浙教版数学九年级上学期重难点复习3:二次函数(三)
一、二次函数-特殊四边形存在性问题
1．（2024九上·西湖月考）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，则，连接，设点，根据，结合三角形面积，二次函数的性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当四边形为平行四边形时，，根据二次函数对称性质即可求出答案；当四边形为平行四边形时，，作于G，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，将y=6代入二次函数解析式，解方程即可求出答案.
（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
2．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，点的特征．
（1）将点和点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解方程组可求出k和t的值，据此可求出直线的解析式，设点，，利用三角形的面积计算公式进行计算可得：
，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况分别列出方程组和，解方程组可求出x，m，n的值，据此可求出点Q的坐标.
（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
3．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
4．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
5．（2024·浙江模拟）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴交于M，则，
∴，
∴；
（3）解：存在，点P的坐标为：或．
【知识点】菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，，
∴点，是矩形 “梦之点”，
故答案为：，；
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为：或．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义、矩形性质及各个顶点的坐标，确定自变量的范围，函数值的取值范围，即可逐一判断得出答案；
（2）根据“梦之点”的定义可得点A，B是直线上的点，联立直线y=x与抛物线的解析式，求解确定A、B得坐标，将二次函数解析式配成顶点式可得抛物线的顶点C的坐标及抛物线的对称轴为直线，设抛物线的对称轴交AB于M，根据点的坐标与图形性质可得点M的坐标，进而根据S△ABC=S△ACM+S△BCM，列式计算即可；
（3）根据抛物线上点的坐标特点设，由菱形的四边相等可得AP=BP，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，，
∴点，是矩形 “梦之点”，
故答案为：，．
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴交于M，则，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴或．
二、二次函数-相似三角形的存在性问题
6．（2024九上·奉化期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标 ．
【答案】或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：过点作轴于点．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(1，0)，B(-3，0)，C(0，3)分别代入得
解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D(-1，4)，
∴DF=1，OF=4，
∵B(-3，0)，C(0，3)
，
在中，，，
，
，
，
为直角三角形．
①利用的三边，，又，故当是原点时，；
②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，
解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；
③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，
解得：，故是时，则一定成立；
④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，此时，两个三角形不相似；
⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【分析】过点D作DF⊥y轴于点F，先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将解析式配成顶点式可得点D的坐标；然后根据D、B、C三点坐标可求出BO=CO，DF=CF，则△DCF与△BOC都是等腰直角三角形，进而判断出△BCD是直角三角形；①根据两点间的距离公式算出DC、BC，BD，由两边及夹角对应相等的两个三角形相似得出当点P与点O重合时，△ACP∽△DBC；② 当AC是直角边时，若AC与CD是对应边， ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与CD是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与DC是对应边时， 分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解并判断即可.
7．（2024九上·义乌期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
（3）当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把、、代入解析式得：
，解得，
∴ 抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+d，
∴，解得，
∴y=-x+1，
设 过点P作 轴， 交AC于H， 如图1，
则
3，
，
解得：
∴ P点的坐标为(0，4)或(2，2)；
（3）解：∵直线 分别交x轴、y轴于点D、E.
∴D(2t，0)， E(0，t)， 且
即
∴直线DF的解析式为
联立得 解得：，，
， ，
，
同理可得： 在 中，
，
当 时， 如图2， 则
即
解得： 或
经检验， 或 均是原方程的解，
当 时，则
即
解得：
经检验， 是原方程的解，
综上所述，抛物线上存在点Q，使得以D为直角顶点的 与 相似，t的值为 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线AC的解析式为
设 过点P作 轴， 交AC于H， 则再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
(3)先证得 得出 运用待定系数法可得直线DF的解析式为 联立方程组求得点Q的坐标，再根据相似三角形性质建立方程求解即可得出答案.
8．（2025九上·象山月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.连接BC，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D在直线BC下方的抛物线上：
①如图2，连接OD，BD，CD，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图3，连接AD，AC，交BC于点E，若，求点E的坐标.
【答案】（1）解：令y=0，则，解得x1=-2，x2=3，故OA=2，OB=3.
令x=0时，y=-6a，即OC=6a，而OC=2OB=6，故6a=6，得a=1，
故抛物线的解析式为即
（2）解：①设直线BC的表达式为y=kx+b，将点(3，0)和(0，-6)代入得，解得
故直线BC的表达式为y=2x-6
设点D(m，)，过点D作DH||y轴交BC于上点H，H(m，2m-6)，
DH=2m-6-(m2-m-6)=
，
当m=时，S1+S2取最大值，此时D(1，-6)
②当时，有，即，得BE=
得CE=，于是xE=，yE=
故此时E的坐标为().
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)令y=0，可得x的值即得A、B的坐标，令x=0可得C的坐标即知OC的长度，即可得a的值，从而得到抛物线的解析式；
(2)①先待定系数法求出直线BC的解析式，设点D(m，)，过点D作DH||y轴交BC于上点H，H(m，2m-6)，分别求出S1和S2的表达式，求出S1+S2是关于m的二次函数，当m=1时，取最大值，即可得点D的坐标；
②由可得BE的值和CE的值，即知点E的横坐标，从而得到纵坐标，即点E的坐标.
