实数(算术平方根的双重非负性）—浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025七上·海宁期中）若，则的值为( )
A．8 B．10 C．-8 D．-2
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据非负性可得，x-2=0，y+6=0，
解得：x=2，y=-6，
则.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可得x-2=0，y+6=0，求出x、y的值，再代入即可.
2．（2024七上·西湖期中）已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，那就是这两个非负数都是0. 由此得到，；再根据题目要求代入计算即可。
3．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为：C
【分析】 先用消元的思想用含c 的式子表示出 和|b|，再根据 和|b|都是非负数确定c的取值范围，即可解答.
4．代数式的最小值是( )
A．0 B． C．1 D．不存在的
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：由题意得
∴x≥2，
∴当x=2时，
故答案为：B
【分析】先根据二次根式的非负性得到，即x≥2，进而根据题意代入x=2即可求出其最小值。
5．已知实数a满足条件|则a-20112的值为( )
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵负数没有平方根，
∴a-2012≥0，即a≥2012，
∴原式可化为即两边平方得a-2012=20112，
解得
故答案为：C
【分析】先根据二次根式的非负性得到a-2012≥0，即a≥2012，进而化简原式，从而得到再根据乘方结合题意即可求解。
6．已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵x，y满足，
∴，解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：D．
【分析】由算术平方根和绝对值的非负性可知，，由于两个非负数的和为0，可知每个加数都为0，据此可求得x和y的值，进而可得x-y的值，再根据平方根的定义即可求得答案．
7．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，所以此选项正确；
B．，所以此选项错误；
C．，所以此选项错误；
D．，所以此选项错误；
故答案为：A．
【分析】A、根据算术平方根的非负性可判断；
B、根据平方的定义可判断；
C、根据算术平方根的定义，算术平方根总是非负的，可判断；
D、根据算术平方根的定义先算出等号左边，为11，左右不相等，即可判断.
8．（2023七上·龙湾期中）已知，则（ ）
A．1 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
而，(y-2)2≥0，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据偶次方、绝对值和算术平方根的非负性可得关于x、y、z的方程，解方程求出x、y、z的值，然后把x、y、z的值代入所求代数式计算即可求解．
二、填空题
9．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，即可分别列出关于x，y的方程并求出x，y的值，并将x，y的值代入即可求出结果.
10．已知实数x，y 满足 ，则x+y的值为 .
【答案】-2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴x+y=1+(-3)=-2.
故答案为：-2 .
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则这两个数都为零，建立方程组可求出x、y的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
11． 观察下表，按你发现的规律填空：
a 0.0121 1.21 121 12100
0.11 1.1 11 110
已知 则 .
【答案】387.3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵=3.873，
∴，
故答案为：
【分析】根据表示结合平方根进行计算即可求解。
12．若则x+y= .
【答案】5
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴3x-6=0，y-2x+1=0，
解得x=2，y=3，
∴x+y=2+3=5.
故答案为：5
【分析】先根据非负性得到3x-6=0，y-2x+1=0，则x=2，y=3，从而相加即可求解。
13．当 时，有最小值．
【答案】8
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，当且仅当时取得等号，
∴当，有最小值，
故答案为：8．
【分析】根据算术平方根的非负性，得出 最小值为0，然后计算出m值即可.
14．如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，且和互为相反数，
∴，，解得：，，
∴，
∴的平方根是：.
故答案为：．
【分析】利用算术平方根先计算出x、y，然后代入计算出，再求其平方根.
三、解答题
15．（2025七上·杭州期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ， ，
② ， ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ，②化简： ．
【答案】（1）；；；
（2）；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：；②×25
故答案为：8；8；15；15；
(2)①②
故答案为：
【分析】(1)利用算术平方根的计算方法解答即可；
(2)利用(1)的结果化简计算.
16．（1）一个正数的平方根分别是2a-1与-a+2，求a 和这个正数.
（2）已知实数x，y满足 求x-2y的平方根.
【答案】（1）解：由题意，得2a-1-α+2=0.解得α=-1，则2a-1=-3.-a+2=3，故这个正数为9.
