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浙教版2025-2026学年九年级下数学第2章 直线与圆的位置关系 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵PA，PB是 的切线，∴，
，
，四边形的内角和为：（4-2）×180°=360°，
∴，
故答案为：B．
2．如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】∵分别切于A、B，切于点E，
∴，
∴，
即的周长为12，
故答案为：D．
3． 如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，OB=2，OC=4，则△OBC 的面积是( )
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】如图，过点 C作CH⊥BO，交 BO 的延长线于点 H.
∵ 点 O为 △ABC 的 内 心， ∠A = 60°，
∴
，
，
，
故答案为：B.
4．如图，菱形OABC 的顶点A，B，C在⊙O上，过点B 作⊙O的切线，交OA 的延长线于点D.若⊙O 的半径为2，则 BD 的长为( )
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【解析】如图，连结OB，
∵ 四边形 OABC 是菱形，
∴OA=AB，
∵OA=OB，
∴OA=AB=OB，
∴△AOB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，
∵ BD 是⊙O 的切线，
∴∠DBO=90°，
∵ OB=2，∴ BD= tan 60°·
故答案为：C.
5． 如图，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B 为切点，点D 在AB 上，点E，F 分别在线段PA，PB上，且AD=BF，BD=AE.若∠P=α，则∠EDF 等于( )
A． B． C． D．2α
【答案】C
【解析】∵ PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，
∴ PA=PB.
在△AED 和△BDF 中，，
∴ ∠AED = ∠BDF.
∴
故答案为：C.
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC 的中点，以点O为圆心作半圆O，交BC于M，N两点，半圆O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则半圆O的半径和∠MND 的度数分别为( )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
【答案】A
【解析】∵△ABC 为等腰直角三角形， 45°，
∵ O 为 BC 的中点，∴ OB = ，
∵AB 为半圆O 的切线，
∴ OD⊥AB，∴ ∠ODB =90°，
∴ 易得△ODB 为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：A.
7． 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5，BC=13，CA=12，则涂色部分(即四边形 AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【解析】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+CA2=BC2
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC.
∴四边形 OFAE为正方形
设OE=r.
则AE= AF=r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD=BF=5-r，CD=CE=12-r，
∴5-r+12-r=13.
∴
∴阴影部分(即四边形AEOF)的面积是2×2=4
故答案为：A.
8．如图，半圆O的圆心在梯形ABCD 的底边AB上，并与其他三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB 的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】A
【解析】连接OD，OC，
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠ODC，
∵CD//AB，
∴∠ODC=∠AOD
∴∠ADO=∠AOD
∴AD=OA
∵AD=6
∴OA=6
∵AB=10
∴OB=4
同理可得：OB=BC=4
故答案为：A.
9． 如图，在 ABCD 中， 以顶点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，则边 AD所在直线与⊙C 的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
【答案】A
【解析】如图，过点C作CH⊥DA，交DA的延长线于点H，
∵S ABCD=BC·CH=10 ，BC=5，
，
，
∴ 直线AD 与⊙C 相交.
故答案为：A.
10．如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（ ）．
A．4 B． C． D．8
【答案】B
【解析】连接，如图所示：
是的切线，，．
设，则．
在中，，
，解得．，
．
是的直径，．
，
．
在中，，
．
．
故答案为：B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为 .
【答案】66°
【解析】 是的直径，切于点又故答案为：.
12． 如图，PA，PB，DE 分别切⊙O于点A，B，C，过点C 的切线分别交PA，PB 于点E，D.若△PDE 的周长为8，OP=5，则⊙O 的半径为 .
【答案】3
【解析】如图，连结OA.
∵PA，PB，DE 分别切⊙O 于点A，B，C，
∴BD=CD，CE=AE，PA =PB，OA⊥AP.
∴△PDE 的周长=PE+PD+ED=PE+PD+CE+CD=PE+PD+AE+BD=PA+PB=2PA=8.
∴PA=4.
在 Rt△OAP 中，根 据 勾 股 定 理，
得AO=
∴⊙O的半径为3.
故答案为：3.
13． 如图，在△ABC中，BA，BC分别为⊙O的切线，E，C为切点，线段AC 经过圆心O，且与⊙O 相交于点 D，C.若 则OB 的长为 .