9．（2024九上·西湖月考）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
（3）如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
顶点；
（2）解：如图，当点P在上方时，
，
，
令抛物线的解析式中，则，
，
点P纵坐标与点C纵坐标相等，即，
，即，
解得：或（舍去），
；
如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，即，
解得：或（舍去），
则，
；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，有值最大，
则，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，再配方求得顶点坐标；
（2）分点P在上方和下方两种情况讨论，点P在上方时，根据内错角相等，两直线平行，得到，即得到点P纵坐标与点C纵坐标相等，即可求解；点P在下方时，设直线与x轴交于点G，此时，，求出点G的坐标，再求出直线的解析式，联立二次函数即可求解；
（3）设，直线的解析式为，将B、C两点坐标代入求出直线的解析式，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
顶点；
（2）解：如图，当点P在上方时，
，
，
令抛物线的解析式中，则，
，
点P纵坐标与点C纵坐标相等，即，
，即，
解得：或（舍去），
；
如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，即，
解得：或（舍去），
则，
；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
由（1）可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，有值最大，
则，
．
10．已知抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）该抛物线与直线相交于C，D两点，是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线CD相交于点M，N.
①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB，过点作，垂足为，如图②，是否存在点，使得与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数解析式为：
故答案为：.
（2）解：①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴PN＝，
联立直线CD与抛物线解析式可得，
解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图所示，
则CE＝t，DF＝7 t，
∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN CE＋PN DF＝PN＝，
∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
故答案为：存在，最大值为 .
②存在．
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
∴CQ＝t，NQ＝，
∴，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM＝5 t，PM＝0 （）＝，
当时，则PM＝BM，即=（5-t），
解得：t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM＝PM，即5 t＝（），
解得：t＝或t＝5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 或
故答案为： 或 .
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
三、二次函数-动态几何问题
11．（2025九上·绍兴期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（ ）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
12．（2025九下·杭州月考）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火.某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个.如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个.若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元.
（1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围.
（2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为 个，单个公仔利润为( 元.
∴每组销售利润
∵售量不能为负，
答：
（2）解：函数 开口向下，存在最大值.
当 时， 利润最大.
此时销售单价为 元，最大利润为 元.
答：当销售单价定为40元时，该网店每周的利润最大，最大利润为1600元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式并整理为一般式，根据销售量不能为负数得到自变量的取值范围即可；
（2）根据顶点坐标公式求出最值即可解题.
13．（2025九上·温州月考）如图，中，点P从A点出发，沿着折线的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为，则点P在运动过程中，的最小值是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，作PH⊥AD于点H，连接BD，则∠AHP=90°，
由题意，运动图象是轴对称图形，则BA=BC，
∵D为AC中点，AB=BC，
∴BD⊥AC，
又∵PH⊥AD，
∴PH∥BD，
∴△AHP∽△ADB，
∴，
∵点M的坐标为（5，4），
∴当P点运动到B点时，AB=5，BD=4，
∴在Rt△ADB中，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵PD2=PH2+DH2，
∴，即，
∴，
∴当时，x2+y2有最小值.
故答案为：．
【分析】作PH⊥AD于点H，连接BD. 由题意易得AB=BC，结合已知条件D为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”易得PH⊥AD，从而证明PH∥BD，利用相似三角形的判定易得△AHP∽△ADB，再根据相似三角形对应边成比例可得，由点M的坐标为，分析图象可知AB=5，BD=4，在Rt△ADB中，利用勾股定理可知AD=3，易知，计算可得，，，利用勾股定理可得，即，从而可知，利用二次函数的性质即可求解.
14．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接．
（1）当点恰好落在边上时， ．
（2）当 时，有最小值．
【答案】；
【知识点】矩形的性质；二次函数-动态几何问题；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：（1）如图所示，当点F恰好落在边上时，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴=，
∴，
∴，
∴AE=5-2=3，
∴，
∴，
在中，.
故答案为：．
（2）过点作于点，与交于点，
，
，
∵∠EMF=90°，
，
，
又∵∠A=90°，
，
，
∵，
∴=，
设，则，
，
，，
，
，
，即抛物线开口向上，
∴当时，即时，的最小值为5，
在中，，，
∴
∴当时，有最小值.
故答案为：．
【分析】（1）由同角的余角相等可得，即可证明，得到=，最后代入求解即可；
（2）过点作于点，与交于点，由同角的余角相等可得，即可证，设，则，根据相似三角形的相似比和勾股定理，用含的代数式表示，然后根据二次函数的性质求得的最小值，再根据勾股定理求出的值．
15．（2025九上·长兴月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处.
（1）求抛物线的解析式：
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点A(-1，0)，B(0，3)代入得：
解得
则抛物线的解析式为
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点C的坐标为C(1，4)，
设点D的坐标为D(1，a)()，则，
由旋转的性质得：，，
，即，
∵点P在抛物线上
∴，
解得或（舍去），
当时，，
所以点P的坐标为P(2，3).
（3）解：抛物线的顶点C的坐标为C(1，4)，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O，
这时点P落在点E的位置，且P(2，3)，
E(2-1，3-4)，即E(1，-1)，恰好在对称轴直线x=1上，
如图，作点E关于y轴的对称点E'，连接PE'，
则，
由两点之间线段最短可知，与y轴的交点即为所求的点M，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点P(2，3)，代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在y轴上存在点M，使得的值最小，此时点M的坐标为
【知识点】二次函数-动态几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由于解析式中含有两个参数，所以只要将图像上的两个点的坐标代入求解即可得到抛物线的解析式；
(2)设参数表示点D坐标，写出线段CD的长度，再根据图形的旋转特征表示出点P坐标，利用点在函数图象上则其坐标满足函数解析式这个关系可求出参数，即可得出点P坐标；
(3)根据点的平移与坐标的关系易求出E(1，-1)，再利用将军饮马问题的固定解题步骤，先找到点E关于y轴对称的点，连接，求出直线的解析式为，让横坐标为0，得到，从而得到。
16．（2025九上·温州月考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，S是一个关于t的二次函数，图象如图2所示，则△ABC的周长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当点P在BC上时， 在Rt△PCD中， PC=t，
当S=6时，
解得t = 2(取正值)，
∴BC=2.
