浙教版数学九年级上学期重难点复习3:二次函数(二)
一、二次函数与分段函数的综合应用
1．（2025九上·新昌月考）已知函数使成立的的值恰好只有个时，则满足的条件是 ．
2．如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（浙江省衢州市实验学校教育集团锦溪校区2025-2026学年上学期九年级上学期月考数学试卷）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场，计划在 的绿化带上种植甲乙两种花卉，市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/ 与种植面积. 之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15 元/
（1） 分别求出当0（2）当甲种花卉种植面积不少于 ，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时.
①求种植甲乙两种花卉的总费用w(元)关于种植面积. 之间的函数表达式；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少 最少是多少元
5．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、二次函数-线段周长问题
6．（2025九上·拱墅月考）已知关于x二次函数过
（1）填空∶ ，
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求m的范围；
（3）已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围．
7．如图，抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
8．（2025九上·长兴月考）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。
（1）【概念理解】
抛物线与抛物线是否围成“月牙线” 说明理由.
（2）【尝试应用】
①抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B.求a：b：c的值.
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围.
9．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
三、二次函数-面积问题
11．（2025九上·南湖期中）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0)，B（1，0)两点
（1）求b，c的值、
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
12．（2025九上·萧山月考）如图，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，0）.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接AM，BM，求四边形AOBM的面积.
13．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S△POB=S△AOB，请求出点P的坐标．
14．（2025九上·杭州月考）许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．点A、C的坐标分别是（6，2），（0，4）．
（1）直接写出点B的坐标 ；
（2）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
（3）如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S1＝2S2，求m的值．
15．（2025九上·义乌月考）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB＝10，求此时点P的坐标．
四、二次函数-角度的存在性问题
16．（2025·江北模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）．
（2）若点的纵坐标为，求的最小值．
（3）当，为锐角时，求的取值范围．
17．（2024·宁波期中） 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
18．（2025九上·义乌月考）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
（1）求：，的值；
（2）当时，函数的最小值是2，求出的值；
（3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2022九上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
20．（2024九上·东阳月考）综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
21．（2025九上·余杭月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点0（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上，是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由，
五、二次函数-特殊三角形存在性问题
22．（2025九上·嵊州期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
23．（2024九上·绍兴月考）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ．
24．（2025九上·绍兴月考）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ．
25．（2025九上·义乌月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】a=-2或a>2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y=-2或y>2时，对应成立的x值恰好有2个，
∴a=-2或a>2.
故答案为：a=-2或a>2.
【分析】先分析分段函数的图象特征，确定每个分段函数的顶点和特殊点，再结合图像判断水平线y=a与函数图象的交点个数，从而确定a的取值范围.
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；二次函数-动态几何问题；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，取的中点F，连接，
，
点、是中点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
当时，点在上，点在上，，
；
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
；
如图，当时，点、都在上，
，
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
【分析】根据M、N的运动轨迹，分类讨论（点在上，点在上；点在上，点在上；点、都在上），得到S与t的函数关系，再结合选项作答.
3．【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
4．【答案】（1）解：由图像可知，当甲种花卉种植面积0∴此区间的函数关系式为：y=30(0当甲种花卉种植面积40≤x≤100m2时，函数图象为直线，
设函数关系式为：y= kx+b(40≤x≤100)，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
解得：，b=40，
∴ (40≤x≤100)
∴y与x的函数关系式应为：
（2）解：∵甲种花卉种植面积不少于30m2
∴x≥30
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍
∴360-x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90，
①当30≤x≤40时
由(1)知，y=30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2
∴w=y+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x-5400
∴当x=90时，
∵5850>5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当30≤x≤40时，
由①知，w=15x+5400
∵种植总费用不超过6000元
∴15x-5400≤6000
∴x≤40
即满足条件的x的范围为30≤x≤40
当40由①知，
∵种植总费用不超过6000元
∴，
∴x≤40(不符合题意，舍去)或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】(1)根据函数图象分两种情况，0(2)先求出x的范围：
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】分段函数；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：当与重合时，设，由题可得：，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
如图，当在下方时，设，由题可得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．【分析】根据正方形与等腰直角三角形的位置关系进行分类讨论，得出y与x的函数关系式，找出对应的函数图象.
6．【答案】（1）；
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
当时，，
当时，，
，
二次函数的最大值为，最小值为，
，
；
（3）解：把代入，
得，
解得：或，
此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，
，，
，
线段与抛物线只有1个交点，
当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且，
此时；
当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且，
；
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】 （1）解：把代入可得，
，解得，
故答案为：；；
【分析】（1）已知函数过，把这两点代入到函数表达式即可解答；
（2）先根据（1）中的结果得到二次函数解析式，求出其对称轴，然后分析在范围内函数的最大值和最小值，根据最大值和最小值的差是8，结合对称轴的位置来确定m的范围.；
（3）先求出抛物线上纵坐标为4的点的横坐标，得到这些点之间的距离，在分析线段MN的长度，根据西安段MN的长度与抛物线交点的情况分情况讨论，分别求出n的取值范围.．
（1）解：把代入可得，
，解得，
故答案为：；；
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
当时，，
当时，，
，
二次函数的最大值为，最小值为，
，
；
（3）解：把代入，
得，
解得：或，
此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，
，，
，
线段与抛物线只有1个交点，
当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且，
此时；
当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且，
；
综上所述，或．
7．【答案】（1）解：将，代入中得，
．
抛物线解析式为：
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，
由对称性可知，
∴的周长，
∵A、C为定点，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，
在中，当时，
的坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
在中，当时，
，
∴存在使得的周长最小；
（3）解：设，过点P作轴于E，
，
∴当有最大值时，有最大值，
，
，
∵，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点坐标为，
∴存在使得面积最大，最大为．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求b、c的值即得解析式；
(2)AC长度为定值，即求CQ+AQ的最小值，取点A关于对称轴对称的点B，即求CQ+BQ的最小值，当B、C、Q共线时取最小值，同步可得点Q的坐标；
(3)设，利用面积割补求出BPC的面积表达式即S，当m=-时，面积取最大值.
