浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训十
一、方程思想求角
1．（2025七上·苍南期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的平分线，，
，
，
是的平分线，
．
故选：B．
【分析】先根据角平分线的意义求出，再利用邻补角的定义求出，即可得到答案．
2．（2025七上·温州期末）如图，点在直线上，射线在直线的同一侧，与互余，平分．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵与互余，即，
∵平分，
∴。
（2）解：
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据与互余，以及平角的定义得出，再由角平分线的定义即可求解；
（2）本题先将∠BOE变形为，可得，利用交换律交换位置后计算即可。
（1）解：∵与互余，即
∵平分，
∴；
（2）解：
3．（2025七上·新昌期末）如图，已知，是的角平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，且，
则．
是的角平分线，
，
．
（2）解：，
设为度，则为度，
是的角平分线，
，
，
解得，
．
的度数是．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用角平分线的定义得到∠AOD的度数，再根据解题；
（2）设为°，则为°，利用角平分线的定义得到，再根据求出x值即可．
（1）解：，且，
则．
是的角平分线，
，
．
（2）解：，
设为度，则为度，
是的角平分线，
，
，
解得，
．
的度数是．
4．（2025七上·西湖期末）如图，已知．
（1）若，求的度数．
（2）与互补吗？请说明理由．
【答案】（1）解：，，
（2）解：与互补，理由如下：
，
，
，
与互补
【知识点】角的运算；补角
【解析】【分析】本题考考查了角度的和差计算以及互补的定义，关键是识别图形中角的组成关系．
（1）根据，根据题目已知条件计算即可；
（2）因为，所以，可得，根据互补的定义，与互补．
（1）解：，，
；
（2）解：与互补，理由如下：
，
，
，
与互补．
5．（2025七上·慈溪期末）如图，是直线上一点，在的内部，是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若与互余，请说明是的平分线．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵是的平分线，
∴
（2）解：∵与互余，∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的性质及余角的性质.
（1）先根据平角的定义求出的度数，再利用角平分线定义求出∠BOF的度数；
（2）由余角的性质得到，利用等角的余角相等结合角平分线的定义，得到，进而说明OG是∠BOC的平分线．
（1）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
（2）解：∵与互余，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线．
6．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
7．如图，射线OC，OD，OE，OF 分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC.若∠FOD=24°，则∠AOB= .
【答案】64°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD平分∠COB，OF，OE分别平分∠EOC，∠AOC，
∴∠AOB=64°.
故答案为：64°.
【分析】先利用角平分线的定义及等量代换可得 再结合 ∠FOD=24°， 求出∠AOB=64°即可.
8．（2024七上·兰溪期末）如图，已知，平分，且， ．
【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，，再结合，最后求出即可.
9．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB的度数为( )
A．90° B．120° C．160° D．180°
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：D .
【分析】由知，与互余，则可以转化为两直角的和。
10．OC平分∠AOB，OD 是∠BOC内部从点O 出发的一条射线，OE平分∠AOD。
（1）【基础尝试】如图 2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数。
（2）【画图探究】设 用x的代数式表示∠BOD 的度数。
（3）【拓展运用】若∠COE 与∠BOD 互余，∠AOB 与∠COD 互补，求∠AOB 的度数。
【答案】（1）解：因为OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
所以∠AOC=∠COB=60°，
因为∠COD=10°，
所以∠AOD=60°+10°=70°。
因为OE平分∠AOD，
所以
（2）解：因为OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
所以
因为
所以 即
所以∠BOD=2x°
（3）解：因为由(2)得∠BOD=2∠COE，
因为∠COE与∠BOD互余，
所以∠COE=30°，∠BOD=60°.
因为∠AOB与∠COD互补，
所以∠AOB+∠COD=180°.
因为 ，
所以
所以∠AOB=160°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义，得出∠AOC=∠COB=60°，再结合图形，即可求解；
（2）由角平分线的定义，得出∠AOC=∠AOB，∠AOE=∠AOD，表示出∠COE，即可求解；
（3）由（2）得∠BOD=2∠COE，再由题意确定∠COE=30°，∠BOD=60°，结合图形，列出关于∠AOB的方程，即可求解.
二、旋转角问题
11．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB= .