∴图2中的抛物线经过点(2，6).
由图象可知，图2中的抛物线顶点为(4，2).
设抛物线解析式为：
将(2，6)代入， 得( 解得： a= 1.
当S=18时，
解得t = 8或t = 0(舍去)。
∴AB=(t-2)×1=(8-2)×1=6.
在Rt△ABC中， 由勾股定理得： AC =
∴△ABC的周长为= AB+BC+AC=6+2+
故答案为：
【分析】当点P在BC上时，易得 ，整理可得S与t的函数关系式，求得当S =6时，t的值，即可求得当点P在点B时S =6时，t =2.进而根据图2中的顶点坐标为(4，2)，用顶点式表示出图2中S与t的关系式， 把(2，6)代入可得a的值， 进而取S = 18.求得t的值，得到点P在点A时面积为18，进而求出t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长，则可求得△ABC的周长.
17．（2025九上·杭州月考）如图，在四边形中，，．点E从点B出发，沿边向点C以的速度移动；点F从点C出发，沿边向点D以的速度移动．E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．连接，设运动的时间为，若使的面积为最小，则t 的值是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作交延长线于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理求出，
∵，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴的面积为，
令的面积为，则，
∵，
∴当时，有最小值，
即当时，的面积为最小．
故答案为：．
【分析】连接AC、BD交于点M，过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H， 由等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=30°，由“SSS”证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABM=∠CBM=60°，∠BAD=∠BCD，根据三角形的内角和定理推出 ∠ AMB= ∠ CMB=90°，由含30°角直角三角形性质得BM=3cm，同理CM=3cm，则AC=6cm，由三边相等的三角形是等边三角形得△ACD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得∠ADC=60°，再根据含30°角直角三角形的性质求出HD、BG的长，进而利用勾股定理算出AH、AG的长；由S△AEF=结合三角形面积公式建立出S关于t的函数解析式式，再利用二次函数的性质解答即可．
18．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m3n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）最大值与最小值的差为16，求
n﹣m的最大值与最小值．
【答案】（1）解：依题意
解得a=6
（2）解：画图如下
设，则
分别为方程的两根
由韦达定理可知
解①得，代入②得t=-3
（3）解：
∵
∴抛物线在上的最小值为-4
∴抛物线在上的最大值为12
令y=12，即
解得
7-(-1)=8
根据图像可知，固定(7，12)不动，另一个点(-1，12)最多可沿抛物线运动至顶点(3，-4)
7-3=4
综上所述，n-m的最大值为8，最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)将点 （1，0） 代入解析式即可求a；
(2)结合图象，设参数表示B，C两点坐标，将它们的横坐标转化为方程的两根，由韦达定理即可求解；
(3)根据题意分析出抛物线在上的最大值为12，最小值为-4，再动态考虑m，n的取值可能性，就能得出n-m的最大值为8，最小值为4.
四、二次函数的实际应用
19．（2025九上·台州期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是 则该飞机着陆后滑行的最长时间为（ ）秒.
A．18 B．9 C．6 D．3.6
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：，
∵，抛物线开口向下
∴当t=18时，s有最大值，此时s最大=486，
∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值，
∴t = 18，
故答案为：A.
【分析】将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案.
20．（2025九上·慈溪期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 m．
【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系，
点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，
则0=1600a+200，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+200，
当y=150时，即150=-x2+200，
解得：x=±20，
则CD=20-(-20)=40m.
故答案为：40.
【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案.
21．（2025九上·新昌期中）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线.如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离OD为6米，到地面的距离AO与BD均为1米，绳子甩到最高点C 处时，最高点距地面的垂直距离为2.5m，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；
（2）如果身高为1.70m的小明站在OD之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点O的水平距离为1.5m时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方0.6m 请说明理由；
【答案】（1）解：由条件知，抛物线过点A(0，1)，顶点是C(3，2.5)，可设解析式为
将点A坐标代入得
解得
∴该抛物线解析式为
（2）解：在中，令x=1.5得
2.125-1.70=0.425(m)<0.6(m)
∴绳子不能刚好甩过他的头顶上方0.6m.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据题意将抛物线设为顶点式，再将点A坐标代入即可求出函数表达式；
(2)在函数解析式中，令x=1.5，求出此时y=2.125，比较它与1.70的差值是否大于0.6即可。
22．（2025九上·永康期中） 某大型游乐园里有一个热门游乐项目， 每场可供 200 人同时游玩， 当游玩票价为 50 元时， 该项目每场均为满员状态. 市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间(含 50 元和 80 元) 浮动时， 每提高 2 元， 每场人数会减少 4 人.
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式.
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系， 求此时的票价.
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
，
∴y与x的函数关系式为y=300-2x
（2）解：x·y=x(300-2x)=10800
整理得：2x2-300x+10800=0，
化简得：x2-150x+5400=0，
解得x1=60，x1=90，
∵50≤x≤80.
∴x=60.
∴此时的票价为60元
（3）解：设游乐园的营业收入w元，
根据题意得：w=x·y
=x(300-2x)
=-2x2+300x
=-2(x-75)2+11250
∵-2<0，50≤x≤80，
∴当x=75时，w最大，最大值为11250，
∴当票价为75时，营业收入最大为11250元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出v与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
23．（2025九上·长兴期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得
∴抛物线为 当x=15时，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为
∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪；
(2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值.