【答案】
【解析】如图，连结 OE.
∵ BA， BC 分别为 ⊙O 的切线，∴∠OEA=∠OCB=90°.在 Rt△AOE中， 可设OE=3x，则 AE=4x，OD=OC=OE=3x.∴ 在 Rt△AOE 中，AO= 5x.∵AD=2，∴ AO=OD+AD=3x+2.∴ 3x+2=5x.∴ x=1.∴OA=3x+2=5，OE=OD=OC=3x=3.∴AC=OA+OC=5+3=8.在 Rt△ABC 中， 在Rt△OCB 中，
故答案为： .
14． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆⊙O与AB，BM 分别相切于点 D，E，连结DE.若DE∥AM，则∠C 的度数为 .
【答案】30°
【解析】 ∵ 在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，
∴ AM=BM=MC.
∴ ∠MAB=∠MBA.
∵ DE∥AM，
∴ ∠MAB=∠EDB.
∴ ∠MBA=∠EDB.
∴ EB=ED.
∵△ABM的内切圆与AB， BM分别相切于点D，E，
∴ BD=BE.
∴ BD=BE=ED.
∴△BDE 是等边三角形.
∴∠B=60°.
∴∠C=30°.
故答案为：30°.
15． 如图，正方形ABCD 的边长为8，M是AB 的中点，P 是边 BC 上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为 .
【答案】3或
【解析】∵M是AB 的中点，正方形 ABCD 的边 长 为 8，
根据题意，可知⊙P 与正方形ABCD 的边AB 相交.
当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，可能与边 CD 相切，也可能与边 AD相切，
∴需要分两种情况：①如图①，当⊙P 与边 CD 相切时，设 PC=PM=x.
在 Rt△PBM 中，∵ PM2= 解得x=5.
∴ PC=5.此时BP=BC-PC=8-5=3.
② 如图②，当⊙P 与边AD 相切，且切点为 E 时，连结PE，则 PE⊥AD，
∴∠PED=90°.
由四边形 ABCD 是正方形，可知∠CDE=∠PCD=90°，
∴ 四边形PEDC 是矩形.
∴ PM=PE=CD=8.
在 Rt△PBM中，BP =
综上所述，BP 的长为3或4
故答案为：3或.
16． AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I为△ABC内心，AI与⊙O交于点D，OI⊥AD与点I，CD=4，则AC= .
【答案】
【解析】连接BD、CD、BI，如图，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴，
∴BD=CD=4，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI=∠DAB+∠ABI=∠BID，
∴ID=BD=4，
∵OI⊥AD，
∴AD=2ID=8，
在Rt△ABD中，AB===，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE=x，则OE=AB-x=-x，
在Rt△OBE中，OB2-OE2=BE2，
在Rt△BDE中，BD2-DE2= BE2，
∴OB2-OE2=BD2-DE2，即，
解得x=，
∴BE==，
∴BC=2BE=，
∵AB为圆O直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点 D.
（1） 求证：AC与⊙O相切.
（2）若AB=5，BC=6，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：如图，连结 OD，过点 O 作OE⊥AC于点E.
∵AB 切⊙O于点 D，
∴OD⊥AB.
∴∠ODB=∠OEC=90°.
∵O是底边BC 的中点，
∴OB=OC.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
在△OBD 和△OCE中，∴ △OBD≌△OCE.
∴ OE=OD，即OE 是⊙O的半径.
∴ AC 与⊙O 相切
（2）解：如图，连结AO.
∵AB=AC，OB=OC，
∴ AO⊥BC.
∴ 在Rt△AOB中， OA =
OD，
即⊙O 的半径为
18． 如图，直线l 与⊙O 相切于点D，AB 为⊙O 的直径，过点A 作AE⊥l于点E，延长AB 交直线l 于点C，连结AD.
（1） 求证：AD 平分∠CAE.
（2） 如果BC=1，CD=3，求⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：连结OD.
∵直线l与⊙O相切于点D，∴OD⊥CE.
∵AE⊥CE，∴OD∥AE.
∴∠ODA=∠EAD.
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD.
∴∠OAD=∠EAD.∴ AD 平分∠CAE.