8．【答案】（1）解：拋物线与拋物线围成＂月牙线＂；
理由如下：
在中，令得或，
该抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
该抛物线与轴交点为和（2，0），
抛物线与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线y1=2(x-1)（x-2)与抛物线y2=x2-3x+2围成“月牙线”；
（2）解：①∴抛物线与x轴交点为(3，0)和(-1，0)，把(3，0)和(-1，0)代入得：
解得
∴a：b：c=a：(-2a)：(-3a)=1：(-2)：(-3)；
∴a：b：c的值为1：(-2)：(-3)；
②由（1）知，，∴抛物线的顶点为（1，），
∵抛物线的顶点为（1，），，
∴，
∴抛物线在抛物线上方；
∴，，
∴
∵的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得
在中，令得，
在中，令得，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)根据“月牙线”的定义，分别求出两个抛物线与x轴的交点坐标，看是否相同，如果相同就围成“月牙线”，否则就不能；
(2)①易求出y1与x轴的两个交点坐标为(3，0)和(-1，0)，可知y2与x轴也交于这两个点，代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，用含a的式子表示b，c，再求a：b：c即可；
②易知y2的顶点为（1，），结合y1的顶点以及可得，可以判断抛物线y1在y2上方，从而写出m，n的表达式，并表示出m-n，根据得到关于a的不等式，求解得，最后在两个抛物线解析式中令x=0就能求出A，B两点的纵坐标。
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
10．【答案】（1）解：把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为
（2）解：延长交轴于，
过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；
【分析】(1)分别将点(1，3)和(-1，0)代入得到关于a、b的方程，求解方程即得a、b的值，即知抛物线的表达式；
(2)由相似知当PE最大时，PDE周长最大，设，则即得PE的表达式，，当m=2时，PE取最大值，求出其它两边的长即可得周长的最大值和点P的坐标；
(3)设，利用菱形的性质即对角线互相平分和邻边相等，可得关于s、t、n的方程，分别求解方程即可得点N的坐标.
11．【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，设，根据三角形的面积公式可得点的纵坐标，代入解一元二次方程求出横坐标即可求解．
12．【答案】（1）解：当.x=0时， 则A(0，4)，当y=0时， 解得x=8，则B(8，0)，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)，把A(0，4)代入得解得
∴抛物线解析式为 即
（2）解：
作 轴于D，
四边形AOBM 的面积
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A和B的坐标，然后利用交点式求出抛物线的解析式即可；
（2）配方得到顶点M的坐标，过M点作 轴于D，然后根据AOBM 的面积 解答即可.
13．【答案】（1）解：如图，连接AB、OA．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）2-3，
把（0，0）代入得a×32-3=0，解得a=，
所以此抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴B点坐标为（-6，0），
∴△AOB的面积=；
（3）解：设P点坐标为（x，y），
∵S△POB=S△AOB，
∴，
解得y=3或y=-3（舍去），
∴，
解得，
∴P点坐标为．
【知识点】三角形的面积；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋3）2 3，然后把原点坐标代入求出a即可；
（2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）设P点坐标为（x，y），根据S△POB＝S△AOB可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标.
14．【答案】（1）（-6，2）
（2）解：由题意可设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+4，将点A（6，2）代入得
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为，
当x＝0时，得，
此时抛物线与y轴的交点设为，
∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且S1＝2S2，
∴，
∴，
解得m＝6（负值已舍）或m（负值已舍），
∴m的值为6或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】(1) 解： ∵OA，OB关于y轴对称， A(6，2)，
故答案为：((-6，2)；
【分析】(1)根据OA，OB关于y轴对称可求B的坐标；
(2)根据题意可设抛物线为 代入A的坐标求出a即可；
(3)求出平移后抛物线的解析式，令x=0求出其与y轴的交点D，根据平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且， 可得 即 解方程即可得到答案.
15．【答案】（1）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB＝4，
∵OB=OC，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
设经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上，
∴将（0，4）代入解析式，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣4）（x+1），即y＝﹣x2+3x+4.
