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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第4关 直角三角形
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（ ）
A． B． C． D．2
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图：在 中， ， 于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连结MP，作 ，点Q在边BC上.若 ，则（ ）
A．当 时，点P与点D重合 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
3．如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）
A．四边形 B．四边形 C． D．
5．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
7．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．7
8．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为( )
A．12 B．14 C．21 D．25
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
（第9题） （第10题） （第11题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
12．在 Rt 中， 为斜边 上一点，将 沿 折叠，使点 落直线 上的 处．若 ，则折痕 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点.以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 .
14． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， CD与AB相交于点E， AD⊥CE交CE延长线于点D， ∠ACD=∠BAD， AD=5， 则CE的长为 .
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，在四边形中，，，，则的长为 ．
16．如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标．
（3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系．
18．在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
19．感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
20．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
21． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．
（1）【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理；
（2）【方法迁移】如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高；
（3）【方法拓展】如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
22．如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24.
（1）求的值；
（2）作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，，
①求直线的函数关系式；
②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标.
23．
（1）如图1，若和均为等腰直角三角形，．点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．
①求证：．
②求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在四边形中，，，，求的长．
24．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．
（3）拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分．
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期末压轴冲刺大挑战浙教版八年级上数学第4关 直角三角形
（解析版）
考试时间：150分钟 满分：150分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，Rt中，，分别以的三边为直角边作三个等腰直角三角形：，若图中阴影部分的面积是，则的大小可以用，表示为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】如图所示，
∵都是等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，即，
∴，
∴，
解得．
故答案为：B．
2．如图：在 中， ， 于点D，点P在线段DB上，点M是边AC的中点，连结MP，作 ，点Q在边BC上.若 ，则（ ）
A．当 时，点P与点D重合 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】A
【解析】如图，连接MQ，DM，DQ，
∵M为AC边中点，∴CM= AC=3
当CQ=4时，在Rt△AMQ中，
，
∵M为Rt△ACD斜边上的中点，Q为Rt△BCD斜边上的中点，
∴DM= AC=3，DQ= BC=4，
∴DM2+DQ2=MQ2 ∴△MDQ为直角三角形，∠ADQ=90°，
又∵∠MPQ=90°
∴P、D重合，故A正确；
显然此时∠MPA=∠A≠30°，故B错误；
PD=0，故C错误；
PM≠PQ，故D错误；
故答案为：A.
3．如图，在四边形中，与交于点，，，，平分．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】过点D作DF⊥CD交AC于点F，则∠FCDC=90°
∵BD⊥AD，AD=BD
∴△ABD是等腰直角三角形∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°
∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2=22.5°
∵AC⊥BC
∴∠ABC=90°-∠2=67.5°∴∠3=∠ABC-∠DBA=22.5°
∴∠1=∠3=22.5°
∵∠ADB=∠FDC=90°
∴∠4＋∠6＝∠5＋∠6
∴∠4＝∠5
在△ADF和△BDC中
∴△ADF≌△BDC(ASA) ∴AF=BC，DF=DC
∵∠DFC是等腰直角三角形∴∠ACD=45°，①正确
∴∠DFC=∠1+∠4=45°，DF=CD ∴∠1=∠4=22.5°
∴AF=DF=CD ∴∠6=∠ADB-∠4=67.5°
∵∠AED=∠ADB-∠1=67.5° ∴∠6=∠AED=67.5°
∴DF=EF，∴AF=DF=CD=EF=BC
∴AE=2AF，∴AE=2BC，②正确
过点E作EH⊥AB于点H
∵AC平分∠DAB，BD⊥AD
∴ED=EH
在Rt△ADE和Rt△AHE中∴Rt△ADE≌Rt△AHE(HL)
∴AD=AH=BD
∵AB-AH=BH
∴AB-BD=ED，③正确
在Rt△BEC中，∠ACB=90°
∴BE>BC
∵AF=DF=CD=EF=BC
∴BE>CD，④正确
故答案为：D
4．如图，为等腰直角三角形，为的中点，点在边上，将沿折叠至，与，分别交于，两点．若已知的长，则可求出下列哪个图形的周长（ ）
A．四边形 B．四边形 C． D．
【答案】D
【解析】 如图， 连接AD， AF，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，且D为斜边的中点，
由折叠可得DA=DC=DB=DF，
=FE+AE=CE+AE=AC=AB，
故选： D.
