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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第3关 等腰三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上截取，连接，如图所示：
∵垂直平分，，，
∴是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
在中，是边上的高线，，
，
，，
，
，，
，，
，，是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
．
故选：A．
2．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵，是等边三角形，
∴，，，
∴
即，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD==30°，
∴，
∴点E在射线上运动（），
作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，
即的周长最小．
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴﹒
故答案为：A．
3．如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵和都是等边三角形，∴，
∴，∴，∴，
∴，①正确；
，
∵，∴
∴，
∵，∴，∴，②正确；
，③正确：
∴是等边三角形，④正确．
故答案为：D．
4．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过作交于，交于，交于，连接，则，
∵和的角平分线交于点，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周长，
∵等边，
∴，，
设，
∵平分，，
∴，
在中，，则，
∴，
同理可得，，
∴的周长，
∵的周长，
∴的周长是的周长的两倍，
∴若要知道的周长，只需要知道的周长，
故选：B．
5．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点，
∵，，
∴，，，，，
∴，
∴在中，，
∵是等边三角形，∴，
∴
，
∴在中，，
∴，∴，
同理可得：，
在和中，，
∴，
∴，，
同理可证：，
∴，，
∴，
又∵，，
∴是等边三角形，
如图②，过点作于点，
则，
∴，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
6．如图，在等边△ABC中，AB=15，BD=6，BE=3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
【答案】D
【解析】如图，过D作DE'⊥AB，过F作FH⊥BC，
则BE'=BD=2，
∴点E和点E'重合，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BDE=30°，DE=BE=3，
∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°，
∴HDF+DFH=90°，
∴EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
∴△DPE≌△FDH（AAS），
∴FH=DE=3，
∴点P从点E运动到点A时，点F运动的运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，
当点P从E点开始运动时，作等边三角形DEF1，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，
则△DF2Q≌△ADE，∴DQ=AE=15-3=12.
故答案为：D.
7．如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
【答案】D
【解析】在三角形ABC外部作∠ABE=∠CBD，使BE=BD，连接AE.
又BA=BC，则⊿ABE≌ΔCBD(SAS)，得：AE=CD=3；∠BDC=∠BEA.
∠ABE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=60°，则⊿DBE为等边三角形，得∠BED=60°，且DE=DB=4.
AE +DE =9+16=25=AD ，则∠AED=90°.
所以，∠BDC=∠BEA=150°.
故答案为：D.
8．如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∵，∴，
∵，
∴，∴，，
∴，
∴，∴，
∴，
故答案为：A．
9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【解析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
10．如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接，过点作于点，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ．
【答案】90；或
【解析】（1）解：，，，在和中，，；，∵，，
故填：90；
（2）解：①点D在线段上，如图：
，，，
在和中，，；，
在中，，
∴，
∴，
∵，∴；
②当点D在的延长线上时，如图：
，，，
在和中，，，，
在中，，
∴，∴，
∵，∴；
③当点D在的延长线上时，如图：
同理可得，
∴，在中，，
∴，∴．
∵，∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
故答案为：
12． 如图，在 中，，，D为BC上任一点，连结AD，作B点关于AD的对称点E，若 ，则 AD 的长为 .
【答案】
【解析】如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=，
∴，
∵作B点关于AD的对称点E，∴∠B=∠AED，∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AC，
∴∠AED=∠CAE，∴∠CAE=∠B，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∠CAD=∠CAE+∠EAD，∴∠ADC=∠CAD，
∴CD=CA=5，
∵BD=BC-CD，∴BD=6-5=1，∴DF=BF-BD=3-1=2，
∴，
故答案为： .
13．已知是正内一点，，，，则 ．
【答案】
【解析】 如图，以PB为边在AB左侧作等边三角形PBE，连接AE.
为等边三角形，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
14．如图，等边的三个顶点分别在等边的三条边上，，若与的面积分别为和，则的值为 .
