实数(无理数的大小估计）—浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025·义乌期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．（2025七上·嵊州期中）关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它可以表示面积为21的正方形的边长
B．它表示21的算术平方根
C．它的小数部分是
D．方程的解是
3．（2025七上·新昌期中） 估算 在哪两个整数之间（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定
4．（2025七上·浙江期中）估计在哪两个相邻整数之间（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七上·绍兴期中）下表是被开方数的算术平方根（）的小数点位置移动规律，若，则被开方数的值为（ ）
… 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 …
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 …
A．70 B．700 C．000 D．0000
6．（2025七上·长兴期中）估计 的值在 ( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
7．（2025七上·嘉兴期中）估计 的值是( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
8．（2025七上·杭州期中）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如： ，则式子 的值为( )(式子中的‘“+”，“-”依次相间)
A．- 23 B．-67 C．- 22 D．-68
二、填空题
9．的小数部分是
10．（2024七上·温州期中）若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ．
11．（2024七上·义乌期中）已知整数满足，则的值为 ．
12．（2023七上·鹿城期中）大于且不大于的所有整数之和是
13．（2025七上·浙江期中）已知M是满足不等式的所有整数的和，N是的整数部分，则的平方根为 ．
14．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
三、解答题
15．求的近似值。写出精确到十分位的近似值。你能将的近似值精确到哪一位
16．如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一方格的边长为1个单位，请讨论下面的问题：
（1）阴影正方形的面积是多少？
（2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？
17．（2025七上·金华期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（2） ；
（3）316.84的平方根是 ；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 ；
18．（2025七上·浙江期中）阅读下列材料：
通过探究知道： 它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为 即 ，所以 的整数部分是2，小数部分是 .根据上述材料请回答以下问题：
（1） 比较 与4的大小；
（2） 已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的值；
（3） 如果 的整数部分为m， 的整数部分为n，求12m+7n的立方根.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由图知此数在1~3之间，
对A选项，<0，不符合题意；
对B选项，1<<3，符合题意；
对C选项，3<<4，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由图知此数在1~3之间，估算选项中的无理数即可得结果.
2．【答案】D
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、设面积为21的正方形边长为，则，
∴，故A正确，不符合题意；
B、表示21的算术平方根，故B正确，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴的小数部分是，故C正确，不符合题意；
D、方程的解是，故D不正确，符合题意．
故选：D．
【分析】
A、正方形的边为为正数，故可以表示面积为21的正方形的边长；
B、21的算术平方根是 ；
C、由于介于两个连续自然数4和5之间，则其小数部分为；
D、正数21有两个平方根，是一对相反数，即．
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】由于7介于两个连续平方数4和9之间，则介于2和3之间.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵
∴，
故选：C.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可.
5．【答案】D
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】根据表格知：a的小数点往右移动2位，的结果小数点往右移动1位，
∵，
∴a=70000，
故答案为：D.
【分析】根据 被开方数的算术平方根（）的小数点位置移动规律 作答.
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<<4，
则2< <3.
故答案为：A.
【分析】首先确定的范围，进而判断-1的范围.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∴的值在2和3之间
故答案为：B .
【分析】先估算出的范围，然后再得出的范围即可.
8．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵=4，=9，=16，……，=1936，=2025，
∴，，…，的得数都是2，且有8-4+1=5个；
，，…，的得数都是3，且有15-9+1=7个；
，，…，的得数都是4，且有24-16+1=9个；
……
，，…，的得数都是44，且有2024-1936+1=89个；
∴原式＝1﹣1+2﹣2+2﹣2+2﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣3+…+44﹣44+44﹣45
＝0+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+44﹣45
＝﹣22．
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、、…、、的大小，确定其整数部分，理清整数部分是相同的数，由“+”“-”依次相间，进行计算即可．
9．【答案】-1
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
的整数部分是1，小数部分是
故答案为：
【分析】估算出 的范围，用 整数部分即可得到小数部分.
10．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先估算、的范围，进而求出、，再代入计算即可.
11．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵整数满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大，利用夹逼法可得的范围，即可得出答案.
12．【答案】0
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜5＜9，
∴，
∴，
∵，，，
∴大于且不大于的整数有，
∴大于且不大于的所有整数之和为，
故答案为：0．
【分析】根据无理数的估算方法可得，进而得到大于且不大于的整数有，再把这些整数求和即可求解．
13．【答案】
【知识点】无理数的估值；平方根的性质；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵M是满足不等式-1.5∴M=-1+0+1+2+3-5，
∵N是的整数部分，而
∴N=4.
