直角三角形HL全等判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1． 如图所示，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC，判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( )
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
2．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
6．（2023八上·杭州期中）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（ ）
A．∠A＝∠B B．AC＝BE C．AD＝BE D．AD＝BF
7．（2025八上·温州期中） 如图， 在△ABC中， ∠BAD=30°， 将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB=2α， 连结B'C，B'C平分∠ACB， 则∠AB'D的度数是 ( )
A．90°-α B．60°+α C． D．
8．（2025八上·南湖期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，L 垂足分别为E、F，AB=11，AC=5， 则 BE的长 ( )
A．1.5 B．2 C．3 D．6
二、填空题
9． 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则需添加的条件是 .(写一种即可)
10．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
11．（2025八上·瑞安期中） 如图， AB⊥BC， AD⊥DC， 要根据“HL”判定△ABC≌△ADC， 还需添加的一个条件是 .
12．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是 .
13．（2025八上·柯桥期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，则的面积为 ．
14．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ．
三、解答题
15．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ACDB中， ，连结AD， 若BD=CD.求证：
16．（2025八上·舟山期中） 如图， 在△ABC中， BD=CD， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点 F， 若BE=CF.求证：AB=AC.
请你补全下述证明过程中的条件或依据：
证： ∵DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(③)
∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ④).
17．（2025八上·温州期中）如图， AD平分∠CAE， DE⊥AE， DF⊥AC， 垂足分别为E， F，点B在线段AE上， 且BE=CF.
（1） 求证： BD=CD；
（2） 若AC=10， AB=6， 求BE的长.
18．（2024八上·萧山期中）如图
[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°且∠B=90°。求证：DB=DC.
[探究]：如图2，AD平分，求证：.
[应用]：如图3，四边形ABDC中，，求的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中
∴△ABD≌△CDB（HL）
故答案为：D.
【分析】根据题意得Rt△ABD和Rt△CDB，结合 AD=BC ，BD=BD利用“HL”证明三角形全等.
2．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC与Rt△BAD中，
AB=AB，
若根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
则还需要找出一组对应的直角边，
即AD=BC或AC=BD，
故A、B、C选项不符合题意；D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据已知公共边为AB，根据斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，故只要找到对应的直角边AD=BC或AC=BD，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
5．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF，
∴还需要斜边对应相等，即AC=BE，才可以根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF.
故答案为：B.
【分析】利用HL证明两个三角形全等需要一组直角边和斜边对应相等，结合题目已知条件即可判断还需要的条件.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B'作B'H⊥AC，B'G⊥BC，连接BB'，如图所示：
∵∠BAD=30°，AB=AB'，
∴∠BAB'=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BB'=AB'，
∵CB'为∠ACB的平分线，B'H⊥AC，B'G⊥BC，
∴B'G=B'H，
∴Rt△BB'G≌Rt△AB'H
∴∠B'BG=∠B'AH，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABB'+∠B'BG+∠BAB'+∠B'AH+∠ACB=180°，
∴60°+∠B'BG+60°+∠B'AH+2α=180°，
∴2∠B'BG=60°-2α，
∴∠B'BG=30°-α，
∴∠ABC=60°+30°-α=90°-α，
由折叠可知：∠AB'D=∠ABC=90°-α，
故选：A.
【分析】过点B'作B'H⊥AC，B'G⊥BC，连接BB'，先证明△ABB'为等边三角形，再结合角平分线的性质推出Rt△BB'G≌Rt△AB'H，得出∠B'BG=∠B'AH，再根据三角形内角和得出∠B'BG=30°-α，进而得出∠ABC的度数，最后根据折叠的性质即可得出∠AB'D的度数.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接CD， BD，
∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°， ∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
∴ Rt△CDF ≌ Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11， AC=5，
故答案为：C .
【分析】连接CD， BD， 根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，证得 则可得BE=CF，继而求得答案.
9．【答案】AC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ AC⊥BC，AD⊥BD ，
∴∠C=∠D=90°，
又据图知：AB=AB，
∴可以添加AC=BD或者AD=BC用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，
故答案为：AC=BD或AD=BC.
【分析】结合题意和图形隐藏的条件，添加一组直角边相等即可利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD.