【答案】8
【解析】过F点作FG⊥BC于G点，如图
∵△DEF和△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，EF=FD，
∵∠AFE+∠BFD+∠EFD=180°，∠B+∠BFD+∠FDB=180°，而∠B=∠EFD=60°，∴∠AFE=∠FDB，
∴△AFE≌△BDF（AAS），同理可得△AFE≌△BDF≌△CED，∴BF=CD=b，
因此S△AFE=S△BDF=S△CED=，
FG=，
因此S△BDF=，
解得ab=8。
故答案为：8.
15．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ．
【答案】
【解析】延长，交于点，
，平分，
，，，
，，
，，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【解析】∵是等边三角形，
∴，
由折叠得，，，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE
（1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。
（2）若∠A=∠E，求证：BC=DE.
（3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长.
【答案】（1）解：， ，
，.
，
， ，
（2）证明：，
，
，，
，
，，
，
，
（3）解：
如图，过点D作与点F，
，
，
，
，.
是AC的中点
设，则，
，
在中，，
解得
在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2，
解得CF=DF=1
在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2，
解得 EF=3，
∴CE=3-1=2
18．如图1， P是等边 内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点 B顺时针旋转( 得到线段BP'，连结CP'.
（1） 求证：
（2） 如图2， 连结(CP，PP'.
①当 且 为等腰三角形时，求出 的度数.
②当PB=2，AB=6，且 '时，请直接写出点A 到点 P'的距离.
【答案】（1）证明：由旋转得：PB=P'B，∠PBP'=60°
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠PBP'，
∴∠ABP=∠CBP'，
在△APB和中，∴△APB≌△CP'B(SAS)
（2）解：①∵PB=P'B，∠PBP'=60°，是等边三角形，
∴∠BPC=∠BP'P=60°，
由(1)知：
∴∠CP'B=∠APB=130°，
∴∠CP'P=130°-60°=70°，
为等腰三角形，
或PC=P'C或PP'=CP'，当PC=PP'时，
∴∠CPP'=180°-70°-70°=40°，
∴∠CPB=40°+60°=100°；
当PC=P'C时，
∴∠CPB=60°+70°=130°；
当PP'=CP'时，
∴∠CPB=55°+60°=115°；
综上，当为等腰三角形时，∠CPB的度数为100°或130°或115°；
②+1
【解析】（2）②如图3，过点B作BD⊥PP'于D，则∠ADB=∠
由(1)知：
∴A，P，P'三点共线，
中，
中勾股定理得：，
，
，
故答案为：+1.
19．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上．
活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”）
（2）设＝＝，＝ °．
（3）活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且＝．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，则＝ ；（用含的式子表示）
（4）若，则最多能放 根小棒.
【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）
（4）8
【解析】（1）∵ ，小棒在端点处互相垂直且两端分别在两射线上，
∴小棒能继续摆下去，
故答案为：能；
（2）∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A1A2A3=90°，∠A2A1A3=45°，
∵AA1=A1A2，
∴∠AA2A1=∠A，
∵∠AA2A1+∠A=∠A2A1A3，，
∴= ∠A2A1A3=22.5°，
故答案为：22.5°；
（3）∵AA1=A1A2，，
∴∠AA2A1=∠A=，
∴∠A2A1A3=∠AA2A1+∠A=2，
即θ1=2，
同理可得：，
故答案为：；
（4）设最多能放n根小棒，根据前面的规律可知，第n个角为，
∵小棒两端分别在两射线上，
∴＜90°，
当=10°时，（n+1）×10°＜90°，
解得：n＜8，
∵n为正整数，
∴n=8，即最多能放8根小棒，
故答案为：8.
