浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训九
一、方程思想求线段
1．（2024六下·周村期中）如图，已知线段，点C在线段的延长线上，且，D为线段的中点．
（1）求线段的长；
（2）点E在线段上，且，请判断点E否为线段的中点，并说明理由．
2．如图，一条直线上顺次有A，B，C，D 四点，C 为AD 的中点， 求 的值.
3．（2025七上·温州期末）如图，线段上依次有三点，已知是中点，．
（1）当时，求的长．
（2）若，求的长．
4．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
5．（2024七上·义乌期末）
（1）如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，若AB＝n，且使关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解．
①求线段AB的长；
②线段MN的长与点P在线段AB上的位置有关吗？请说明理由；
（2）如图2，点C为线段AB的中点，点P在线段CB的延长线上，试说明的值不变．
二、线段中的一题多解
6．（2024七上·台州期末）直线上有A，B，C三点，，，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2024七上·黄岩期末）一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长 ．
8．（2025七上·乐清期末）如图，，，延长到点D，使C是的中点．
（1）求的长；
（2）若点E在直线上，，求线段的长．
9．（2025七上·海淀期末）点C在直线上，．
（1）若点C在线段上，且，求线段的长；
（2）若M是线段的中点，，直接写出线段的长．
10．（2025七上·椒江期末）如图，C为线段上一点，D为的中点，，．
（1）求的长；
（2）若点E在线段上，且，求的长．
11．（2024七上·拱墅期末）如图，已知，点C是线段的中点．若点D在线段上，且满足．你认为有几种可能？根据题意在答卷的图中标出点D的大致位置，求的长．
三、线段动点问题
12．（2024七上·玉环期末）如图，点A，是数轴上的两点，A表示，表示100，动点分别从点A，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达A点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，两点相距40个单位长度．
13．（2023七下·武汉月考）如图，已知数轴上点表示的数为，表示的数为，满足.动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1）写出数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ；
（2）若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证为定值；
（3）现有动点，若点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，当点到达原点后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则点运动时间的值为 .
14．（2024七上·普宁期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）若Q的速度为，求两点相遇时，的长；
（2）当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度；
（3）当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．
15．（2023七上·江北期末）直线l上依次排列点A，B，C，D，已知AB=10，CD=4，点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点.
（1）如图1，当点B与点C重合时，求线段EF的长.
（2）如图2，当线段CD从图1位置沿直线l向右运动时，AE-BF的值是否为定值﹖若是
定值，请求出AE-BF的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段CD从图1位置沿直线l向右平移α个单位长度时，若满足AD+EF =6CD，则
求a的值.
16．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
四、余角与补角
17．（2025七上·鄞州期末）如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中和具有互余关系的位置是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025七上·温州期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025七上·浦江期末）一副三角板按图中的位置摆放，则其中和之间一定成立的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不能确定
20．（2024七上·慈溪期末）若，则的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．（2024七上·奉化期末）如果，那么的补角为 （结果化成度）
22．（2025七上·长兴期末）如图，点O在直线上，平分，，，则的度数为 ．
23．（2023七上·江北期末） 如图， 是直线 A B 上的一点， O C， O D 分别平分 ， 则所有与 互余的角是
24．（2024七上·拱墅期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为 ．
25．（2021七上·镇海期末）已知 的余角比 的2倍少 ， 则 度.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵，，．
为中点，
，
∴
（2）解：点E是线段的中点，
证明如下：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）利用AB、BC的长先求解的长，再根据中点的含义可求出CD的长，即可求出BD的长.
（2）利用已知条件可求出CE的长，再求出BE和DE的长，据此可证得BE=DE，即可证得结论．
（1）解：∵，，
．
为中点，
，
∴．
（2）解：点E是线段的中点，证明如下：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点．
2．【答案】解：设AD=4x，
∵C为AD 的中点，
∴AC=CD=2x，
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】 通过设定AD的长度为4x，然后因为点C为AD的中点，得到AC=CD=2x，再通过线段关系建立方程求解BC与AB的比值.
