角平分线的判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
2．（2024八上·海曙期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线交点
【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD＝PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的判定定理解题即可．
3．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
4．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
5．（2025八上·上城期中）小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．角平分线把角分成相等的两部分
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，
又，
平分(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
故答案为：A．
【分析】过点作于点，于点，利用角平分线的判定定理即可得出答案.．
6．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
7．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】
① 先由可证，则，又由、可得，再利用对顶角相等可根据证明；
② 由垂直的定义可得，则由四边形的内角和得，再由邻补角的概念可得，等量代换可得；
③ 连接，由得，又由①知，则，又由得，则，则可利用SSS证明，由全等三角形的性质得出；
④ 由知，则当时必然有，则由等底同高知．
8．（2024八上·杭州期中）如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图设AC交BE于点O．
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+ ∠ CAE，即∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确；
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确；
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正确；
在DF上取一点K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等边三角形，
易证△DAK≌△BAF，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：C．
【分析】由等边三角形性质得 AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， 根据角的构成及等式性质推出∠DAC=∠BAE，从而利用“SAS”判断出△ADC≌△ABE，由全等三角形对应边相等、对应角相等可得 CD=BE，∠AEO=∠OCN， 从而可判断①；进而结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠OAE=∠OFC=60°，根据邻补角可判断③； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， 根据全等三角形对应边上的高线相等可得AM=AN，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可判断②；在DF上取一点K，使得FK=FA，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AKF是等边三角形，从而可用“SAS”证△DAK≌△BAF，由全等三角形的对应边相等得DK=BF，从而可判断④.
二、填空题
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
10．（2020八上·余姚期末）在正方形网格中， 的位置如图所示，点 ， ， ， 是四个格点，则这四个格点中到 两边距离相等的点是 点.
【答案】M
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点M在 的平分线上
∴点M到 两边距离相等
故答案为：M.
【分析】到 两边距离相等的点在 的平分线上，由此可确定答案.
11．（2024八上·海曙期末）下列命题：①若a2＝b，则a＝；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有 ．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①a2＝b，则的逆命题是：若，则a2＝b，是真命题；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是：到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
③全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，是假命题.
④等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：①②④.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可.
12．（2023八上·义乌月考）如图，已知CE平分∠ACD，OE平分∠AOB，EF⊥OA，下面四个结论：①DE平分∠CDB；②∠OED＝∠OCD；③∠CED＝90°+∠AOB；④S△CEF+S△DEG＝S△CDE其中正确的是 .（填序号）
【答案】①④
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①如图，过E作EH⊥CD于H，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，
∴EF=EH，
∵OE平分∠AOB，EG⊥OD，
∴EF=EG=EH，
∴DE平分∠CDB，故①正确；
②∵∠BDE=，∠DOE=，
∴∠OED=∠BDE-∠DOE==≠∠OCD，
故②不正确；
③∵∠ECD=∠ACD=（180°-∠OCD），∠EDC=∠GDC=（180°-∠ODC），
∴∠CED=180°-∠ECD-∠EDC=（∠OCD+∠ODC）=（180°-∠AOB）
=90°-∠AOB≠90°+∠AOB，故③不正确；
④由题意得：∠CFE=∠CHE=∠EHD=∠EGD=90°，
在Rt△CEF和Rt△CEH中
∴Rt△CEF≌Rt△CEH（HL）
∴S△CEF=S△CEH，
同理可得S△DEG=S△DEH，
∴S△CEF+S△DEG=S△CEH+S△DEH=S△CDE，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】①如图，过E作EH⊥CD于H，根据角平分线的性质并结合已知条件易证EG=EH，然后根据角平分线的判定可得DE平分∠CDB；
②由角平分线定义和角的构成可得∠OED=∠OCD≠∠OCD；
③同理可得∠CED=90°-∠AOB≠90°+∠AOB；
④由题意用HL定理易证Rt△CEF≌Rt△CEH，根据三角形面积的构成可得S△CEF+S△DEG=S△CEH+S△DEH=S△CDE.
13．（2018八上·丽水期中）如图， 于 ， 于 ，若 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ 中 正确的是 .
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，①正确；
∴AD平分∠BAC，②正确；
∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF，①正确；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC，②正确；根据直角三角形的斜边最大得出AE＞AD，③不正确；很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换，由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确，综上所述即可得出答案。
14．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 ．
【答案】10°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，
∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE= ∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。
三、解答题
15．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=CB， ∠ABC=90°， F为AB延长线上一点， 点E在BC.上，且BE=BF.
