浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训四
一、轴对称图形
1．（2025八上·鄞州期末）下列选项中的图形属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·义乌期中）下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·镇海区期末）下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·广州期中）下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
二、斜中线运用
5．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·西湖期末）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 ．
7．（2024八上·鄞州期中）如图，中，D为中点，．若，，则的长度（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
8．（2024八上·诸暨期末）如图，四边形中，，，连接，．M是的中点，连接．若，则 ．
9．（2024八上·海曙期末）如图，，已知中，，，的顶点A、B分别OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
10．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
11．（2024八上·海曙期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，，若，，则的面积是 .
12．（2025八上·义乌期中）如图，在线段的同侧作和，和相交于点O，M、N分别是边、的中点，连结，，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当，时，求的长．
三、等腰三角形的三线合一
13．（2024八上·慈溪期末）如图，在等腰中，为的角平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
14．（2025八上·温州期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ．
15．（2025八上·柯桥期中）如图，△ABC中，，，是△ABC的中线，点在边上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
16．（2025八上·丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
四、等腰三角形中的一题多解
17．（2024八上·浦江期末）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
18．（2024八上·宁波期末）等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为 ．
19．（2025八上·镇海区期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ．
20．已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高线AD=8，则BC边的长为 .
21．（2024八上·海曙期末）等腰三角形两边分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
22．（2025八上·江阳期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
五、将军饮马问题
23．（2025八上·旺苍期末）已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是 ．
24．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
25．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为
26．（2025八上·三台期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，即可判断得出结果.
2．【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由于B、C、D所对应的图形沿任一直线折叠后都不能完全重合，故这三个图形都不是轴对称图形.
故正确答案为：A
【分析】把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故A不符合；
不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故B不符合；
不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故C不符合；
能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故D符合．
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作判断即可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
5．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长.
6．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5，
∴斜边为，
∵一条直角边是4，
∴另一直角边长为．
故答案为：3．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再根据勾股定理计算即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
8．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，，得到，即可得出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解题即可．
9．【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC=BC=25，
∴AH=BH=AB=7，
在Rt△BCH中，OH=AB=7
由勾股定理得：CH===24，
∵OC≥CH OH，
∴当O，C，H共线时，OC最小，
∴OC的最小值为24 7=17.
故答案为：17.
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH，从而得到OC的最小值．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示：
∵，
∴F 是中点，
∵，∴，△BEC是直角三角形，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
连接DE.
∵AD⊥BC，CE为AB边的中线，
∴AE=DE=BE.
又∵CD=5=AE，
∴AB=2AE=10.
∵BD=8，
∴Rt△ABD中，AD=6.
∴.
∴.
∵BD：CD=8：5，
∴.
∵DE=AE=DC，DG⊥EC，
∴GE=GC，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意可得DE为直角三角形斜边的中线，故有AB=2AE=2DE，再根据DC=AE，CD=5，可求得AB=10，从而可得AD=6，于是可求△ABC的面积，根据同高的三角形面积等于底边长之比，可得△BEC的面积，再次利用可求得△DEC的面积.根据等腰三角形三线合一的性质可得EG=CG，依然利用同高的三角形面积等于底边长之比，求得△DGC的面积.
12．【答案】（1）解：为直角三角形，理由如下：
如图，连结，
，
点M是的中点，
，，
，
为的中点，
，
，
为直角三角形；
（2）解：由（1），
为的中点，
，
，
，
故的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于PM是直角三角形APQ斜边AQ上的中线，则PM等于AQ的一半，则连接MB，同理可得BM等于AQ的一半等于PM，由于N是PB中点，则由等腰三角形三线合一得MN垂直PB，即三角形PMN是直角三角形；
（2）由（1）知PM＝13，PN＝12，再利用勾股定理求解即可.
13．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴D是BC的中点，且AD⊥BC，
又∵，
∴ BD=1，
由勾股定理可得，
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD的长度和AD⊥BC，再利用勾股定理求解即可.
14．【答案】2
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，是边上中线，
∴，，
∴是直角三角形，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：2.
【分析】由等腰三角形的三线合一得到，，是直角三角形，由等边对等角及等量代换得∠DAC=∠ADE，由内错角相等，两直线平行，得DE∥AC，由二直线平行，同位角相等及等量代换得，进而根据等角对等边得到，从而即可得出答案.
15．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=∠BAC=40°
∴∠ADC=90
∵AD=AE
∴∠ADE=
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°
故答案：C.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AD⊥BC和⊥CAD的度数，再由AD=AE可得⊥ADE的度数，即得∠EDC的度数.