3．【答案】（1）解：是中点，
，
。
（2）解：设，则，
是中点，，
，
根据，
可得，
解得．
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先利用是中点和这两个条件，可以求出BE的长度，再利用代入计算即可解答；
（2）根据（1）中的结论，可以设，然后将都用x来表示，列方程即可解答．
（1）解：是中点，
，
；
（2）解：设，则，
是中点，，
，
根据，
可得，
解得．
4．【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
5．【答案】（1）解：①方程（n﹣4）x＝6﹣n，
∵关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解，
∴n﹣4＝0，即n＝4，
∴线段AB的长为4；
②如图1，∵点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，AB＝n，
∴PM＝BP，PN＝AP，
∴MN＝MP+NP
＝AB
＝n；
∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关；
（2）解：如图2，∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝AB，
∴PA+PB＝PC﹣AC+PC+BC＝2PC，
∴＝2，
∴的值不变．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）①根据关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解，即可求出m的值；
②分别用BP、AP表示PM和PN的值，进而即可求解；
（2）根据线段间的数量关系即可求解.
6．【答案】C
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当点在点右侧时，有；
当点在点左侧时，有；
综上所述，线段的长为或，
故答案为：C．
【分析】先求出的长，然后分两种情况讨论：当点在点右侧或当点在点左侧时，由线段的和差关系即可求解.
7．【答案】10或18
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①当点在线段上时，如图，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：10或18．
【分析】分两种情况讨论：①当点在线段上时，求出，从而得，进而由线段中点定义得到，于是得；②当点在线段的延长线上时，求出，由线段中点定义得到，则.
8．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵点C的的中点，
∴，
∴
（2）解：∵点C的的中点，
∴，
分两种情况：
①如图，点E在点D的右侧时，
∵，，
∴；
②如图，点E在点D的左侧时，
∵，，
∴，
综上所述，线段的长为3.5或0.5
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先利用线段的差求出的长，再根据中点的概念推出BD的长，最后利用由即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况画出图形：①点E在点D的右侧时；②点E在点D的左侧时，然后根据线段的和差计算即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵点C的的中点，
∴，
∴；
（2）解：分两种情况：
①如图，点E在点D的右侧时，
∵，，
∴；
②如图，点E在点D的左侧时，
∵，，
∴，
综上所述，线段的长为3.5或0.5．
9．【答案】（1）解：∵点C在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）18或2
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（2）解：当点在线段上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在射线上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上， 线段的长为或．
【分析】（1）由题意可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论： 当点在线段上时， 当点在射线上时， 根据线段之间的关系，结合题意即可求出答案.
（1）解：∵点C在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点在线段上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在射线上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上， 线段的长为或．
10．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴；
（2）解：当点E在上，∵，，
∴；
当点E在上，
∵，，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用中点的定义得到，再根据解题；
（2）分点E在上，点E在上两种情况画图，根据线段的和差解题即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴；
（2）解：当点E在上，
∵，，
∴；
当点E在上，
∵，，
∴．
11．【答案】解：有两种情况：①当D在C左侧时，如图：
∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
②当D在C右侧时，如图：
∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上所述，的长为6或3．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】由题意分两种情况：①当D在C左侧时，由，点C是线段的中点，可得，根据可求解；②当D在C右侧时，同理可求解．
12．【答案】（1）；
（2）解：
，
∵为定值，
∴，
解得：．
（3）解：当点P在点Q的左侧时，，
解得：；
当点P在点Q的右侧时，，
解得：，
综上分析可知，或32时，两点相距40个单位长度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）P点表示的数是：-20+2t； Q点表示的数是：100-3t.
【分析】（1）由已知可得：P点的速度是： 每秒2个单位长度 。所以t秒所走的路程是2t，因为P点是从A点开始向右走2t，所以此时P点表示的数是：-20+2t； 同理：Q点表示的数是：100-3t.
（2）由（1）可知：AP=-20+2t-（-20）=2t，AQ=（100-3t）-（-20）=120-3t.所以=2at+120-3t=，因为为定值时，所以，解得：.