【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
12．（2025七上·东阳期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．
（1）当时，是的平分线吗？试说明理由．
（2）若，．
①求的度数．
②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．
【答案】（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，
，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上可得，当为固定值时，或或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
（1）根据题意得，，由等角的余角相等可得∠DOE=∠BOD，再根据角平分线的定义即可判断求解；
（2）①先求出，得到，再根据平角等于180°即可求解；
②分情况讨论即可求解．
（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上所述，当为固定值时，或或．
13．（2025七上·成都期末）已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角）
【初步感知】
（1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______．
【深入探究】
（2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由．
【拓展延伸】
（3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小．
【答案】（1）；
解：（2），理由如下：
设，
，
平分，平分，
；
（3）当在内部时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意，舍去）
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）；
当在外部且在射线右侧时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）
当在外部且在射线左侧时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（不符合题意，舍去），
则此时
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不符合题意，舍去），
综上可得，．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，
平分，平分，
.
故答案为：.
【分析】
（1）先求出，，然后由角平分线的定义可求解；
（2）设，则，由角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可求解；
（3）分情况讨论：当在内部时，当在外部时，分别表示出，然后根据已知的等式可列关于x的方程，解方程即可求解.
14．（2025七上·广元期末）将一副直角三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上（直角三角尺和直角三角尺，，，，）．保持三角尺不动，将三角尺绕点O顺时针方向转动．当转动至射线上时，三角尺停止转动．
（1）如图2，当平分时，的度数为__________．
（2）三角尺转动到如图3所示的位置，使得、同时在的右侧，猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（3）在三角尺转动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）112.5
（2）结论：，
理由如下：
∵，，
∴
（3）解：当在内部时，∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当在外部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的度数为或
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：112.5；
【分析】（1）利用角平分线的概念可求出的度数，再根据，代入计算可求出的度数.
（2）由题意可证得，，由此可得到与之间的数量关系.
（3）分情况讨论：分在内部，利用已知可得到关于∠AOM的方程，解方程求出∠AOM的度数，即可求出∠NOD的度数；在外部，利用已知条件可求出∠AOM的度数，然后求出∠NOD的度数；综上所述，可得到∠NOD的度数.
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：112.5；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴；
（3）解：当在内部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当在外部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的度数为或．
15．（2025七上·新都期末）已知．
（1）如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ．
（2）如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分．
①当时，若分为两个部分，求满足时，的值．
②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①如图2，
射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为，
，，
，
平分，分为两个部分，
，，或，，
当，时，
，，
，
，
解得：；
当，时，
，，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
②当时，如图3，，，，
平分，平分，
，，
，
，
，为定值；
当时，如图4，，，，
平分，平分，
，，
，，
，为定值；
综上所述，，为定值
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1，，
则，
射线，分别为，的角平分线，
，，
，
故答案为：．
【分析】（1）利用角平分线的概念可知，，再根据代入计算可求出∠MON的度数.
（2）①利用已知条件可表示出∠AOC、∠AOD、∠BOC的度数；由平分，分为两个部分，可证得，或，，分别根据，建立关于t的方程，解方程求出t的值，即可求解；②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值．
（1）解：如图1，，
则，
射线，分别为，的角平分线，
，，
，
故答案为：．
（2）解：①如图2，
射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为，
，，
，
平分，分为两个部分，
，，或，，
当，时，
，，
，
，
解得：；
当，时，
，，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
②当时，如图3，，，，
平分，平分，
，，
，
，
，为定值；
当时，如图4，，，，
平分，平分，
，，
，，
，为定值；
综上所述，，为定值．
三、探究角之间关系
16．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部. 若 ， ， 则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD，
∴α=β+β-∠COD.
∴∠COD=2β-α.
故答案为：D.
【分析】由∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD可得到结论.
17．（2025七上·慈溪期末）如图，射线 OB，OC分别在∠AOD，∠BOD的内部，且射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD。若∠MON=a，∠BOC=B，则∠AOD=（ ）
A．2a B．2a-β C．a+β D．a-β
【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
β
由角平分线得：
故答案为：B.
【分析】此题主要用到了角平分线的定义，由此先求出 的值才能求出的值.
