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相似三角形 单元复习专项提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2． 设x，y，c是实数，下列说法中，正确的是( )
A．若x=y，则x+c=y-c B．若x=y，则 xc= yc
C．若x=y，则 D．若 则2x=3y
3．若，则的值等于（ ）．
A． B． C． D．5
4．下列四个命题：①两角分别相等的两个三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两直角边成比例的两个直角三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE： AD=1 ： 3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG= （ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
6．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=4，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在 CD延长线上，点 H在 CB延长线上，连接 AC，EH分别交AD，AC、AB于点 F、K、G，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9． 如图，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B1C1 的角平分线.若 则 的值是( )
A． B． C．k D．k2
10．如图，正方形 的边 ， 上各有一个点 ， ，连结 ，且 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，连结 ， ， ， ，其中 与 相交于点 ， ，为求出平行四边形 的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图，若拍摄远的物体，其在底片上的图象的宽是，焦距是，则物体的宽是 ．
12．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 m
13．已知是a，b的比例中项，则 .
14．在 中， ， ， ，点 、 分别在边 、 上．如果 为 中点，且 ，那么 的长度为 ．
15．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 ．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，E、F分别是BC、CD边上的点，，分别连接AE、BF，两线段交于一点M，点G、H分别是AE、BF边上的中点．
（1）当BE＝4时，线段GH的长为 ．
（2）连结DM，当时，＝ ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知 ，且x+y+z＝68．求x，y，z的值．
18．西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度，，求钟楼的高度．
19．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
20．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
21．如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿AE，测得竹影长AC为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度AB，他又竖起2m长的竹竿BF，测得影长BD正好为2m，求路灯的高度OP为多少米？
22． 如图，已知中，，，，点在上，连接，作，交的外接圆于点，连结和．
（1）求证：；
（2）如图，若点是中点，当时，求的长．
23．如图，已知 与 相交于点 ， // ， ， ， ，求 和 的长.
24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
25．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接．
（1）如图1，，，若，求的度数；
（2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：；
（3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值．
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相似三角形 单元复习专项提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，D是边延长线上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴当或时，由有两个角对应相等的两个三角形相似可判定；
当时，由有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定；
即选项A、B、D不符合题意，而选项C中条件不能判定，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由条件知，已有条件，则可分别添加或，可判定，或添加，可判定，则可得到问题的答案．
2． 设x，y，c是实数，下列说法中，正确的是( )
A．若x=y，则x+c=y-c B．若x=y，则 xc= yc
C．若x=y，则 D．若 则2x=3y
【答案】B
【解析】【解答】解：A.等式的两边同时作相同的变化才能仍然成立，A错误；
B.等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立，B正确；
C.等式两边同时除以一个相同的非零实数，等式仍然成立，C错误；
D.若，由比例的性质可知3cx=2cy，而，则两边除以x得3x=2y，D错误.
故答案为：B.
【分析】牢牢抓住等式的性质内容，特别是两边同时除以一个数或式时，一定要考虑它是否为0，不为0才可以除。
3．若，则的值等于（ ）．
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】【分析】∵；∴。
故选A。
4．下列四个命题：①两角分别相等的两个三角形相似；②三边成比例的两个三角形相似；③两直角边成比例的两个直角三角形相似；④顶角相等的两个等腰三角形相似．其中是真命题的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②
【答案】C
【解析】【解答】①两角分别相等的两个三角形相似，是真命题；
②三边成比例的两个三角形相似，是真命题；
③两直角边成比例的两个直角三角形相似，是真命题；
④顶角相等的两个等腰三角形相似，是真命题；
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定定理及两直角三角形的判定定理可对①②③作出判断，两个等腰三角形的顶角相等，则两底角也相等，因此可对④作出判断，综上所述可证得正确的序号。
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE： AD=1 ： 3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG= （ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
设，则，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵点F是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据题意设，则，进而根据平行四边形的性质得到，，从而根据中点得到，再根据相似三角形的判定与性质证明即可得到.
