专题（一线三等角全等）—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·杭州月考）如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为9和25，则b的面积为（ ）
A．16 B．17 C．32 D．34
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：AC=CD，∠C=∠ABC=∠CED=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠ACB=∠CDE，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE，
又AB2=Sa=9，DE2=Sc=25，
∴BC2=DE2=25，
∴Sb=AC2=AB2+BC2=9+25=34，
故答案为：D.
【分析】根据“一线三直角”模型证明△ABC≌△CED(AAS)，得AB=CE，BC=DE，再根据勾股定理知b的面积为a、b面积和.
2．（2025八上·鄞州期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．13
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】如图，过点A作直线b的垂线分别交a、b于点M、N，则AM＝2、AN＝3、MN＝5.
故正确答案为：B.
【分析】由于是等腰直角三角形且BA＝CA，则可过点A作直线b的垂线分别交a、b于点M、N，再利用一线三垂直全等模型可证明，再由全等三角形的对应边相等可得CN＝AM＝2、BM＝AN＝3，再由勾股定理求出AB2，再利用三角形的面积公式计算即可.
3．（2025八上·玉环期中）如图，在Rt△ABC中，以斜边AB为边向外作正方形，连接CD，若 则BC的长等于( )
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AC， 交CA的延长线于E，
∵四边形ABFD是正方形，
∴AD= AB， ∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC = 90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在Rt△ACB与Rt△DEA中，
∴△ACB≌△DEA(AAS)，
∴DE = AC = 2， BC = AE，
设BC=x，
在Rt△DEC中，
即
∴x=1， x=-5(舍去)，
∴BC=1，
故答案为：D .
【分析】过D作DE⊥AC，交CA的延长线于E，根据正方形的性质得出AD=AB， ∠DAB=90°， 利用AAS证明Rt△ACB与Rt△DEA全等， 进而解答即可.
4．（2024八上·义乌月考）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
5．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
二、填空题
6．（2025八上·永康期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时；顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为
【答案】24cm
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：∠CDB=∠AEC=90°，∠ACB=90°，BD=4cm，AE=20cm，
∠BCD+∠CBD=∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CBD=∠ACE，
又BC=AC，
∴△CDB≌△AEC（AAS），
∴CE=BD=4cm，CD=AE=20cm，
∴DE=CD+CE=24cm，
故答案为：24cm .
【分析】根据一线三直角模型证明△CDB≌△AEC（AAS），得CE=BD=4cm，CD=AE=20cm，从而知DE的长.
7．（2025八上·海曙期中） 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， CD与AB相交于点E， AD⊥CE交CE延长线于点D， ∠ACD=∠BAD， AD=5， 则CE的长为 .
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，如图所示：
∵AD⊥CE，
∴∠BGE =∠BGC =∠D = 90°，
∴在△ADE和△BGE中， ∠ADE =∠BGE， ∠AED=∠BEG，
∴∠BAD=∠EBG，
∵∠ACD=∠BAD，
∴∠ACD =∠EBG(等量代换)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCG=90°，
∵∠EBG+∠BEG=90°，
∴∠BCG=∠BEG，
∴△BCE为等腰三角形，
∴∠ACD=∠CBG，
在△ADC和△CGB中，
∴△ADC≌△CGB(AAS)，
∵AD=5，
∴CG = AD = 5(全等三角形对应边相等)，
∴CE=2CG=2×5=10， 则CE的长为10，
故答案为：10.
【分析】过点B作BG⊥CD于点G，利用角的等量代换证出△BCE为等腰三角形，得到 再判定出△ADC ≌△CGB， 即可求解.
8．（2025八上·金华月考）如图，小张同学拿着等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，若每个长方体教具高度均为6cm，∠ACB=90°，AC=BC，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm.
【答案】42
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD，
∵一块长方体教具的厚度为6cm，
∴AD=24cm，BE=18cm，
∴两摞长方体教具之间的距离DE的长=24+18=42(cm).
故答案为：42.
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答.
9．（2025八上·宁波期中）如图，中，，直线分别通过三点，且的距离为的距离为，则的面积为 ．
【答案】26
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】过点B作. 交 于E，交l3于F， 如图，
，
∴∠ABE+∠EAB=90°，
∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE =CF=4， AE= BF =6，在Rt△ABE中，
故答案为：26.
【分析】先过点B作. 交 于E， 交l3于F， 由于EF⊥ 易知 ，那么∠ABE+∠EAB=90°， ∠AEB=∠BFC=90°， 而∠ABC =90°， 可得∠ABE+∠FBC =90°， 根据同角的余角相等可得∠EAB=∠FBC， 根据AAS可证△ABE≌△BCF， 于是BE=CF =4， AE=BF =6，在Rt△ABE中利用勾股定理可求 进而可求△ABC的面积.
