中小学教育资源及组卷应用平台
解直角三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算： （ ）
A． B． C． D．
2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
3．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A． B．51 C． D．101
4．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠A的正切值是( )
A． B． C． D．2
5．计算（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接交于点.若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
8．已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数 ，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（ ）
A． B． +2 C．2 +1 D． +1
9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
12．如图⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若AB＝26，CD＝24，则tan∠OCE＝ .
13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 度．
14． （填“＞或＜”）.
15．如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 ．
16．如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在边长为1的小正方形网格中有A，B，C，D 四点，且A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上.
请以点A为原点建立平面直角坐标系，并解答下列问题：
（1）请写出B，C，D三点的坐标；
（2）连接CD，请画出线段 CD关于y轴对称的线段 MN并写出点M，N的坐标(M，N分别为C，D的对应点)；
（3）连接AC，画出将AC绕原点A顺时针旋转90°得到的对应线段AE，连接ED，请求出点 E 的坐标及线段DE 的长；
（4）连接AB，AC，AD.
①请判断与的大小关系，并说明理由；
②请计算的值.
18．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
19．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
20．点为塔楼底面中心，测角仪高度，在，处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，点，，在同一条直线上，求塔楼的高度结果精确到米；参考数据：，，
21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求古塔BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin76°≈0.9703，cos76°≈0.2419，tan76°≈4.0108）
22．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
23．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
24．如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，)
25．已知正方形ABCD，点M是边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
解直角三角形 单元同步真题检测卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】根据特殊锐角三角函数值进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可.
2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1= ，则∠2的度数为（ ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，
∵sin∠1= ，
∴∠1=45°，
∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠4=180°﹣∠3=135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=135°．
故答案为：B．
【分析】根据特殊锐角值得出∠1=45°，进而根据三角形的内角和算∠3与∠4的度数，再根据二直线平行同位角相等得出结论。
3．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（ ）
A． B．51 C． D．101
【答案】C
【解析】【解答】解：设AG=x，
在Rt△AEG中，
∵tan∠AEG=，
∴EG==x，
在Rt△ACG中，
∵tan∠ACG=，
∴CG==x，
∴x﹣ x=100，
解得：x=50．
则AB=50+1（米）．
故选C．
【分析】设AG=x，分别在Rt△AEG和Rt△ACG中，表示出CG和GE的长度，然后根据DF=100m，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AH．
4．如图，在网格图中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠A的正切值是( )
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，在Rt△ADB中，
∴AD＝，BD＝，
∴∠BAC 的正切值是．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出AD和BD的长，再利用正切定义及计算方法列出算式求解即可.
5．计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：sin30° tan45°
＝ 1
＝ ，
故答案为：B．
【分析】根据特殊角的三角函数值，sin30°=，tan45°=1，代入计算即可．
6．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AC，AB于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交BC于点E．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由作法得 平分 ，
作 于H，如图，
为角平分线， ， ，
，
， ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ， ，
，
，
，
在 中， ．
故答案为：A．
【分析】利用基本作图得 平分 ，作 于 ，如图，根据角平分线的性质得 ，再利用等腰直角三角形的性质得 ， ， ，设 ，则 ， ， ，所以 ，然后根据正切的定义求解．
7．如图，是以为底边的等腰三角形，点为的外心，连接交于点.若，则的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】【解答】连接OC，如图所示：
∵点为的外心，△ABC是等腰三角形，
∴OA=OC，AO⊥BC，
∵，
∴OA=OC=AC=1，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
在Rt△AMC中，
MC=AC×sin∠MAC=1×=，
∴BC=2MC=2×=，
故答案为：A.
【分析】先利用三角形外心的性质可得AO⊥BC，再证出△OAC是等边三角形，可得∠OAC=60°，再利用解直角三角形的方法求出MC的长，最后求出BC的长即可.
8．已知如图，菱形ABCD四个顶点都在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF垂直AB交AC于点G，反比例函数 ，经过线段DC的中点E，若BD=4，则AG的长为（ ）
A． B． +2 C．2 +1 D． +1
【答案】A
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E(b，a)，
∵反比例函数y=(x>0)经过点E，
∴ab=，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO CO=，
∴CO=，
∴tan∠DCO=
∴∠DCO=30 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60 ，
∴∠1=30 ，AO=CO=，
∵DF⊥AB，
∴∠2=30 ，
∴DG=AG，
设DG=r，则AG=r，GO=23√ r，
∵AD=AB，∠DAB=60 ，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60 ，
∴∠3=30 ，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴r2=( r)2+22，
解得：r=，
∴AG=，
故答案为：A
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，先证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab= ，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO=30°，再根据菱形的性质可得∠DAB=∠DCB=2∠DCO=60°，∠1=30°，AO=CO=，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长。
9．在中，、都是锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，
、都是锐角，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查特殊角的三角函数与三角形内角和，结合非负数（绝对值、平方）的和为0，则每一项均为0，结合特殊角的三角函数值求出∠A、∠C，再用内角和求∠B.