24．（2025九上·平湖期中）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其中有三 对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤18，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设y=kx+b，当x=12时，y=500，当x=14时，y=400，得
解得，故函数关系式为y=-50x+1100
（2）解：由题意，笔记本的单件利润为（x-10)元，
故总利润w=（x-10）（-50x+1100）=
w为x的二次函数，开口向下，对称轴为直线x=
当x<16时，y随x的增大而增大，当x>16时，y随x的增大而减小，
当x=16时，y取最大值，故在12≤x≤18内，所以w最大=6×300=1800元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设y=kx+b，将表格中两组数据分别代入，求出k、b的值，即得y与x的函数关系式；
(2)单件利润为(x-10)，即得总利润w=（x-10）（-50x+1100）根据开口方向和对称轴，知x=16时y取最大值.
1 / 1浙教版数学九年级上学期重难点复习3:二次函数(三)
一、二次函数-特殊四边形存在性问题
1．（2024九上·西湖月考）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．
（1）求的值；
（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值；
（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024九上·义乌月考）如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点N是直线上的动点，在平面内的是否存在点Q，使得以为边、以P、B、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有Q点的坐标：若不存在，请说明理由．
3．（2024九上·龙湾月考）如图，矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，点D从点O开始沿边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿边向点O以每秒1个单位的速度移动，轴，交于点F，连接，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．
（1）直接写出： ______， _______（含t的代数式表示）．
（2）当点D在点E的左侧时，若的面积等于2，求t的值．
（3）在整个过程中，
①若在矩形的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以为邻边作矩形，连接，取线段的中点Q，连接，求的最小值（直接写出答案）．
4．（2024九上·东阳开学考）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标．
5．（2024·浙江模拟）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
（1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是 ；
（2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，，，求的面积；
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
二、二次函数-相似三角形的存在性问题
6．（2024九上·奉化期中）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标 ．
7．（2024九上·义乌期中）如图，抛物线经过点、、，点是抛物线在轴上方图象上一点，动直线分别交轴、轴于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当以为顶点的三角形面积为6时，求出点的坐标；
（3）当，点在抛物线上运动时，是否存在点，使得以为直角顶点的与相似，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
8．（2025九上·象山月考）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.连接BC，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D在直线BC下方的抛物线上：
①如图2，连接OD，BD，CD，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标；
②如图3，连接AD，AC，交BC于点E，若，求点E的坐标.
9．（2024九上·西湖月考）如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标．
（3）如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标．
10．已知抛物线经过点和点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式．
（2）该抛物线与直线相交于C，D两点，是抛物线上的动点且位于轴下方，直线轴，分别与轴和直线CD相交于点M，N.
①连续PC，PD，如图①，在点P运动的过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②连结PB，过点作，垂足为，如图②，是否存在点，使得与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数-动态几何问题
11．（2025九上·绍兴期中） 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东30°，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设AP的长为x，BP2为y，y关于x的函数图象（如图2所示）与y轴交于点（0，36），最低点P（3，m），且经过Q（4，n）．则下列选项正确的是（ ）
A．△ABC的面积是12 B．m=28
C．点（1，31）在该函数图象上 D．n=29
12．（2025九下·杭州月考）近期，动漫形象“奶龙”在网络上爆火.某网店销售一款“奶龙”公仔，每个的进价为20元，在销售过程中调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个.如果调整销售单价，每涨价1元，每周平均少卖出4个.若现提价销售，设销售单价提高元，每周的销售利润为元.
（1）求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围.
（2）当销售单价定为多少时，该网店每周的利润最大？并求出最大利润.
13．（2025九上·温州月考）如图，中，点P从A点出发，沿着折线的方向移动，直到与C点重合停止运动，D为AC中点，设P点运动的距离为x，DP的长度为y，y关于x的函数图象如图所示，图象是轴对称图形，M为图象的最高点，点M的坐标为，则点P在运动过程中，的最小值是 .
14．（2025九上·义乌期中）如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接．
（1）当点恰好落在边上时， ．
（2）当 时，有最小值．
15．（2025九上·长兴月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处.
（1）求抛物线的解析式：
（2）求点P的坐标；
（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2025九上·温州月考）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S.当点P由点B运动到点A时，S是一个关于t的二次函数，图象如图2所示，则△ABC的周长为 .
17．（2025九上·杭州月考）如图，在四边形中，，．点E从点B出发，沿边向点C以的速度移动；点F从点C出发，沿边向点D以的速度移动．E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．连接，设运动的时间为，若使的面积为最小，则t 的值是 ．
18．（2025九上·拱墅开学考）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m3n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）最大值与最小值的差为16，求
n﹣m的最大值与最小值．
四、二次函数的实际应用
19．（2025九上·台州期中）如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是 则该飞机着陆后滑行的最长时间为（ ）秒.
A．18 B．9 C．6 D．3.6
20．（2025九上·慈溪期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 m．
21．（2025九上·新昌期中）同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线.如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离OD为6米，到地面的距离AO与BD均为1米，绳子甩到最高点C 处时，最高点距地面的垂直距离为2.5m，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；
（2）如果身高为1.70m的小明站在OD之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点O的水平距离为1.5m时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方0.6m 请说明理由；
22．（2025九上·永康期中） 某大型游乐园里有一个热门游乐项目， 每场可供 200 人同时游玩， 当游玩票价为 50 元时， 该项目每场均为满员状态. 市场调查显示当游玩票价在 50 元到 80 元之间(含 50 元和 80 元) 浮动时， 每提高 2 元， 每场人数会减少 4 人.