∴M+N=5+4=9，
∴M+N的平方根，即9的平方根为，
故答案为：±3.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定N的值，再根据不等式组的整数解求出M的值，计算M+N的值，由平方根的定义进行计算即可.
14．【答案】9
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵a，b是两个连续的整数且，
∴
∴
故答案为：9.
【分析】首先我们要确定18在哪两个完全平方整数之间，然后根据算术平方根将这三个数同时开方即可得出a、b的值，继而再求和即可.
15．【答案】解：2.22=4.84<5<2.32=5.29
2.2<<2.3，
≈2.2.
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的数是解题关键.
16．【答案】（1）解：由题意得： 阴影正方形的面积==2.
（2）解：阴影正方形的边长=.
（3）解：∵1<<2
∴ 阴影正方形的边长介于 1和2之间.
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】(1)阴影正方形的面积=对角线乘积的一半；
(2)边长=面积的算术平方根，即可求得；
(3)估算的大小即可。.
17．【答案】（1）4
（2）171
（3）±17.8
（4）-1
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，，.
∵介于17.6与17.7之间，
∴.
在与之间的整数有310、311、312、313，共4个.
故答案为：4.
（2）.
故答案为：171.
（3）∵，∴.
故答案为：±17.8.
（4）∵，，且，
∴.
∴的整数部分.
∴.
故答案为：-1.
【分析】需结合表格中x与x2的对应关系，运用平方根定义、算术平方根性质及整数部分确定方法来解题.
18．【答案】（1）解：因为17>42， 所以
（2）解：因为 所以 ，
所以
（3）解：因为 的整数部分为m，且
所以m=3，
因为
所以
又因为 的整数部分为n，
所以n=4，
所以12m+7n=12×3+7×4=64，
所以12m+7n的立方根是4.
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【分析】(1)同时将两数平方，比较大小，即为原数的大小关系；
(2)根据整数部分a可得小数部分b，再代入式子中即可得结果；
(3)利用估算分别求出整数部分m和n，再代入求出代数式的值，即可求出立方根.
1 / 1实数(无理数的大小估计）—浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025·义乌期中）如图，被阴影覆盖的可能是下面哪一个数（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：由图知此数在1~3之间，
对A选项，<0，不符合题意；
对B选项，1<<3，符合题意；
对C选项，3<<4，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由图知此数在1~3之间，估算选项中的无理数即可得结果.
2．（2025七上·嵊州期中）关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A．它可以表示面积为21的正方形的边长
B．它表示21的算术平方根
C．它的小数部分是
D．方程的解是
【答案】D
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：A、设面积为21的正方形边长为，则，
∴，故A正确，不符合题意；
B、表示21的算术平方根，故B正确，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴的小数部分是，故C正确，不符合题意；
D、方程的解是，故D不正确，符合题意．
故选：D．
【分析】
A、正方形的边为为正数，故可以表示面积为21的正方形的边长；
B、21的算术平方根是 ；
C、由于介于两个连续自然数4和5之间，则其小数部分为；
D、正数21有两个平方根，是一对相反数，即．
3．（2025七上·新昌期中） 估算 在哪两个整数之间（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】由于7介于两个连续平方数4和9之间，则介于2和3之间.
4．（2025七上·浙江期中）估计在哪两个相邻整数之间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵
∴，
故选：C.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可.
5．（2025七上·绍兴期中）下表是被开方数的算术平方根（）的小数点位置移动规律，若，则被开方数的值为（ ）
… 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 …
… 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 …
A．70 B．700 C．000 D．0000
【答案】D
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】根据表格知：a的小数点往右移动2位，的结果小数点往右移动1位，
∵，
∴a=70000，
故答案为：D.
【分析】根据 被开方数的算术平方根（）的小数点位置移动规律 作答.
6．（2025七上·长兴期中）估计 的值在 ( )
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9<13<16，
∴3<<4，
则2< <3.
故答案为：A.
【分析】首先确定的范围，进而判断-1的范围.
7．（2025七上·嘉兴期中）估计 的值是( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴，
∴的值在2和3之间
故答案为：B .
【分析】先估算出的范围，然后再得出的范围即可.