10．如图，在矩形中，，，将沿射线平移a个单位长度（）得到，连接，，则当是直角三角形时，a的值为（ ）
A．或 B．2或 C．或 D．或3
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得分两种情况：
①如图1，，延长交于，过点作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，，
，即，
设，，
，
由平移得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，，延长交于，则，
，
由平移得：，
同理设，，则，
，
，，
，
，
，
，即，
，
；
综上，的值是或．
故答案为：A
【分析】根据题意分类讨论：①，延长交于，过点作，交的延长线于，进而根据矩形的性质得到，，再运用锐角三角函数的定义即可设，，进而根据平移的性质得到，再结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解；②，延长交于，则，根据平移的性质得到，同理设，，则，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME=EB，又AD=DB，
∴DE= AM，DE∥AM，
∵∠ACB=60°，
∴∠ACM=120°，
∵CM=CA，
∴∠ACN=60°，AN=MN，
∴AN=AC sin∠ACN= ，
∴AM= ，
∴DE= ，
故答案为：
【分析】延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据DE平分△ABC的周长，故ME=EB，又AD=DB，根据三角形的中位线定理得出DE= AM，DE∥AM，根据等腰三角形的三线合一得出∠ACN=60°，AN=MN，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AN=AC sin∠ACN得出AN的长，进而得出 AM的长，从而得出DE的长。
12．如图⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若AB＝26，CD＝24，则tan∠OCE＝ .
【答案】
【解析】【解答】∵直径AB⊥弦CD，AB＝26，CD＝24
∴OC＝13，CE＝12
∴
∴tan∠OCE＝ .
【分析】先根据垂径定理求得CE的长，再根据勾股定理求的OE的长，最后根据锐角三角函数的定义求解即可.
13．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 度．
【答案】90
【解析】【解答】解：∵C岛在A岛的北偏东50°方向，
∴∠DAC=50°，
∵C岛在B岛的北偏西40°方向，
∴∠CBE=40°，
∵DA∥EB，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°．
故答案为：90．
【分析】根据方位角的概念和平行线的性质，结合三角形的内角和定理求解．
14． （填“＞或＜”）.
【答案】>
【解析】【解答】解：∵35°＞22°，
∴＞ 。
故答案为：＞.
【分析】根据锐角的正切随着角度的增大而增大，即可得出答案。
15．如图，边长为1的小正方形网格中，点 均在格点上，半径为2的 与 交于点F，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴在 中，
∴ ．
故答案为：
【分析】根据圆周角定理得到 ，根据正方形网格特点和正切函数定义即可求解．
16．如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：，，
如图，过作于点，
则，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
过作于点，交于点，
易得四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵投射角始终不变，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意得：，，过作于点，由勾股定理得：，易得四边形为矩形，则有，过作于点，交于点，易得四边形为矩形，证明，根据性质可得，最后由线段和差即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在边长为1的小正方形网格中有A，B，C，D 四点，且A，B，C，D均在格点(网格线的交点)上.
请以点A为原点建立平面直角坐标系，并解答下列问题：
（1）请写出B，C，D三点的坐标；
（2）连接CD，请画出线段 CD关于y轴对称的线段 MN并写出点M，N的坐标(M，N分别为C，D的对应点)；
（3）连接AC，画出将AC绕原点A顺时针旋转90°得到的对应线段AE，连接ED，请求出点 E 的坐标及线段DE 的长；
（4）连接AB，AC，AD.
①请判断与的大小关系，并说明理由；
②请计算的值.
【答案】（1）解：如图
∴点B，C，D三点的坐标分别为(1，3)，(3，3)，(5，1)
（2）解：如图
∴点M，N的坐标分别为(-3，3)，(-5，1)
（3）解：如图，AE 即为所求
∴点E的坐标为(3，-3)
且点D的坐标为(5，1)
∴DE=
（4）①
如图，把AB沿AC折叠得线段AB’，连接CD
∴∠BAC=∠B’AC
且∠DAC=∠B’AC+∠B’AD
∴∠BAC＜∠DAC
②∵AC=
CD=
AD=
∴AD2=AC2+CD2
∴△ACD是直角三角形
∴
【解析】【分析】（1）根据以点A为原点建立平面直角坐标系可得点B、C、D的坐标；
（2）根据y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数可得M、N的坐标，连接两点可得图像；
（3）根据旋转90°可得点D坐标，再根据平面直角坐标系中两点间的距离可得DE的长度；
（4）①把AB沿AC折叠得线段AB’，根据角的和差可判断大小；
②根据平面直角坐标系中两点间的距离可得AC、CD、AD的长度，再根据勾股定理的逆定理可判断△ACD是直角三角形，再根据正弦函数=可得结果.