（3）由已知分析可得：此题得分两种情况讨论：①当点P在点Q的左侧时，根据两点间距离公式可得：PQ=100-3t-（-20+2t）=120-5t.所以当PQ=40时，120-5t=40，解方程即可求出t的值；
②当点P在点Q的右侧时， 根据两点间距离公式可得：PQ=-20+2t-（100-3t）=5t-120.当PQ=40时，即5t-120=40，解方程即可求出t的值.所以综合起来即可得到t的值.
13．【答案】（1）16；-12
（2）证明：∵点表示的数是16，点表示的数是-12，
∴，，，
∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在点到达点之前，即时，
，
∴为定值.
（3）秒或秒或秒或16秒
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点表示的数是16，点表示的数是-12.
故答案为：16；-12.
（3）解：∵点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，运动时间为秒，
∴，，
当点M在原点O的左侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点P到达原点O时，运动时间为，
这时点M在原点O的右侧，，
当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，
①当点M在原点O的右侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
②当点M在原点O的左侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
综上所述，当OP=3OM时，则P点运动时间的值为秒或秒或秒或16秒.
故答案为：秒或秒或秒或16秒.
【分析】（1）根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，从而得出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值算出AB、OB、OA的长，再根据路程、速度、时间三者的关系得AP=4t，则BP=28-4t，根据中点定义得AQ=2t，则BQ=28-2t，从而即可算出在点P到达点B之前，即0＜t＜7时 的值而得出结论；
（3）易得AP=4t，BM=5t，当点M在原点O的左侧时，OM=12-5t，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，OM=5t-12，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点P到达原点O时，运动时间为4秒，这时点M在原点O的右侧，OM=8，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，①当点M在原点O的右侧，OM=8-2t2，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可；②当点M在原点O的左侧，OM=2t2-8，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
14．【答案】（1）解：设经过，两点相遇，
∵点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，Q的速度为，
又∵，
∴，
∴，
则（cm），
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，
∴点P运动到中点时时间为：，
∴点Q的运动速度为：，
（3）解：设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
且规定点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的，
∴点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的，
∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
∴，解得，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为；
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为，
综上所述，当或，
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）设经过，两点相遇，再列出方程，求出t的值；
（2）先求出OP的长，再求出点P运动到中点时时间为：，最后利用“速度=路程÷速度”列出算式求解即可；
（3）先根据，列出方程，解得：或，再分类讨论：①当时，此时；②当时，此时，再利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可.
15．【答案】（1）解：∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
（2）解：设BC=x，则AC= AB+BC=x+10，BD= BC+CD=x+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
的值为定值 3
（3）解：∵AB=10，BC=a，CD=4，
∴AD= AB+BC+CD=10+a+4=a+14，AC= AB+BC=a+10，
BD=BC+CD=a+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
，
，
∵AD+EF=6CD ，
∴a+14+7=6x4，：.a=3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义求出CE和CF的长度，进而即可求出EF的长度；
（2）设BC=x，则AC= AB+BC=x+10，BD= BC+CD=x+4，根据线段中点的定义得到：进而计算即可求解；
（3）根据题意求出AD、AC和BD的长度，根据线段中点的定义得到：则可得到EF的长度，最后根据""，据此列出关于a的方程：，解此方程即可求解.
16．【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
17．【答案】D
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：A．，和不互余，故该选项不符合题意；
B．如图所示，，而不一定成立，则和不互余，故该选项不符合题意；
C．，和不互余，故该选项不符合题意；
D．，和互余，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图形利用角的和差逐一判断解题．
18．【答案】C
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】本题考查了余角。首先列出两个角度之和的公式，然后利用同角的余角相等，即可解出答案。
19．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，和互余，
故答案为：B．
【分析】利用余角的定义解题即可．
20．【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：∵∠A=27.4°，
∴∠A的余角为90°-27.4°=62.6°=62°36'.
故答案为：B.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，列式求解即可.
21．【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴的补角为：
故答案为：．
【分析】根据补角的定义和角之间单位换算计算即可．
22．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴∠AOE=2∠DOE=2×75°=150°，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用∠DOE=∠COE-∠COD代入可求出∠DOE的度数，再利用角平分线的概念可求出∠AOE的度数，然后利用邻补角的定义可求出∠BOE的度数，然后根据，代入计算可求出∠BOD的度数.
