴BC=BG，CD=DG，
∴，
又∵∠GHA=90°，AC=5，
∴，∴，
∵BC-AB=2，∴BG-AB=AG=2，
∵GH≤AG，即GH≤2，
∴当G点与H点重合时，即AC⊥BG时，可得GH=AG=2，此时GH达到最大，
∴则GH的最大值为2，∴△ADC的最大面积为：，
故答案为：B．
10．如图，在中，和的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于B，BF交AC于F，过点O作于D，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
【答案】C
【解析】①∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，∴，，
故
∴，①正确；
②如图，在AB上取一点H，使BH=BE，连接OH，
∵∠C=60°，∴∠BAC+∠ABC=120°，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，
∴，，∠HBO=∠EBO，
∴
∴，
∴∠BOE=180°-∠AOB=60°，
在△HBO和△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH=∠BOE=60°，
∴∠AOH=180°-∠BOH-∠BOE=180°-60°-60°=60°，
∵∠AOF=∠BOE=60°，∴∠AOH=∠AOF，
在△HAO和△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF=AH，
∴AB=BH+AH=BE+AF，故②正确；
③过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，且ON⊥AC，OM⊥AB，OD⊥BC，
∴ON=OM=OD=a，
∵AB+AC+BC=2b
∴==ab；③正确．
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点P，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②④
【解析】∵、分别是与的角平分线，，
∴，，
∴，
∴，∴，故①正确；
过点作于，于，于，
∵、分别是与的角平分线，∴，，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，，∴，
∴，
∵，，∴，
∴，
在和中，，∴，
同理可得：，
∴，，
两式相加可得：，
∵，∴，故④正确；
没有条件得出，故③错误；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④
12．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
【答案】50°
【解析】分别过点P作PN⊥BD于点D、PM⊥AC于点G、PF⊥BA交BA延长线于点F.
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=∠ACD，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC＝∠ABC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC、∠PCD=∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC=∠BAC=40°，即∠BAC=80°，
∴∠CAF=180°-∠BAC＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠PAF=∠PAC=∠CAF=50°．
故答案为：50°．
13．如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ．
【答案】2
【解析】连接，，如图所示：
∵点O为的三条角平分线的交点，，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可证，，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，，，，
∴，即，
解得：，
∴，
故答案为：2．
14．如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则.其中正确的是 ．
【答案】①②
【解析】解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，
∵ ∠A＝90° ，角平分线CE、BD交于点I，
∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，
∵ IF⊥CE ，
∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；
∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，
∴△FCI≌△MCI（ASA），
∴CF=CM，
∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，
∴△MBI≌△EBI（ASA），∴BE=BI，
∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；
∵ AB＝3，AC＝4 ， ∠A＝90° ，∴BC=5，
∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，
∴EA=EH，
∵△ACE的面积=AC·EA，△BCE的面积=BC·EH，
∴AE：BE=AC：BC=4：5，
∵AE+BE=AB=3，
∴BE=，BM=，∴CF=CM=5-=，
∴AF=4-=，故③错误.
故答案为：①②.
15．如图，在中，设，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则度数是 ．
【答案】
【解析】是的外角，
．
是的平分线，是的平分线，
，，
是的外角，
．
同理，可得：，，，，，
为正整数，
．
故答案为：．
16．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三条角平分线AD，BE，CF交于点O，OH⊥BC于点H．下列结论：①∠BOC＝120°，②∠DOH＝∠OCB－∠OBC，③OD平分∠BOC，④OE＝OF，其中正确的结论序号有 ．
【答案】①②④
【解析】①∵，∴，∴.
∵，，
∴，故①正确；
②∵于H，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，故②正确；
③∵，，∴，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴，∴，故③错误；
④如图，过点O作于点M，于点N，
∵平分，∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∵，，∴.
∵，，∴，∴，故④正确.
