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浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章二次根式 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，含有小数，不符合题意；
D、，含有分母，不符合题意；
故选A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、，故此选项不合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不合题意；
故答案为：C．
3．若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
【答案】B
【解析】=
∵是正整数，即是正整数，
∴最小的正整数n是3．
故答案为：B．
4．若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
∴
将 代入 中得：
解得：
∴
故答案为：C．
5．已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．
∵a，b，∴原式．
故答案为：D．
6．若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：，结果含无理数项，不选；
B：，结果含无理数项，不选；
C：，结果含无理数项，不选；
D：分母有理化：，结果为有理数。
故答案为：D．
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【解析】；；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
8．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
∵，，
∴原式，
故选：．
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由原式成立，所以x<0，所以原式= + = ，故选C．
10．已知，则的值为（ ）．
A．2020 B． C．2025 D．
【答案】D
【解析】对两边平方，得x+= 7．
∴==
故答案为：D。
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【解析】根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
12．比较大小： ．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】，
，
，
故答案为：．
13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】2
【解析】与最简二次根式是同类二次根式，
，
解得，
故答案为：2．
14．已知，则＝ ．
【答案】
【解析】∵，∴，解得：，
∴
故答案为：.
15．对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
16．设，其中为正整数，则的值为 ．
【答案】
【解析】，，
……
，
=
=
=
=
．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：（1） （2）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式
18．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
解
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
【答案】（1）解：①
（2）解：
=
=.
19．已知：求：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴.
（2）解：∵，
∴
==.
20．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
=
=
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
【答案】（1）解：原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-=.
（2）1
【解析】(2)∵++=，
∴-+-+-=，
∴=，
解得n=1.
故答案为：1.
21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，而2称为“穿墙数”。具有这种现象的数还有很多比如：，等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数n（n为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）【创新应用】按此规律若（a，b为正整数），则a+b的值为 ．
【答案】（1）；
证明：
（2）解：设正整数n ，
，
证明：
（3）71
【解析】（1）当时，分数部分为
∴
故答案为：.
（3）∵，
∴对应假分数为：
解得：
∵和为正整数，必须为整数，故是8的约数，即，
验证后：当时，
∴
故答案为：71.
22． 【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法.
∴，
∴.
【迁移应用】计算下列两个式子：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：=
=
故
（2）解：==
∴
23．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：方法一：；
方法二：；
（2）解：由题意可得，
，
；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∴．
24． 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为 ．
【答案】（1）；
（2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，
则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵，
∴，
又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）
【解析】（1）解：∵，
∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．
故答案为：，；
（4）①，
，
又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，
，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，
，
，
综合①②③得m的取值范围为．
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浙教版2025-2026学年八年级下数学第1章二次根式 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若是正整数，最小的正整数n是（ ）
A．6 B．3 C．48 D．2
4．若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
5．已知=a，=b，则=（ ）
A． B． C． D．
6．若算式的结果是有理数，则※表示的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
7．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
8．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知x为实数，化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则的值为（ ）．
A．2020 B． C．2025 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．比较大小： ．（填“”“”或“”）
13．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为 ．
14．已知，则＝ ．
15．对于任意不相等的两个实数，，定义运算“*”如下：，例如，则 ．
16．设，其中为正整数，则的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） （2）
18．下面是亮亮同学进行二次根式混合运算练习的计算过程，请认真阅读并完成相应任务.
解
（1） 指出上述解题过程中，最先出现错误的步骤（写出序号即可）.
（2） 请写出正确的解题过程.
19．已知：求：
（1）；
（2）
20．阅读学习：
计算：
可以用下面的方法解决上面的问题：
=
=
利用上面的方法解决下列问题：
（1）计算：
（2）当 n= 时，等式 成立.
21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，而2称为“穿墙数”。具有这种现象的数还有很多比如：，等．
（1）【猜想】 ▲ ，并证明你的猜想；
（2）【推理证明】请你用一个正整数n（n为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式，并给出证明；
（3）【创新应用】按此规律若（a，b为正整数），则a+b的值为 ．
22． 【阅读感悟】李林同学在计算时，采用了如下方法.
∴，
∴.
【迁移应用】计算下列两个式子：
（1）；
（2）.
23．在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：
方法二：
（1）请用以上两种方法化简：；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
24． 阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知，则当 时，代数式取到最小值，最小值为 ；
（2）用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
（3）已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
（4）若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为 ．
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