16．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∴∠ADC=90°，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得、∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据角的和差即可得 ∠EDC 的度数．
17．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一内角度数为，
∴可以是顶角的度数也可以是底角的度数，
当是底角的度数时，有顶角的度数为：，
综上所述，它的顶角的度数为或；
故答案为：D．
【分析】分成两种情况讨论：顶角等于或底角等于，利用三角形的内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”性质即可求出顶角的度数．
18．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（180°-100°）÷2=40°
故答案为：40°
【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角，得到两个底角相等，100°不可能作底角，只能作为顶角
19．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：当为腰时，如图，
∵，
∴，
∴等腰是等边三角形， AB=2，
∴，
当为底时，如图，
∵，，
∴，
∴等腰是等边三角形，
∴，
综上所述，边的长为，
故答案为：．
【分析】分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解．
20．【答案】9或21
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：分两种情况，如图．
∵AB=17，AC=10，BC边上得高AD=8
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
在Rt△ACD中，由勾股定理得.
∴①BC=BD+CD=15+6=21
②BC=BD-CD=15-6=9．
故答案为：9或21.
【分析】根据勾股定理求出BA、CD的长，再分两种情况讨论：①高AD落在△ABC内部；②高AD落在△ABC外部，即可求出BC的长度.
21．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为底时，其它两边都为，三边为、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，舍去．
则这个等腰三角形的周长为．
故答案为：．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为2、5，分类讨论：当为底时；当为腰时，分别求解即可.
22．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个外角等于，
与它相邻的内角，
三角形内角和为，
等腰三角形的顶角为，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角与其相邻的内角之和为180°，求出的内角是100°，根据三角形的内角和定理，100°只能为顶角．
23．【答案】9.6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，连接CE；
∵AB=AC，且AC=10，
∴AB=10，
∵E 是高 AD 上任一点，
∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD=6，
∵BE+EF= CE+EF，
根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线，且F点与G点重合时，CE+EF的值最小，最小值就是线段CG的长，
∵，
∴CG==9.6，
∴BE＋EF的最小值为9.6，
故答案为：9.6．
【分析】求两条线段的最小值，一般情况需将这两条线段放到一条线上或放到一个三角形中去考虑，通常的方法是找对称点，作CG⊥AB于G点，由等腰三角形的性质可得BE=CE，根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线时，BE+EF的长为最小值，据此求解即可．
24．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AP、AD、AQ，如图，
∵点D、P关于AB轴对称，
∴
同理：
∴
∴点D、P、Q在以点A为圆心AP为半径的圆上，
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵点D为BC上一点，
∴当AD取最小值时，AD⊥BC，PQ最小，
∴
∴PQ的最小值是：
故答案为：B.
【分析】连接AP、AD、AQ，根据轴对称的性质得到：，则点D、P、Q在以点A为圆心AP为半径的圆上，进而得到：当AD⊥BC时，PQ最小，进而计算即可.
25．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是等腰三角形，点D为边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为7．
故答案为7．
【分析】如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可．
26．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作，交于点E，
∴为到的垂线段，即高，是的最小值，
作点E关于的对称点，关于的对称点．
∴，，则．
当M，N与C重合时，，
，，
路径
∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度．
，
∴，即、C、共线，
故．
面积，
又，即，
解得．
∴，即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点．将转化为求线段的长度；再由三角形面积公式求出AB边上的高的值，然后根据=2CE即可求得的最小值．
1 / 1浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训四
一、轴对称图形
1．（2025八上·鄞州期末）下列选项中的图形属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故A不符合题意；
B.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
C.属于中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D.是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，即可判断得出结果.
2．（2025八上·义乌期中）下面四个手机应用图标中属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：由于B、C、D所对应的图形沿任一直线折叠后都不能完全重合，故这三个图形都不是轴对称图形.
故正确答案为：A
【分析】把一个图形沿某条直线折叠后能够完全重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴.
3．（2025八上·镇海区期末）下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故A不符合；
不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故B不符合；
不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故C不符合；
能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故D符合．
故选：D．
【分析】根据轴对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作判断即可.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4．（2024八上·广州期中）下列各种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
二、斜中线运用
5．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：中，，，点为斜边上的中点，
；
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长.
6．（2024八上·西湖期末）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 ．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5，
∴斜边为，
∵一条直角边是4，
∴另一直角边长为．
故答案为：3．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再根据勾股定理计算即可.