5．如图1，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，记四边形ABCD面积为S1，四边形CDEG的面积为S2，四边形GFKH的面积为S3，四边形CGHP的面积为S4，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【答案】B
【解析】设大正方形面积为c，中正方形面积为b，小正方形面积为a，则：
S1+S阴=0.5（c-a）
S1+S2=0.5b
因为图一通过勾股定理可知，a+b=c，
所以S1+S阴=S1+S2=0.5b，S阴=S2
故答案为：B.
6．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
【答案】D
【解析】如图，连接，
在中，，
∴，
∵，点Q、P分别是的中点，
∴，，
∵在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ
∴当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：，
故选：D．
7．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7，则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．7
【答案】B
【解析】∵正方形ABCD的面积为28， ∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝ ＝ ＝ S正方形EHGF，
∵S正方形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4× ＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5.
故答案为：B.
8．如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，一个三角板的直角顶点与D重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点 E，若 AC=10， 则EF的长为( )
A．12 B．14 C．21 D．25
【答案】D
【解析】延长到点G，使，连接，，
∵为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，，，
∴，
∴．
故答案为：D .
9．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④，其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】①∵是的中线，∴，∴和等底同高，∴．
∴结论正确；②∵是角平分线，∴，
∵，∴，∴，
∵是高，∴，∴，∴，
∵，∴，即．∴结论正确；
③连接，如图：
∵是高，是中线，∴点是斜边上的中点，
∴是斜边上的中线，∴，
∴，
∵，∴，
假设成立
∴，此时，
根据已知条件不能确定，
因此假设不成立．
∴结论不正确；
④∵，是角平分线，是高，
∴，，，
∴，即．∴结论正确；
综上可得，错误的结论是③．
故答案为：C．
10．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
【答案】
【解析】过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，，，
，，
在中，，
，；
故答案为：．
12．在 Rt 中， 为斜边 上一点，将 沿 折叠，使点 落直线 上的 处．若 ，则折痕 ．
【答案】
【解析】 如图， 当点 '在线段AC上时， 过点D作 于点H，
，
， ，
设
解得：
，
，
∴
∴
∴ ；
如图，当点B'在线段CA的延长线上时，过点D作 于点H，
∴
， ，
设
解得：
∴
∴
∴ ；
综上所述，折痕(
故答案为：
13．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点.以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，过点C作CD⊥x轴于D，设点B的坐标为（m，0）（m＞0），
∴，
∵点A的坐标为（0，2），
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴
，
∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，
∴的最小值，
由对称性可知，当，同理可证的最小值，
故答案为：.
14． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， CD与AB相交于点E， AD⊥CE交CE延长线于点D， ∠ACD=∠BAD， AD=5， 则CE的长为 .
【答案】10
【解析】过点B作BG⊥CD于点G，如图所示：
∵AD⊥CE，
∴∠BGE =∠BGC =∠D = 90°，
∴在△ADE和△BGE中， ∠ADE =∠BGE， ∠AED=∠BEG，
∴∠BAD=∠EBG，
∵∠ACD=∠BAD，
∴∠ACD =∠EBG(等量代换)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCG=90°，
∵∠EBG+∠BEG=90°，
∴∠BCG=∠BEG，
∴△BCE为等腰三角形，
∴∠ACD=∠CBG，
在△ADC和△CGB中，∴△ADC≌△CGB(AAS)，
∵AD=5，
∴CG = AD = 5(全等三角形对应边相等)，
∴CE=2CG=2×5=10， 则CE的长为10，
故答案为：10.
15．如图，在四边形中，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】作，且，连接，，如图所示；
，，即，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，且，
，
，
，即，
延长，过点作延长线的垂线，垂足为，如图所示；
，
在中，，，
，，
设，
在中，，，，
根据勾股定理得，，
，
整理得，，
解得，或（负值舍去），
，
，
的长为，
故答案为：．
16．如图，在中，，为延长线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，连结，交直线于点，若，则的长为 ．
【答案】或
【解析】（1）在线段上．
过作交的延长线于点，如图：
由作图可知，，
，
又为直角边在的右侧作等腰直角，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，，，，
，
，，，
即，
，
，
，
，
．
（2）在的延长线上．
过作于，如图所示：
同（1）得：，，
，，，
，
，
，
即，
，
，
，
，
．
故答案为：或．
三、解答题（本题有8小题，每题12分，共96分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，可以证明，我们将这个模型称为“一线三直角”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：
（1）如图2，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为，C的坐标为，则点B的坐标为_______；
（2）如图3，在平面直角坐标系中，等腰，与y轴交点D，点C的坐标为，A点的坐标为，求点B的坐标．
（3）如图4，等腰，，当点C在x轴正半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点D，请直接写出a，m，n之间的关系．
【答案】（1）解：过点B作交直线于点D，如图，
∴∠BDC=90°，∴∠DBC+∠BCD=90°，
∵∠AOC=90°，∴∠BDC=∠AOC，
∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠DBC，
在和中，，∴，∴，
∵点A坐标为，C的坐标为，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（2）解：过点B作轴交y轴于点E，如图，
∵∠AOC=∠ACB=90°，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∵点C的坐标为，A点的坐标为，
∴，
∴
∴，
∴点B的坐标；
（3）解：过点B作轴交x轴于点E，如图，
则，
∵点在y轴正半轴上运动，点在第四象限，
∴，，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．在△ABC中，AB=10，AC=6，点D在∠BAC的平分线所在的直线上.