（2）解：设⊙O 的半径为 r，则 OB =OD=r.
在 Rt△OCD 中，
∵OD=r，CD=3，OC=r+1，
解得r=4.
∴ ⊙O 的半径为4.
19．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点H，连接OC，过点A 作⊙O 的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求 的值.
【答案】（1）证明：连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，连接 CD.
∵AD为直径∴∠ACD=90°
∴∠ADC+∠CAD=90°
∵∠ADC=∠ABH，∠ABH+∠BAH=90°∴∠BAH=∠CAD
又∵OA=OC
∴∠CAD=∠ACO∴∠BAH=∠ACO
（2）解：连接BD，
∵OC=13
∴AD=2OC=26
∴
∵AD 为⊙O 直径，
∴∠ACD=90°
∵AH⊥BC
∴∠AHB=90°
∴∠AHB=∠ACD
又∵∠BAH=∠CAD
∴△ABH~△ADC
∴
即，解得AB=
∵AE为圆的切线
∴∠OAE=90°
∴∠BAE+∠BAD=90°
而∵∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB=∠ACB
∴∠BAE=∠ACB
∴△EAB~△ECA
∴
20． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 BC为直径的⊙O 交 AB 于点 D，⊙O 的切线DE 交AC 于点 E.
（1） 求证：∠A=∠ADE.
（2） 若AD=16，DE=10，求 BC 的长.
【答案】（1）证明：连结OD.
∵ DE 是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，即∠ODE=90°.
∴∠ADE+∠BDO=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵OD=OB，
∴∠B=∠BDO.
∴∠A=∠ADE
（2）解：连结CD.
∵∠A=∠ADE，
∴AE=DE.
∵ BC 是⊙O 的直径，∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴ EC 是⊙O 的切线.
又∵DE 是⊙O 的切线，
∴ DE=EC.
∴AE=EC=DE=10.
∴AC=20.
∵BC 是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠ADC=90°.
∴在 Rt△ADC 中， DC =
设BD=x.
∵ 在 Rt△BDC 中， 又∵ 在 Rt△ABC 中，.
解得x=9，即BD=9.
21．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC的切点，设BD=BC．
（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；
（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．
【答案】（1）解：①连接OB、OF，
∵点O是△BDC的内心，
∴OB平分∠DBC，
∵CD与⊙O相切，
∴OF⊥CD，
∵BD=BC，
∴B、O、F三点共线，
∴DF=CF，
∵DC=2AD，
∴AD=DF，
∵BD与⊙O相切，
∴由切线长定理可知：DE=DF，
∴AD=DE=DF，
∴A、E、F三点共圆，且圆心为D
∵AF是⊙D的直径，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，
②∵O是△BDC的内心，
∴DO平分∠BDC，
∴∠EDF=2∠EDO，
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，
∴2∠EDO=2∠DEA，
∴∠EDO=∠DEA，
∴AE∥DO，
（2）解：设DO与EF相交于点G，
由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，
∴DO⊥EF，
∵AD=DF=CF，AC=6，
∴DF=2，
∵OF=1，
∴由勾股定理可求得：OD= ，
∵ DF OF= OD FG，
∴FG= ，
由垂径定理可知：EF=2FG= ，
∵AF=2DF=4，
∵∠AEF=90°，
∴由勾股定理可求得：AE= ．
22．如图，在等边△ABC中，点O在边BC上，以OC 为半径的⊙O交AC 于点D，过点 D作DE⊥AB 于点E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）连接AO交DE 于点F.若OF=2AF，求tan∠CAO的值.
【答案】（1）证明：连接OD.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠C.
∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠BAC，∴OD∥AB.
∵DE⊥AB，∴∠ODE=∠AED=90°，∴OD⊥DE，
又∵OD 为半径，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）解：过点O作OH⊥AC于点H.
由(1)知∠ODE=∠AED=90°，
又∵∠AFE=∠OFD，∴△AEF∽△ODF，∴AE=AF/OF=
设 AE =x，则 OD =2x.
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴在 Rt△ADE 中， )=OC，∴△ODC为等边三角形，∴OD=OC=CD=2x.