（2）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝5，
设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），
∵S△PAB＝10，
∴，即，
∴或，解得，x1＝3，x2＝0，，，
∵点P在第一象限，
∴P的坐标为（3，4）．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据B（4，0），易得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4），利用二次函数的交点式，设二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），利用点C（0，4）在图象上易得a=-1，即可求出二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1），即y=-x2+3x+4；
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，-x2+3x+4），根据S△PAB=10，建立方程，利用绝对值解方程即可求得x的值，根据点P在第一象限即可求出点P的坐标．
16．【答案】（1）解：抛物线的顶点为，而，
∴顶点
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）由题意可得，配方得到顶点式即可得到顶点坐标；
（3）由题可得顶点在第四象限，点在轴上方，即可得到，解不等式即可得到b的取值范围．
（1）解：抛物线的顶点为，
而，
∴顶点；
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为．
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
．
17．【答案】（1）1；-4
（2）解：①由 (1) 得抛物线解析式为 ，
抛物线对称轴为直线 ，
如图所示， 连接 A E 交对称轴于点 ， 设抛物线对称轴与 轴交于 ，
，
关于直线 对称，
，
的周长 ，
都是定点， 即 B E 是定值，
当 A 、 M 、 E 三点共线时， 最小， 即此时 的周长最小，
，
时直角三角形， 即 ，
外接圆圆心 即为 B E 的中点，
外接圆圆心 的坐标为 .
（3）解： 由 (2) 得 ，
点 在 轴上，
即
或）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】(1) 当 时，
∴A(0，3)，
由旋转的性质可得
∴ E(3，0)；
∵四边形AOCB是矩形，
∴B(4，3)，
把E(3，0)， B(4，3)代入到抛物线解析式中得： ，
解得
故答案为：1，
【分析】(1)先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；(2)①先求出抛物线对称轴为直线x =2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x = 2对称， 得到AM = BM， 进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此△MBE的周长最小，先求出∠AEO=45°， 进而证明∠TME =45°=∠TEM， 得到MT=OE-OT =1， 则M(2，1)； ②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME= 90°， 则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；(3)先由 (2) 得. 再证明△BME∽△PCB， 求出CP=6， 由此即可得到答案.
18．【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：
在范围内，当时函数有最小值2
，解得（舍去）
答：；
（3）解：存在点，理由如下：∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；旋转全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意得可设抛物线的解析式为交点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小，即当时，函数取得最小值2，由抛物线上点的坐标特征可列关于t的方程并求解即可；
（3）由于抛物线交y轴于，则，所以，此时可在y轴正半轴上截取OM=OA，则由旋转全等模型可得，则，则，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，再联立直线与抛物线的解析式并解方程可得点P1的坐标，此时点P位于直线BC的左侧；再以BC为对角线、OB为边作正方形COBN交抛物线于点P2，可由抛物线上点的坐标特征可得点P2的坐标，则可计算得P2N＝MO，则利用正方形的性质可证，即可得，则，故满足条件的点P的两个．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
19．【答案】（1）1，
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴的周长的最小值，
设直线AE的表达式为，则可联立方程组
解得：
直线AE的表达式为
当时
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
【分析】
（1）由于抛物线交轴于点，则点A，再由旋转的性质知点C，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用抛物线解析式求出对称轴为直线，由于B、E是定点，即BE是定值，则当BE+ME最小时的周长最小，则连接交对称轴于点，由抛物线的轴对称性质可得，此时取最小值，再利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可利用直线上点的坐标特征求得；
②先由两点距离公式可分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，即，则外接圆圆心F即为的中点，再中点坐标公式直接计算即可；
（3）先由两点距离公式可分别求得，又，则时，可由AA证明，则由相似比可得，再由坐标轴上两点距离公式计算即可．
（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
20．【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
21．【答案】（1）解： 的图象经过点O(0，0)，A(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 2；
（2）证明：由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画图象如图.
又·
是等腰直角三角形.
（3）解：∵点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点，
设y =y=ax(x-4)，
∴将(2，2)代入， 可解得
要使 是正三角形，
设点P为 过点P作 轴，交x轴于点C，
分三种情况：
当x>4时，
解得： (与A点重合，舍去)， <4(不符合题意舍去).
当0解得
根据正三角形对称性，点Q在x轴上，
∴点Q坐标为
当x<0时，则有： (x-4)，
解得
∴点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为： 或
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1) 根据待定系数法求二次函数的解析式即可.
(2)由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画出图象，则 即可得BO=AB，即可证明 是等腰直角三角形.
(3)根据点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点， 设y=ax(x-4)，将(2，2)代入，可解得 即可得 要使 是正三角形，设点P为 过点P作P 轴，交x轴于点C，分三种情况：当x>4时，当022．【答案】解：（1） ∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∵ 抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为.
（2）如图，
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）存在，理由如下：
∵，
∴顶点D坐标（1，4），抛物线对称轴，
∵点P在对称轴上，
∴设P点坐标为（1，m），
∴，
，
，
若使△PCD为等腰三角形，则或或，
①当时，，
解得：，；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：，；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，）、（1，）时，为等腰三角形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆心角、弧、弦的关系；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式，即可求出答案；
（2）由已知可得，再求出，最后利用同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）设P点坐标为（1，m），根据两点间的距离公式可求出的三边长，最后分三种情况进行讨论，求出答案即可．
23．【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
24．【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的伴随直线是，
∴原抛物线解析式为，
∴，．
∵抛物线解析式为，
∴时的函数值与a值无关，此时，
∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线．
∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点，
∴，
∵点A、B与定点Q构成直角三角形，
∴，即为等腰直角三角形．
∵为抛物线顶点，对称轴为直线，
∴点Q到的距离为3，
∴，
∴点A、B到对称轴的距离为3，
∴抛物线与轴交点坐标为或，
选择代入，可得
解得．
故答案为：；．
【分析】
第1空：由伴随直线的定义可得抛物线解析式为，则；
第2空：由抛物线解析式可其顶点坐标为，则点为抛物线顶点，再由抛物线的对称性质可得，则为等腰直角三角形且，则点Q到的距离为3，再由直角三角形斜边上的中线性质可得，则可得抛物线与x轴两交点坐标分别为或，再利用待定系数法即可；
25．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴.