8．（2025七上·杭州期中）若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如： ，则式子 的值为( )(式子中的‘“+”，“-”依次相间)
A．- 23 B．-67 C．- 22 D．-68
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵=4，=9，=16，……，=1936，=2025，
∴，，…，的得数都是2，且有8-4+1=5个；
，，…，的得数都是3，且有15-9+1=7个；
，，…，的得数都是4，且有24-16+1=9个；
……
，，…，的得数都是44，且有2024-1936+1=89个；
∴原式＝1﹣1+2﹣2+2﹣2+2﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣3+…+44﹣44+44﹣45
＝0+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+44﹣45
＝﹣22．
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、、…、、的大小，确定其整数部分，理清整数部分是相同的数，由“+”“-”依次相间，进行计算即可．
二、填空题
9．的小数部分是
【答案】-1
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
的整数部分是1，小数部分是
故答案为：
【分析】估算出 的范围，用 整数部分即可得到小数部分.
10．（2024七上·温州期中）若的整数部分是，的小数部分是，则的值为 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先估算、的范围，进而求出、，再代入计算即可.
11．（2024七上·义乌期中）已知整数满足，则的值为 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵整数满足，
∴，
故答案为：．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大，利用夹逼法可得的范围，即可得出答案.
12．（2023七上·鹿城期中）大于且不大于的所有整数之和是
【答案】0
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4＜5＜9，
∴，
∴，
∵，，，
∴大于且不大于的整数有，
∴大于且不大于的所有整数之和为，
故答案为：0．
【分析】根据无理数的估算方法可得，进而得到大于且不大于的整数有，再把这些整数求和即可求解．
13．（2025七上·浙江期中）已知M是满足不等式的所有整数的和，N是的整数部分，则的平方根为 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值；平方根的性质；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵M是满足不等式-1.5∴M=-1+0+1+2+3-5，
∵N是的整数部分，而
∴N=4.
∴M+N=5+4=9，
∴M+N的平方根，即9的平方根为，
故答案为：±3.
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定N的值，再根据不等式组的整数解求出M的值，计算M+N的值，由平方根的定义进行计算即可.
14．若a，b是两个连续的整数且，则的值为 ．
【答案】9
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵a，b是两个连续的整数且，
∴
∴
故答案为：9.
【分析】首先我们要确定18在哪两个完全平方整数之间，然后根据算术平方根将这三个数同时开方即可得出a、b的值，继而再求和即可.
三、解答题
15．求的近似值。写出精确到十分位的近似值。你能将的近似值精确到哪一位
【答案】解：2.22=4.84<5<2.32=5.29
2.2<<2.3，
≈2.2.
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】被开方数的值越大，对应的算术平方根的值也越大，找到与被开方数相邻近的数是解题关键.
16．如图，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形．设每一方格的边长为1个单位，请讨论下面的问题：
（1）阴影正方形的面积是多少？
（2）阴影正方形的边长是多少？应怎样表示？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个相邻整数之间？
【答案】（1）解：由题意得： 阴影正方形的面积==2.
（2）解：阴影正方形的边长=.
（3）解：∵1<<2
∴ 阴影正方形的边长介于 1和2之间.
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【分析】(1)阴影正方形的面积=对角线乘积的一半；
(2)边长=面积的算术平方根，即可求得；
(3)估算的大小即可。.
17．（2025七上·金华期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（2） ；
（3）316.84的平方根是 ；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 ；
【答案】（1）4
（2）171
（3）±17.8
（4）-1
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，，.
∵介于17.6与17.7之间，
∴.
在与之间的整数有310、311、312、313，共4个.
故答案为：4.
（2）.
故答案为：171.
（3）∵，∴.
故答案为：±17.8.
（4）∵，，且，
∴.
∴的整数部分.
∴.
故答案为：-1.
【分析】需结合表格中x与x2的对应关系，运用平方根定义、算术平方根性质及整数部分确定方法来解题.
18．（2025七上·浙江期中）阅读下列材料：
通过探究知道： 它是个无限不循环小数，也叫无理数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为 即 ，所以 的整数部分是2，小数部分是 .根据上述材料请回答以下问题：
（1） 比较 与4的大小；
（2） 已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的值；
（3） 如果 的整数部分为m， 的整数部分为n，求12m+7n的立方根.
【答案】（1）解：因为17>42， 所以
（2）解：因为 所以 ，
所以
（3）解：因为 的整数部分为m，且
所以m=3，
因为
所以
又因为 的整数部分为n，
所以n=4，
所以12m+7n=12×3+7×4=64，
所以12m+7n的立方根是4.
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【分析】(1)同时将两数平方，比较大小，即为原数的大小关系；
(2)根据整数部分a可得小数部分b，再代入式子中即可得结果；
(3)利用估算分别求出整数部分m和n，再代入求出代数式的值，即可求出立方根.
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