（1） 若∠ACF=60°， 求∠CAE的度数；
（2） 若BE=1， CE= ，求证： AE平分∠CAB.
【答案】（1）解：∵AB=CB， ∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠FCA-∠ACB=60°-45°=15°，
∵BE=BF， ∠ABE=∠CBF， AB=CB，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FCB=15°，
∴∠CAE=30°
（2）证明：过点E作 EG⊥AC 交AC 于点 G，
则∠CEG=180°-∠CGE-∠ECG=45°，
∴∠CEG=∠GCE，
∴设CG=EG=x，
则在Rt△CEG中， ，
∵x>0， ∴x=1，
∴EG=BG=1，
∴AE 平分∠CAB
【知识点】勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（2）过点作交于点，由题意可得，设，然后根据勾股定理可得，进而根据角平分线的判定定理进行证明．
16．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
17．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可；
（）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．（2023八上·金华月考）在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）解 ： ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，如图所示，
在四边形ONHM中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
连接OD，如图所示，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先根据垂线的性质证∠OAP=∠OBC，根据ASA证，根据全等三角形的性质即可求OP的长；
(2)作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，根据AAS证，得出OM=ON，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
(3)连接OD，根据等腰直角三角形的性质准备条件，根据ASA证，得三角形ODM和ADN的面积相等，再根据三角形面积公式求解．
1 / 1角平分线的判定—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
2．（2024八上·海曙期末）如图，点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条中线交点
3．如图，OC是内部的一条射线，是射线OC上任意一点，.下列条件：①；②；③；④，其中，能判定OC是的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023八上·台州期中）如图，在中，过点B作的角平分线的垂线，垂足为F，交于点G，若，则线段的长为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
5．（2025八上·上城期中）小红同学在学习了全等三角形相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小红说：“射线就是的平分线”．她这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．角平分线把角分成相等的两部分
6．（2025八上·滨江期末）如图，在中，，分别平分和，，相交于点P，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．与的面积比等于边与之比
C．
D．若，则
7．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
8．（2024八上·杭州期中）如图，和都是等边三角形，下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．1
二、填空题
9．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线OP就是的平分线.”小明的做法，其理论依据是 .
10．（2020八上·余姚期末）在正方形网格中， 的位置如图所示，点 ， ， ， 是四个格点，则这四个格点中到 两边距离相等的点是 点.
11．（2024八上·海曙期末）下列命题：①若a2＝b，则a＝；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③全等三角形的周长相等；④等边三角形的三个内角相等．它们的逆命题是真命题的有 ．
12．（2023八上·义乌月考）如图，已知CE平分∠ACD，OE平分∠AOB，EF⊥OA，下面四个结论：①DE平分∠CDB；②∠OED＝∠OCD；③∠CED＝90°+∠AOB；④S△CEF+S△DEG＝S△CDE其中正确的是 .（填序号）
13．（2018八上·丽水期中）如图， 于 ， 于 ，若 ，则下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④ 中 正确的是 .
14．（2018-2019学年数学浙教版八年级上册 第一章 三角形的初步知识 单元测试卷 ）在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 ．
三、解答题
15．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=CB， ∠ABC=90°， F为AB延长线上一点， 点E在BC.上，且BE=BF.
（1） 若∠ACF=60°， 求∠CAE的度数；
（2） 若BE=1， CE= ，求证： AE平分∠CAB.
16．（2025八上·余姚期末）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接．
（1）求证：平分．
（2）求证：平分．
（3）若，，，，求的面积．
17．（2025八上·淳安期末）如图，在中，，于点，，点在上，．
（1）求证：平分；
（2）求证：．
18．（2023八上·金华月考）在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：P到三条距离相等，即PD＝PE＝PF，
连接PA、PB、PC，
∵PD＝PE，
∴PB是∠ABC的角平分线，
同理PA、PC分别是∠BAC，∠ACB的角平分线，
故P是△ABC角平分线交点，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的判定定理解题即可．
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，①符合题意；
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD= PE，
∴OC是∠AOB的角平分线，②符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中
∵OD=OE，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，③符合题意；
在Rt△POD与Rt△POE中，
∵∠DPO=∠EPO，∠ODP=∠OEP=90°，OP=OP，
∴Rt△POD≌Rt△POE（AAS）
∴∠AOC=∠BOC，
∴OC是∠AOB的角平分线，④符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，分别进行判定即可.
4．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：延长BF交AC于点E.