6．如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，AB=4，则△ADE与△ABC的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的相似比为AD：AB=1：4．
故选D．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
7．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝ ，BC＝2，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（ ）
A． B． C．1 D．1.5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB=
BC=2，∴AC= =
∴AO=
=
∵EO⊥AC，
∴∠AOE=∠ADC=90°，
又∵∠EAO=∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴AE/AC=AO/AD
即 =
解得AE=1.5．
故答案为：D．
【分析】本题可以用勾股定理解答，连接EC，因为EO⊥AC，所以EC=AE（线段的垂直平分线的性质），在Rt△EDC中，ED+EC=2，CD=，用勾股定理即可求出EC的长，即AE的长；本题还可以用相似三角形做，利用△AEO∽△ACD，可得对应线段成比例，同样即可求出AE的值.
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在 CD延长线上，点 H在 CB延长线上，连接 AC，EH分别交AD，AC、AB于点 F、K、G，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.∵在平行四边形ABCD中，
∴ ，即 ，此选项正确；
B. ∵在平行四边形ABCD中，
∴
∴
∴ ，此选项正确；
C. ∵在平行四边形ABCD中，
∴
∴
∵
∴ ，此选项错误；
D. ∵在平行四边形ABCD中，
∴
∴ ，此选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质以及平行线截线段成比例、相似三角形的性质逐项分析判断即可．
9． 如图，△ABC∽△A1B1C1，AD，A1D1分别是△ABC，△A1B1C1 的角平分线.若 则 的值是( )
A． B． C．k D．k2
【答案】C
【解析】【解答】解：分别是两三角形的角平分线
故答案为：C .
【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
10．如图，正方形 的边 ， 上各有一个点 ， ，连结 ，且 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上，连结 ， ， ， ，其中 与 相交于点 ， ，为求出平行四边形 的面积，只需知道下列哪条边的长度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设
四边形ABCD为正方形
，
四边形EFGH是平行四边形
HG=EF，
，
在 和 中
，
同理可证明
S△BGH=S△DEF，S△AGF=S△CEH
即
S平行四边形EFGH=
故答案为：D.
【分析】设AG=b，IJ=AI=a，由平行四边形的性质可得HG=EF，∠JGH=∠FEH，由等角的余角相等可得∠IGJ=∠HEC，然后证明△BGH≌△DEF，得到BG=DE=AI=IJ=a，同理可证明△AGF≌△CEH，得到S△BGH=S△DEF，S△AGF=S△CEH，由平行线分线段成比例的性质可得AF=，据此解答.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象，如图是一个微距拍摄成像的示意图，若拍摄远的物体，其在底片上的图象的宽是，焦距是，则物体的宽是 ．
【答案】24
【解析】【解答】解：，
，
，即，
，
故答案为：24．
【分析】证明，根据相似三角形的性质求解即可。
12．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直角三角纸板中DE=18cm，EF=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 m
【答案】77.8
【解析】【解答】解：在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC＋BC＝1.8＋76＝77.8（m），
即“步云阁”的高度为77.8m，
故答案为：77.8．
【分析】先证出△DEF∽△DCB，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
13．已知是a，b的比例中项，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：因为a=3，b=4，c是a，b的比例中项，所以c2=ab=12，
故答案为：
【分析】c是a，b的比例中项，则即c2=ab。
14．在 中， ， ， ，点 、 分别在边 、 上．如果 为 中点，且 ，那么 的长度为 ．
【答案】5或1.4
【解析】【解答】解：∵在 中，根据勾股定理得，AC= ，
又D是AB的中点，∴AD= AB=4，
∵ ，
∴ ，∴DE=3．
分以下两种情况：
①当点E在如图①所示的位置时，即点E为AC的中点时，DE= BC=3，
故此时AE= AC=5；
②点E在如图②所示的位置时，DE=3，过点D作DF⊥AC于点F，
∵∠AFD=∠B=90°，∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴ ，即 ，∴DF=2.4．
∴在Rt△ADF中，AF= ，
