中小学教育资源及组卷应用平台
期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第2关 对称轴与最值
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．3
3． 如图， 边长为4的等边△ABC中， BF是AC上中线， 点D在BF上， 连接AD， 在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF 周长的最小值是( )
A．6 B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，当四边形的周长最小时，m的值是（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
6．如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
7．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．
8．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
13．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC．（1）∠AFE＝ 度；（2）如果AF＝3，BF＝5，则CE＝ ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ．
15．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
16．如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌ABCD的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P，Q处．
（1）在图1中，先在边BC上画点E，使，再在边上画点F，使；
（2）在图2中，先在边上画点G，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球Q．
18．综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
19．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
（2）应用：
①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________．
（3）拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________．
21．如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得．
（1）的度数为______；
（2）探究线段，，的数量关系；
（3）如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，．
①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）；
②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）．
22．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
（1）【性质探究】如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是： ；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是： .
（2）【概念理解】如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为，△EAB与△DAB关于所在的直线对称，△FAC与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
（3）【应用拓展】如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：∠BAC=∠FEG.
23．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上，以B为直角顶点，在AB上方作等腰Rt ABC.
（1）如图1，若点B的坐标为（0，1），则C点的坐标是 .
（2）如图2，若点B在y轴正半轴上，OD平分∠AOB交AC于D，求证：AD＝CD；
（3）如图3，若点B为y轴上的一个动点，连接OC，当AC+OC值最小时，求B点坐标.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第2关 对称轴与最值
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM．
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，
∴是等边三角形，
∴，，
，
、、，
，，
∴，∴，
∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为，
此时再连接CD，则CD＝AC、，
∴，，∴，
，即：点的纵坐标为；
故选：C．
2．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】过C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点F，作M关于AD的对称点E，连接EF，
∵E是M关于AD的对称点，
∴AM=AE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAF=∠EAF，
∵AM=AE，∠MAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AMF≌△AEF（SAS），
∴MF=EF，
即FE+FC=MF+FC，
MF+FC的最小值为△ABC中AB边上的高CM，
∵△ABC的面积为6，AB=5，
∴，
∴ ，
即FE+FC的最小值为；
故答案为：B.
3． 如图， 边长为4的等边△ABC中， BF是AC上中线， 点D在BF上， 连接AD， 在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF 周长的最小值是( )
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，∴，∴，
∵是上中线，
∴，，，
∴，，点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
∵，，
∴是等边三角形，∴，
∵，∴，
∴周长的最小值：，
故答案为：B .
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，当四边形的周长最小时，m的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】∵C（m＋2，2），D（m，2），
∴CD∥x轴，CD＝2，CD所在直线的解析式为y＝2．
∵A（0，1），B（4，0），
∴OA＝1，BO＝4，
∴AB=，
∵四边形ABCD的周长＝AB＋CD＋BC＋AD，
∴求四边形ABCD的周长的最小值，就是求BC＋AD的最小值，
将点A向右平移2个单位长度得到点E，则AE＝2，AE∥x轴，E（2，1），如图所示，
∴AE∥CD，AB＝CD＝2，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC．
作点E关于CD的对称点F，则F（2，3），连接CF，FB，FB交CD于点K，
∴CF＝CE，
∴CF＝AD，
∴BC＋AD＝BC＋CF，
∵BC＋CF≥BF，
∴BC＋AD≥BF，
∴当点C与点K重合时，BC＋AD取得最小值，四边形ABCD的周长取得最小值．
设直线BF的解析式为y＝kx＋b，
∴，∴，∴直线BF的解析式为y＝x＋6．
令y＝2，则2＝x＋6．∴x＝，
∴C（，2），∴m＋2＝．
∴m＝．
故答案为：B．
5．如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【解析】如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF、EF，则EB=EF，
∵∠B+∠C=150°，∴∠BEC=180°-（∠B+∠C）=30°，
∵点B与点F关于EC对称，
∴∠BEC=∠FEC=30°，∴∠BEF=60°，
∴△BEF是等边三角形；
连接BP、PF、PQ，则BP=FP，
∴BP+QP=FP+PQ，
∴当F、P、Q在同一直线上，且FQ⊥EB时，则BP+PQ最小值为FQ的长，此时，Q为EB的中点，故与A点重合，
∵DA⊥AB，DA=6cm，∴AE=cm，
在Rt△QEF中，cm，
∴BP+PQ的最小值为18cm.