∵AD是∠BAC的平分线
∴∠1=∠2
∵BFAD于点F
∴∠AFB=∠AFE=90°
∵AF=AF
∴ABFAEF（ASA）
∴AE=AB=4
∵FGAB
∵∠1=∠3
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3
∴AG=FG
∵∠2+∠5=∠3+∠4
∴∠4=∠5
∴在△GFE中，FG=GE
∴FG=AE=×4=2
故答案为：B.
【分析】做本题时，首先，延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得出∠1=∠2，其次，按照全等三角形的性质得出：AE=AB=4，再次，根据平行线的性质得出：∠1=∠3，推算出：∠2=∠3，AG=FG，从而推算出∠4=∠5，最后推导出：FG=AE=2
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点作于点，于点，
又，
平分(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．
故答案为：A．
【分析】过点作于点，于点，利用角平分线的判定定理即可得出答案.．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点P作于点M，作于点N，作于点H，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，
∴．故选项A的结论一定成立；
．故选项B的结论一定成立；
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．故选项D的结论一定成立．
根据题意无法证明选项C的结论一定成立．
故答案为：C.
【分析】过点P作于点M，作于点N，作于点H，利用角平分线的性质及判定判断A选项；利用三角形的面积公式判断B选项，利用三角形的内角和定理判断D选项解题即可．
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故选：D．
【分析】
① 先由可证，则，又由、可得，再利用对顶角相等可根据证明；
② 由垂直的定义可得，则由四边形的内角和得，再由邻补角的概念可得，等量代换可得；
③ 连接，由得，又由①知，则，又由得，则，则可利用SSS证明，由全等三角形的性质得出；
④ 由知，则当时必然有，则由等底同高知．
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图设AC交BE于点O．
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+ ∠ CAE，即∠DAC=∠BAE
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD=BE，∠AEO=∠OCN，故①正确；
作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∵△ADC≌△ABE，
∴AM=AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确；
∵∠AOE=∠COF，
∴∠OAE=∠OFC=60°，
∴∠BFC=120°，故③正确；
在DF上取一点K，使得FK=FA，
∵∠AFK=∠AFN=60°，
∴△AKF是等边三角形，
易证△DAK≌△BAF，
∴DK=BF，
∴DF=DK+KF=FA+FB，故④正确，
综上，正确的有①②③④，共4个.
故答案为：C．
【分析】由等边三角形性质得 AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°， 根据角的构成及等式性质推出∠DAC=∠BAE，从而利用“SAS”判断出△ADC≌△ABE，由全等三角形对应边相等、对应角相等可得 CD=BE，∠AEO=∠OCN， 从而可判断①；进而结合对顶角相等及三角形内角和定理推出∠OAE=∠OFC=60°，根据邻补角可判断③； 作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N， 根据全等三角形对应边上的高线相等可得AM=AN，然后根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可判断②；在DF上取一点K，使得FK=FA，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AKF是等边三角形，从而可用“SAS”证△DAK≌△BAF，由全等三角形的对应边相等得DK=BF，从而可判断④.
9．【答案】角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平分线.
故答案为：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
【分析】根据角平分线的判断定理即可证明.
10．【答案】M
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵点M在 的平分线上
∴点M到 两边距离相等
故答案为：M.
【分析】到 两边距离相等的点在 的平分线上，由此可确定答案.
11．【答案】①②④
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；角平分线的判定；真命题与假命题；逆命题；平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：①a2＝b，则的逆命题是：若，则a2＝b，是真命题；
②角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是：到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是真命题；
③全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形是全等三角形，是假命题.
④等边三角形的三个内角相等的逆命题是：三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题.
故答案为：①②④.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可.
12．【答案】①④
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①如图，过E作EH⊥CD于H，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，
∴EF=EH，
∵OE平分∠AOB，EG⊥OD，
∴EF=EG=EH，
∴DE平分∠CDB，故①正确；
②∵∠BDE=，∠DOE=，
∴∠OED=∠BDE-∠DOE==≠∠OCD，
故②不正确；
③∵∠ECD=∠ACD=（180°-∠OCD），∠EDC=∠GDC=（180°-∠ODC），
∴∠CED=180°-∠ECD-∠EDC=（∠OCD+∠ODC）=（180°-∠AOB）
=90°-∠AOB≠90°+∠AOB，故③不正确；
④由题意得：∠CFE=∠CHE=∠EHD=∠EGD=90°，
在Rt△CEF和Rt△CEH中
∴Rt△CEF≌Rt△CEH（HL）
∴S△CEF=S△CEH，
同理可得S△DEG=S△DEH，
∴S△CEF+S△DEG=S△CEH+S△DEH=S△CDE，故④正确.