（2）解：当∠ACB＝60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为，
设y＝a（x+1）（x﹣3），
把C点坐标代入函数解析式，解得，
当∠ACB＝90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y＝a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入函数解析式，解得，
综上可知，当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，.
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
将C（1，﹣4a），D（0，﹣3a）代入直线CD的解析式可得，，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣a（x+3），
∴E点坐标为（﹣3，0），
∵ △CEF是一个等腰直角三角形，
∴分两类情况进行讨论：
①如图1，过点F作HK⊥y轴，过点E、点C作x轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
∵△CEF是一个等腰直角三角形，∴EF=CF，∠HFE+∠CFK=90°，又∵∠HFE+∠HEF=90°，∴∠HEF=∠CFK，又∵∠H=∠K=90°，∴△EHF≌△FKC，即HF＝CK＝3，HE=FK=1，∵CK=1-（-4a）=1+4a，∴4a+1＝3，解得；
②如图2，过点E作HK⊥x轴，过点F、点C作y轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
同理可证，△EHF≌△EKC，即EK＝HF＝3，即4a＝3，解得，
同理可得，当点F位于y轴负半轴上，EC＝CF时，此时三角形是等腰直角三角形，a＝，
综上可知，在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，此时a＝、或．
【知识点】等腰直角三角形；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合已知，利用抛物线的对称性易得对称轴为直线；
（2）先分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的临界值，进而可求出a的取值范围；
（3）结合已知，易得，可计算出C点、D点及E点的坐标，再根据等腰直角三角形△CEF 进行分类讨论，构造“K”型全等，易证△EHF≌△EKC，利用全等三角形的性质，建立关于a的方程，解方程即可求出a的值．
1 / 1浙教版数学九年级上学期重难点复习3:二次函数(二)
一、二次函数与分段函数的综合应用
1．（2025九上·新昌月考）已知函数使成立的的值恰好只有个时，则满足的条件是 ．
【答案】a=-2或a>2
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：函数的图象如图：
根据图象知道当y=-2或y>2时，对应成立的x值恰好有2个，
∴a=-2或a>2.
故答案为：a=-2或a>2.
【分析】先分析分段函数的图象特征，确定每个分段函数的顶点和特殊点，再结合图像判断水平线y=a与函数图象的交点个数，从而确定a的取值范围.
2．如图，在中，，，，点和点分别是和的中点，点和点分别从点和点出发，沿着方向运动，运动速度都是1个单位秒，当点到达点时，两点间时停止运动．设的面积为，运动时间为，则与之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；二次函数-动态几何问题；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：如图，取的中点F，连接，
，
点、是中点，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
当时，点在上，点在上，，
；
如图，当时，点在上，点在上，
，
，，，
；
如图，当时，点、都在上，
，
综上判断选项A的图象符合题意．
故选：A．
【分析】根据M、N的运动轨迹，分类讨论（点在上，点在上；点在上，点在上；点、都在上），得到S与t的函数关系，再结合选项作答.
3．（2025·舟山模拟）对于二次函数，规定函数是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：①如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
所以当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3；
②如图所示：
线段MN与二次函数y=x2+4x+n相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，
∴-n=1，解得：n=-1，
∴当-3③如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（0，1），
∴n=1；
④如图所示：
线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
∵抛物线y=x2-4x-n经过点（，1），
∴+2-n=1，
解得：n=，
∴时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
综上所述，n的取值范围是或；
故答案为：A.
【分析】首先确定出二次函数y= -x2+ 4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、 3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围.
4．（浙江省衢州市实验学校教育集团锦溪校区2025-2026学年上学期九年级上学期月考数学试卷）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程.和谐小区新建一小型活动广场，计划在 的绿化带上种植甲乙两种花卉，市场调查发现：甲种花卉种植费用y(元/ 与种植面积. 之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15 元/
（1） 分别求出当0（2）当甲种花卉种植面积不少于 ，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时.
①求种植甲乙两种花卉的总费用w(元)关于种植面积. 之间的函数表达式；
②如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少 最少是多少元
【答案】（1）解：由图像可知，当甲种花卉种植面积0∴此区间的函数关系式为：y=30(0当甲种花卉种植面积40≤x≤100m2时，函数图象为直线，
设函数关系式为：y= kx+b(40≤x≤100)，
∵当x=40时，y=30，当x=100时，y=15，代入函数关系式得：
解得：，b=40，
∴ (40≤x≤100)
∴y与x的函数关系式应为：
（2）解：∵甲种花卉种植面积不少于30m2
∴x≥30
∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍
∴360-x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90，
①当30≤x≤40时
由(1)知，y=30，
∵乙种花卉种植费用为15元/m2
∴w=y+15(360-x)=30x+15(360-x)=15x-5400
∴当x=90时，
∵5850>5625，
∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元；
②当30≤x≤40时，
由①知，w=15x+5400
∵种植总费用不超过6000元
∴15x-5400≤6000
∴x≤40
即满足条件的x的范围为30≤x≤40
当40由①知，
∵种植总费用不超过6000元
∴，
∴x≤40(不符合题意，舍去)或x≥60，
即满足条件的x的范围为60≤x≤90，
综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90
【知识点】二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【分析】(1)根据函数图象分两种情况，0(2)先求出x的范围：
①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案；
②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案.