10．（2025八上·西湖月考）如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交的延长线于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点E，直角三角形两锐角互余、平角的定义及同角的余角相等得，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，，由等量代换得，由等式性质推出，则，由等腰直角三角形性质得，然后根据三角形外角性质得，从而即可得出答案.
11．（2024八上·西湖期中）如图，在中，于于D， ．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
，
∴，
∴
∴
故答案为：2．
【分析】利用余角的性质可证得∠CAD=∠BCE，根据可以证明，利用全等三角形的性质可证，然后根据BE=CD=CE-DE，代入计算求出BE的长.
三、单选题
12．（2024八上·舟山期中）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于，过点作于，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后得的值.
13．（2025八上·盐亭期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=1，BD=5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ BD⊥AE于D，
∴∠BAD = 90°-∠ABD，∠CAE +∠DAB =∠BAC = 90°，
∴∠BAD = 90°-∠CAE，
∴∠ABD = ∠CAE，
又∵ ∠ADB = ∠CEA， AB = CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴ AD = CE，
∴DE = AE-AD = BD-CE = 5-1 = 4.
故答案为：B .
【分析】先证明△ABD≌△CAE，再结合三角形全等性质，可得DE = AE- AD = BD- CE，进而可求出DE的长.
14．（2024七下·澧县期末）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用正方形的性质，根据证明，再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
四、解答题
15．（2025八上·义乌期中）
（1）【尝试探索】如图1，中，，直线
经过点，过作于点，过作于点．求证：．
（2）【拓展提升】如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）直接利用一线三垂直全等模型证明即可；
（2）分别过点C、D作AB的垂线段CE和DF，再利用一线三垂直全等模型证明，则点C到AB的距离CE等于AF，再由等腰三角形三线合一知AF等于AB的一半即可.
16．（2025八上·温州期中）如图，在△ABC 和△DAE 中，点 E 在边AC 上， ，且 AD，AB=AD。
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若AB=13，AE=5，求 CE 的长。
【答案】（1）证明：∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠DAE=∠B。
又∵∠ACB=∠DEA，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE(AAS)
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴BC=AE=5。
∵∠ACB=90°，AB=13，
∴EC=AC-AE=12-5=7
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等，可得 再利用角角边证明，即可；
(2)根据全等三角形的性质可得.BC=AE=5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解.
17．（2025八上·婺城月考） 如图1， ∠ACB=90°， AC=BC， BE⊥CE， AD⊥CE于D，
（1） 求证： △BCE≌△CAD；
（2） 猜想： AD， DE， BE 的数量关系为 (不需证明)；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
（2）DE= AD-BE
（3）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD-CE=BE-AD．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE
【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再根据AAS定理进行证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，再利用线段之间的转化，进而可得出结论；
（3）先证明△BCE≌△CAD，利用线段的和差得出结论．
18．（2025八上·瑞安期中）学完等腰直角三角形后，小葱归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法.
题型①：斜中和三线合一的组合.已知特点：等腰直角三角形+斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线.
题型②： “K”型全等.已知特点： 如图2， AB=AC， ∠BAC=90°； 图形特征： 如图2， 解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等.
请借鉴以上方法，解决下列问题：
（1）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC=4，点D为AB中点，点E在边AC上，连结DE，作DF⊥DE交BC于点 F， 连结EF， 若CE=1， 则EF= ； DE= .
（2） 如图4， 在△ABC中， ∠ACB=90°， AB=5， 点D是BC边上一点， BD=AC=3， 连结AD， 将AD 绕点 D 逆时针旋转90°到 ED处， 连结 CE， 求CE 的长.
【答案】（1）；
（2）解：过点E作，交的延长线于点K，
由旋转的性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵在中，，点为中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，
即，
∴，
在中，，
即，
解得，
故答案为：；．
【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可．
（2）过点E作，交的延长线于点K，由旋转的性质得出，，在证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可．
1 / 1专题（一线三等角全等）—浙教版数学八年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025八上·杭州月考）如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为9和25，则b的面积为（ ）
A．16 B．17 C．32 D．34
2．（2025八上·鄞州期中）如图，三条直线互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上．已知，，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积为（ ）
A．6 B． C．10 D．13
3．（2025八上·玉环期中）如图，在Rt△ABC中，以斜边AB为边向外作正方形，连接CD，若 则BC的长等于( )
A． B． C． D．1
4．（2024八上·义乌月考）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
二、填空题
6．（2025八上·永康期中）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时；顶点B 恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本书长20cm，厚度为2cm，则两摞书之间的距离DE为
7．（2025八上·海曙期中） 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=BC， CD与AB相交于点E， AD⊥CE交CE延长线于点D， ∠ACD=∠BAD， AD=5， 则CE的长为 .