故答案为：D.
6．如图，在中，，，E、F为上的动点，且，连接，当取得最小值时，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】如图，作点C关于直线的对称点D，连接，，延长到H，使得，连接，，．
∵，，
∴，
∵C，D关于对称，
∴，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∵在和中，，∴，
∴，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为线段的长，
∴当点E在上时，取得最小值，
此时如图，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为1，
故答案为：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】将线段BD向下平移到AE的位置，作点C关于原点的对称点C'，连接诶C'A，EC'，如图所示：
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，0），
∴点E的坐标为（4，-2），点C'的坐标为（-1，0），
∵AC+BD=C'A+AE≥EC'，
∴AC+BD的最小值=EC'=，
故答案为：D.
8．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，作点P（6，2）关于直线y=x的对称点P'，则P'（2，6），
连接P'M，则P'M=PM，
∴PM+MN=P'M+MN，
欲求PM+MN的最小值，即求P'M+MN的最小值，
当P'N⊥直线 时交直线y=x于点M，此时P'M+MN的值最小，即为P'N的长，
可设直线P'N为y=-2x+b，
把P'（2，6）代入y=-2x+b中，得b=10，
∴y=-2x+10，
令-2x+10=x，
解得：x=4，
∴y=-2x+10=2，∴N（4，2），
∴P'N==，
故答案为：B.
9．如图，分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记，当最小时，则关于的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，作点M关于OB的对称点M'，点N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OB于点P，交OA于点Q，连接MP、PQ、QN，则MP+PQ+QN最小；
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠OPM=∠1-∠O=∠1-30°，
∵点M与点M'关于OB对称，
∴∠OPM=∠OPM'，∠OPM'=∠QPN，
∴∠QPN=∠1-30°，
∵∠QPN=∠OQP+∠O=∠OQP+30°，∠3=∠O+∠2=∠2+30°，
∴∠NQN'=∠QPN+∠2=∠1-30°+∠2，
又∵∠N'QN=2∠3
∴∠1-30°+∠2=2（30°+∠2）
∴∠1-∠2=90°.
故答案为：C.
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】∵BD是△ABC的角平分线，∴
∴BD垂直平分AC，∴∴
∵∴则①正确；
∵∴
∵BD是△ABC的角平分线，∴∴∴
∵∴
∵∴∴∴
∴则②正确；
∵
∴当AP+PQ最小时，PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于M，如图：
当点P在AM和BD的交点上时，
此时AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴
∴
∵
∴则③错误；
过点P作PN⊥AB于点N，如图：
∵PA平分∠BAC，PD⊥AC，∴
∴
∵∴则④正确；
综上所述，正确的有：①②④，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝ ，AF＝ .
【答案】5；
【解析】连接BF，如下图，
∵点B和点F关于直线DE对称，∴
∵D为AB中点，∴
∴
∵∴
∴
∵∴
∵∴
∴
在中，
∵
∴
解得：
故答案为：.
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则的长的最小值为 ．
【答案】6
【解析】如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，
点的坐标为，
点为的中点，
是等边三角形，，
，
，
，
在和中，，
当有最小值时，有最小值，即轴时，有最小值，
的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
13．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在边AB上的点F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC．
（1）∠AFE＝ 度；
（2）如果AF＝3，BF＝5，则CE＝ ．
【答案】（1）90
（2）
【解析】因为 等腰三角形 ABC中， AB＝AC ，所以根据折叠关系可得：则又因为 FD⊥BC ，所以所以故即所以
（2）因为所以故设则根据折叠关系可得：
在中，解得则
故答案为：90，.
14．如图，在长方形中，，．点、点分别在、上，且，点是边上的动点，点是边上的动点．则的是小值是 ．
【答案】41
【解析】作点E关于CD的对称点E'，点F关于AB的对称点F'，
则EG= E'G，HF=HF'，
∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'，
连接E'F'，交AB、CD于H、G点，BG+HG+HF的最小值即为E'F'的长，
过点E'作E'H⊥BC，交BC的延长线于H，
则F'H=14+2×13=40，E'H =9，
在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41，
∴BG+G+HF的最小值为：41，
故答案为：41．
15．如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于点E，F，G分别是线段AB和线段AC上的动点，且AF=CG，若DE=1，AB=2，则DF+DG的最小值为 .