5．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数；二次函数-动态几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数与分段函数的综合应用
【解析】【解答】解：当与重合时，设，由题可得：，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
如图，当在下方时，设，由题可得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．【分析】根据正方形与等腰直角三角形的位置关系进行分类讨论，得出y与x的函数关系式，找出对应的函数图象.
二、二次函数-线段周长问题
6．（2025九上·拱墅月考）已知关于x二次函数过
（1）填空∶ ，
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为8，求m的范围；
（3）已知，若线段与抛物线有交点，求n的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
当时，，
当时，，
，
二次函数的最大值为，最小值为，
，
；
（3）解：把代入，
得，
解得：或，
此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，
，，
，
线段与抛物线只有1个交点，
当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且，
此时；
当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且，
；
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】 （1）解：把代入可得，
，解得，
故答案为：；；
【分析】（1）已知函数过，把这两点代入到函数表达式即可解答；
（2）先根据（1）中的结果得到二次函数解析式，求出其对称轴，然后分析在范围内函数的最大值和最小值，根据最大值和最小值的差是8，结合对称轴的位置来确定m的范围.；
（3）先求出抛物线上纵坐标为4的点的横坐标，得到这些点之间的距离，在分析线段MN的长度，根据西安段MN的长度与抛物线交点的情况分情况讨论，分别求出n的取值范围.．
（1）解：把代入可得，
，解得，
故答案为：；；
（2）解：由（1）得，
对称轴为直线，
当时，，
当时，，
，
二次函数的最大值为，最小值为，
，
；
（3）解：把代入，
得，
解得：或，
此时抛物线上纵坐标为4的两点间的距离为，
，，
，
线段与抛物线只有1个交点，
当线段与抛物线在对称轴左侧有交点时，且，
此时；
当线段与抛物线在对称轴右侧有交点时，且，
；
综上所述，或．
7．如图，抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入中得，
．
抛物线解析式为：
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，
由对称性可知，
∴的周长，
∵A、C为定点，
∴为定值，
∴当最小时，的周长最小，
∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小，
在中，当时，
的坐标为，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
在中，当时，
，
∴存在使得的周长最小；
（3）解：设，过点P作轴于E，
，
∴当有最大值时，有最大值，
，
，
∵，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点坐标为，
∴存在使得面积最大，最大为．
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)将点B、C的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求b、c的值即得解析式；
(2)AC长度为定值，即求CQ+AQ的最小值，取点A关于对称轴对称的点B，即求CQ+BQ的最小值，当B、C、Q共线时取最小值，同步可得点Q的坐标；
(3)设，利用面积割补求出BPC的面积表达式即S，当m=-时，面积取最大值.
8．（2025九上·长兴月考）定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。
（1）【概念理解】
抛物线与抛物线是否围成“月牙线” 说明理由.
（2）【尝试应用】
①抛物线与抛物线组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B.求a：b：c的值.
②已知点和点在“月牙线”上，，且的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围.
【答案】（1）解：拋物线与拋物线围成＂月牙线＂；
理由如下：
在中，令得或，
该抛物线与轴的交点为和；
在中，令得或，
该抛物线与轴交点为和（2，0），
抛物线与抛物线与x轴有相同的交点，
又抛物线与抛物线开口方向相同，
抛物线y1=2(x-1)（x-2)与抛物线y2=x2-3x+2围成“月牙线”；
（2）解：①∴抛物线与x轴交点为(3，0)和(-1，0)，把(3，0)和(-1，0)代入得：
解得
∴a：b：c=a：(-2a)：(-3a)=1：(-2)：(-3)；
∴a：b：c的值为1：(-2)：(-3)；
②由（1）知，，∴抛物线的顶点为（1，），
∵抛物线的顶点为（1，），，
∴，
∴抛物线在抛物线上方；
∴，，
∴
∵的值始终不大于2，
，
整理得：，
解得
在中，令得，
在中，令得，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)根据“月牙线”的定义，分别求出两个抛物线与x轴的交点坐标，看是否相同，如果相同就围成“月牙线”，否则就不能；
(2)①易求出y1与x轴的两个交点坐标为(3，0)和(-1，0)，可知y2与x轴也交于这两个点，代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，用含a的式子表示b，c，再求a：b：c即可；
②易知y2的顶点为（1，），结合y1的顶点以及可得，可以判断抛物线y1在y2上方，从而写出m，n的表达式，并表示出m-n，根据得到关于a的不等式，求解得，最后在两个抛物线解析式中令x=0就能求出A，B两点的纵坐标。
9．（2024九上·瑞安开学考）如图，在正方形中，，点E在边上，以BE为边向上作正方形．在AE上取点H，连结，以HF为边作正方形，连结DN．若点M落在边上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：如图，过点N作，
∵正方形， 正方形，正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
，，
∴，
设则
，
当时，有最小值为．
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明三角形全等，利用二次函数的最值求解．过点作于点，根据正方形的四个角都是直角，正方形的四条边都相等得出，，，，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等得出，，设根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用表示，进而求得的最小值．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）解：把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为
（2）解：延长交轴于，
过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）解：以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；
【分析】(1)分别将点(1，3)和(-1，0)代入得到关于a、b的方程，求解方程即得a、b的值，即知抛物线的表达式；
(2)由相似知当PE最大时，PDE周长最大，设，则即得PE的表达式，，当m=2时，PE取最大值，求出其它两边的长即可得周长的最大值和点P的坐标；
(3)设，利用菱形的性质即对角线互相平分和邻边相等，可得关于s、t、n的方程，分别求解方程即可得点N的坐标.