23．【答案】∠DOP或∠BOD
【知识点】角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵OC，OD分别平分，
∴
∵
∴
∴与∠COP互余的角是∠DOP和∠BOD
故答案为：∠DOP或∠BOD.
【分析】根据角平分线的定义得到：结合平角的定义得到：进而即可求解.
24．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；补角
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意. 和 的度数相等，解出n的值，求出. 的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出 的度数.
25．【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得
90°-∠A=2∠A-15°，
∴3∠A=105°，
解之：∠A=35°.
故答案为：35.
【分析】求一个角的余角就是用90°减去这个角的度数；根据∠A的余角=2∠A -15°，由此可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数.
1 / 1浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训九
一、方程思想求线段
1．（2024六下·周村期中）如图，已知线段，点C在线段的延长线上，且，D为线段的中点．
（1）求线段的长；
（2）点E在线段上，且，请判断点E否为线段的中点，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，，．
为中点，
，
∴
（2）解：点E是线段的中点，
证明如下：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）利用AB、BC的长先求解的长，再根据中点的含义可求出CD的长，即可求出BD的长.
（2）利用已知条件可求出CE的长，再求出BE和DE的长，据此可证得BE=DE，即可证得结论．
（1）解：∵，，
．
为中点，
，
∴．
（2）解：点E是线段的中点，证明如下：
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E是线段的中点．
2．如图，一条直线上顺次有A，B，C，D 四点，C 为AD 的中点， 求 的值.
【答案】解：设AD=4x，
∵C为AD 的中点，
∴AC=CD=2x，
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】 通过设定AD的长度为4x，然后因为点C为AD的中点，得到AC=CD=2x，再通过线段关系建立方程求解BC与AB的比值.
3．（2025七上·温州期末）如图，线段上依次有三点，已知是中点，．
（1）当时，求的长．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：是中点，
，
。
（2）解：设，则，
是中点，，
，
根据，
可得，
解得．
【知识点】一元一次方程的其他应用；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）首先利用是中点和这两个条件，可以求出BE的长度，再利用代入计算即可解答；
（2）根据（1）中的结论，可以设，然后将都用x来表示，列方程即可解答．
（1）解：是中点，
，
；
（2）解：设，则，
是中点，，
，
根据，
可得，
解得．
4．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
5．（2024七上·义乌期末）
（1）如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，若AB＝n，且使关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解．
①求线段AB的长；
②线段MN的长与点P在线段AB上的位置有关吗？请说明理由；
（2）如图2，点C为线段AB的中点，点P在线段CB的延长线上，试说明的值不变．
【答案】（1）解：①方程（n﹣4）x＝6﹣n，
∵关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解，
∴n﹣4＝0，即n＝4，
∴线段AB的长为4；
②如图1，∵点M为线段PB的中点，点N为线段AP的中点，AB＝n，
∴PM＝BP，PN＝AP，
∴MN＝MP+NP
＝AB
＝n；
∴线段MN的长与点P在线段AB上的位置无关；
（2）解：如图2，∵点C为线段AB的中点，
∴AC＝AB，
∴PA+PB＝PC﹣AC+PC+BC＝2PC，
∴＝2，
∴的值不变．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）①根据关于x的方程（n﹣4）x＝6﹣n无解，即可求出m的值；
②分别用BP、AP表示PM和PN的值，进而即可求解；
（2）根据线段间的数量关系即可求解.
二、线段中的一题多解
6．（2024七上·台州期末）直线上有A，B，C三点，，，则的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当点在点右侧时，有；
当点在点左侧时，有；
综上所述，线段的长为或，
故答案为：C．
【分析】先求出的长，然后分两种情况讨论：当点在点右侧或当点在点左侧时，由线段的和差关系即可求解.
7．（2024七上·黄岩期末）一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长 ．
【答案】10或18
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：①当点在线段上时，如图，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图，
∵，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：10或18．
【分析】分两种情况讨论：①当点在线段上时，求出，从而得，进而由线段中点定义得到，于是得；②当点在线段的延长线上时，求出，由线段中点定义得到，则.