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点D，交于点
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，，
和的角平分线相交于点C，
，，
，
，
平分，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
∴，
∴∠BCD=∠D，
∴，
是等腰直角三角形；
（2）解：过点C作于点E，于点H，如图所示，
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，∠CFB=90°，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，，
，
，
，
由（1）可知，，
又∵，，
∴，
，
∵在中，∠CFB=90°，，，
∴，
，
在和中，，，
，
，
∵在中，∠O=90°，，，，
∴，
，
解得：，
．
18．如图，已知等腰中，，，交于点，平分，与交于点，与交于点．
（1）当时，求的度数；
（2）猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）当是等腰三角形时，求的度数．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（2）解：∠BEC=45°+∠P；理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
是等腰三角形，
当时，
，
在中，，
，
解得，不能构成三角形，此种情况不存在；
当时，
在中，，
，
解得：；
当时，
，
在中，，
，解得：，
综上可得：的度数为或．
19．感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
【答案】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
应用：2．
【解析】
应用：
解：如图③，连接、过点作于，交的延长线于，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为2．
20．在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
【答案】（1）解： ①∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，即AB-BE=AC+CF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+BE，即10-BE=6+BE，
∴BE=2；
②∵∠BAC=80°，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=360°-80°-90°-90°=100°，如图1，连接BD，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=∠EDF=100°，即∠BDC=100°，
∵BD=CD，
（2）解：如图2，延长GF交AB于H，
∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠AFE=∠DFB=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°，
∴∠AFH=∠DFG=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
在△AFH和△AFE中，
∴△AFH≌△AFE(ASA)，
∴
在和中，
∴
在中，
∴
21．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理．
【理解定理】
（1）如图1，已知平分，于，于，若，则_____；
【问题解决】
（2）如图2，点B，D，C分别是，和上的一点，且满足，．求证：平分；
【变式应用】
（3）如图3，在中，，，为的中点，E，F分别为，上一点，且．求和的面积和．
【答案】（1）1；
（2）证明：过作于，过作于，如图所示：
，，
，
，，
，
，
平分；
（3）连接，过作于，于，
，为的中点，
，平分，，
，，平分，
，
，，，
，
，
和中，
，
，
，
由，可得：，
，即，
，
，
和的面积和
的面积．
【解析】（1）解：平分，于，于，
，
，
；
故答案为：1；
22．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于.
（1）求证：；
（2）若，连接，，，求的长度；
（3）如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：.
【答案】（1）证明：过作交于.则，
又∵，∴，
∴.
（2）解：∵，
∴.
∴，又.
∴，又是等腰.
∴，又.
设，则，.
在中，，
解得：.
∴
（3）证明：在上截取，连接，又∵，，
∴，∴，，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∴.
即：.
23．【母题呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
的周长为：．
（1）【知识应用】在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在B边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P连接．如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，求证：平分；
（3）【拓展应用】如图3，在中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点连接，过点P作．若，，，直接写出长．
【答案】（1）解：由折叠得，cm，
；
（2）证明：如图，过点P分别作AB、ED、AC边的垂线垂足分别为点F、H、M，
由折叠得∠BDC=∠BDE，
又∵PM⊥CD，PH⊥DE，
∴PM=PH，
平分，PH⊥DE，PF⊥AB，
∴PH=PF，
∴PF=PM
∴AP平分∠CAB；
（3）解：如图，过点P分别作BC、AC边的垂线，垂足分别为点G、M，连接PC，
由折叠得，
∵PG⊥BC，PH⊥AB，
，
由（2）可知，
，
，
，
即，
解得
24．如图
（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：；
（2）在中，，，是角平分线，，．
①应用探究如图（2），若，求证：；
②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）证明：作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为M、N，
∵是角平分线．
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴
（2）解：①在AB上取点E，使AE=AC，连接ED，作∠BDE的角平分线DF交AB于F点，
∵在中，，，
∴，
∴是角平分线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
又∵是角平分线，．∴．
∴，∴，
，
∴，∴，
∵是角平分线，
∴，即，
∴即；
②
【解析】（2）②解：如图，连接BQ，作点D关于BQ的对称点D'，连接BD'，CD'，CD'与BQ相交于点Q'，
∵∠ACB=∠PCQ=，
∴∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，CP=CQ，
∴△BQC≌△APC（SAS），
∴∠CBQ=∠CAP，
∵BQ是定直线，
∴D'Q'+Q'C=DQ'+Q'C≤DQ+QC，
当Q在点Q'时，CQ+DQ最小，
由对称性可得∠D'BQ=∠CBQ，BD'=BD，
∴BD'∶BC=D'Q'∶Q'C=BD∶BC=m∶(m+n），
∴当CQ+DQ最小时，.
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