勾股定理关于赵爽弦图的应用—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·长兴期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2025八上·剑河月考）中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．（2024八上·雅安期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
二、填空题
4．（2024八上·吉林月考）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ．
5．（2024八上·拱墅期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ．
6．（2024八上·钱塘期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 ．
7．（2025八上·武安期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ．
8．我国古代数学家赵爽创制了一幅 “赵爽弦图”， 极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图， “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形的面积是 25 ， 小正方形的面积是 1 ， 则 .
9．（2024八上·温州期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ．
三、单选题
10．（2025八上·兰州期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．13
11．（2025·贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
12．（2024八下·安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．16 C．14 D．14
13．（2024八下·港北期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
14．（2024八下·新丰期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
四、解答题
15．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
16．（2024八上·隆安期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
17．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．
如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
18．（2024八上·南海期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
【分析】本题涉及了赵爽弦图、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理多个知识点．先由得，再结合赵爽弦图中全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，由求出DH、EH的长度，再利用勾股定理求出正方形的边长．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是；
故选B．
【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故答案为：C．
【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．
4．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．
5．【答案】1
【知识点】“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，
，
故答案为：1．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，于是得的值.
6．【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理得，，由完全平方公式求出，再利用完全平方公式得的值.
7．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成即得，进一步得即可.
8．【答案】3
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：△ABF≌△BCG≌△CDH≌△CAE，
∴DH=AE.
∵DE=DH+EH，
∴DE=AE+EH.
∵大正方形的面积是 25 ， 小正方形的面积是 1 ，
∴AD2=25， EH=1，
∵DE=AE+1.
在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，
∴25=(AE+1)2+AE2，
∴AE=3，或AE=﹣4（舍）.
故答案为：3.
【分析】由题意可证得DH=AE.于是可得DE=AE+EH.在Rt△ADE中利用勾股定理，即可求出AE的长.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，，，然后由勾股定理求出，从而得，最后利用勾股定理求出DE的值.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【解答】已知大正方形面积是，小正方形面积是1，且大正方形由四个全等的直角三角形和小正方形拼成．
每个直角三角形的面积为，则四个直角三角形的总面积为．
由面积关系可得：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即．
解上述等式得即．
故选：B．
【分析】根据题意可得， 直角三角形的两直角边分别为， 面积为，由图形可得，大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，即，即可求解．
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得为直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，AE=10，BE=24，
∴小正方形的边长为24-10=14，
∴，
故答案为：D．
【分析】先结合全等三角形对应边相等的性质求出小正方形的边长14，然后利用勾股定理即可得出EF的长.
13．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°， AB=10，AE=8，
∴，
∵△ABE≌△DAH，
∴AH=BE=6，
∴HE=AE-AH=8-6=2，
∴S正方形EFGH=22=4.
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE得长，由全等三角形的对应边相等得AH=BE=6，由HE=AE-AH算出HE，最后根据正方形的面积计算公式计算出正方形EFGH的面积.
14．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据阴影部分面积=大正方形面积-4个三角形面积即可求出答案.
15．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
16．【答案】（1）；；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴.
（3）解：把代入得，
，
∵c>0，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：；；.
【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；
（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；
（）把代入到（）中的关系式中计算即可求解.
（1）解：方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：，，；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
17．【答案】（1）证明：
（2）由（1）得：
解：，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
在中，
∴
，
在中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证；
（2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解．
（1）证明：
（2）由（1）得：
，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
在中，
∴
，
在中，
18．【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
1 / 1勾股定理关于赵爽弦图的应用—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·长兴期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：A
【分析】本题涉及了赵爽弦图、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理多个知识点．先由得，再结合赵爽弦图中全等三角形的性质推出是等腰直角三角形，由求出DH、EH的长度，再利用勾股定理求出正方形的边长．
2．（2025八上·剑河月考）中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由图和勾股定理，得：，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的面积是；
故选B．
【分析】根据勾股定理可得b=8，求出小正方形的边长，再根据正方形面积即可求出答案.
3．（2024八上·雅安期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故答案为：C．
【分析】由图可得小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行根据正方形面积求解即可．
二、填空题
4．（2024八上·吉林月考）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
根据“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成，可得这四个直角三角形都全等。然后根据全等三角形对应边相等的性质得出AC=BD=7，最后根据线段的和差关系（CD=BD-BC），代入数值计算即可．
5．（2024八上·拱墅期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，若，，则 ．
【答案】1
【知识点】“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，
，
故答案为：1．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，于是得的值.