【答案】
【解析】连接BC，
∵AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BAC，∠ADB=∠CDB，∠AED=180°-180°÷2=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DA=DC，
同理：DA=BA，
∴DC=AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
如图.在AC上取点B'，使AB'=AB，连接FB'，作点D关于AB的对称点D'，连接D'F、DD'.
作B'H⊥CD于点H，作B'M⊥DD'于点M.
∴DF=D'F，
∵AF=CG，∠B'AF=∠DCG，AB'=AB=CD，
∴△B'AF≌DCG（SAS），
∴B'F=DG，
∴DF+DG=D'F+B'F，
∴当B'、F、D'三点在同一直线上时，DF+DG=D'F+B'F取最小值为B'D'.
∵DE=1，AD=AB=2，
∴∠DAE=30°，∠ADE=60°，
∴AC= AD=2 ，CB'=2 -2，
∴B'H= B'C= -1，CH= B'H=3- ，∴DH=DC-CH=2-（3- ）= 1，
∵四边形DHB′M是矩形
∴DM=B'H= -1，MB′=DH= ，
∴D'M=DD'-DM= AD-DM=2 -（ -1）= +1，
∴D'B'= .
即DF+DG的最小值为2 .
故答案为： .
16．如图，∠AOB＝30°，M，Q在OA上，P，N在OB上，OM＝1，ON＝，则MP+PQ+QN的最小值是 ．
【答案】
【解析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，
连接M′N′，则M'N'即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，OM=OM'，ON=ON'
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′＝90°，
∴在Rt△M′ON′中， ．
故答案为： ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌ABCD的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点P，Q处．
（1）在图1中，先在边BC上画点E，使，再在边上画点F，使；
（2）在图2中，先在边上画点G，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球Q．
【答案】（1）解：如图1中，点E，点F即为所求；
（2）解：如图2中，点G即为所求，路径即为所求．
18．综合探究：
“在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
（1）直接写出图1中的面积是______；
（2）若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积．
（3）拓展应用：求代数式：的最小值．
【答案】（1）
（2）解：∵的边长分别为、、（，，且），
∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：
由图可知：S△MNP=；
（3）解：，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：
设，，，
则：，
过点作轴的对称点，
则：，，
当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长，
∵，，
∴．
∴的最小值为5．
【解析】
（1）解：由图可得：S△ABC=；
故答案为：；
19．如图，直线：与x轴相交于点A，直线：经过点，与x轴交于点，与y轴交于点C，与直线相交于点D．
（1）求直线的函数关系式；
（2）点P是上的一点，若的面积等于的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）设点Q的坐标为，是否存在m的值使得最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵ 直线：经过点，与x轴交于点，
∴，解得：，∴直线的函数关系式为；
（2）解：，解得：，∴点的坐标为；
当时，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，
∴直线垂直平分，∴，
∴，此时的最小值为，
则点即为所作，其坐标为，
∵，∴，
∵，
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为，
∵在直线上，∴，解得：，
∴当的值为时，的值最小．
20．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线同旁的两个定点．
问题：在直线上确定一点，使的值最小．
解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．
（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；
（2）应用：
①如图2，已知，其内部有一点，在的两边分别有C、D两点（不同于点），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；
②如图3，，点M、N分别在边上，且，点P，Q分别在上，则的最小值是________．
（3）拓展：如图，在四边形中，，在上分别找一个点M，N，使的周长最小，则________．
【答案】（1）解：由题意，作图如下：
（2）解：①由题意，作图如下：
由作图可知：，，
∴，
∴为等边三角形，∴，
∴周长的最小值；
②：3.
（3）140
【解析】
解（2）②如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，与的交点即为点，此时的值最小为的长，
由对称可知：，
，
∴，，即，
∴为等边三角形，
∴，
即：的最小值为3；
（3）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小为的长，
由对称性可知：，
∵，
∴三点共线，三点共线，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
21．如图，在中，，，为上方一个点，且，过点作直线交线段于点，交线段于点，且使得．
（1）的度数为______；
（2）探究线段，，的数量关系；
（3）如图2，画出关于直线的对称图形，得到，连接，．
①若长为、长为，求四边形的周长（用含，的式子表示）；
②若，，请直接写出的面积（用含，的式子表示）．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
即：；
（3）解：①，，
为等边三角形，
与关于直线对称，
为等边三角形，
，，
由（2）得：，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，，
四边形的周长
；
②如图，连接，
由（2）得：，
设，
，，
，
又，
，
为等边三角形，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
与关于直线对称，
，
，
解得：，
的面积为．
【解析】
（1）
解：，，
，
，
故答案为：.