（1）设票价为 元，请写出每场人数 关于票价 的函数关系式.
（2）已知该游乐项目某场营业收入为 10800 元，根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系， 求此时的票价.
（3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？
23．（2025九上·长兴期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A 点到水平地面的距离为3米.
（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地.
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求 的最大值.
24．（2025九上·平湖期中）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其中有三 对应值如下表：
销售单价x（元） 12 14 16
每周的销售量y（本） 500 400 300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤18，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
（3）存在，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，则，连接，设点，根据，结合三角形面积，二次函数的性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当四边形为平行四边形时，，根据二次函数对称性质即可求出答案；当四边形为平行四边形时，，作于G，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，将y=6代入二次函数解析式，解方程即可求出答案.
（1）解：把点和点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，
∴，
∴，
方法一：如图1，
连接，
设点，
∴，
∴
，
∴当时，，此时；
方法二：如图2，
作于Q，交于点D，设解析式为：
∵，则，解得
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，此时；
（3）解：如图3，
当四边形为平行四边形时，，
∵抛物线对称轴为直线：，
∴点的坐标：
如图4，当四边形为平行四边形时，，
作于G，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
综上所述：或或．
2．【答案】（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合运用，二次函数的性质，点的特征．
（1）将点和点代入解析式可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解方程组可求出k和t的值，据此可求出直线的解析式，设点，，利用三角形的面积计算公式进行计算可得：
，利用二次函数的性质可求出最值，据此可求出答案；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况分别列出方程组和，解方程组可求出x，m，n的值，据此可求出点Q的坐标.
（1）解：交轴于点和点，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
（3）解：，，设，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
综上所述：或或．
3．【答案】（1）4，t
（2）解：∵，，
∴，
∴或
（3）解：①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，，
∴，点B的横坐标为8，
将x=8代入 得y=4，
∴，
∴，
∵，
∴=90°，
∴，即，
∴，
故答案为：4，t；
（3）②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为.
【分析】（1）根据矩形性质、点的坐标与图形性质及直线上点的坐标特点求出A、B的坐标，从而可得AB的长，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DF∥AB，进而利用平行线分线段成比例定理求出DF的长即可；
（2）根据DE=OA-OD-AE表示出DE，利用三角形的面积公式列出方程，即可求解；
（3）①分当时，当时，当时，三种情况分别求解即可；②由题意得，，根据两点间距离公式列出表达式，利用二次函数的性质即可求解
（1）解：∵矩形的边在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线上，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∴或
（3）①如图，当时，，
取的中点Q，以为邻边作正方形，此时点P在边上，且，符合题意；
如图，当时，点D与点A重合，点F与点B重合，作正方形，满足条件；
当时，点D、E重合，此时，，作正方形，满足条件；
综上所述：或或，满足条件；
②如图，由题意得，，
∴，
∵，
∴时，的最小值为
4．【答案】（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
①当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
②当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【知识点】二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用．
（）将B，C两点的坐标代入二次函数的解析式可列出方程组，解方程组可求出b，c的值，再求出当时，可列出一元二次方程，解方程可求出点坐标；
（）连接，设直线的表达式为，将点A和C的坐标代入表达式可求出直线的表达式，过点作轴的垂线，交于点，利用三角形的面积公式进行计算可得：，据此可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，进而可得，最后利用二次函数的性质可求出三角形的面积最大值，并求出m的值和D点的坐标；
（）先求出的长及二次函数的对称轴，再分两种情况讨论，①当为平行四边形的边时，，②当为平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质列出方程，解方程可求出点N的坐标.
（1）解：把，代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
当时，，
解得，，
∴；
（2）解：连接，
设直线的表达式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的表达式为，
过点作轴的垂线，交于点，
则，
∴当取最大值时，的面积最大，
设，则，
∵点位于第三象限，
∴，，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时，点的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点的横坐标为，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
5．【答案】（1），
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴交于M，则，
∴，
∴；
（3）解：存在，点P的坐标为：或．
【知识点】菱形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，，
∴点，是矩形 “梦之点”，
故答案为：，；
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴点P的坐标为：或．
【分析】（1）根据“梦之点”的定义、矩形性质及各个顶点的坐标，确定自变量的范围，函数值的取值范围，即可逐一判断得出答案；
（2）根据“梦之点”的定义可得点A，B是直线上的点，联立直线y=x与抛物线的解析式，求解确定A、B得坐标，将二次函数解析式配成顶点式可得抛物线的顶点C的坐标及抛物线的对称轴为直线，设抛物线的对称轴交AB于M，根据点的坐标与图形性质可得点M的坐标，进而根据S△ABC=S△ACM+S△BCM，列式计算即可；
（3）根据抛物线上点的坐标特点设，由菱形的四边相等可得AP=BP，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，，
∴矩形的“梦之点”满足，，
∴点，是矩形 “梦之点”，
故答案为：，．
（2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”，
∴点A，B是直线上的点，
∴，
解得：，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，
设抛物线的对称轴交于M，则，
∴，
∴．
（3）解：存在，理由如下：
设，
∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴
解得：，
当时，，
当时，，
∴或．
6．【答案】或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：过点作轴于点．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
将A(1，0)，B(-3，0)，C(0，3)分别代入得
解得
∴该抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
∴D(-1，4)，
∴DF=1，OF=4，
∵B(-3，0)，C(0，3)
，
在中，，，
，
，
，
为直角三角形．
①利用的三边，，又，故当是原点时，；
②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，
解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；
③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，
解得：，故是时，则一定成立；
④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，此时，两个三角形不相似；
⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．
则，当与是对应边时，，即，
解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
故答案为：或或．
【分析】过点D作DF⊥y轴于点F，先利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后将解析式配成顶点式可得点D的坐标；然后根据D、B、C三点坐标可求出BO=CO，DF=CF，则△DCF与△BOC都是等腰直角三角形，进而判断出△BCD是直角三角形；①根据两点间的距离公式算出DC、BC，BD，由两边及夹角对应相等的两个三角形相似得出当点P与点O重合时，△ACP∽△DBC；② 当AC是直角边时，若AC与CD是对应边， ③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与CD是对应边时， ④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 当AC与DC是对应边时， 分别根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解并判断即可.