在Rt△DEF中，EF= ，
∴AE=AF-EF=1.4．
综上所述，AE的长为5或1.4．
故答案为：5或1.4．
【分析】根据已知比例式先求出DE的长，再分两种情况：①E为BC的中点，可直接得出AE的长；②点E在靠近点A的位置，过点D作DF⊥AC于点F，证明△ADF∽△ACB，得出 ，从而可得出DF的长，再分别根据勾股定理得出AF，EF的长，从而可得出结果．
15．如图，在已建立直角坐标系的4×4的正方形方格纸中，△ABC是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（C点除外），则格点P的坐标是 ．
【答案】（1，4）或（3，1）或（3，4）
【解析】【解答】解：如图：此时AB对应P1A或P2B，且相似比为1：2，
故点P的坐标为：（1，4）或（3，4）；
△ABC≌△BAP3
此时P的坐标为（3，1）；
∴格点P的坐标是（1，4）或（3，1）或（3，4）．
【分析】根据题意作图，可以作相似比为1：2的相似三角形，还要注意全等的情况，根据图形即可得有三个满足条件的解．
16．如图，正方形ABCD的边长为10，E、F分别是BC、CD边上的点，，分别连接AE、BF，两线段交于一点M，点G、H分别是AE、BF边上的中点．
（1）当BE＝4时，线段GH的长为 ．
（2）连结DM，当时，＝ ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】（1）解：在正方形ABCD中，
，，
在△ABE和△BCF中
∵，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，
由勾股定理，则，
∵∠AEB=∠BEM，∠BAE=∠CBF，
∴△ABE∽△BME，
∴∠BME=∠ABE=90°，，
∴，
∴，
∴，
∵点G、H分别是AE、BF边上的中点，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
（2）同（1）可得，
，
，
，
，
，
如图，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，
∵，
∴
∴
∴
解得，
∴，
由勾股定理得，
∴
故答案为：．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC=10，∠ABE=∠BCF=90°，证明△ABE≌△BCF，得到∠BAE=∠CBF，AE=BF，利用勾股定理求出AE，证明△ABE∽△BME，根据相似三角形的性质可得ME，利用勾股定理求出BM，根据中点的概念可得BH=GE=AE，然后求出GM、MH，再利用勾股定理计算即可；
（2）同①可得AE、BF、ME、BM、BH、GM、MH、GH的值，作MN⊥BC于点N，MP⊥CD于点P，证明△MBE∽△BNM，根据相似三角形的性质可得BN、MN，进而求出MP、DP，然后利用勾股定理求出DM，据此求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知 ，且x+y+z＝68．求x，y，z的值．
【答案】解：设 ，
则x＝9k，y＝11k，z＝14k，
∴9k+11k+14k＝68，
解得：k＝2，
∴x＝18，y＝22，z＝28．
答：x，y，z的值分别为18，22，28．
【解析】【分析】利用设k法可以得到，再利用k的表达式表示出x、y、z的值，再将x、y、z代入x+y+z＝68，求出k的值，即可求出x、y、z的值。
18．西安钟楼位于西安市中心，明城墙内东西南北四条大街的交汇处，为中国现存钟楼中形制最大、保存最完整的一座．如图，小琪想要测出钟楼的高度，于是在地面上的C处放置了一面镜子，当他站在离镜子C处的E处时，恰好从镜子里看到钟楼顶端A在镜子中的像（即）．已知B，C，E在同一直线上，小琪的眼睛离地面的高度，，求钟楼的高度．
【答案】解：由题意得，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴钟楼的高度为．
【解析】【分析】由题意得∠ABC=∠DEC=90°，由已知条件可知∠DCE=∠ACB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DCE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质进行计算.
19．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．
【答案】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CBA
∴
即
∴x＝
图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．
由勾股定理得：
AC＝
∵
∴
设乙同学加工的桌面边长为ym，
∵DE∥AC
∴△BDE∽△BAC
∴
即
∴y＝
∵ ＞ ，即x＞y，x2＞y2
∴甲同学的加工方法更好．
【解析】【分析】 如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm， 先证明 △CDE∽△CBA ，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； 图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P． 先利用勾股定理求出AC，再证明 △BDE∽△BAC ，最后利用相似三角形列出比例式求解即可。
20．如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？
【答案】解：过点作交于点，如图所示：
则，
，即
答：这棵树高．
【解析】【分析】过点作交于点，先证出，再利用相似三角形的性质可得，即，求出BE的长，最后求出AB的长即可.