（2）解：
∴x=5，y=-3，∴x-2y=5-2×(-3)=11，
∴x-2y的平方根是± 11.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求出a的值，然后代入计算得到这个正数即可；
（2）先根据绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入求出平方根即可.
17．
（1）已知某正数的平方根为 a+3 和2a-15，求这个数是多少。
（2）已知m，n是实数，且 =0，求 的平方根。
【答案】（1）解：因为一个正数的平方根是a+3与2a-15，
所以(a+3)+(2a-15)=0，
解得a=4，
所以a+3=7，
所以这个数是49
（2）解：由题意得，
2m+1=0，3n-2=0，
所以
所以
所以：m2+n2的平方根是
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；平方根的性质
【解析】【分析】（1）一个正数的两个平方根之和为0，因此可通过关系式(a+3)+(2a-15)=0求出a，代入计算（或）计算出答案；
（2）根据算术平方根、绝对值的非负性求出m、n值，代入计算 ，最后再对结果求平方根.
18．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
【答案】（1）解：
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12.
（2）解：分三种情况讨论：
①当9≤a≤25时，a=3a，解得a=0(不合题意)；
②当a≤9<25时，×25=3解得(不合题意)；
③当9<25≤a时，a=3×25，解得a=81.
综上所述，a的值为81.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先根据新定义得到2，18，8这三个数是“和谐组合”，进而算术平方根即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9<25时，③当9<25≤a时，进而根据算术平方根结合题意即可求解。
1 / 1实数(算术平方根的双重非负性）—浙教版数学七年级上册核心考点专练
一、选择题
1．（2025七上·海宁期中）若，则的值为( )
A．8 B．10 C．-8 D．-2
2．（2024七上·西湖期中）已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
3．若实数a，b，c满足等式 则c 可能取的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．代数式的最小值是( )
A．0 B． C．1 D．不存在的
5．已知实数a满足条件|则a-20112的值为( )
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
6．已知x，y为实数，且，则的平方根为（ ）
A． B．2 C． D．
7．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七上·龙湾期中）已知，则（ ）
A．1 B． C．8 D．
二、填空题
9．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
10．已知实数x，y 满足 ，则x+y的值为 .
11． 观察下表，按你发现的规律填空：
a 0.0121 1.21 121 12100
0.11 1.1 11 110
已知 则 .
12．若则x+y= .
13．当 时，有最小值．
14．如果和互为相反数，那么的平方根是 ．
三、解答题
15．（2025七上·杭州期中）阅读材料，解答问题：
（1）计算下列各式：
① ， ，
② ， ；
推理：运用（1）中的结果可以得到：；；
（2）通过（1），完成下列问题：
①化简： ，②化简： ．
16．（1）一个正数的平方根分别是2a-1与-a+2，求a 和这个正数.
（2）已知实数x，y满足 求x-2y的平方根.
17．
（1）已知某正数的平方根为 a+3 和2a-15，求这个数是多少。
（2）已知m，n是实数，且 =0，求 的平方根。
18．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”.例如：1，4，9这三个数，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数被称为“和谐组合”，最小算术平方根是2，最大算术平方根是6.
（1）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根.
（2）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：根据非负性可得，x-2=0，y+6=0，
解得：x=2，y=-6，
则.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式及绝对值的非负性可得x-2=0，y+6=0，求出x、y的值，再代入即可.
2．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数的和为0，那就是这两个非负数都是0. 由此得到，；再根据题目要求代入计算即可。
3．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：代入4 -9|b|=6c，得
∴c 可能取的最大值为2.
故选C.
故答案为：C
【分析】 先用消元的思想用含c 的式子表示出 和|b|，再根据 和|b|都是非负数确定c的取值范围，即可解答.