7．【答案】（1）解：把、、代入解析式得：
，解得，
∴ 抛物线的解析式为：y=-x2+x+4；
（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+d，
∴，解得，
∴y=-x+1，
设 过点P作 轴， 交AC于H， 如图1，
则
3，
，
解得：
∴ P点的坐标为(0，4)或(2，2)；
（3）解：∵直线 分别交x轴、y轴于点D、E.
∴D(2t，0)， E(0，t)， 且
即
∴直线DF的解析式为
联立得 解得：，，
， ，
，
同理可得： 在 中，
，
当 时， 如图2， 则
即
解得： 或
经检验， 或 均是原方程的解，
当 时，则
即
解得：
经检验， 是原方程的解，
综上所述，抛物线上存在点Q，使得以D为直角顶点的 与 相似，t的值为 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；
(2)利用待定系数法可得直线AC的解析式为
设 过点P作 轴， 交AC于H， 则再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案；
(3)先证得 得出 运用待定系数法可得直线DF的解析式为 联立方程组求得点Q的坐标，再根据相似三角形性质建立方程求解即可得出答案.
8．【答案】（1）解：令y=0，则，解得x1=-2，x2=3，故OA=2，OB=3.
令x=0时，y=-6a，即OC=6a，而OC=2OB=6，故6a=6，得a=1，
故抛物线的解析式为即
（2）解：①设直线BC的表达式为y=kx+b，将点(3，0)和(0，-6)代入得，解得
故直线BC的表达式为y=2x-6
设点D(m，)，过点D作DH||y轴交BC于上点H，H(m，2m-6)，
DH=2m-6-(m2-m-6)=
，
当m=时，S1+S2取最大值，此时D(1，-6)
②当时，有，即，得BE=
得CE=，于是xE=，yE=
故此时E的坐标为().
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)令y=0，可得x的值即得A、B的坐标，令x=0可得C的坐标即知OC的长度，即可得a的值，从而得到抛物线的解析式；
(2)①先待定系数法求出直线BC的解析式，设点D(m，)，过点D作DH||y轴交BC于上点H，H(m，2m-6)，分别求出S1和S2的表达式，求出S1+S2是关于m的二次函数，当m=1时，取最大值，即可得点D的坐标；
②由可得BE的值和CE的值，即知点E的横坐标，从而得到纵坐标，即点E的坐标.
9．【答案】（1）解：抛物线与轴交于点、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
顶点；
（2）解：如图，当点P在上方时，
，
，
令抛物线的解析式中，则，
，
点P纵坐标与点C纵坐标相等，即，
，即，
解得：或（舍去），
；
如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，即，
解得：或（舍去），
则，
；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，有值最大，
则，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，再配方求得顶点坐标；
（2）分点P在上方和下方两种情况讨论，点P在上方时，根据内错角相等，两直线平行，得到，即得到点P纵坐标与点C纵坐标相等，即可求解；点P在下方时，设直线与x轴交于点G，此时，，求出点G的坐标，再求出直线的解析式，联立二次函数即可求解；
（3）设，直线的解析式为，将B、C两点坐标代入求出直线的解析式，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解．
（1）解：抛物线与轴交于点、两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
，
顶点；
（2）解：如图，当点P在上方时，
，
，
令抛物线的解析式中，则，
，
点P纵坐标与点C纵坐标相等，即，
，即，
解得：或（舍去），
；
如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G，
，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
设直线的解析式，
则，
解得：，
直线的解析式为，
联立，即，
解得：或（舍去），
则，
；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
由（1）可知：，，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，
轴，
，
，
当时，有值最大，
则，
．
10．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线对应的函数解析式为：
故答案为：.
（2）解：①∵点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，
∴可设P（t，）（1＜t＜5），
∵直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N，
∴M（t，0），N（t，），
∴PN＝，
联立直线CD与抛物线解析式可得，
解得或，
∴C（0，3），D（7，），
分别过C、D作直线PN的直线，垂足分别为E、F，如图所示，
则CE＝t，DF＝7 t，
∴S△PCD＝S△PCN＋S△PDN＝PN CE＋PN DF＝PN＝，
∴当t＝时，△PCD的面积有最大值，最大值为；
故答案为：存在，最大值为 .
②存在．
∵∠CQN＝∠PMB＝90°，
∴当△CNQ与△PBM相似时，有或两种情况，
∵CQ⊥PM，垂足为Q，
∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，），
∴CQ＝t，NQ＝，
∴，
∵P（t，），M（t，0），B（5，0），
∴BM＝5 t，PM＝0 （）＝，
当时，则PM＝BM，即=（5-t），
解得：t＝2或t＝5（舍去），此时P（2，）；
当时，则BM＝PM，即5 t＝（），
解得：t＝或t＝5（舍去），此时P（，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为 或
故答案为： 或 .