三、二次函数-面积问题
11．（2025九上·南湖期中）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于A（-2，0)，B（1，0)两点
（1）求b，c的值、
（2）若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标.
【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，设，根据三角形的面积公式可得点的纵坐标，代入解一元二次方程求出横坐标即可求解．
12．（2025九上·萧山月考）如图，在直角坐标系中，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（-2，0）.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，连接AM，BM，求四边形AOBM的面积.
【答案】（1）解：当.x=0时， 则A(0，4)，当y=0时， 解得x=8，则B(8，0)，设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8)，把A(0，4)代入得解得
∴抛物线解析式为 即
（2）解：
作 轴于D，
四边形AOBM 的面积
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先根据直线的解析式求出点A和B的坐标，然后利用交点式求出抛物线的解析式即可；
（2）配方得到顶点M的坐标，过M点作 轴于D，然后根据AOBM 的面积 解答即可.
13．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线的顶点为A（-3，-3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S△POB=S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图，连接AB、OA．
设抛物线的解析式为y=a（x+3）2-3，
把（0，0）代入得a×32-3=0，解得a=，
所以此抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴B点坐标为（-6，0），
∴△AOB的面积=；
（3）解：设P点坐标为（x，y），
∵S△POB=S△AOB，
∴，
解得y=3或y=-3（舍去），
∴，
解得，
∴P点坐标为．
【知识点】三角形的面积；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋3）2 3，然后把原点坐标代入求出a即可；
（2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解；
（3）设P点坐标为（x，y），根据S△POB＝S△AOB可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标.
14．（2025九上·杭州月考）许多数学问题源于生活．如图1是撑开后的户外遮阳伞，它的外形可以近似地看成抛物线．在如图2所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．点A、C的坐标分别是（6，2），（0，4）．
（1）直接写出点B的坐标 ；
（2）求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
（3）如图2，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向左平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S1＝2S2，求m的值．
【答案】（1）（-6，2）
（2）解：由题意可设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+4，将点A（6，2）代入得
解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为，
当x＝0时，得，
此时抛物线与y轴的交点设为，
∵平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且S1＝2S2，
∴，
∴，
解得m＝6（负值已舍）或m（负值已舍），
∴m的值为6或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】(1) 解： ∵OA，OB关于y轴对称， A(6，2)，
故答案为：((-6，2)；
【分析】(1)根据OA，OB关于y轴对称可求B的坐标；
(2)根据题意可设抛物线为 代入A的坐标求出a即可；
(3)求出平移后抛物线的解析式，令x=0求出其与y轴的交点D，根据平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，且， 可得 即 解方程即可得到答案.
15．（2025九上·义乌月考）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且OB＝OC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）该二次函数在第一象限的图象上有一动点为P，且点P在移动时满足S△PAB＝10，求此时点P的坐标．
【答案】（1）解：∵A（﹣1，0），B（4，0），
∴OB＝4，
∵OB=OC，
∴OC＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
设经过A，C，B三点的二次函数的解析式为y＝a（x﹣4）（x+1），
∵点C（0，4）在图象上，
∴将（0，4）代入解析式，解得a＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣4）（x+1），即y＝﹣x2+3x+4.
（2）解：∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB＝5，
设P点的坐标为（x，﹣x2+3x+4），
∵S△PAB＝10，
∴，即，
∴或，解得，x1＝3，x2＝0，，，
∵点P在第一象限，
∴P的坐标为（3，4）．
【知识点】利用交点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据B（4，0），易得OB=4，则OC=4，即点C的坐标为（0，4），利用二次函数的交点式，设二次函数的解析式为y=a（x-4）（x+1），利用点C（0，4）在图象上易得a=-1，即可求出二次函数解析式为y=-（x-4）（x+1），即y=-x2+3x+4；
（2）根据A、B的坐标求得AB的长，设P点的坐标为（x，-x2+3x+4），根据S△PAB=10，建立方程，利用绝对值解方程即可求得x的值，根据点P在第一象限即可求出点P的坐标．
四、二次函数-角度的存在性问题
16．（2025·江北模拟）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
（1）求点的坐标（用含的代数式表示）．
（2）若点的纵坐标为，求的最小值．
（3）当，为锐角时，求的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的顶点为，而，
∴顶点
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标即可；
（2）由题意可得，配方得到顶点式即可得到顶点坐标；
（3）由题可得顶点在第四象限，点在轴上方，即可得到，解不等式即可得到b的取值范围．
（1）解：抛物线的顶点为，
而，
∴顶点；
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为．
（3）解：当时，顶点在第四象限，
又为锐角，
点在轴上方，
，
∴，
，
，
．
17．（2024·宁波期中） 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）1；-4
（2）解：①由 (1) 得抛物线解析式为 ，
抛物线对称轴为直线 ，
如图所示， 连接 A E 交对称轴于点 ， 设抛物线对称轴与 轴交于 ，
，
关于直线 对称，
，
的周长 ，
都是定点， 即 B E 是定值，
当 A 、 M 、 E 三点共线时， 最小， 即此时 的周长最小，
，
时直角三角形， 即 ，
外接圆圆心 即为 B E 的中点，
外接圆圆心 的坐标为 .