4．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：由题意得
∴x≥2，
∴当x=2时，
故答案为：B
【分析】先根据二次根式的非负性得到，即x≥2，进而根据题意代入x=2即可求出其最小值。
5．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵负数没有平方根，
∴a-2012≥0，即a≥2012，
∴原式可化为即两边平方得a-2012=20112，
解得
故答案为：C
【分析】先根据二次根式的非负性得到a-2012≥0，即a≥2012，进而化简原式，从而得到再根据乘方结合题意即可求解。
6．【答案】D
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵x，y满足，
∴，解得，
∴，
∴的平方根为．
故答案为：D．
【分析】由算术平方根和绝对值的非负性可知，，由于两个非负数的和为0，可知每个加数都为0，据此可求得x和y的值，进而可得x-y的值，再根据平方根的定义即可求得答案．
7．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，所以此选项正确；
B．，所以此选项错误；
C．，所以此选项错误；
D．，所以此选项错误；
故答案为：A．
【分析】A、根据算术平方根的非负性可判断；
B、根据平方的定义可判断；
C、根据算术平方根的定义，算术平方根总是非负的，可判断；
D、根据算术平方根的定义先算出等号左边，为11，左右不相等，即可判断.
8．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
而，(y-2)2≥0，，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据偶次方、绝对值和算术平方根的非负性可得关于x、y、z的方程，解方程求出x、y、z的值，然后把x、y、z的值代入所求代数式计算即可求解．
9．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，即可分别列出关于x，y的方程并求出x，y的值，并将x，y的值代入即可求出结果.
10．【答案】-2
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，，，
∴x-1=0，y+3=0，
∴x=1，y=-3，
∴x+y=1+(-3)=-2.
故答案为：-2 .
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性，由两个非负数的和为零，则这两个数都为零，建立方程组可求出x、y的值，进而再根据有理数的加法法则计算可得答案.
11．【答案】387.3
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵=3.873，
∴，
故答案为：
【分析】根据表示结合平方根进行计算即可求解。
12．【答案】5
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：
∴3x-6=0，y-2x+1=0，
解得x=2，y=3，
∴x+y=2+3=5.
故答案为：5
【分析】先根据非负性得到3x-6=0，y-2x+1=0，则x=2，y=3，从而相加即可求解。
13．【答案】8
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，当且仅当时取得等号，
∴当，有最小值，
故答案为：8．
【分析】根据算术平方根的非负性，得出 最小值为0，然后计算出m值即可.
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；相反数的意义与性质；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，，且和互为相反数，
∴，，解得：，，
∴，
∴的平方根是：.
故答案为：．
【分析】利用算术平方根先计算出x、y，然后代入计算出，再求其平方根.
15．【答案】（1）；；；
（2）；
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【解答】解：；②×25
故答案为：8；8；15；15；
(2)①②
故答案为：
【分析】(1)利用算术平方根的计算方法解答即可；
(2)利用(1)的结果化简计算.
16．【答案】（1）解：由题意，得2a-1-α+2=0.解得α=-1，则2a-1=-3.-a+2=3，故这个正数为9.
（2）解：
∴x=5，y=-3，∴x-2y=5-2×(-3)=11，
∴x-2y的平方根是± 11.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开平方（求平方根）；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求出a的值，然后代入计算得到这个正数即可；
（2）先根据绝对值和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入求出平方根即可.
17．【答案】（1）解：因为一个正数的平方根是a+3与2a-15，
所以(a+3)+(2a-15)=0，
解得a=4，
所以a+3=7，
所以这个数是49
（2）解：由题意得，
2m+1=0，3n-2=0，
所以
所以
所以：m2+n2的平方根是
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；平方根的性质
【解析】【分析】（1）一个正数的两个平方根之和为0，因此可通过关系式(a+3)+(2a-15)=0求出a，代入计算（或）计算出答案；
（2）根据算术平方根、绝对值的非负性求出m、n值，代入计算 ，最后再对结果求平方根.
18．【答案】（1）解：
∴2，18，8这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12.
（2）解：分三种情况讨论：
①当9≤a≤25时，a=3a，解得a=0(不合题意)；
②当a≤9<25时，×25=3解得(不合题意)；
③当9<25≤a时，a=3×25，解得a=81.
综上所述，a的值为81.
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先根据新定义得到2，18，8这三个数是“和谐组合”，进而算术平方根即可求解；
（2）根据题意分类讨论：①当9≤a≤25时，②当a≤9<25时，③当9<25≤a时，进而根据算术平方根结合题意即可求解。
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