18．（2023七上·东湖期末）如图，已知平分平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据角的和差得到，然后利用角平分线的定义可得，再利用解题即可．
19．（2023七上·芙蓉期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，平分，
，
，
，
②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；
③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案．
20．（2023七上·阿瓦提期末）如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当是直角，时，的度数是多少？
（2）如图2，当，时，猜想与α的数量关系；
（3）如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）解：是直角，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）解：同理（1），，
，，
；
（3）解：与α有关，与β无关，，理由如下：
同理（1），，
，，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，由是的平分线，是的平分线，得到，，结合，即可求得的度数；
（2）根据题意，得到，，，结合，即可求得的度数；
（3）根据题意，得到，，，结合，即可求得的度数.
（1）解：是直角，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）解：同理（1），，
，，
；
（3）解：与α有关，与β无关，，理由如下：
同理（1），，
，，
．
21．（2025七上·乐清期末）如图，O是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；
（2）在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由．
【答案】（1）解：，
，
平分，
（2）解：与互余，理由如下：
，
，
又∵，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平角定义得出的度数，然后利用角平分线的定义即可计算出 的度数；
（2）先利用平角定义得出的度数，再根据已知推出的度数，然后利用角的和差关系可得和互余，即可解答．
（1）解：，
，
平分，
；
（2）与互余，
理由：，
，
，
，，
；
22．（2024七上·海曙期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
【答案】（1）解：和互余
（2）解：
（3）25.2秒或者54秒
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（3）设旋转时间为t秒.
①OD在∠BOC内部时（0＜t＜18），
∠COD=54-3t，∠AOE=90-3t，
∵54-3t＜90-3t，
∴，即当OD在∠BOC内部时，不可能有；
②当OD、OE均在∠AOC内部时（18＜t＜30），
∠COD=3（t-18）=3t-54，∠AOE-90-54-3(t-18)=90-3t，
当 ，有，解得t=25.2；
③当OD∠AOC内部，但OE在AB下方时，
∠COD=3t-54，∠AOE=3（t-30）=3t-90，
当，有，解得t=54.
综上所述，若 恰好有， 旋转的时间为25.2秒或54秒.
故答案为：25.2秒或者54秒.
【分析】（1）对于第一问，由于∠COD和∠AOE互余，且∠EOD为直角，可以推导出∠EOC和∠AOE相等. 由此，可以进一步求出∠COE的度数；
（2）由于∠BOD是旋转角度，即可以通过分析旋转前后角度的变化，推导出∠COD与∠AOE之间的数量关系. 具体而言，可以通过分析∠BOD、∠COD、∠AOE之间的关系，得出含n的等式；
（3）根据题目给定的旋转速度和旋转停止的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间. 具体而言，需要分析旋转过程中∠COD与∠AOE的变化规律，然后根据题目给定的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间.
四、角的新定义
23．（2025七上·椒江期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且．
（1）若是的差余角，求；
（2）将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分，
①判断和的数量关系，并说明理由；
②图中的差余角有哪些？请说明理由；
（3）将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系．
【答案】（1）解：∵是的差余角，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据“差余角”的定义得到，然后根据平角的定义求出∠BOC的度数；
（2）①利用平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，然后根据平角解题即可；
②由（2）①可得，然后利用，可得，解题即可；
（3）分为在左侧，在右侧，在下方三种情况，画图利用“差余角”的定义即可得到，再根据角的和差解题即可．
（1）解：∵是的差余角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，
∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
24．（2025七上·拱墅期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
【答案】（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴
（3）解：或，
理由如下：①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）分情况讨论：当在内部时，利用射线是的“割补线”， 可求出∠DOE的度数，再利用垂直的概念可求出∠COE的度数；当在外部时，利用“割补线”的定义可求出∠AOE的度数，利用垂直的定义可求出∠COE的度数；综上所述，可得到∠COE的度数.
（2）利用角平分线的概念可求证得，然后求出∠BOD的度数.
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，由此可证得结论.