8．（2025七上·乐清期末）如图，，，延长到点D，使C是的中点．
（1）求的长；
（2）若点E在直线上，，求线段的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵点C的的中点，
∴，
∴
（2）解：∵点C的的中点，
∴，
分两种情况：
①如图，点E在点D的右侧时，
∵，，
∴；
②如图，点E在点D的左侧时，
∵，，
∴，
综上所述，线段的长为3.5或0.5
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先利用线段的差求出的长，再根据中点的概念推出BD的长，最后利用由即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况画出图形：①点E在点D的右侧时；②点E在点D的左侧时，然后根据线段的和差计算即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵点C的的中点，
∴，
∴；
（2）解：分两种情况：
①如图，点E在点D的右侧时，
∵，，
∴；
②如图，点E在点D的左侧时，
∵，，
∴，
综上所述，线段的长为3.5或0.5．
9．（2025七上·海淀期末）点C在直线上，．
（1）若点C在线段上，且，求线段的长；
（2）若M是线段的中点，，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：∵点C在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）18或2
【知识点】线段上的两点间的距离；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（2）解：当点在线段上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在射线上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上， 线段的长为或．
【分析】（1）由题意可得，，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）分情况讨论： 当点在线段上时， 当点在射线上时， 根据线段之间的关系，结合题意即可求出答案.
（1）解：∵点C在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点在线段上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在射线上时，如图：
∵M是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上， 线段的长为或．
10．（2025七上·椒江期末）如图，C为线段上一点，D为的中点，，．
（1）求的长；
（2）若点E在线段上，且，求的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴；
（2）解：当点E在上，∵，，
∴；
当点E在上，
∵，，
∴．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用中点的定义得到，再根据解题；
（2）分点E在上，点E在上两种情况画图，根据线段的和差解题即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴；
（2）解：当点E在上，
∵，，
∴；
当点E在上，
∵，，
∴．
11．（2024七上·拱墅期末）如图，已知，点C是线段的中点．若点D在线段上，且满足．你认为有几种可能？根据题意在答卷的图中标出点D的大致位置，求的长．
【答案】解：有两种情况：①当D在C左侧时，如图：
∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
②当D在C右侧时，如图：
∵，点C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
综上所述，的长为6或3．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】由题意分两种情况：①当D在C左侧时，由，点C是线段的中点，可得，根据可求解；②当D在C右侧时，同理可求解．
三、线段动点问题
12．（2024七上·玉环期末）如图，点A，是数轴上的两点，A表示，表示100，动点分别从点A，同时出发、相向而行，若点的速度是每秒2个单位长度，点的速度每秒3个单位长度，当点到达A点时，两点立即停止运动，设运动时间为秒．
（1）点表示的数为： ；点表示的数为： ；（用含的式子表示）
（2）若的结果是一个定值，求的值；
（3）当为何值时，两点相距40个单位长度．
【答案】（1）；
（2）解：
，
∵为定值，
∴，
解得：．
（3）解：当点P在点Q的左侧时，，
解得：；
当点P在点Q的右侧时，，
解得：，
综上分析可知，或32时，两点相距40个单位长度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：（1）P点表示的数是：-20+2t； Q点表示的数是：100-3t.
【分析】（1）由已知可得：P点的速度是： 每秒2个单位长度 。所以t秒所走的路程是2t，因为P点是从A点开始向右走2t，所以此时P点表示的数是：-20+2t； 同理：Q点表示的数是：100-3t.
（2）由（1）可知：AP=-20+2t-（-20）=2t，AQ=（100-3t）-（-20）=120-3t.所以=2at+120-3t=，因为为定值时，所以，解得：.
（3）由已知分析可得：此题得分两种情况讨论：①当点P在点Q的左侧时，根据两点间距离公式可得：PQ=100-3t-（-20+2t）=120-5t.所以当PQ=40时，120-5t=40，解方程即可求出t的值；
②当点P在点Q的右侧时， 根据两点间距离公式可得：PQ=-20+2t-（100-3t）=5t-120.当PQ=40时，即5t-120=40，解方程即可求出t的值.所以综合起来即可得到t的值.