7．（2024八上·鄞州期中）如图，中，D为中点，．若，，则的长度（ ）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，为中点，
，
，
由勾股定理得：．
故选：C．
【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理.利用垂直的定义可得：，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出长，再根据勾股定理进行计算可求出．
8．（2024八上·诸暨期末）如图，四边形中，，，连接，．M是的中点，连接．若，则 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，
，
，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：．
【分析】由直角三角形斜边中线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，，得到，即可得出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理解题即可．
9．（2024八上·海曙期末）如图，，已知中，，，的顶点A、B分别OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为 ．
【答案】17
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：作CH⊥AB于H，连接OH，如图，
∵AC=BC=25，
∴AH=BH=AB=7，
在Rt△BCH中，OH=AB=7
由勾股定理得：CH===24，
∵OC≥CH OH，
∴当O，C，H共线时，OC最小，
∴OC的最小值为24 7=17.
故答案为：17.
【分析】作CH⊥AB于H，连接OH，根据等腰三角形的性质得AH=BH=AB=7，直角三角形斜边上的中线性质得OH=AB=7，再利用勾股定理计算出CH=24，则利用三角形三边的关系得到OC≥CH-OH，从而得到OC的最小值．
10．（2024八上·余姚期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示：
∵，
∴F 是中点，
∵，∴，△BEC是直角三角形，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可.
11．（2024八上·海曙期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，，若，，则的面积是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
连接DE.
∵AD⊥BC，CE为AB边的中线，
∴AE=DE=BE.
又∵CD=5=AE，
∴AB=2AE=10.
∵BD=8，
∴Rt△ABD中，AD=6.
∴.
∴.
∵BD：CD=8：5，
∴.
∵DE=AE=DC，DG⊥EC，
∴GE=GC，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意可得DE为直角三角形斜边的中线，故有AB=2AE=2DE，再根据DC=AE，CD=5，可求得AB=10，从而可得AD=6，于是可求△ABC的面积，根据同高的三角形面积等于底边长之比，可得△BEC的面积，再次利用可求得△DEC的面积.根据等腰三角形三线合一的性质可得EG=CG，依然利用同高的三角形面积等于底边长之比，求得△DGC的面积.
12．（2025八上·义乌期中）如图，在线段的同侧作和，和相交于点O，M、N分别是边、的中点，连结，，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）解：为直角三角形，理由如下：
如图，连结，
，
点M是的中点，
，，
，
为的中点，
，
，
为直角三角形；
（2）解：由（1），
为的中点，
，
，
，
故的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由于PM是直角三角形APQ斜边AQ上的中线，则PM等于AQ的一半，则连接MB，同理可得BM等于AQ的一半等于PM，由于N是PB中点，则由等腰三角形三线合一得MN垂直PB，即三角形PMN是直角三角形；
（2）由（1）知PM＝13，PN＝12，再利用勾股定理求解即可.
三、等腰三角形的三线合一
13．（2024八上·慈溪期末）如图，在等腰中，为的角平分线，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴D是BC的中点，且AD⊥BC，
又∵，
∴ BD=1，
由勾股定理可得，
故答案为：D.
【分析】先根据等腰三角形的性质得到BD的长度和AD⊥BC，再利用勾股定理求解即可.
14．（2025八上·温州期末）如图，在中，，是边上中线，E是上一点，且．若，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，，是边上中线，
∴，，
∴是直角三角形，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：2.
【分析】由等腰三角形的三线合一得到，，是直角三角形，由等边对等角及等量代换得∠DAC=∠ADE，由内错角相等，两直线平行，得DE∥AC，由二直线平行，同位角相等及等量代换得，进而根据等角对等边得到，从而即可得出答案.
15．（2025八上·柯桥期中）如图，△ABC中，，，是△ABC的中线，点在边上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=∠BAC=40°
∴∠ADC=90
∵AD=AE
∴∠ADE=
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°
故答案：C.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AD⊥BC和⊥CAD的度数，再由AD=AE可得⊥ADE的度数，即得∠EDC的度数.
16．（2025八上·丽水期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∠BAD＝24°，AD＝AE，∠EDC＝ 度．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∴∠ADC=90°，
，
，
.