10．【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
11．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
①，
在和中，
，
∴，
②，
和中，
，
∴，
综上所述：还需添加的一个条件是或，
故答案为：或．
【分析】本题利用“”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解．
12．【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
13．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H，如下图所示：
∵∠B=90°，
∴BD⊥AB，
又∵BD平分∠BAC，DH⊥AC，
∴BD=DH，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，
∴AC==13，
在Rt△ABD和Rt△AHD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AHD（HL），
∴AB=AH=5，
在Rt△CDH中，由勾股定理可得：CD2=DH2+CH2，
∴（BC-BD）2=BD2+（AC-AH2），
即（12-BD）2=BD2+（13-52），
解得：BD=，
∴DH=，
∴S△ADC=AC·DH=，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据角平分线的性质可得BD=DH，由勾股定理可得AC=13，根据HL可证得Rt△ABD≌Rt△AHD，可得出AB=AH=5，再由勾股定理得出CD2=DH2+CH2，进而得出（12-BD）2=BD2+（13-52），求得BD的长，即DH的长，最后利用三角形的面积公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则，
∵平分，，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
中，
∴，
故答案为：72 ．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则，则长可得，再借助AE的长可得EG的长，再由平行线的性质结合角平分线的概念可证DF是直角三角形斜边AE上的中线，则EF、FG可依次求得，再利用勾股定理求出DG的长，再在中应用等面积法可求得CF与CD的比，则其平方比可得，再利用勾股定理即可求得CD2．
15．【答案】证明：∵∠ABD=∠ACD=90°
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理，由∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD，以及公共边AD=AD利用斜边直角边(HL)定理来证明.
16．【答案】解：①BE②CF③HL ④等角对等边
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】 先根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF得到∠B=∠C，再由等角对等边即可得出答案.
17．【答案】（1）证明： 因为DE⊥AE， DF⊥AC，
所以
因为AD平分∠CAE，
所以DE=DF
因为BE=CF，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
所以BD=CD.
（2）解：由(1)小题， 易证BE=CF，AE=AF
所以AB+BE=AC-CF
因为AC=10， AB=6
所以2BE=AC-AB=4
所以BE=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，进而即可得到结论；
(2)由(1)可知BE=CF，AE=AF，再根据线段的和差即可求解.
18．【答案】解：（1）证明：∵ ∠B+∠C=180°且∠B=90° ，
∴∠C=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵∠C=∠B=90°，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（AAS），
∴BD=CD；
（2）证明：在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵AC=AE，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴DE=CD，∠C=∠AED，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=BD，
∴CD=BD；
（3）如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，
∴∠DEB=∠DEA=∠AFD=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BE2+DE2=BD2，
∴BE=DE=1，
∵∠ACD=135°，
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
在△CFD与△BED中，
∵∠CFD=∠DEB=90°，∠FCD=∠B=45°，CD=BD，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE=1，DF=DE，
在Rt△AFD与Rt△AED中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE，
∴AC=AF-1=AE-1，
∴AB-AC=AB-AE+1=BE+1=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由已知易得∠C=∠B=90°，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由AAS判断出△ACD≌△ABD，根据全等三角形的对应边相等得BD=CD；
（2）在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由SAS判断出△ACD≌△ABD，由全等三角形的性质得DE=CD，∠C=∠AED，由等角的补角相等得∠DEB=∠B，由等角对等边得DE=BD，从而可得结论；
（3）连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，易得△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE=DE=1，用AAS判断出△CFD≌△BED，根据全等三角形的对应边相等得CF=BE=1，DF=DE，再由HL判断出Rt△AFD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得AF=AE，则AC=AF-1=AE-1，进而即可求出AB-AC的值.
1 / 1直角三角形HL全等判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1． 如图所示，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD=BC，判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是( )
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中
∴△ABD≌△CDB（HL）
故答案为：D.
【分析】根据题意得Rt△ABD和Rt△CDB，结合 AD=BC ，BD=BD利用“HL”证明三角形全等.
2．（2024八上·杭州月考）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC与Rt△BAD中，
AB=AB，
若根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
则还需要找出一组对应的直角边，
即AD=BC或AC=BD，
故A、B、C选项不符合题意；D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据已知公共边为AB，根据斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，故只要找到对应的直角边AD=BC或AC=BD，即可求解.
3．（2022八上·杭州期中）如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：因为
所以
∴，均为直角三角形，
根据已知条件知道已经有一条直角边，
则还需要补充斜边相等即可，
即需要：，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据“”证明≌，知道H指的直角边，L为斜边，即可选出答案.
4．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
5．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．下列结论中，不正确的是（ ）
A．DA平分∠EDF
B．AE=AF
C．AD上任一点P到AB，AC的距离相等
D．AB，AC上的点到AD的距离相等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）.
∴∠ADE=∠ADF，即DA平分∠EDF． 故A正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF． 故B正确；
∵AD是△ABC的角平分线，∴AD上任一点P到AB，AC的距离相等．故C正确.
因为要选择不正确的，A、B、C均正确，故D错误.
故答案为：D.
