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浙教版2025-2026学年九年级下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ）
A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小
C．tanα随α的增大而增大 D．0＜sinα＜1
3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )
A． B． C． D．
5．如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔.如图，在高为12米的建筑物 DE 的顶部测得信号发射塔 AB 顶端的仰角∠FEA=56°，建筑物 DE 的底部D 到山脚底部C的距离DC=16 米，小山坡面 BC 的坡比为1：0.75，坡长 BC=40米(建筑物 DE、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直)，则信号发射塔 AB 的高约为(参考数据：sin 56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48)( )
A．71.4 米 B．59.2 米 C．48.2 米 D．39.2米
7．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（ ）
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题）
9．如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
（第10题） （第12题） （第13题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，则的值为 ．
12．如图，在高出海平面的悬崖面处，观测海面上的一艘小船，并测得它的俯角为，则船与观测者之间的水中距离是 ．(，，结果保留整数)
13．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
14．如图，斜坡AB 的坡比为1： ，在斜坡AB 上有一旗杆BD，且BD 垂直于水平线AC，在旗杆BD 左侧有一面墙EF，EF∥BD，当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆DB 落在斜坡上的影长BF 为16米，落在墙EF 上的影长FG为5米，则旗杆BD 高 米(结果保留根号).
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
16．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） （2）
18． 如图，AB，AC 的长均为3.2m，梯子的顶端离地面的高度AD为 求：
（1）∠ACB 的度数.
（2）梯脚B 与C 之间的距离.
19．如图，在 中， 于点D，AC的中点是E，且
求：（1）线段 BD 的长.（2）的正切值.
20．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．
（1）请求出的长？
（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
21．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
22．图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
23．在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
（1）如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
（2）如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
（3）如图3，当时，求的值
24．如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
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浙教版2025-2026学年九年级下数学第1章 解直角三角形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ∵在中，，，，
∴
故选D．
2．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ）
A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小
C．tanα随α的增大而增大 D．0＜sinα＜1
【答案】B
【解析】A、若0°＜α＜90°，则sinα随α的增大而增大，正确；
B、若0°＜α＜90°，则cosα随α的减小而增大，错误；
C、若0°＜α＜90°，则tanα随α的增大而增大，正确；
D、0＜sinα＜1，正确；
故选B．
3．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【解析】在Rt，，，，则BC=。
故答案为：A.
4．如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画图如下，过点O作OH⊥AB于H，
由题意得：，，
∴，AH=BH.
∵，
∴ ，
∴ ．
故答案为：C．
5．如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设菱形的边长为1，由图得，，，
，
是等边三角形，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，，
，
，，
，
，
故答案为：B．
6．为扩大网络信号的辐射范围，某通信公司在一座小山上新建了一座大型的网络信号发射塔.如图，在高为12米的建筑物 DE 的顶部测得信号发射塔 AB 顶端的仰角∠FEA=56°，建筑物 DE 的底部D 到山脚底部C的距离DC=16 米，小山坡面 BC 的坡比为1：0.75，坡长 BC=40米(建筑物 DE、小山坡BC 和网络信号发射塔AB 的剖面图在同一平面内，信号发射塔AB 与水平线DC 垂直)，则信号发射塔 AB 的高约为(参考数据：sin 56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48)( )
A．71.4 米 B．59.2 米 C．48.2 米 D．39.2米
【答案】D
【解析】如图，延长 EF 交AB 的延长线于点 H，DC 与AB 的延长线交于点G.易知四边形 EDGH 是矩形，
∴GH=ED=12米.
∵小山坡面BC 的坡比为1： 0.75，即 ，
∴设BG=4x米，CG=3x米，
则在 Rt△BCG 中，由勾股定理，得BC=5x 米.
∵ BC=40米，
∴5x=40，解得x=8.
∴ BG=32米，CG=24 米.
∴ EH = DG = DC +CG=16+24=40(米)，BH=BG-GH=32-12=20(米).
在 Rt△AEH 中，∠AEH=56°，
∴ AH=EH·tan56°≈40×1.48=59.2(米).
∴ AB=AH-BH=59.2-20=39.2(米).
∴ 信号发射塔AB 的高约为39.2米.
故答案为：D.
7．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，
设，
，
在中，，
解得：，
秋千绳索的长为，
故答案为：A．
8．如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，过D点作于点，
根据题意可得：，，
，
四边形是矩形，
，，
从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，
，，
在中
，
，
在中，
，
，
故选：C．
9．如图，将Rt△ABC以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转90°得到Rt△DEC，延长AB，交DE于点F，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，
设AC=a， 则BC = ak，
由旋转的性质得： CD = AC =a，
CE = BC = ak， ∠D =∠A，
∴BD=CD﹣BC=a﹣ ak，
AE=AC+CE=a+ ak，
∵∠A+∠ABC =90°， ∠ABC =∠DBF，∠D=∠A，
∴∠D+∠DBF=90°，
∴∠DFB=90°，
∴△DBF和△AEF都是直角三角形，
在Rt△DFB中，
在Rt△AEF中，
∵∠D=∠A，
故答案为：D.