（3）解： 由 (2) 得 ，
点 在 轴上，
即
或）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】(1) 当 时，
∴A(0，3)，
由旋转的性质可得
∴ E(3，0)；
∵四边形AOCB是矩形，
∴B(4，3)，
把E(3，0)， B(4，3)代入到抛物线解析式中得： ，
解得
故答案为：1，
【分析】(1)先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；(2)①先求出抛物线对称轴为直线x =2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x = 2对称， 得到AM = BM， 进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此△MBE的周长最小，先求出∠AEO=45°， 进而证明∠TME =45°=∠TEM， 得到MT=OE-OT =1， 则M(2，1)； ②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME= 90°， 则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；(3)先由 (2) 得. 再证明△BME∽△PCB， 求出CP=6， 由此即可得到答案.
18．（2025九上·义乌月考）如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
（1）求：，的值；
（2）当时，函数的最小值是2，求出的值；
（3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：
在范围内，当时函数有最小值2
，解得（舍去）
答：；
（3）解：存在点，理由如下：∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；旋转全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意得可设抛物线的解析式为交点式，再利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线解析式可得其对称轴为直线，因为抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小，即当时，函数取得最小值2，由抛物线上点的坐标特征可列关于t的方程并求解即可；
（3）由于抛物线交y轴于，则，所以，此时可在y轴正半轴上截取OM=OA，则由旋转全等模型可得，则，则，再利用待定系数法求出直线BM的解析式，再联立直线与抛物线的解析式并解方程可得点P1的坐标，此时点P位于直线BC的左侧；再以BC为对角线、OB为边作正方形COBN交抛物线于点P2，可由抛物线上点的坐标特征可得点P2的坐标，则可计算得P2N＝MO，则利用正方形的性质可证，即可得，则，故满足条件的点P的两个．
（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
19．（2022九上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，将线段绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在边上的点E处，抛物线过A，E，B三点．
（1）填空： ； ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是轴上一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）1，
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴的周长的最小值，
设直线AE的表达式为，则可联立方程组
解得：
直线AE的表达式为
当时
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
【分析】
（1）由于抛物线交轴于点，则点A，再由旋转的性质知点C，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先利用抛物线解析式求出对称轴为直线，由于B、E是定点，即BE是定值，则当BE+ME最小时的周长最小，则连接交对称轴于点，由抛物线的轴对称性质可得，此时取最小值，再利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可利用直线上点的坐标特征求得；
②先由两点距离公式可分别求出的值，再利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，即，则外接圆圆心F即为的中点，再中点坐标公式直接计算即可；
（3）先由两点距离公式可分别求得，又，则时，可由AA证明，则由相似比可得，再由坐标轴上两点距离公式计算即可．
（1）解：当时，，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
把，代入到抛物线解析式中得：，
解得，
故答案为：1，；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
如图所示，连接交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵，，
∴A、B关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∵B、E都是定点，即是定值，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，，，
∴，
∴时直角三角形，即，
∴外接圆圆心F即为的中点，
∴外接圆圆心F的坐标为．
（3）解：由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
∵，
∴或．
20．（2024九上·东阳月考）综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
21．（2025九上·余杭月考）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点0（0，0）和点A（4，0），顶点为B，且顶点B的纵坐标为2.
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：△ABO是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上，是否存在正三角形APQ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由，
【答案】（1）解： 的图象经过点O(0，0)，A(4，0)，
∴抛物线的对称轴为直线 2；
（2）证明：由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画图象如图.
又·
是等腰直角三角形.
（3）解：∵点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点，
设y =y=ax(x-4)，
∴将(2，2)代入， 可解得
要使 是正三角形，
设点P为 过点P作 轴，交x轴于点C，
分三种情况：
当x>4时，
解得： (与A点重合，舍去)， <4(不符合题意舍去).
当0解得
根据正三角形对称性，点Q在x轴上，
∴点Q坐标为
当x<0时，则有： (x-4)，
解得
∴点Q的坐标为
综上所述，点Q的坐标为： 或
【知识点】勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1) 根据待定系数法求二次函数的解析式即可.
(2)由(1)可计算得二次函数图象的顶点坐标为(2，2)，可画出图象，则 即可得BO=AB，即可证明 是等腰直角三角形.
(3)根据点P在抛物线 上，且抛物线经过(0，0)与(4，0)，(2，2)三点， 设y=ax(x-4)，将(2，2)代入，可解得 即可得 要使 是正三角形，设点P为 过点P作P 轴，交x轴于点C，分三种情况：当x>4时，当0五、二次函数-特殊三角形存在性问题
22．（2025九上·嵊州期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如果一个圆经过点O、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E，求∠OEB的度数．
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】解：（1） ∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∵ 抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为.