【分析】（1）利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，再利用全等三角形的性质得出∠ADE=∠ADF，从而有DA平分∠EDF成立；
（2）利用（1）中证得的全等三角形，根据全等三角形的性质推得AE=AF；
（3）根据角平分线的性质说明 ；（4）角两边上任意一点到角平分线的距离不一定相等.
6．（2023八上·杭州期中）如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD＝EF．要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件（ ）
A．∠A＝∠B B．AC＝BE C．AD＝BE D．AD＝BF
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF，
∴还需要斜边对应相等，即AC=BE，才可以根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF.
故答案为：B.
【分析】利用HL证明两个三角形全等需要一组直角边和斜边对应相等，结合题目已知条件即可判断还需要的条件.
7．（2025八上·温州期中） 如图， 在△ABC中， ∠BAD=30°， 将△ABD沿AD折叠至△ADB'，∠ACB=2α， 连结B'C，B'C平分∠ACB， 则∠AB'D的度数是 ( )
A．90°-α B．60°+α C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点B'作B'H⊥AC，B'G⊥BC，连接BB'，如图所示：
∵∠BAD=30°，AB=AB'，
∴∠BAB'=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴BB'=AB'，
∵CB'为∠ACB的平分线，B'H⊥AC，B'G⊥BC，
∴B'G=B'H，
∴Rt△BB'G≌Rt△AB'H
∴∠B'BG=∠B'AH，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABB'+∠B'BG+∠BAB'+∠B'AH+∠ACB=180°，
∴60°+∠B'BG+60°+∠B'AH+2α=180°，
∴2∠B'BG=60°-2α，
∴∠B'BG=30°-α，
∴∠ABC=60°+30°-α=90°-α，
由折叠可知：∠AB'D=∠ABC=90°-α，
故选：A.
【分析】过点B'作B'H⊥AC，B'G⊥BC，连接BB'，先证明△ABB'为等边三角形，再结合角平分线的性质推出Rt△BB'G≌Rt△AB'H，得出∠B'BG=∠B'AH，再根据三角形内角和得出∠B'BG=30°-α，进而得出∠ABC的度数，最后根据折叠的性质即可得出∠AB'D的度数.
8．（2025八上·南湖期中）如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，L 垂足分别为E、F，AB=11，AC=5， 则 BE的长 ( )
A．1.5 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接CD， BD，
∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC，
∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°， ∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
∴ Rt△CDF ≌ Rt△BDE(HL)，
∴BE=CF，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∵AB=11， AC=5，
故答案为：C .
【分析】连接CD， BD， 根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，证得 则可得BE=CF，继而求得答案.
二、填空题
9． 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C，D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则需添加的条件是 .(写一种即可)
【答案】AC=BD
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵ AC⊥BC，AD⊥BD ，
∴∠C=∠D=90°，
又据图知：AB=AB，
∴可以添加AC=BD或者AD=BC用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，
故答案为：AC=BD或AD=BC.
【分析】结合题意和图形隐藏的条件，添加一组直角边相等即可利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD.
10．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
11．（2025八上·瑞安期中） 如图， AB⊥BC， AD⊥DC， 要根据“HL”判定△ABC≌△ADC， 还需添加的一个条件是 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
①，
在和中，
，
∴，
②，
和中，
，
∴，
综上所述：还需添加的一个条件是或，
故答案为：或．
【分析】本题利用“”再寻找直角边相等即可判断直角三角形全等，然后即可求解．
12．（2025八上·瑞安期中） 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB 的平分线，点E在边AC上，DE=DB.若， BC=4， 则△ABC的周长是 .
【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵AD是∠CAB的平分线，
∴CD=FD，∠C=∠AFD∠DFB=90°，
在Rt△ACD和Rt△AFD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AFD（HL），
∴AC=AF，
在Rt△ECD和Rt△BFD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），
∴CE=BF，
∵，
即，
∴，
设CE=a，则AE=3a，AC=AE+CE=4a，
∴AF=4a，BF=a，
∴AB=AF+BF=5a，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC==3a，
∵BC=4，
∴3a=4，
∴C△ABC=AC+AB+BC=9a+4=16，
故答案为： 16.
【分析】根据角平分线的性质可得CD=DF，易证Rt△ACD≌Rt△AFD（HL）和Rt△ECD≌Rt△BFD（HL），再根据求得，设，BF=a，CE=a，则AE=3a，AC=AF=4a，AB=5a，然后由勾股定理求得BC=3a=4，即可求得△ABC的周长.