6．（2024八上·钱塘期中）如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则的值为 ．
【答案】25
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：25．
【分析】利用勾股定理得，，由完全平方公式求出，再利用完全平方公式得的值.
7．（2025八上·武安期中）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则 ．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，
∴，
∴，
故答案为：2.
【分析】根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成即得，进一步得即可.
8．我国古代数学家赵爽创制了一幅 “赵爽弦图”， 极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图， “赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形的面积是 25 ， 小正方形的面积是 1 ， 则 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意得：△ABF≌△BCG≌△CDH≌△CAE，
∴DH=AE.
∵DE=DH+EH，
∴DE=AE+EH.
∵大正方形的面积是 25 ， 小正方形的面积是 1 ，
∴AD2=25， EH=1，
∵DE=AE+1.
在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，
∴25=(AE+1)2+AE2，
∴AE=3，或AE=﹣4（舍）.
故答案为：3.
【分析】由题意可证得DH=AE.于是可得DE=AE+EH.在Rt△ADE中利用勾股定理，即可求出AE的长.
9．（2024八上·温州期中）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，，则的值是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形对应边相等的性质得，，，然后由勾股定理求出，从而得，最后利用勾股定理求出DE的值.
三、单选题
10．（2025八上·兰州期中）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为，那么的值为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．13
【答案】B
【知识点】勾股定理；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【解答】已知大正方形面积是，小正方形面积是1，且大正方形由四个全等的直角三角形和小正方形拼成．
每个直角三角形的面积为，则四个直角三角形的总面积为．
由面积关系可得：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即．
解上述等式得即．
故选：B．
【分析】根据题意可得， 直角三角形的两直角边分别为， 面积为，由图形可得，大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，即，即可求解．
11．（2025·贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为的长为6，则小正方形的边长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据题意，得为直角三角形，，，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求得的值，最后求的值即可求解.
12．（2024八下·安顺期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．16 C．14 D．14
【答案】D
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，AE=10，BE=24，
∴小正方形的边长为24-10=14，
∴，
故答案为：D．
【分析】先结合全等三角形对应边相等的性质求出小正方形的边长14，然后利用勾股定理即可得出EF的长.
13．（2024八下·港北期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°， AB=10，AE=8，
∴，
∵△ABE≌△DAH，
∴AH=BE=6，
∴HE=AE-AH=8-6=2，
∴S正方形EFGH=22=4.
故答案为：A．
【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE得长，由全等三角形的对应边相等得AH=BE=6，由HE=AE-AH算出HE，最后根据正方形的面积计算公式计算出正方形EFGH的面积.
14．（2024八下·新丰期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得BC，再根据阴影部分面积=大正方形面积-4个三角形面积即可求出答案.
四、解答题
15．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
16．（2024八上·隆安期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1）；；；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴.
（3）解：把代入得，
，
∵c>0，
∴．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：；；.
【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；
（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；
（）把代入到（）中的关系式中计算即可求解.
（1）解：方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：，，；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
17．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．
如图1为赵爽弦图，其中，连接交于点，连接，得到图2，若．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：
（2）由（1）得：
解：，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
在中，
∴
，
在中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证；
（2）由（1）得：，可以求得，进而证明，得出，再根据勾股定理，即可求解．
（1）证明：
（2）由（1）得：
，赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成，
∴，
在中，
∴
，
在中，
18．（2024八上·南海期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】（1）解：①；
②选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得
（2）解：①3；
证明：②结论；
，
（3）①；②，
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
（2）①根据题意，
在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：；3；；，．
【分析】（1）①根据勾股定理的定义，写出即可；
②选择图1，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，然后再根据正方形和三角形的面积公式，代入数据即可证明；
（2）①在图4中，根据勾股定理，易得 ；在图5中，利用扇形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明；在图6中，根据等边三角形的面积公式，分别求出S1、S2和S3的值，即可证明。
②观察图形可知，三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后再减去1个大半圆的面积，代入圆的面积公式，即可求解；
（3）①根据（1）（2），可知，最后再结合勾股定理，即可求解；
②作于点N，根据， ，易得 ，再根据， ，易证，可得，，同理可证，，进而即可求解。
（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
∴；
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则，，，（等边三角形面积公式：，a为边长）
∵，，
∴，
∴；
∴满足的有3个，
故答案为：3；
②结论；
，
；
故答案为：．
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：，，，
∴，，，
∴
故答案为：．
②作于点N，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
同理可证：，，
∴b与c的关系为，a与d的关系为．
故答案为：，．
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