18．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某景区山的高度
测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等
模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点．
测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角；②沿着山坡前进到达处；③在处测出山顶的仰角．注：图中所有点均在同一平面内．
（参考数据：，，，，，）
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求坡面的水平距离和垂直距离；
（2）求山的高．
【答案】（1）解：在中，，，，
，
，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和。
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为。
【解析】【分析】（1）在中，根据正弦函数、余弦函数定义：，，代入数据即可求出CH和AH的值。
（2）延长交于点，设，根据矩形性质，可得，，代入数据，求出BG的关系式，在中，根据正切函数定义：，代入数据即可求出BD的值。
（1）解：在中，，，，
，，
；；
答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和；
（2）解：延长交于点，如图所示：
则四边形是矩形，
设，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，即，
解得
，
答：山的高度为．
19．计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．
【答案】解：原式= +（）2﹣+2×
=+﹣+
=1+．
【解析】【分析】先把各特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
20．点为塔楼底面中心，测角仪高度，在，处分别测得塔楼顶端的仰角为，，，点，，在同一条直线上，求塔楼的高度结果精确到米；参考数据：，，
【答案】解：解：延长交于点，
则，，，
，
，
，
设，
则，
在中，，
即，
解得，
，
答：塔楼的高度为米．
【解析】【分析】延长AC交OP于点E，由，得CE=PE， 设CE=PE=x，在Rt△APE中利用正切求出x即可解答.
21．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求古塔BC的高度．（结果精确到1米，参考数据：sin76°≈0.9703，cos76°≈0.2419，tan76°≈4.0108）
【答案】解：（ ）过点 作 ，垂足为点 ，
∵斜坡 的坡度为 ，
∴ ，
设 ，则 ，由勾股定理，
得 ，
解得 ，
∴ ，
答：坡顶 到地面 的距离为 ．
（ ）延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，即 ．
解得 ．
答：古塔 的高度约为 米．
【解析】【分析】（1）过点A作AH⊥PO于点H，利用坡度的定义，及勾股定理就求出AP的长，即可得出AH的长。
（2）延长BC交PO于点D，易证四边形AHDC是矩形，再证明PD=BD，设BC=x，用含x的代数式表示出AC，然后利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值。
22．如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1： ，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i= = =tan∠ECF，
∴∠ECF=30°，
∴EF= CE=10米，CF=10 米，
∴BH=EF=10米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米，
在Rt△AHE中，∵∠HAE=45°，
∴AH=HE=（25+10 ）米，
∴AB=AH+HB=（35+10 ）米．
答：楼房AB的高为（35+10 ）米．
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，根据CE=20米，坡度为i=1： ，分别求出EF、CF的长度，在Rt△AEH中求出AH，继而可得楼房AB的高．
23．为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地，培育绿植销售，空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地南北边界和的长（结果保留整数，参考数据：，）．
【答案】解：过作于于，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴在中，，
∵米，，
∴（米），
∵，
∴在中，，
∵四边形为矩形，
∴米，
∵，
∴（米），
∴（米），
答：的长和的长分别约为米和米．
【解析】【分析】过作于于，根据直线平行性质可得，再根据矩形判定定理可得四边形为矩形，在中，根据正切定义可得AB，在中，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
24．如图，AB是一条东西走向的海岸线，一艘货船在点处测得灯塔位于北偏东方向后，以每小时40海里的速度沿北偏东方向航行，经过2小时后到达点处，在处测得灯塔位于南编东方向，已知灯塔距离海岸的距离BC是44海里，求此时货船与灯塔之间的距离CD.（结果精确到0.1，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，)
【答案】解：如解图，过点作交BC的延长线于点于点，
已的，
．
．
在中，，
在Rt中，
答：此时货船与灯塔之间的距离CD约为42.7海里.
【解析】【分析】分别延长AG，BC交过D点，平行AB的直线于E，F，则四边形ABFE是矩形，根据矩形的性质得到AE=BF，解直角三角形即可得到结论。掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键。
25．已知正方形ABCD，点M是边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．
①求证：BE=CF；②求证：BE2=BC CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值．
【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF (ASA)
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴，即CG2=BC CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BC CE；
（2）解：延长AE、DC交于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴，∴BE CN=AB CE，
∵AB=BC，BE2=BC CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
不妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x），
解得：x1=，x2=（舍），
∴，
则tan∠CBF=．
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△ABE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得BE=CF；
②先证出△CGE∽△CBG，可得，即CG2=BC CE， 再结合∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，利用等量代换可得BE=CG，再化简可得BE2=BC CE；
（2）先证出△CEN∽△BEA， 可得，化简可得BE CN=AB CE， 再证出，结合AM=MB， 可得FC=CN=BE，设正方形的边长为1，BE=x， 将其代入BE2=BC CE可得x2=1 （1﹣x）， 最后求出x的值，最后求出tan∠CBF=即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