（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下：
①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或．
25．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
1 / 1浙江省数学七年级上册期末常考题型真题分类专项特训十
一、方程思想求角
1．（2025七上·苍南期末）如图，是直线上一点，，分别是，的平分线．若的度数为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七上·温州期末）如图，点在直线上，射线在直线的同一侧，与互余，平分．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
3．（2025七上·新昌期末）如图，已知，是的角平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若，求的度数．
4．（2025七上·西湖期末）如图，已知．
（1）若，求的度数．
（2）与互补吗？请说明理由．
5．（2025七上·慈溪期末）如图，是直线上一点，在的内部，是的平分线．
（1）若，求的度数．
（2）若与互余，请说明是的平分线．
6．（2024七上·成华期末）如图，，在内作两条射线和，且平分平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，射线OC，OD，OE，OF 分别平分∠AOB，∠COB，∠AOC，∠EOC.若∠FOD=24°，则∠AOB= .
8．（2024七上·兰溪期末）如图，已知，平分，且， ．
9．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB的度数为( )
A．90° B．120° C．160° D．180°
10．OC平分∠AOB，OD 是∠BOC内部从点O 出发的一条射线，OE平分∠AOD。
（1）【基础尝试】如图 2，若∠AOB=120°，∠COD=10°，求∠DOE的度数。
（2）【画图探究】设 用x的代数式表示∠BOD 的度数。
（3）【拓展运用】若∠COE 与∠BOD 互余，∠AOB 与∠COD 互补，求∠AOB 的度数。
二、旋转角问题
11．若∠MON=80°，P 是平面上一点，且OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP.当射线OP 在∠MON 外部绕点O 旋转时，∠AOB= .
12．（2025七上·东阳期末）如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且．
（1）当时，是的平分线吗？试说明理由．
（2）若，．
①求的度数．
②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围．
13．（2025七上·成都期末）已知，，射线是由顺时针旋转得到的，平分，平分，探究与的关系．（本题出现的角均指大于且小于平角的角）
【初步感知】
（1）如图1，射线是由射线逆时针旋转得到的，，则______，______．
【深入探究】
（2）若射线在的内部，请探究与的关系并说明理由．
【拓展延伸】
（3）若射线从的位置开始绕着点旋转一周，射线平分，射线平分，射线平分，当时，请直接写出的大小．
14．（2025七上·广元期末）将一副直角三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上（直角三角尺和直角三角尺，，，，）．保持三角尺不动，将三角尺绕点O顺时针方向转动．当转动至射线上时，三角尺停止转动．
（1）如图2，当平分时，的度数为__________．
（2）三角尺转动到如图3所示的位置，使得、同时在的右侧，猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由．
（3）在三角尺转动的过程中，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
15．（2025七上·新都期末）已知．
（1）如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ．
（2）如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分．
①当时，若分为两个部分，求满足时，的值．
②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
三、探究角之间关系
16．（2024七上·嘉兴期末）如图， 射线 在 的内部. 若 ， ， 则 为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025七上·慈溪期末）如图，射线 OB，OC分别在∠AOD，∠BOD的内部，且射线OM，ON分别平分∠AOB，∠COD。若∠MON=a，∠BOC=B，则∠AOD=（ ）
A．2a B．2a-β C．a+β D．a-β
18．（2023七上·东湖期末）如图，已知平分平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023七上·芙蓉期末）如图所示，，、、分别平分，，，下列结论：①．②．③．④．其中正确的是 ．
20．（2023七上·阿瓦提期末）如图，是的平分线，是的平分线．
（1）如图1，当是直角，时，的度数是多少？
（2）如图2，当，时，猜想与α的数量关系；
（3）如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
21．（2025七上·乐清期末）如图，O是直线上一点，，平分．
（1）求的度数；
（2）在内作射线，使，请你写出一对互余的角，并说明理由．
22．（2024七上·海曙期末）如图1，在直线上取一点O，向上作一条射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．如图2，将直角三角板绕点O逆时针转动，当与第一次重合时停止．
（1）如图2，时，若和互余，且满足始终在内部，求此时的度数；
（2）如图2，当始终在内部时，猜想与有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当时，若直角三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，与第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 秒．（直接写出结果）