（1）如图1，当点D在△ABC的外部时，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE=CF.
①求BE的长；
②连结CD，若∠BAC=80°，求∠BCD的度数；
（2）如图2，当点D在线段BC上时，若∠C=90°，BC=8，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD于点F，且EC=，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，求GC的长度.
【答案】（1）解： ①∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，即AB-BE=AC+CF，
∵BE=CF，
∴AB-BE=AC+BE，即10-BE=6+BE，
∴BE=2；
②∵∠BAC=80°，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠EDF=360°-80°-90°-90°=100°，如图1，连接BD，
在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD=CD，∠BDE=∠CDF，
∴∠BDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=∠EDF=100°，即∠BDC=100°，
∵BD=CD，
∴
（2）解：如图2，延长GF交AB于H，
∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC，∠C=90°，
∴
∴
∴∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°，
∴∠AFE=∠DFB=45°，
∵FG⊥BE，即∠BFG=90°，
∴∠DFG=90°-∠DFB=45°，
∴∠AFH=∠DFG=45°，
∴∠AFH=∠AFE，
在△AFH和△AFE中，∴△AFH≌△AFE(ASA)，
∴∴
在和中，
∴
在中，
∴
19．感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
【答案】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中， ∴，
∴．
应用：2．
【解析】应用：
解：如图③，连接、过点作于，交的延长线于，
∵，，
∴，
在和中， ∴，
∴，，
在和中，∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为2．
20．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，∴，∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，∴（SAS），
∴，∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，∴，
∵，，点是的中点，∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
21． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．
（1）【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理；
（2）【方法迁移】如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高；
（3）【方法拓展】如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值．
【答案】（1）解：，，
∵
∴
∴；
（2）解：设边AB上的高为h，
则
∴
∴
∴边上的高为
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2.
∵ BD+CD=BC=6，
∴CD=BC-BD=6-x.
在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2，
∴16-x2=-11+12x-x2，
∴
22．如图，一次函数的图象分别交轴正半轴于点，轴正半轴于点，且的面积是24.
（1）求的值；
（2）作的平分线交轴于点，将绕点顺时针旋转得到直线，线段沿着射线方向平移，得到线段，连结，，
①求直线的函数关系式；
②当是以为直角边的直角三角形时，求点的坐标.
【答案】（1）解：在中，令得，
，，
的面积是，，
，，
把代入得：
，
解得：，
的值为；
（2）解：过作于，过作于，过作轴于，过作于，如图：
平分，
，
，，
≌，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
≌，
，，
设，，
，
，
，
，
由得，，
，
由，可得直线解析式为，
直线的函数关系式为；
过作轴于，如图：
设，
，，
，
线段沿着射线方向平移，得到线段，
，
，
是以为直角边的直角三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
由得，
，
.
23．
（1）如图1，若和均为等腰直角三角形，．点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接．
①求证：．
②求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，在四边形中，，，，求的长．
【答案】（1）解： ①∵，
，即，
∵，，
，
②设交于，如图：
∵，
，，
∵，，即；
∵为等腰直角中边上的高，
，
∵，
（2）作，且，连接，，如图，
∵，，
，
，即，
∵，，
，
，
∵，，
在中，∵，，
∵，
，
24．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．
（1）概念理解：如图 1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）；
（2）问题探究：如图 2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．
（3）拓展延伸：如图 3 所示， 和是共边直角三角形，，求证：平分．
【答案】（1）解：如图所示即为所求作的三角形，
（2）解：取的中点，连接、，如图所示：
，，，
由勾股定理得，，
∵，点为的中点，
∴，，
，又，
，
，，
∴，即，解得，
；
（3）证明：分别延长、交于点，如图所示：
，
，
，，
，
，
，又，
，
平分．
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