8．（2025八上·金华月考）如图，小张同学拿着等腰直角三角尺，摆放在两摞长方体教具之间，若每个长方体教具高度均为6cm，∠ACB=90°，AC=BC，则两摞长方体教具之间的距离DE的长为 cm.
9．（2025八上·宁波期中）如图，中，，直线分别通过三点，且的距离为的距离为，则的面积为 ．
10．（2025八上·西湖月考）如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
11．（2024八上·西湖期中）如图，在中，于于D， ．
三、单选题
12．（2024八上·舟山期中）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
13．（2025八上·盐亭期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=1，BD=5，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2024七下·澧县期末）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离分别是1和2，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．4 C． D．3
四、解答题
15．（2025八上·义乌期中）
（1）【尝试探索】如图1，中，，直线
经过点，过作于点，过作于点．求证：．
（2）【拓展提升】如图2，在中，是上一点，，，求点到边的距离．
16．（2025八上·温州期中）如图，在△ABC 和△DAE 中，点 E 在边AC 上， ，且 AD，AB=AD。
（1）求证：△ABC≌△DAE；
（2）若AB=13，AE=5，求 CE 的长。
17．（2025八上·婺城月考） 如图1， ∠ACB=90°， AC=BC， BE⊥CE， AD⊥CE于D，
（1） 求证： △BCE≌△CAD；
（2） 猜想： AD， DE， BE 的数量关系为 (不需证明)；
（3）当CE绕点C旋转到图2位置时，猜想线段AD，DE，BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论.
18．（2025八上·瑞安期中）学完等腰直角三角形后，小葱归纳了等腰直角三角形的两种常见题型的特征和解法.
题型①：斜中和三线合一的组合.已知特点：等腰直角三角形+斜边中点：图形特征：如图1，解题方法是连结斜边中线.
题型②： “K”型全等.已知特点： 如图2， AB=AC， ∠BAC=90°； 图形特征： 如图2， 解题方法是构造内“K”或外“K”全等，或者一内一外的“K”型全等.
请借鉴以上方法，解决下列问题：
（1）如图3，在Rt△ABC中，AC=BC=4，点D为AB中点，点E在边AC上，连结DE，作DF⊥DE交BC于点 F， 连结EF， 若CE=1， 则EF= ； DE= .
（2） 如图4， 在△ABC中， ∠ACB=90°， AB=5， 点D是BC边上一点， BD=AC=3， 连结AD， 将AD 绕点 D 逆时针旋转90°到 ED处， 连结 CE， 求CE 的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：AC=CD，∠C=∠ABC=∠CED=90°，
∴∠ACB+∠DCE=∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠ACB=∠CDE，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴AB=CE，BC=DE，
又AB2=Sa=9，DE2=Sc=25，
∴BC2=DE2=25，
∴Sb=AC2=AB2+BC2=9+25=34，
故答案为：D.
【分析】根据“一线三直角”模型证明△ABC≌△CED(AAS)，得AB=CE，BC=DE，再根据勾股定理知b的面积为a、b面积和.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】如图，过点A作直线b的垂线分别交a、b于点M、N，则AM＝2、AN＝3、MN＝5.
故正确答案为：B.
【分析】由于是等腰直角三角形且BA＝CA，则可过点A作直线b的垂线分别交a、b于点M、N，再利用一线三垂直全等模型可证明，再由全等三角形的对应边相等可得CN＝AM＝2、BM＝AN＝3，再由勾股定理求出AB2，再利用三角形的面积公式计算即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过D作DE⊥AC， 交CA的延长线于E，
∵四边形ABFD是正方形，
∴AD= AB， ∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAC = 90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
在Rt△ACB与Rt△DEA中，
∴△ACB≌△DEA(AAS)，
∴DE = AC = 2， BC = AE，
设BC=x，
在Rt△DEC中，
即
∴x=1， x=-5(舍去)，
∴BC=1，
故答案为：D .
【分析】过D作DE⊥AC，交CA的延长线于E，根据正方形的性质得出AD=AB， ∠DAB=90°， 利用AAS证明Rt△ACB与Rt△DEA全等， 进而解答即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
6．【答案】24cm
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：据题意知：∠CDB=∠AEC=90°，∠ACB=90°，BD=4cm，AE=20cm，
∠BCD+∠CBD=∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠CBD=∠ACE，
又BC=AC，
∴△CDB≌△AEC（AAS），
∴CE=BD=4cm，CD=AE=20cm，
∴DE=CD+CE=24cm，
故答案为：24cm .
【分析】根据一线三直角模型证明△CDB≌△AEC（AAS），得CE=BD=4cm，CD=AE=20cm，从而知DE的长.