四、角的新定义
23．（2025七上·椒江期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且．
（1）若是的差余角，求；
（2）将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分，
①判断和的数量关系，并说明理由；
②图中的差余角有哪些？请说明理由；
（3）将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系．
24．（2025七上·拱墅期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为．
（1）若，求的度数；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系．
25．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的平分线，，
，
，
是的平分线，
．
故选：B．
【分析】先根据角平分线的意义求出，再利用邻补角的定义求出，即可得到答案．
2．【答案】（1）解：∵与互余，即，
∵平分，
∴。
（2）解：
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据与互余，以及平角的定义得出，再由角平分线的定义即可求解；
（2）本题先将∠BOE变形为，可得，利用交换律交换位置后计算即可。
（1）解：∵与互余，即
∵平分，
∴；
（2）解：
3．【答案】（1）解：，且，
则．
是的角平分线，
，
．
（2）解：，
设为度，则为度，
是的角平分线，
，
，
解得，
．
的度数是．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用角平分线的定义得到∠AOD的度数，再根据解题；
（2）设为°，则为°，利用角平分线的定义得到，再根据求出x值即可．
（1）解：，且，
则．
是的角平分线，
，
．
（2）解：，
设为度，则为度，
是的角平分线，
，
，
解得，
．
的度数是．
4．【答案】（1）解：，，
（2）解：与互补，理由如下：
，
，
，
与互补
【知识点】角的运算；补角
【解析】【分析】本题考考查了角度的和差计算以及互补的定义，关键是识别图形中角的组成关系．
（1）根据，根据题目已知条件计算即可；
（2）因为，所以，可得，根据互补的定义，与互补．
（1）解：，，
；
（2）解：与互补，理由如下：
，
，
，
与互补．
5．【答案】（1）解：∵，∴，
∵是的平分线，
∴
（2）解：∵与互余，∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的性质及余角的性质.
（1）先根据平角的定义求出的度数，再利用角平分线定义求出∠BOF的度数；
（2）由余角的性质得到，利用等角的余角相等结合角平分线的定义，得到，进而说明OG是∠BOC的平分线．
（1）解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
（2）解：∵与互余，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线．
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴可设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
又∵平分平分，
∴，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设，即可求出x的值，即可得到的度数，再利用角平分线定义得到，，然后根据解答即可．
7．【答案】64°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD平分∠COB，OF，OE分别平分∠EOC，∠AOC，
∴∠AOB=64°.
故答案为：64°.
【分析】先利用角平分线的定义及等量代换可得 再结合 ∠FOD=24°， 求出∠AOB=64°即可.
8．【答案】
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，则，，再结合，最后求出即可.
9．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：因为，
所以
故答案为：D .
【分析】由知，与互余，则可以转化为两直角的和。
10．【答案】（1）解：因为OC平分∠AOB，∠AOB=120°，
所以∠AOC=∠COB=60°，
因为∠COD=10°，
所以∠AOD=60°+10°=70°。
因为OE平分∠AOD，
所以
（2）解：因为OC平分∠AOB，OE平分∠AOD，
所以
因为
所以 即
所以∠BOD=2x°
（3）解：因为由(2)得∠BOD=2∠COE，
因为∠COE与∠BOD互余，
所以∠COE=30°，∠BOD=60°.
因为∠AOB与∠COD互补，
所以∠AOB+∠COD=180°.
因为 ，
所以
所以∠AOB=160°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义，得出∠AOC=∠COB=60°，再结合图形，即可求解；
（2）由角平分线的定义，得出∠AOC=∠AOB，∠AOE=∠AOD，表示出∠COE，即可求解；
（3）由（2）得∠BOD=2∠COE，再由题意确定∠COE=30°，∠BOD=60°，结合图形，列出关于∠AOB的方程，即可求解.
11．【答案】40°或140°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论：
①当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，如解图①.
∵OA 平分∠MOP，OB 平分∠NOP，
∴
②当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时， 如解 图 ②.
此 时
③当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，同理于①，可知.
综上所述，∠AOB 的度数为 40°或 140°.
故答案为：40°或140°.
【分析】作边OM，ON 的反向延长线OC，OD，分三种情况讨论，当射线OP 在∠MOD 内部(包括边OD)绕点O 旋转时，当射线OP 在∠COD 内部(不包括边OC 和OD)绕点O旋转时，当射线OP 在∠CON 内部(包括边OC)绕点O 旋转时，按照角平分线的定义以及角的和差关系求解即可.