∵OH⊥AC，∴DH= CD=x，
在 Rt△OCH中，
在 Rt△AOH 中，
23．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径．
【答案】（1）解：（1）①如图1，取AC的中点H，
∵，
∴点H是的外接圆圆心．
∵，，，
∴
，
∴的外接圆半径为；
②如图2，过点O作于点E，于点F，于点G，
则．
，
∴四边形OEBF是正方形，
设半径为r，则，
是的内切圆，，，
∴，，
∴.，
在中，，
，
解得或(不符合题意舍去)，
内切圆的半径为l；
（2）解：如图2，设半径为r，则，．
是的内切圆，
.
，
，
，
解得，
的半径为．
24．如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值；
（3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
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浙教版2025-2026学年九年级下数学第2章 直线与圆的位置关系 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，P为外一点，分别切于A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3． 如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，OB=2，OC=4，则△OBC 的面积是( )
A． B． C．2 D．4
4．如图，菱形OABC 的顶点A，B，C在⊙O上，过点B 作⊙O的切线，交OA 的延长线于点D.若⊙O 的半径为2，则 BD 的长为( )
A．3 B． C． D．4
5． 如图，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B 为切点，点D 在AB 上，点E，F 分别在线段PA，PB上，且AD=BF，BD=AE.若∠P=α，则∠EDF 等于( )
A． B． C． D．2α
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，O为BC 的中点，以点O为圆心作半圆O，交BC于M，N两点，半圆O与AB，AC相切，切点分别为D，E，则半圆O的半径和∠MND 的度数分别为( )
A．2，22.5° B．3，30° C．3，22.5° D．2，30°
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
7． 如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=5，BC=13，CA=12，则涂色部分(即四边形 AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
8．如图，半圆O的圆心在梯形ABCD 的底边AB上，并与其他三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB 的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．3
9． 如图，在 ABCD 中， 以顶点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，则边 AD所在直线与⊙C 的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
10．如图，为的直径，点在的延长线上，为的切线，切点为点，点E在上，且．若，，则的长为（ ）．
A．4 B． C． D．8
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，AB是的直径，AC切于点A，BC与交于点，连结OD.若，则的度数为 .
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
12． 如图，PA，PB，DE 分别切⊙O于点A，B，C，过点C 的切线分别交PA，PB 于点E，D.若△PDE 的周长为8，OP=5，则⊙O 的半径为 .
13． 如图，在△ABC中，BA，BC分别为⊙O的切线，E，C为切点，线段AC 经过圆心O，且与⊙O 相交于点 D，C.若 则OB 的长为 .
14． 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，△ABM的内切圆⊙O与AB，BM 分别相切于点 D，E，连结DE.若DE∥AM，则∠C 的度数为 .
15． 如图，正方形ABCD 的边长为8，M是AB 的中点，P 是边 BC 上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，BP 的长为 .
16． AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，I为△ABC内心，AI与⊙O交于点D，OI⊥AD与点I，CD=4，则AC= .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17． 如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点 D.
（1） 求证：AC与⊙O相切.
（2）若AB=5，BC=6，求⊙O的半径.
18． 如图，直线l 与⊙O 相切于点D，AB 为⊙O 的直径，过点A 作AE⊥l于点E，延长AB 交直线l 于点C，连结AD.
（1） 求证：AD 平分∠CAE.
（2） 如果BC=1，CD=3，求⊙O 的半径.
19．如图，△ABC 内接于⊙O，AH⊥BC 于点H，连接OC，过点A 作⊙O 的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求 的值.
20． 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 BC为直径的⊙O 交 AB 于点 D，⊙O 的切线DE 交AC 于点 E.
（1） 求证：∠A=∠ADE.
（2） 若AD=16，DE=10，求 BC 的长.
21．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC的切点，设BD=BC．
（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；
（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．
22．如图，在等边△ABC中，点O在边BC上，以OC 为半径的⊙O交AC 于点D，过点 D作DE⊥AB 于点E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）连接AO交DE 于点F.若OF=2AF，求tan∠CAO的值.
23．如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．
（1）若AB＝4，BC＝3，
①求Rt△ABC外接圆的半径；
②求Rt△ABC内切圆的半径；
（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径．
24．如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值；
（3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）．
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