（2）如图，
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）存在，理由如下：
∵，
∴顶点D坐标（1，4），抛物线对称轴，
∵点P在对称轴上，
∴设P点坐标为（1，m），
∴，
，
，
若使△PCD为等腰三角形，则或或，
①当时，，
解得：，；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：，；
综上所述，当点P（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，）、（1，）时，为等腰三角形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；圆心角、弧、弦的关系；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，然后将其代入抛物线解析式，即可求出答案；
（2）由已知可得，再求出，最后利用同弧所对圆周角相等即可得出；
（3）设P点坐标为（1，m），根据两点间的距离公式可求出的三边长，最后分三种情况进行讨论，求出答案即可．
23．（2024九上·绍兴月考）已知点A是直线上一动点，以点A为顶点的抛物线交y轴于点B，作点B关于x轴的对称点C，连接AB、AC．若△ABC是直角三角形，则点A的坐标为 ．
【答案】或或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；直角三角形斜边上的中线；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：由题意得：A(m，h)，且，
上式中令x=0，得，
∴．
∵点A在直线上，
∴，
即，，
∵点B、点C关于x轴的对称，
则．
①当∠BAC=90°，则OA是Rt△ABC的斜边BC上的中线，
∴OA=OB，
∵，，
则，
由于m≠0，
解得：或，
所以点A的坐标为或；
②当∠ACB=90°时，如图，则AC⊥BC，此时点A、C的纵坐标相同，
即，
∴，m=0（舍去），
所以点A的坐标为；
综上所述，点A的坐标为或或．
【分析】
本题综合考查二次函数的性质、直角三角形的判定与性质以及坐标对称，需要结合相关知识点分情况讨论，同时运用坐标对称和二次函数的顶点式，准确表示各点坐标并建立方程.具体的分两种情况：第一种若∠BAC=90°，则OA=OB，从而得到关于m的方程，解方程即可；第二种若∠ACB=90°，则点A、C的纵坐标相同，可得关于m的方程，解方程即可．
24．（2025九上·绍兴月考）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ．
【答案】；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的伴随直线是，
∴原抛物线解析式为，
∴，．
∵抛物线解析式为，
∴时的函数值与a值无关，此时，
∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线．
∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点，
∴，
∵点A、B与定点Q构成直角三角形，
∴，即为等腰直角三角形．
∵为抛物线顶点，对称轴为直线，
∴点Q到的距离为3，
∴，
∴点A、B到对称轴的距离为3，
∴抛物线与轴交点坐标为或，
选择代入，可得
解得．
故答案为：；．
【分析】
第1空：由伴随直线的定义可得抛物线解析式为，则；
第2空：由抛物线解析式可其顶点坐标为，则点为抛物线顶点，再由抛物线的对称性质可得，则为等腰直角三角形且，则点Q到的距离为3，再由直角三角形斜边上的中线性质可得，则可得抛物线与x轴两交点坐标分别为或，再利用待定系数法即可；
25．（2025九上·义乌月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴抛物线的对称轴.
（2）解：当∠ACB＝60°时，△ABC是等边三角形，即点C坐标为，
设y＝a（x+1）（x﹣3），
把C点坐标代入函数解析式，解得，
当∠ACB＝90°时，△ABC是等腰直角三角形，即点C坐标为（1，﹣2），
设y＝a（x+1）（x﹣3），把C点坐标（1，﹣2）代入函数解析式，解得，
综上可知，当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，.
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），
∴，
∴C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
将C（1，﹣4a），D（0，﹣3a）代入直线CD的解析式可得，，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣a（x+3），
∴E点坐标为（﹣3，0），
∵ △CEF是一个等腰直角三角形，
∴分两类情况进行讨论：
①如图1，过点F作HK⊥y轴，过点E、点C作x轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
∵△CEF是一个等腰直角三角形，∴EF=CF，∠HFE+∠CFK=90°，又∵∠HFE+∠HEF=90°，∴∠HEF=∠CFK，又∵∠H=∠K=90°，∴△EHF≌△FKC，即HF＝CK＝3，HE=FK=1，∵CK=1-（-4a）=1+4a，∴4a+1＝3，解得；
②如图2，过点E作HK⊥x轴，过点F、点C作y轴的垂线，与HK交于点H、点K，易得∠H=∠K=90°，
同理可证，△EHF≌△EKC，即EK＝HF＝3，即4a＝3，解得，
同理可得，当点F位于y轴负半轴上，EC＝CF时，此时三角形是等腰直角三角形，a＝，
综上可知，在y轴上存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形，此时a＝、或．
【知识点】等腰直角三角形；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）结合已知，利用抛物线的对称性易得对称轴为直线；
（2）先分别求出当∠ACB=60°和∠ACB=90°时a的临界值，进而可求出a的取值范围；
（3）结合已知，易得，可计算出C点、D点及E点的坐标，再根据等腰直角三角形△CEF 进行分类讨论，构造“K”型全等，易证△EHF≌△EKC，利用全等三角形的性质，建立关于a的方程，解方程即可求出a的值．
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