13．（2023七下·武汉月考）如图，已知数轴上点表示的数为，表示的数为，满足.动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
（1）写出数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 ；
（2）若点从点出发向左运动，点为的中点，在点到达点之前，求证为定值；
（3）现有动点，若点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，当点到达原点后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则点运动时间的值为 .
【答案】（1）16；-12
（2）证明：∵点表示的数是16，点表示的数是-12，
∴，，，
∵动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
在点到达点之前，即时，
，
∴为定值.
（3）秒或秒或秒或16秒
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；线段的中点；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴点表示的数是16，点表示的数是-12.
故答案为：16；-12.
（3）解：∵点从点以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点出发，运动时间为秒，
∴，，
当点M在原点O的左侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
当点P到达原点O时，运动时间为，
这时点M在原点O的右侧，，
当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，
①当点M在原点O的右侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
②当点M在原点O的左侧，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴（秒），
综上所述，当OP=3OM时，则P点运动时间的值为秒或秒或秒或16秒.
故答案为：秒或秒或秒或16秒.
【分析】（1）根据绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都等于0，可求出a、b的值，从而得出答案；
（2）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值算出AB、OB、OA的长，再根据路程、速度、时间三者的关系得AP=4t，则BP=28-4t，根据中点定义得AQ=2t，则BQ=28-2t，从而即可算出在点P到达点B之前，即0＜t＜7时 的值而得出结论；
（3）易得AP=4t，BM=5t，当点M在原点O的左侧时，OM=12-5t，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时，OM=5t-12，OP=16-4t，由OP=3OM建立方程，求解即可；当点P到达原点O时，运动时间为4秒，这时点M在原点O的右侧，OM=8，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t2秒，①当点M在原点O的右侧，OM=8-2t2，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可；②当点M在原点O的左侧，OM=2t2-8，OP=4t2，由OP=3OM建立方程，求解即可，综上即可得出答案.
14．（2024七上·普宁期末）如图，射线上有A，B，C三点，满足．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．
（1）若Q的速度为，求两点相遇时，的长；
（2）当点P与点Q都同时运动到线段的中点时，求点Q的运动速度；
（3）当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．
【答案】（1）解：设经过，两点相遇，
∵点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，两点同时出发，Q的速度为，
又∵，
∴，
∴，
则（cm），
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，
∴点P运动到中点时时间为：，
∴点Q的运动速度为：，
（3）解：设Q的速度为，经过后，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
且规定点O对应数轴上的，点A对应数轴上的，点B对应数轴上的，点C对应数轴上的，
∴点P对应数轴上的，点Q对应数轴上的，
∵点Q运动到的位置恰好是线段的中点，
∴，解得，
∵，
∴，解得或，
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为；
当时，此时，
而点Q到达O所需时间为，
综上所述，当或，
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴的点常规运动模型
【解析】【分析】（1）设经过，两点相遇，再列出方程，求出t的值；
（2）先求出OP的长，再求出点P运动到中点时时间为：，最后利用“速度=路程÷速度”列出算式求解即可；
（3）先根据，列出方程，解得：或，再分类讨论：①当时，此时；②当时，此时，再利用“时间=路程÷速度”列出算式求解即可.
15．（2023七上·江北期末）直线l上依次排列点A，B，C，D，已知AB=10，CD=4，点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点.
（1）如图1，当点B与点C重合时，求线段EF的长.
（2）如图2，当线段CD从图1位置沿直线l向右运动时，AE-BF的值是否为定值﹖若是
定值，请求出AE-BF的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段CD从图1位置沿直线l向右平移α个单位长度时，若满足AD+EF =6CD，则
求a的值.
【答案】（1）解：∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
（2）解：设BC=x，则AC= AB+BC=x+10，BD= BC+CD=x+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
的值为定值 3
（3）解：∵AB=10，BC=a，CD=4，
∴AD= AB+BC+CD=10+a+4=a+14，AC= AB+BC=a+10，
BD=BC+CD=a+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
，
，
∵AD+EF=6CD ，
∴a+14+7=6x4，：.a=3
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据线段中点的定义求出CE和CF的长度，进而即可求出EF的长度；
（2）设BC=x，则AC= AB+BC=x+10，BD= BC+CD=x+4，根据线段中点的定义得到：进而计算即可求解；
（3）根据题意求出AD、AC和BD的长度，根据线段中点的定义得到：则可得到EF的长度，最后根据""，据此列出关于a的方程：，解此方程即可求解.