12．【答案】（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，
，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上可得，当为固定值时，或或．
【知识点】角的运算；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】
（1）根据题意得，，由等角的余角相等可得∠DOE=∠BOD，再根据角平分线的定义即可判断求解；
（2）①先求出，得到，再根据平角等于180°即可求解；
②分情况讨论即可求解．
（1）解：是的平分线，理由如下：
∵为直线上一点，且．
∴，，
∵，
∴，
∴是的平分线；
（2）①∵，，
∴，
∴，
∴，
答：的度数为．
②∵，
∴当时，在的内部，是固定值，
当时，如图，沿着逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转，，，
∴
当时，与重合，，，
当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同，
∴的大小不变，
∴的固定值为，
当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，，
当时，与重合，
当时，在内部，的固定值为，
综上所述，当为固定值时，或或．
13．【答案】（1）；
解：（2），理由如下：
设，
，
平分，平分，
；
（3）当在内部时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意，舍去）
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）；
当在外部且在射线右侧时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）
当在外部且在射线左侧时，设，则，
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不合题意舍去）
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（不符合题意，舍去），
则此时
当时，如下图：
射线平分，射线平分，射线平分，
，
解得：（都不符合题意，舍去），
综上可得，．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，
平分，平分，
.
故答案为：.
【分析】
（1）先求出，，然后由角平分线的定义可求解；
（2）设，则，由角平分线的定义求出，然后根据角的和差即可求解；
（3）分情况讨论：当在内部时，当在外部时，分别表示出，然后根据已知的等式可列关于x的方程，解方程即可求解.
14．【答案】（1）112.5
（2）结论：，
理由如下：
∵，，
∴
（3）解：当在内部时，∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当在外部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的度数为或
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：112.5；
【分析】（1）利用角平分线的概念可求出的度数，再根据，代入计算可求出的度数.
（2）由题意可证得，，由此可得到与之间的数量关系.
（3）分情况讨论：分在内部，利用已知可得到关于∠AOM的方程，解方程求出∠AOM的度数，即可求出∠NOD的度数；在外部，利用已知条件可求出∠AOM的度数，然后求出∠NOD的度数；综上所述，可得到∠NOD的度数.
（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：112.5；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴；
（3）解：当在内部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当在外部时，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
综上所述，的度数为或．
15．【答案】（1）
（2）解：①如图2，
射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为，
，，
，
平分，分为两个部分，
，，或，，
当，时，
，，
，
，
解得：；
当，时，
，，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
②当时，如图3，，，，
平分，平分，
，，
，
，
，为定值；
当时，如图4，，，，
平分，平分，
，，
，，
，为定值；
综上所述，，为定值
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）如图1，，
则，
射线，分别为，的角平分线，
，，
，
故答案为：．
【分析】（1）利用角平分线的概念可知，，再根据代入计算可求出∠MON的度数.
（2）①利用已知条件可表示出∠AOC、∠AOD、∠BOC的度数；由平分，分为两个部分，可证得，或，，分别根据，建立关于t的方程，解方程求出t的值，即可求解；②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值．
（1）解：如图1，，
则，
射线，分别为，的角平分线，
，，
，
故答案为：．
（2）解：①如图2，
射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为，
，，
，
平分，分为两个部分，
，，或，，
当，时，
，，
，
，
解得：；
当，时，
，，
，
，
解得：；
综上所述，的值为或．
②当时，如图3，，，，
平分，平分，
，，
，
，
，为定值；
当时，如图4，，，，
平分，平分，
，，
，，
，为定值；
综上所述，，为定值．
16．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD，
∴α=β+β-∠COD.
∴∠COD=2β-α.
故答案为：D.
【分析】由∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD可得到结论.
17．【答案】B
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：
β
由角平分线得：
故答案为：B.
【分析】此题主要用到了角平分线的定义，由此先求出 的值才能求出的值.