21．如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m长的竹竿AE，测得竹影长AC为1m，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度AB，他又竖起2m长的竹竿BF，测得影长BD正好为2m，求路灯的高度OP为多少米？
【答案】解：设路灯高度OP为x米，
由题意，可知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，解得
∴
又∵，∴，
∴，即，解得
答：路灯高度为10米
【解析】【分析】设路灯高度OP为x米，由题意得，，，进而根据平行线的判定证明，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值即可得到，从而即可表示CP，再根据相似三角形的判定与性质证明得到，代入数值即可求解。
22． 如图，已知中，，，，点在上，连接，作，交的外接圆于点，连结和．
（1）求证：；
（2）如图，若点是中点，当时，求的长．
【答案】（1）证明：如图：设与相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
点是中点，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得：，
的长为．
【解析】【分析】（1）设与相交于点，先根据垂直结合题意即可得到，进而根据圆周角定理即可求解；
（2）先运用勾股定理求出AC，BD，从而根据圆内接四边形的性质得到，再根据相似三角形的判定与性质证明∽，代入数据即可求解。
23．如图，已知 与 相交于点 ， // ， ， ， ，求 和 的长.
【答案】解：∵ // ，
∴
又∵ ，
∴ ，解得
∴
∵ // ，
∴ ∽ ，
∴
又∵ ，
∴ ，解得
【解析】【分析】由平行线的性质可得 ，根据OA的值可得OD的值，进而求得AD的值，证明△OAB∽△ODC，由相似三角形的性质求解即可.
24．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，
，
，
解得．
（3）解：当时，重叠部分是矩形，
当时，重叠部分是五边形．
，
综上所述，
（4）解：或．
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
，
．
故答案为：．
（4）如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．
，，，
，
，，设，
，，，
，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．
同法可证：，
，，设，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
解得 ．
综上所述，满足条件的的值为或
【分析】（1）由题意，，进而即可求解；
（2）根据题意结合平行线分线段成比例即可求解；、
（3）根据题意分类讨论：当时，重叠部分是矩形，；当时，重叠部分是五边形
，，进而即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当点落在的角平分线上时，满足条件．作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于．进而根据三角形全等的判定与性质结合题意勾股定理解一元二次方程即可求解。
25．在中，，D是边上一动点，E是外一点，连接．
（1）如图1，，，若，求的度数；
（2）如图2，，，过点D作交于点F，若，求证：；
（3）如图3，，延长交的延长线于点F，交于点G，点D是直线上一动点，将沿翻折得，连接，取的中点M，连接，若，当线段取得最大值时，请直接写出的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
∴，
又∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：在上截取，连接交于点N，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵，
∴，
在和中，
；
∴，
∴，
又∵∠，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：．
【解析】【解答】解：如图所示，在上取一点T，使得，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，则，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点F作分别交延长线于S、K，
∴，
又∵，
∴，是等边三角形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
如图所示，取中点R，连接，
由折叠的性质可得，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，
∴当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，
如图所示，过点A作于V，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴
【分析】（1）先根据题意得到∠A的度数，进而根据等边三角形的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明得到，从而运用角的运算即可求解；
（2）在上截取，连接交于点N，先根据等腰三角形的性质得到，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，从而结合题意得到，再证明得到，从而即可得到，再结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）在上取一点T，使得，连接，先根据等边三角形的判定与性质得到，进而证明即可得到，设，则，进而结合题意即可得到，设，则，，再根据线段的运算得到，过点F作分别交延长线于S、K，根据等边三角形的判定与性质结合题意即可得到，，进而根据相似三角形的判定与性质得到，取中点R，连接，由折叠的性质可得，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，从而得到点M在以R为圆心，为半径的圆上运动，当A、M、R三点共线，且R在上时，有最大值，过点A作于V，进而结合题意运用勾股定理即可求解。
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