22．【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图1，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
（1）【性质探究】如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是： ；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是： .
（2）【概念理解】如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为，△EAB与△DAB关于所在的直线对称，△FAC与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明；
（3）【应用拓展】如图3，在（2）的条件下，连接，分别交、于点、．求证：∠BAC=∠FEG.
【答案】（1）BD垂直平分AC；∠ADB=∠CDB
（2）解：图中的“筝形”有：四边形AEBD、四边形ADCF、四边形AEGF；
证明四边形AEBD是筝形：
由轴对称的性质可知， ；
四边形AEBD是筝形
（3）证明：如图3中，
由轴对称的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
，
.
【解析】（1）∵AD=CD，AB=BC
∴DO⊥AC，BO⊥AC，∠ADB=∠CDB
∴AC⊥BD
故答案为：AC⊥BD；∠ADB=∠CDB.
23．在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；CG
（2）解：，证明如下：
如图，在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】（1）①∵，射线，的夹角为，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
②如图，连接，
∵点B关于直线的对称点，∴垂直平分，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，
∴；
故答案为：
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上，以B为直角顶点，在AB上方作等腰Rt ABC.
（1）如图1，若点B的坐标为（0，1），则C点的坐标是 .
（2）如图2，若点B在y轴正半轴上，OD平分∠AOB交AC于D，求证：AD＝CD；
（3）如图3，若点B为y轴上的一个动点，连接OC，当AC+OC值最小时，求B点坐标.
【答案】（1）（1，4）
（2）证明：如图，将 ABC沿着AC翻折得到 AGC，分别过点C，点G作坐标轴的垂线，与坐标轴的交点记为点E，点H，两条垂线相交于点F，连接OF，交AC于点P，
由（1）得 ，
∵ ABC为等腰直角三角形， ABC沿着AC翻折得到 AGC，
∴ AGC为等腰直角三角形，
∴同理可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∵OD平分∠AOB交AC于D，∴ ，
∴点D与点P是同一个点，
∵EF⊥y轴，x轴⊥y轴，∴EF x轴，
∴ ，
在 APO与 CPF中， ，∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
由（1）可得： ，
∴BE＝AO，CE＝BO，
设点B的坐标为（0，a），
又∵点A的坐标为（3，0），
∴BE＝AO＝3，CE＝BO＝a，
∴OE＝BO＋BE＝3＋a，
∴点C的坐标为（a，a＋3），
∴点C在直线y＝x＋3的图象上，
如图，设直线y＝x＋3与x轴交于点M，作点O关于直线y＝x＋3的对称点N，连接AN，交直线y＝x＋3于点C1，连接OC1，
∵点O与点N关于直线y＝x＋3对称，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当点C位于点C1时，AC＋OC取得最小值，此时对应的图形如下：
如图，连接MN，
将x＝0代入y＝x＋3，得y＝3；将y＝0代入y＝x＋3，得x＝－3；
∴点M（－3，0），点Q（0，3），
∴OM＝OQ＝3，
又∵∠MOQ＝90°，∴∠OMQ＝∠OQM＝45°，
∵点O与点N关于直线y＝x＋3对称，
∴∠NMQ＝∠OMQ＝45°，NM＝OM＝3，
∴∠OMN＝∠NMQ＋∠OMQ＝90°，
∴点N的坐标为（－3，3），
设直线AN的解析式为y＝kx+b，
将N（－3，3），A（3，0）代入，
得： ，解得： ，∴直线AN为 ，
将 与y＝x＋3联立方程，得：
，
解得： ，∴CE＝1，
∴BO＝CE＝1，
∴点B的坐标为（0，－1）.
【解析】（1）解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，
则∠CEB＝∠AOB＝90°，∴∠CBE＋∠BCE＝90°，
∵ ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠CBE＋∠ABO＝90°，∴∠BCE＝∠ABO，
在 ABO与 BCE中， ，∴ ，
∴BE＝AO，CE＝BO，
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，1），
∴BE＝AO＝3，CE＝BO＝1，
∴OE＝BO＋BE＝4，
∴点C的坐标为（1，4）.
故答案为：（1，4）；
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1