13．（2025八上·柯桥期末）如图，在中，，的平分线交于点，若，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AC于点H，如下图所示：
∵∠B=90°，
∴BD⊥AB，
又∵BD平分∠BAC，DH⊥AC，
∴BD=DH，
在Rt△ABC中，AB=5，BC=12，
∴AC==13，
在Rt△ABD和Rt△AHD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AHD（HL），
∴AB=AH=5，
在Rt△CDH中，由勾股定理可得：CD2=DH2+CH2，
∴（BC-BD）2=BD2+（AC-AH2），
即（12-BD）2=BD2+（13-52），
解得：BD=，
∴DH=，
∴S△ADC=AC·DH=，
故答案为：．
【分析】过点作于，根据角平分线的性质可得BD=DH，由勾股定理可得AC=13，根据HL可证得Rt△ABD≌Rt△AHD，可得出AB=AH=5，再由勾股定理得出CD2=DH2+CH2，进而得出（12-BD）2=BD2+（13-52），求得BD的长，即DH的长，最后利用三角形的面积公式即可求解.
14．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，则，
∵平分，，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
中，
∴，
故答案为：72 ．
【分析】
由于角平分线上的点到角两边距离相等，因此可过点作于点，则，则长可得，再借助AE的长可得EG的长，再由平行线的性质结合角平分线的概念可证DF是直角三角形斜边AE上的中线，则EF、FG可依次求得，再利用勾股定理求出DG的长，再在中应用等面积法可求得CF与CD的比，则其平方比可得，再利用勾股定理即可求得CD2．
三、解答题
15．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ACDB中， ，连结AD， 若BD=CD.求证：
【答案】证明：∵∠ABD=∠ACD=90°
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理，由∠ABD=∠ACD=90°，BD=CD，以及公共边AD=AD利用斜边直角边(HL)定理来证明.
16．（2025八上·舟山期中） 如图， 在△ABC中， BD=CD， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点 F， 若BE=CF.求证：AB=AC.
请你补全下述证明过程中的条件或依据：
证： ∵DE⊥AB， DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(③)
∴∠B=∠C.
∴AB=AC( ④).
【答案】解：①BE②CF③HL ④等角对等边
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】 先根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DCF得到∠B=∠C，再由等角对等边即可得出答案.
17．（2025八上·温州期中）如图， AD平分∠CAE， DE⊥AE， DF⊥AC， 垂足分别为E， F，点B在线段AE上， 且BE=CF.
（1） 求证： BD=CD；
（2） 若AC=10， AB=6， 求BE的长.
【答案】（1）证明： 因为DE⊥AE， DF⊥AC，
所以
因为AD平分∠CAE，
所以DE=DF
因为BE=CF，
所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
所以BD=CD.
（2）解：由(1)小题， 易证BE=CF，AE=AF
所以AB+BE=AC-CF
因为AC=10， AB=6
所以2BE=AC-AB=4
所以BE=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，进而即可得到结论；
(2)由(1)可知BE=CF，AE=AF，再根据线段的和差即可求解.
18．（2024八上·萧山期中）如图
[感知]：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°且∠B=90°。求证：DB=DC.
[探究]：如图2，AD平分，求证：.
[应用]：如图3，四边形ABDC中，，求的值。
【答案】解：（1）证明：∵ ∠B+∠C=180°且∠B=90° ，
∴∠C=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵∠C=∠B=90°，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（AAS），
∴BD=CD；
（2）证明：在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
在△ACD与△ABD中，
∵AC=AE，∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴△ACD≌△ABD（SAS），
∴DE=CD，∠C=∠AED，
∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，
∴∠DEB=∠B，
∴DE=BD，
∴CD=BD；
（3）如图，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，
∴∠DEB=∠DEA=∠AFD=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BE2+DE2=BD2，
∴BE=DE=1，
∵∠ACD=135°，
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
在△CFD与△BED中，
∵∠CFD=∠DEB=90°，∠FCD=∠B=45°，CD=BD，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE=1，DF=DE，
在Rt△AFD与Rt△AED中，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），
∴AF=AE，
∴AC=AF-1=AE-1，
∴AB-AC=AB-AE+1=BE+1=2.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由已知易得∠C=∠B=90°，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由AAS判断出△ACD≌△ABD，根据全等三角形的对应边相等得BD=CD；
（2）在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，由角平分线定义得∠CAD=∠BAD，从而由SAS判断出△ACD≌△ABD，由全等三角形的性质得DE=CD，∠C=∠AED，由等角的补角相等得∠DEB=∠B，由等角对等边得DE=BD，从而可得结论；
（3）连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC的延长线于点F，易得△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理可求出BE=DE=1，用AAS判断出△CFD≌△BED，根据全等三角形的对应边相等得CF=BE=1，DF=DE，再由HL判断出Rt△AFD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等得AF=AE，则AC=AF-1=AE-1，进而即可求出AB-AC的值.
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