7．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，如图所示：
∵AD⊥CE，
∴∠BGE =∠BGC =∠D = 90°，
∴在△ADE和△BGE中， ∠ADE =∠BGE， ∠AED=∠BEG，
∴∠BAD=∠EBG，
∵∠ACD=∠BAD，
∴∠ACD =∠EBG(等量代换)，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCG=90°，
∵∠EBG+∠BEG=90°，
∴∠BCG=∠BEG，
∴△BCE为等腰三角形，
∴∠ACD=∠CBG，
在△ADC和△CGB中，
∴△ADC≌△CGB(AAS)，
∵AD=5，
∴CG = AD = 5(全等三角形对应边相等)，
∴CE=2CG=2×5=10， 则CE的长为10，
故答案为：10.
【分析】过点B作BG⊥CD于点G，利用角的等量代换证出△BCE为等腰三角形，得到 再判定出△ADC ≌△CGB， 即可求解.
8．【答案】42
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD，
∵一块长方体教具的厚度为6cm，
∴AD=24cm，BE=18cm，
∴两摞长方体教具之间的距离DE的长=24+18=42(cm).
故答案为：42.
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答.
9．【答案】26
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】过点B作. 交 于E，交l3于F， 如图，
，
∴∠ABE+∠EAB=90°，
∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE =CF=4， AE= BF =6，在Rt△ABE中，
故答案为：26.
【分析】先过点B作. 交 于E， 交l3于F， 由于EF⊥ 易知 ，那么∠ABE+∠EAB=90°， ∠AEB=∠BFC=90°， 而∠ABC =90°， 可得∠ABE+∠FBC =90°， 根据同角的余角相等可得∠EAB=∠FBC， 根据AAS可证△ABE≌△BCF， 于是BE=CF =4， AE=BF =6，在Rt△ABE中利用勾股定理可求 进而可求△ABC的面积.
10．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交的延长线于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点E，直角三角形两锐角互余、平角的定义及同角的余角相等得，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，，由等量代换得，由等式性质推出，则，由等腰直角三角形性质得，然后根据三角形外角性质得，从而即可得出答案.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，
，
∴，
∴
∴
故答案为：2．
【分析】利用余角的性质可证得∠CAD=∠BCE，根据可以证明，利用全等三角形的性质可证，然后根据BE=CD=CE-DE，代入计算求出BE的长.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于，过点作于，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后得的值.
13．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ BD⊥AE于D，
∴∠BAD = 90°-∠ABD，∠CAE +∠DAB =∠BAC = 90°，
∴∠BAD = 90°-∠CAE，
∴∠ABD = ∠CAE，
又∵ ∠ADB = ∠CEA， AB = CA，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴ AD = CE，
∴DE = AE-AD = BD-CE = 5-1 = 4.
故答案为：B .
【分析】先证明△ABD≌△CAE，再结合三角形全等性质，可得DE = AE- AD = BD- CE，进而可求出DE的长.
14．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
在与中，
∴，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴正方形的面积为．
故答案为：A．
【分析】先利用正方形的性质，根据证明，再利用全等三角形的性质，得出，，然后再根据勾股定理得出，即可得出正方形的面积．
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即点C到的距离为；
【知识点】同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）直接利用一线三垂直全等模型证明即可；
（2）分别过点C、D作AB的垂线段CE和DF，再利用一线三垂直全等模型证明，则点C到AB的距离CE等于AF，再由等腰三角形三线合一知AF等于AB的一半即可.
16．【答案】（1）证明：∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠BAC=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴∠DAE=∠B。
又∵∠ACB=∠DEA，AB=AD，
∴△ABC≌△DAE(AAS)
（2）解：∵△ABC≌△DAE，
∴BC=AE=5。
∵∠ACB=90°，AB=13，
∴EC=AC-AE=12-5=7
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等，可得 再利用角角边证明，即可；
(2)根据全等三角形的性质可得.BC=AE=5，再由勾股定理求出AC的长，即可求解.
17．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
∴△BCE≌△CAD（AAS）
（2）DE= AD-BE
（3）解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE
∴
∴
在△BCE和△CAD中
，
∴△BCE≌△CAD（AAS）
∴AD=CE，BE=CD，
DE=CD-CE=BE-AD．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）证明：由（1）可知：△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE．
故答案为：DE= AD-BE
【分析】（1）利用同角的余角相等得到，再根据AAS定理进行证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，再利用线段之间的转化，进而可得出结论；
（3）先证明△BCE≌△CAD，利用线段的和差得出结论．
18．【答案】（1）；
（2）解：过点E作，交的延长线于点K，
由旋转的性质可知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵在中，，点为中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在中，
即，
∴，
在中，，
即，
解得，
故答案为：；．
【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可．
（2）过点E作，交的延长线于点K，由旋转的性质得出，，在证明，由全等三角形的性质得出，，再利用勾股定理求解即可．
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