20．在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．
（1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）；
（2）在等腰中，，
①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________；
（3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”．
【答案】（1）解：如图2，点P即为等腰三角形的一个“双合点”；
（2）解：当“双合点”P在边BC的延长线上时，如图4，
∴AP=BP，AC=CP，
∴∠B=∠BAP，∠CAP=∠APC，
∵∠ACB=∠CAP+∠APC，
∴∠ACB=2∠CAP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠ACB=∠BAP=2∠CAP=∠CAP+∠BAC，
∴∠BAC=∠CAP，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
（3）证明：如图5，过点B作BH⊥AQ于H，过点Q作QG⊥BC于G，过点C作CD⊥AQ于D，连接CQ，
∴∠BAC =90°，∠CAQ =15°，
∴∠BAQ=90°-15°=75°，
∵AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBQ = 15°，
∴∠ABQ =30°，
∴∠AQB=180°-75°-30°= 75°，
∴∠BAQ=∠AQB，
∴AB= BQ，
∵BH⊥AQ，
∴AH=QH，
∴∠ABH=∠HBQ = 15°
∴∠HBQ=∠QBG =15°
∴HQ = QG，
∵AB= AC，AB=BQ，
∴BQ =AC，
∵∠CAD=∠QBG=15°，∠D=∠BGQ =90°，
∴△ADC≌△BGQ(AAS)
∴CD=QG=HQ，
∵CQ=QC，
∴Rt△CDQ≌Rt△QGC (HL)，
∴∠CQD=∠QCG，
∵∠AOB=∠CAO+∠ACB=15°+45°=60°，∠AOB=∠OCQ+∠OQC，
∴∠OCQ=∠OQC=30°，
∵∠D = 90°，
∴，
∵，
∴CD =QH，
∴AQ=CQ
∴点Q为等腰△ABC的“双合点”.
【解析】（2）②如图3，设∠B=x，
∵“双合点”P恰好在边BC上，
∴AP=PB，
∴∠B=∠BAP=x，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
∴∠APC=2x，
∵AC=PC，
∴∠CAP=∠APC=2x，
△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+3x+x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=3x=3×36°=108°.
故答案为：108°.
21．如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
【答案】（1）证明：在等边中，，，即在等边中，，，即
∴
∴在和中
∴≌（）
（2）由（1）得，
∵
∴
∴
则，
∴
∵∴是等边三角形
∴
（3）证明：∵是等边三角形
∴，
由（1）得≌
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
在中，由勾股定理得.
22．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE
（2）解：设AE交BC于点H，如图2，
由（1）得：△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，
∵∠AHC＝∠BHE，
∴∠AEB＝∠ACH＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵CM⊥DE，
∴CM＝DM＝ME＝7，
∴DE＝2CM＝14，
∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝26
（3）AE＝2a+2b
【解析】（3）AE＝2a+2b；理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，
∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD＝90°，DM＝EM．
在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，
∴CD＝2CM＝2b，
∴DM＝＝b，
∴DE＝2DM＝2b．
∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，
∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．
在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，
∴∠NBE＝90°﹣∠BEN＝30°，
∴BE＝2NE，
∴BN＝＝NE＝a，
∴NE＝a，
∴BE＝2a．
∵AD＝BE，AE＝AD+DE，
∴AE＝BE+DE＝2a+2b
故答案为：AE＝2a+2b.
23．如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点．
（1）①求证：≌；
②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______．
（2）如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系．
（3）如图，延长到点，当，时，则______．
【答案】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=∠BAC=60°，AB=CB，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
②.
（2）解：由①得，△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠BAC-∠BAD=∠ABD-∠CBE，
∴∠CAF=∠EBA，
∵，，
∴，
在△AFC和△BGA中，
，
∴△AFC≌△BGA（AAS），
∴AF=BG，
∵由②可知，AF=2GF，
∴BG=2GF，
∴AF=BF.
（3）
【解析】（1）②由①得，△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABD=∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠ABE+∠BAD=∠AFG=60°，
∵AG⊥BE，
∴∠AFG+∠FAG=90°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2GF，
故答案为：AF=2GF.