18．【答案】D
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据角的和差得到，然后利用角平分线的定义可得，再利用解题即可．
19．【答案】①②④
【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，平分，平分，
，
，
，
②中，，，
，，，故②正确；
①中，由，故①正确；
③中，由，故③错误；
④中，设，则，，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角，几何图中角的计算，根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案．
20．【答案】（1）解：是直角，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）解：同理（1），，
，，
；
（3）解：与α有关，与β无关，，理由如下：
同理（1），，
，，
．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，由是的平分线，是的平分线，得到，，结合，即可求得的度数；
（2）根据题意，得到，，，结合，即可求得的度数；
（3）根据题意，得到，，，结合，即可求得的度数.
（1）解：是直角，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）解：同理（1），，
，，
；
（3）解：与α有关，与β无关，，理由如下：
同理（1），，
，，
．
21．【答案】（1）解：，
，
平分，
（2）解：与互余，理由如下：
，
，
又∵，
，
，
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用平角定义得出的度数，然后利用角平分线的定义即可计算出 的度数；
（2）先利用平角定义得出的度数，再根据已知推出的度数，然后利用角的和差关系可得和互余，即可解答．
（1）解：，
，
平分，
；
（2）与互余，
理由：，
，
，
，，
；
22．【答案】（1）解：和互余
（2）解：
（3）25.2秒或者54秒
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（3）设旋转时间为t秒.
①OD在∠BOC内部时（0＜t＜18），
∠COD=54-3t，∠AOE=90-3t，
∵54-3t＜90-3t，
∴，即当OD在∠BOC内部时，不可能有；
②当OD、OE均在∠AOC内部时（18＜t＜30），
∠COD=3（t-18）=3t-54，∠AOE-90-54-3(t-18)=90-3t，
当 ，有，解得t=25.2；
③当OD∠AOC内部，但OE在AB下方时，
∠COD=3t-54，∠AOE=3（t-30）=3t-90，
当，有，解得t=54.
综上所述，若 恰好有， 旋转的时间为25.2秒或54秒.
故答案为：25.2秒或者54秒.
【分析】（1）对于第一问，由于∠COD和∠AOE互余，且∠EOD为直角，可以推导出∠EOC和∠AOE相等. 由此，可以进一步求出∠COE的度数；
（2）由于∠BOD是旋转角度，即可以通过分析旋转前后角度的变化，推导出∠COD与∠AOE之间的数量关系. 具体而言，可以通过分析∠BOD、∠COD、∠AOE之间的关系，得出含n的等式；
（3）根据题目给定的旋转速度和旋转停止的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间. 具体而言，需要分析旋转过程中∠COD与∠AOE的变化规律，然后根据题目给定的条件，计算出满足特定条件时的旋转时间.
23．【答案】（1）解：∵是的差余角，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【知识点】角的运算
【解析】【分析】（1）根据“差余角”的定义得到，然后根据平角的定义求出∠BOC的度数；
（2）①利用平角的定义可得，然后根据角平分线的定义可得，然后根据平角解题即可；
②由（2）①可得，然后利用，可得，解题即可；
（3）分为在左侧，在右侧，在下方三种情况，画图利用“差余角”的定义即可得到，再根据角的和差解题即可．
（1）解：∵是的差余角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即
∵，
∴；
②的差余角有，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的差余角有；
（3）解：如图3-1所示，当在左侧时，
∵是的差余角，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图3-2所示，当在右侧时，
∵是的差余角，
∴，
∵，
∴，
∴此种情况不存在；
如图3-3所示，当在下方时，
∵是的差余角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
24．【答案】（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴
（3）解：或，
理由如下：①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）分情况讨论：当在内部时，利用射线是的“割补线”， 可求出∠DOE的度数，再利用垂直的概念可求出∠COE的度数；当在外部时，利用“割补线”的定义可求出∠AOE的度数，利用垂直的定义可求出∠COE的度数；综上所述，可得到∠COE的度数.
（2）利用角平分线的概念可求证得，然后求出∠BOD的度数.
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，由此可证得结论.
（1）解：①如图，当在内部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，当在外部时，
∵射线是的“割补线”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，的度数为或；
（2）解：若恰好平分，
∴，
∴；
（3）解：或，理由如下：
①如图，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴是的平分线，
∴，
∴，
∴；
②如图，，
∵，
∴，
∴
，
，
∴，
综上所述或．
25．【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
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