故答案为：12．
【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得、∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质可得的度数，然后根据角的和差即可得 ∠EDC 的度数．
四、等腰三角形中的一题多解
17．（2024八上·浦江期末）已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一内角度数为，
∴可以是顶角的度数也可以是底角的度数，
当是底角的度数时，有顶角的度数为：，
综上所述，它的顶角的度数为或；
故答案为：D．
【分析】分成两种情况讨论：顶角等于或底角等于，利用三角形的内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”性质即可求出顶角的度数．
18．（2024八上·宁波期末）等腰三角形的一个内角为，则它的一个底角的度数为 ．
【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（180°-100°）÷2=40°
故答案为：40°
【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角，得到两个底角相等，100°不可能作底角，只能作为顶角
19．（2025八上·镇海区期末）已知等腰三角形，若边上的高线与边的夹角为，则边的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：当为腰时，如图，
∵，
∴，
∴等腰是等边三角形， AB=2，
∴，
当为底时，如图，
∵，，
∴，
∴等腰是等边三角形，
∴，
综上所述，边的长为，
故答案为：．
【分析】分为腰和底两种情况分别讨论，即可求解．
20．已知在△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高线AD=8，则BC边的长为 .
【答案】9或21
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：分两种情况，如图．
∵AB=17，AC=10，BC边上得高AD=8
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
在Rt△ACD中，由勾股定理得.
∴①BC=BD+CD=15+6=21
②BC=BD-CD=15-6=9．
故答案为：9或21.
【分析】根据勾股定理求出BA、CD的长，再分两种情况讨论：①高AD落在△ABC内部；②高AD落在△ABC外部，即可求出BC的长度.
21．（2024八上·海曙期末）等腰三角形两边分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当为底时，其它两边都为，三边为、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，因为，所以不能构成三角形，舍去．
则这个等腰三角形的周长为．
故答案为：．
【分析】因为等腰三角形的两边分别为2、5，分类讨论：当为底时；当为腰时，分别求解即可.
22．（2025八上·江阳期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个外角等于，
与它相邻的内角，
三角形内角和为，
等腰三角形的顶角为，
故选：B．
【分析】根据三角形的外角与其相邻的内角之和为180°，求出的内角是100°，根据三角形的内角和定理，100°只能为顶角．
五、将军饮马问题
23．（2025八上·旺苍期末）已知，如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，E 是高 AD 上任一点，F 是腰 AB 上任一点，腰 AC＝10，BD＝6，AD＝8，那么线段 BE＋EF 的最小值是 ．
【答案】9.6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，连接CE；
∵AB=AC，且AC=10，
∴AB=10，
∵E 是高 AD 上任一点，
∴AD⊥BC，AD是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD=6，
∵BE+EF= CE+EF，
根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线，且F点与G点重合时，CE+EF的值最小，最小值就是线段CG的长，
∵，
∴CG==9.6，
∴BE＋EF的最小值为9.6，
故答案为：9.6．
【分析】求两条线段的最小值，一般情况需将这两条线段放到一条线上或放到一个三角形中去考虑，通常的方法是找对称点，作CG⊥AB于G点，由等腰三角形的性质可得BE=CE，根据垂线段最短可知，当C、E、F三点共线时，BE+EF的长为最小值，据此求解即可．
24．（2024八上·宁波期末）如图，在中，，，，点D为BC上一点，点P、Q分别是点D关于AB、AC的对称点，则PQ的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接AP、AD、AQ，如图，
∵点D、P关于AB轴对称，
∴
同理：
∴
∴点D、P、Q在以点A为圆心AP为半径的圆上，
∵
∴为等腰直角三角形，
∴
∵点D为BC上一点，
∴当AD取最小值时，AD⊥BC，PQ最小，
∴
∴PQ的最小值是：
故答案为：B.
【分析】连接AP、AD、AQ，根据轴对称的性质得到：，则点D、P、Q在以点A为圆心AP为半径的圆上，进而得到：当AD⊥BC时，PQ最小，进而计算即可.
25．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是等腰三角形，点D为边的中点，
∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴的长为的最小值，
∴的最小值为7．
故答案为7．
【分析】如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可．
26．（2025八上·三台期末）如图，在中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作，交于点E，
∴为到的垂线段，即高，是的最小值，
作点E关于的对称点，关于的对称点．
∴，，则．
当M，N与C重合时，，
，，
路径
∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度．
，
∴，即、C、共线，
故．
面积，
又，即，
解得．
∴，即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作，交于点E，作点E关于的对称点，关于的对称点．将转化为求线段的长度；再由三角形面积公式求出AB边上的高的值，然后根据=2CE即可求得的最小值．
1 / 1