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①可设出P点坐标，则可表示出M、N的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C、D的坐标，过C、D作PN的垂线，可用t表示出△PCD的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值；
②当△CNQ与△PBM相似时有或两种情况，利用P点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标．
11．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：如图1，过B点作 于点D，
∵图2中图形的最低点P(3，m)，
∴在中，AB=2AD=6，
即m=27，
故选项B错误；
的面积
故选项A错误；
∵图象经过Q(4，n)，
∵在 中，CD=AC-AD=1，BD=
即n=28，
故选项D错误，
如图3，当AE=1时，DE=AC-AE-CD=2，
∵在. 中，
即点(1，31)在该函数图象上，
故选项C正确，符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意，由最低点坐标，得到AC边上的高的平方为m，结合图形，利用勾股定理，得到m的值，同理可得到n的值， 的面积，以及判断点(1，31)的位置即可.
12．【答案】（1）解：设销售单价提高x元，则每组销售量为 个，单个公仔利润为( 元.
∴每组销售利润
∵售量不能为负，
答：
（2）解：函数 开口向下，存在最大值.
当 时， 利润最大.
此时销售单价为 元，最大利润为 元.
答：当销售单价定为40元时，该网店每周的利润最大，最大利润为1600元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=单件利润×销售量列函数关系式并整理为一般式，根据销售量不能为负数得到自变量的取值范围即可；
（2）根据顶点坐标公式求出最值即可解题.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的实际应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：如图，作PH⊥AD于点H，连接BD，则∠AHP=90°，
由题意，运动图象是轴对称图形，则BA=BC，
∵D为AC中点，AB=BC，
∴BD⊥AC，
又∵PH⊥AD，
∴PH∥BD，
∴△AHP∽△ADB，
∴，
∵点M的坐标为（5，4），
∴当P点运动到B点时，AB=5，BD=4，
∴在Rt△ADB中，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵PD2=PH2+DH2，
∴，即，
∴，
∴当时，x2+y2有最小值.
故答案为：．
【分析】作PH⊥AD于点H，连接BD. 由题意易得AB=BC，结合已知条件D为AC中点，根据等腰三角形“三线合一”易得PH⊥AD，从而证明PH∥BD，利用相似三角形的判定易得△AHP∽△ADB，再根据相似三角形对应边成比例可得，由点M的坐标为，分析图象可知AB=5，BD=4，在Rt△ADB中，利用勾股定理可知AD=3，易知，计算可得，，，利用勾股定理可得，即，从而可知，利用二次函数的性质即可求解.
14．【答案】；
【知识点】矩形的性质；二次函数-动态几何问题；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：（1）如图所示，当点F恰好落在边上时，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴=，
∴，
∴，
∴AE=5-2=3，
∴，
∴，
在中，.
故答案为：．
（2）过点作于点，与交于点，
，
，
∵∠EMF=90°，
，
，
又∵∠A=90°，
，
，
∵，
∴=，
设，则，
，
，，
，
，
，即抛物线开口向上，
∴当时，即时，的最小值为5，
在中，，，
∴
∴当时，有最小值.
故答案为：．
【分析】（1）由同角的余角相等可得，即可证明，得到=，最后代入求解即可；
（2）过点作于点，与交于点，由同角的余角相等可得，即可证，设，则，根据相似三角形的相似比和勾股定理，用含的代数式表示，然后根据二次函数的性质求得的最小值，再根据勾股定理求出的值．
15．【答案】（1）解：将点A(-1，0)，B(0，3)代入得：
解得
则抛物线的解析式为
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点C的坐标为C(1，4)，
设点D的坐标为D(1，a)()，则，
由旋转的性质得：，，
，即，
∵点P在抛物线上
∴，
解得或（舍去），
当时，，
所以点P的坐标为P(2，3).
（3）解：抛物线的顶点C的坐标为C(1，4)，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O，
这时点P落在点E的位置，且P(2，3)，
E(2-1，3-4)，即E(1，-1)，恰好在对称轴直线x=1上，
如图，作点E关于y轴的对称点E'，连接PE'，
则，
由两点之间线段最短可知，与y轴的交点即为所求的点M，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点P(2，3)，代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在y轴上存在点M，使得的值最小，此时点M的坐标为
【知识点】二次函数-动态几何问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由于解析式中含有两个参数，所以只要将图像上的两个点的坐标代入求解即可得到抛物线的解析式；
(2)设参数表示点D坐标，写出线段CD的长度，再根据图形的旋转特征表示出点P坐标，利用点在函数图象上则其坐标满足函数解析式这个关系可求出参数，即可得出点P坐标；
(3)根据点的平移与坐标的关系易求出E(1，-1)，再利用将军饮马问题的固定解题步骤，先找到点E关于y轴对称的点，连接，求出直线的解析式为，让横坐标为0，得到，从而得到。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：当点P在BC上时， 在Rt△PCD中， PC=t，
当S=6时，
解得t = 2(取正值)，
∴BC=2.
∴图2中的抛物线经过点(2，6).
由图象可知，图2中的抛物线顶点为(4，2).
设抛物线解析式为：
将(2，6)代入， 得( 解得： a= 1.
当S=18时，
解得t = 8或t = 0(舍去)。
∴AB=(t-2)×1=(8-2)×1=6.