16．（2024七上·越城期末） 定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
图1 图2
（1）如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则 ．
（2）如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意可得：，
∴，
∵点是线段的三等分点，分两种情况：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：当为或时，点是线段的三等分点；
由题意得：，则，，
∵点，点分别是，的三等分点，
∴可以分四种情况讨论：
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：；
当时，则，，
分别解得：，
∴
解得：（舍去）；
点，点分别是，的三等分点，的值为或或．
【知识点】线段的中点；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵点是线段的一个三等分点，满足，，
∴AM+BM=AB，即AM+2AM=9，
解得：AM=3cm.
故答案为：3；
【分析】（1）根据线段的构成AM+BM=AB并结合已知可得关于AM的方程，解方程即可求解；
（2）①根据路程等于速度乘以时间得，则，由题意可分两种情况：Ⅰ、当AC=时，Ⅱ、当AC=时，可得关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分四种情况讨论：Ⅰ、当AC=，DE=时，Ⅱ、当AC=，DE=时，Ⅲ、当AC=，DE=时，Ⅳ、当AC=，DE=时，分别可得关于x的方程，解方程即可求解.
四、余角与补角
17．（2025七上·鄞州期末）如图，一副三角板按图中的位置摆放，其中和具有互余关系的位置是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：A．，和不互余，故该选项不符合题意；
B．如图所示，，而不一定成立，则和不互余，故该选项不符合题意；
C．，和不互余，故该选项不符合题意；
D．，和互余，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图形利用角的和差逐一判断解题．
18．（2025七上·温州期末）将一副三角板按如图所示摆放，已知的度数为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；余角
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意可得，
，
故答案为：C．
【分析】本题考查了余角。首先列出两个角度之和的公式，然后利用同角的余角相等，即可解出答案。
19．（2025七上·浦江期末）一副三角板按图中的位置摆放，则其中和之间一定成立的数量关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不能确定
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，和互余，
故答案为：B．
【分析】利用余角的定义解题即可．
20．（2024七上·慈溪期末）若，则的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】常用角的度量单位及换算；余角
【解析】【解答】解：∵∠A=27.4°，
∴∠A的余角为90°-27.4°=62.6°=62°36'.
故答案为：B.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角，列式求解即可.
21．（2024七上·奉化期末）如果，那么的补角为 （结果化成度）
【答案】
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴的补角为：
故答案为：．
【分析】根据补角的定义和角之间单位换算计算即可．
22．（2025七上·长兴期末）如图，点O在直线上，平分，，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴∠AOE=2∠DOE=2×75°=150°，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用∠DOE=∠COE-∠COD代入可求出∠DOE的度数，再利用角平分线的概念可求出∠AOE的度数，然后利用邻补角的定义可求出∠BOE的度数，然后根据，代入计算可求出∠BOD的度数.
23．（2023七上·江北期末） 如图， 是直线 A B 上的一点， O C， O D 分别平分 ， 则所有与 互余的角是
【答案】∠DOP或∠BOD
【知识点】角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：∵OC，OD分别平分，
∴
∵
∴
∴与∠COP互余的角是∠DOP和∠BOD
故答案为：∠DOP或∠BOD.
【分析】根据角平分线的定义得到：结合平角的定义得到：进而即可求解.
24．（2024七上·拱墅期末）已知是的补角，是的补角，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；补角
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意. 和 的度数相等，解出n的值，求出. 的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出 的度数.
25．（2021七上·镇海期末）已知 的余角比 的2倍少 ， 则 度.
【答案】35
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】解：根据题意得
90°-∠A=2∠A-15°，
∴3∠A=105°，
解之：∠A=35°.
故答案为：35.
【分析】求一个角的余角就是用90°减去这个角的度数；根据∠A的余角=2∠A -15°，由此可得到关于∠A的方程，解方程求出∠A的度数.
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