故答案为：①④.
【分析】①如图，过E作EH⊥CD于H，根据角平分线的性质并结合已知条件易证EG=EH，然后根据角平分线的判定可得DE平分∠CDB；
②由角平分线定义和角的构成可得∠OED=∠OCD≠∠OCD；
③同理可得∠CED=90°-∠AOB≠90°+∠AOB；
④由题意用HL定理易证Rt△CEF≌Rt△CEH，根据三角形面积的构成可得S△CEF+S△DEG=S△CEH+S△DEH=S△CDE.
13．【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE=DF，①正确；
∴AD平分∠BAC，②正确；
∵在Rt△ADE中，AE是斜边， ∴AE＞AD，③不正确；
∵Rt△ADE≌Rt△ADF， ∴AE=AF， ∴AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确；
正确的是①②④.
【分析】首先根据HL判断出Rt△BDE≌Rt△CDF，根据全等三角形的对应边相等得出DE=DF，①正确；根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上判断出AD平分∠BAC，②正确；根据直角三角形的斜边最大得出AE＞AD，③不正确；很容易判断出Rt△ADE≌Rt△ADF，根据全等三角形的对应边相等得出AE=AF进而根据线段的和差及等量代换，由AB+AC=AB+AF+CF=AB+AE+BE=2AE，④正确，综上所述即可得出答案。
14．【答案】10°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°，
∴∠DBA=80°，
∠PBA=80°，
∴∠DBA=∠PBA，
∴BA是△CBD的外角平分线，
如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，
∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB，
∴EF=EH，
同理，EG=EH，
∴EF=EG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BD，
∴DE平分∠BDA，
∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB，
∴∠ADB=40°，∠DCE=10°，
∴∠ADE= ∠ADB=20°，
∴∠CED=∠ADE﹣∠DCE=10°．
故答案为：10°．
【分析】根据角的和差算出∠DBA的度数，根据平角的定义得出∠PBA的度数，从而得出BA是△CBD的外角平分线，如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出EF=EH，EG=EH，故EF=EG，根据角平分线的判定定理即可得出DE平分∠BDA，根据三角形的外角定理得出∠ADB=40°根据角平分线的定义得出∠DCE=10°，∠ADE=20°，最后根据三角形的外角定理，由∠CED=∠ADE﹣∠DCE算出答案。
15．【答案】（1）解：∵AB=CB， ∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠FCA-∠ACB=60°-45°=15°，
∵BE=BF， ∠ABE=∠CBF， AB=CB，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FCB=15°，
∴∠CAE=30°
（2）证明：过点E作 EG⊥AC 交AC 于点 G，
则∠CEG=180°-∠CGE-∠ECG=45°，
∴∠CEG=∠GCE，
∴设CG=EG=x，
则在Rt△CEG中， ，
∵x>0， ∴x=1，
∴EG=BG=1，
∴AE 平分∠CAB
【知识点】勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（2）过点作交于点，由题意可得，设，然后根据勾股定理可得，进而根据角平分线的判定定理进行证明．
16．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）由邻补角定义得∠FAD=80°，由直角三角形的两个锐角互余得∠FAE=40°，由角的和差关系得∠DAE=∠FAE=40°，从而根据角平分线定义可得结论；
（2）过点E作于点G，于点H，由角平分线的上的点到角两边的距离相等可得EF=EG，EF=EH，则EG=EH，然后由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上即可得出结论；
（3）设EG=x，则EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，从而得到EF的长，然后利用三角形的面积公式列式计算可得△ABE的面积.
（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）证明：如图，过点作于点，于点，
由（1）可得：是的平分线，
，
是的平分线，
，
，
点在的平分线上，
平分；
（3）解：设，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
17．【答案】（1）证明：∵，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（）根据，，可以得到，然后利用AAS得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可；
（）先得到，即可得到，进而得到，再得到，解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解 ： ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，如图所示，
在四边形ONHM中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
连接OD，如图所示，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先根据垂线的性质证∠OAP=∠OBC，根据ASA证，根据全等三角形的性质即可求OP的长；
(2)作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，根据AAS证，得出OM=ON，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
(3)连接OD，根据等腰直角三角形的性质准备条件，根据ASA证，得三角形ODM和ADN的面积相等，再根据三角形面积公式求解．
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