在Rt△ABC中， 由勾股定理得： AC =
∴△ABC的周长为= AB+BC+AC=6+2+
故答案为：
【分析】当点P在BC上时，易得 ，整理可得S与t的函数关系式，求得当S =6时，t的值，即可求得当点P在点B时S =6时，t =2.进而根据图2中的顶点坐标为(4，2)，用顶点式表示出图2中S与t的关系式， 把(2，6)代入可得a的值， 进而取S = 18.求得t的值，得到点P在点A时面积为18，进而求出t的值，则可以求得AB的长，根据勾股定理可得AC的长，则可求得△ABC的周长.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作交延长线于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理求出，
∵，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴的面积为，
令的面积为，则，
∵，
∴当时，有最小值，
即当时，的面积为最小．
故答案为：．
【分析】连接AC、BD交于点M，过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H， 由等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=30°，由“SSS”证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABM=∠CBM=60°，∠BAD=∠BCD，根据三角形的内角和定理推出 ∠ AMB= ∠ CMB=90°，由含30°角直角三角形性质得BM=3cm，同理CM=3cm，则AC=6cm，由三边相等的三角形是等边三角形得△ACD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得∠ADC=60°，再根据含30°角直角三角形的性质求出HD、BG的长，进而利用勾股定理算出AH、AG的长；由S△AEF=结合三角形面积公式建立出S关于t的函数解析式式，再利用二次函数的性质解答即可．
18．【答案】（1）解：依题意
解得a=6
（2）解：画图如下
设，则
分别为方程的两根
由韦达定理可知
解①得，代入②得t=-3
（3）解：
∵
∴抛物线在上的最小值为-4
∴抛物线在上的最大值为12
令y=12，即
解得
7-(-1)=8
根据图像可知，固定(7，12)不动，另一个点(-1，12)最多可沿抛物线运动至顶点(3，-4)
7-3=4
综上所述，n-m的最大值为8，最小值为4.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)将点 （1，0） 代入解析式即可求a；
(2)结合图象，设参数表示B，C两点坐标，将它们的横坐标转化为方程的两根，由韦达定理即可求解；
(3)根据题意分析出抛物线在上的最大值为12，最小值为-4，再动态考虑m，n的取值可能性，就能得出n-m的最大值为8，最小值为4.
19．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：，
∵，抛物线开口向下
∴当t=18时，s有最大值，此时s最大=486，
∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值，
∴t = 18，
故答案为：A.
【分析】将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案.
20．【答案】40
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立如下直角坐标系，
点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，
则0=1600a+200，
解得：a=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+200，
当y=150时，即150=-x2+200，
解得：x=±20，
则CD=20-(-20)=40m.
故答案为：40.
【分析】建立合适的直角坐标系，点B的坐标为（40，0），点E的坐标为（0，200）
设抛物线的解析式为y=ax2+200，将点B、点E的坐标代入即可求出a的值，再将y=150代入解析式，进而得出答案.
21．【答案】（1）解：由条件知，抛物线过点A(0，1)，顶点是C(3，2.5)，可设解析式为
将点A坐标代入得
解得
∴该抛物线解析式为
（2）解：在中，令x=1.5得
2.125-1.70=0.425(m)<0.6(m)
∴绳子不能刚好甩过他的头顶上方0.6m.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据题意将抛物线设为顶点式，再将点A坐标代入即可求出函数表达式；
(2)在函数解析式中，令x=1.5，求出此时y=2.125，比较它与1.70的差值是否大于0.6即可。
22．【答案】（1）解：根据题意得：
，
∴y与x的函数关系式为y=300-2x
（2）解：x·y=x(300-2x)=10800
整理得：2x2-300x+10800=0，
化简得：x2-150x+5400=0，
解得x1=60，x1=90，
∵50≤x≤80.
∴x=60.
∴此时的票价为60元
（3）解：设游乐园的营业收入w元，
根据题意得：w=x·y
=x(300-2x)
=-2x2+300x
=-2(x-75)2+11250
∵-2<0，50≤x≤80，
∴当x=75时，w最大，最大值为11250，
∴当票价为75时，营业收入最大为11250元.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态，每提高2元，每场人数会减少4人列出v与x的函数解析式；
(2)根据“营业收入=票价×每场人数”这一关系列出方程，解方程即可；
(3)根据“营业收入=票价×每场人数”列出函数解析式，根据函数的性质求最值.
23．【答案】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为 (10，6)，设水流形成的抛物线为 将点 (0， 1)代入可得
∴抛物线为 当x=15时，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）解：由题可知A 点坐标为(15，3)，则直线OA为
∴当x=8时， y1-y2的最大值为 ； 答： y1-y2的最大值为
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】(1)利用顶点式设抛物线解析式为将(0，1)代入得a的值即得抛物线解析式，令x=15得y的值即知能否浇到草坪；
(2)先求出可得，即知当x=8时，可得最大值.
24．【答案】（1）解：设y=kx+b，当x=12时，y=500，当x=14时，y=400，得
解得，故函数关系式为y=-50x+1100
（2）解：由题意，笔记本的单件利润为（x-10)元，
故总利润w=（x-10）（-50x+1100）=
w为x的二次函数，开口向下，对称轴为直线x=
当x<16时，y随x的增大而增大，当x>16时，y随x的增大而减小，
当x=16时，y取最大值，故在12≤x≤18内，所以w最大=6×300=1800元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设y=kx+b，将表格中两组数据分别代入，求出k、b的值，即得y与x的函数关系式；
(2)单件利润为(x-10)，即得总利润w=（x-10）（-50x+1100）根据开口方向和对称轴，知x=16时y取最大值.
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