（3）过作交的延长线于点，过作AH⊥BP于点H，
∵BM⊥PC，，
∴，，
∵ △ABC是等边三角形， ，
∴ ∠ABD=∠C=∠BAC=60°，AB=AC=BC，
∴，
∴∠ABD-∠PBC=∠PBM-∠PBC，
∴∠ABH=∠CBM，
∵，AH⊥BP，
∴∠AHB=∠M，
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴PF=PH+FH=3FB+2FB=5FB
∴，
∴，
故答案为：．
24．等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
【答案】（1）证明：以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
（2）解：过点作交于、交于，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
在中，，则是等边三角形，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
，，，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是等腰三角形，即，
，，
（3）
【解析】（3）解：作于，如图所示：
，
是等边三角形，
，，
在中，，由所对的直角边是斜边的一半可知，
，当时，
，
，
，，，
，
以点为中心将逆时针旋转得到，
由旋转性质可知，，
，
是等腰三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，且是的一个外角，
，
，
，
在和中，
，
，
点在过点垂直于的射线上运动，
是定点、点在射线上运动，求的最小值，
由动点最值问题-将军饮马问题的解法可知，作点关于的对称点，连接交延长线于，如图所示：
是垂直平分线段，
，则，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值为线段，即有最小值为线段，如图所示：
（图中，线段交射线的交点即为取得最小值时动点的固定位置点）
，，
，
在中，，再由所对的直角边是斜边的一半可知，
，
作点关于的对称点，连接交延长线于，
，
，
，
，即是等腰三角形，
，
，
，
在中，，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，
，
，
在中，，则，
，设，则由所对的直角边是斜边的一半可知，
由勾股定理可得，即，则，解得，从而得到，，
，
，
．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第3关 等腰三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，在中，，是边上的高线，垂直平分，分别交，，于点，，．若，，则（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，D、E为等边边、上的点，连结，和的角平分线恰好过边上同一点F．若要知道的周长，只需要知道下列哪个三角形的周长？该三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在等边△ABC中，AB=15，BD=6，BE=3，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（ ）
A．8 B．10 C． D．12
7．如图，点D是正△ABC内的一点，DB=3，DC=4，DA=5，则∠BDC的度数是（ ）
A．120° B．135° C．140° D．150°
8．如图，等边中，点，分别在边，上，，，交于点．若，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
10．如图，在中，，，，点，，分别在边，，上，连结，．已知点和点关于直线对称．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接．
（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；
（2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ．
12． 如图，在 中，，，D为BC上任一点，连结AD，作B点关于AD的对称点E，若 ，则 AD 的长为 .
13．已知是正内一点，，，，则 ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，等边的三个顶点分别在等边的三条边上，，若与的面积分别为和，则的值为 .
15．如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ．
16．如图，将等边折叠，折痕为，点B与点F重合，和分别交于点M，N，于点D，，，则四边形的面积为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE
（1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。
（2）若∠A=∠E，求证：BC=DE.
（3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长.
18．如图1， P是等边 内一点，连结AP，BP.将线段BP绕点 B顺时针旋转( 得到线段BP'，连结CP'.
（1） 求证：
（2） 如图2， 连结(CP，PP'.
①当 且 为等腰三角形时，求出 的度数.
②当PB=2，AB=6，且 '时，请直接写出点A 到点 P'的距离.
19．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上．
活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”）
（2）设＝＝，＝ °．
（3）活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且＝．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，则＝ ；（用含的式子表示）
（4）若，则最多能放 根小棒.
20．在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”．如图1，在等腰中，，且，则点为等腰的“双合点”．
（1）如图2，在等腰中，，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”（保留作图痕迹）；
（2）在等腰中，，
①如图3，当“双合点”恰好在边上时，且满足，求度数；②当“双合点”在边的延长线上时，则___________；
（3）如图4，在等腰中，，，为内一点，连接，，当时，求证：点为等腰的“双合点”．
21．如图，已知等边，点为内的一点，连接、、，，以为边向上方作等边，连接（）.
（1）求证：≌
（2）若，，则的面积为 .
（3）若，，（为大于1的整数）.求证：.
22．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE．
（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．
（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M，BN⊥AE于N，，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．
23．如图，在等边中，点在边、上，且，连接、交于点．
（1）①求证：≌；
②过点作，请直接写出线段与的数量关系_______．
（2）如图，连接，当时，请求出线段与的数量关系．
（3）如图，延长到点，当，时，则______．
24．等边中，点分别在边上，连结，以点为中心将逆时针旋转得到，连结，设．
（1）当时，如图1，点在上．求证：；
（2）当时，如图2，连接，请求出的度数；
（3）当时，如图3，连接，当取得最小值时，_____．
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