10．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】过A点作AN⊥DF于N，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=AD，∠ABE=∠D，设AD=4，
∵F是CD中点，
∴DF=FC=2，
根据翻折的性质可知AB=AF，
∴△AFD是等腰三角形，
∵AN⊥DF，
∴AN也平分DF，则有DN=NF=1，
∴在Rt△AND中利用勾股定理可得，
∴tan∠D=，
∴tan∠ABE=，
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，则的值为 ．
【答案】
【解析】∵在中，，，
∴可设，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，在高出海平面的悬崖面处，观测海面上的一艘小船，并测得它的俯角为，则船与观测者之间的水中距离是 ．(，，结果保留整数)
【答案】173
【解析】在高出海平面米的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得它的俯角为，
，船与观测者之间的水平距离米．
答：船与观测者之间的水平距离为．
故答案为：173
13．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：
∴同理：
∴
故答案为：
14．如图，斜坡AB 的坡比为1： ，在斜坡AB 上有一旗杆BD，且BD 垂直于水平线AC，在旗杆BD 左侧有一面墙EF，EF∥BD，当阳光与水平线成45°角时，测得旗杆DB 落在斜坡上的影长BF 为16米，落在墙EF 上的影长FG为5米，则旗杆BD 高 米(结果保留根号).
【答案】
【解析】如图，过点 D作DM⊥EF 于点M，过点B 作BN⊥EF 于点N，
则易得四边形 MNBD 为矩形，BN∥AC，
∴ BD=MN，MD=BN.
∵ 斜坡 AB 的坡比为 1：
，
在 Rt△NBF中，∠NBF=30°，BF=16米，
则NF= 米， 米.
∵ FG=5米，
∴ NG=NF-FG=3米.
在 Rt△MDG 中， 米，∠MDG=45°，
∴ MG=MD=8 米.
米.
故答案为：.
15．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．
【答案】5
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，，
根据折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：5．
16．如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
【答案】
【解析】【解答】
解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，
，
∴∴
设OE=a，则AO=，AE=，
由，
∴
∴
∴
=
∴
∴
故答案为：。
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：（1）（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：
18． 如图，AB，AC 的长均为3.2m，梯子的顶端离地面的高度AD为 求：
（1）∠ACB 的度数.
（2）梯脚B 与C 之间的距离.
【答案】（1）解：∵ 在 Rt△ACD 中，AD=
∴
∵∠ACB 为锐角，∴∠ACB=60°
（2）解：∵在Rt△ACD中，cos∠ACB=
1.6(m).
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD=3.2m.
∴ 梯脚 B 与C 之间的距离为3.2m
19．如图，在 中， 于点D，AC的中点是E，且
求：
（1）线段 BD 的长.
（2）的正切值.
【答案】（1）解：∵AD⊥BC，
∴ △ABD和△ACD是直角三角形.在Rt△ABD中，
∴AB=10.
（2）解：∵BC=8，BD=6，
∴CD=BC-BD=2.
在Rt△ACD中，E 为斜边AC的中点，
∴∠C=∠EDC.
20．如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，的长为米，的长为米．
（1）请求出的长？
（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）．
【答案】（1）解：如图，由题意可知，，
∵，∴，∴，
∵米，∴米，
∵米，∴（米）；
（2）解：过点D作于H，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∵米，
∴，
解得：，
∴（米），
答：该车库入口的限高数值为米．
21．圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】（1）解：，，
，
答：的度数是．
（2）解：在Rt△ABC中，，
∴．
同理，在Rt△ADC中，有．
∵，
∴．
∴，
∴（米）．
答：表AC的长是3.3米．
22．图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高．
计算
（1）求点A的竖直高度；
操作
（2）将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？
探究
（3）在上述操作过程中，直接写出圆心O运动的路径长．（参考数据：）
【答案】解：（1）过点作于点C交于点D，则为切点，
∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的竖直高度；
（2）过点作AD⊥OB于点D，
则A点到地面的距离为BD长，设BD=x，则OE=OB-BD=（75-x）cm，
∴，即，
解得，
∴点A的高度升高为；
（3）如图，，
∴，
∴，
∴圆心O运动的路径长为．
23．在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
（1）如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
（2）如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
（3）如图3，当时，求的值
【答案】（1）设正方形的边长为x，
∵AC=3，
∴AE＝3－x，
∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC，
∴，
解得 x＝，
∴这个正方形的边长为.
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图，设DG＝y，
∵tan∠DCF＝，
∴.∴CG＝2y，
∴BG=BC-CG＝4－2y，
∵DGAC，∴，
∴，
解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，∴tan∠GDF＝，∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴四边形CNDM为矩形，∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，∴＝，
∵=，∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
24．如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交与点．
（1）求证：为的中点．
（2）①若，求的值．
②当为直角三角形时，求的正切值．
【答案】（1）证明：为的直径，弦，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，，
，
，
即为的中点．
（2）解：①，且，
∴，
设，则，
∴．
，
，
，
，
解得，
．
②（i）当时，，
∴，
由（1）得，
∴，
，，
设，
，，
由（1）知，，
，
．
（ii）当时，，
∴．
，，
∴，
∴，
四边形为平行四边形，
由，
∴四边形为正方形，
，
．
综上，的正切值为或1．
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