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直线与圆的位置关系 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 的半径为 ，图心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系为 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，若tan∠BCO=，则tan∠ACO=（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
6．如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
7．如图，已知的半径长是2，BA，BC分别切于点A，C，连结BO并延长交于点，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
8．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（ ）
A． B．5 C．6 D．
9．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
10．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为 度.
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为
13．如图，PA，PB是的切线，切点分别是A，B，如果，那么 .
14．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
15．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 .
16．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上．
（1） 的面积为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C.
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2 ，求BC的长度.
18．如图，在Rt中，，点在AC上，以CE为直径的经过AB上的点，与OB交于点，且.
（1）求证：AB是的切线；
（2）若，求CF的长.
19．（1）引入：
如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？
（2）引申：
如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由．
20．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
21．如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为.位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是.
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．
22．已知内接于为的直径，弦与相交于点．
（1）如图①，若平分，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小．
23．如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．如图，在中，，平分，交于点，经过，两点，且圆心在上
（1）尺规作图：请画出（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：是的切线．
（3）若与的另一个交点为，，，求的长
25．在 中，弦 与直径 相交于点P， ．
（1）如图①，若 ，求 和 的大小；
（2）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小．
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直线与圆的位置关系 单元真题汇编培优卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知 的半径为 ，图心 到直线 的距离为 ，则直线 与 的位置关系为 （ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】∵圆心O到直线a的距离等于半径=6，
∴直线 与 相切.
故答案为：B.
【分析】设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，①当d＜r时，直线与圆相离；②当d=r时，直线与圆相切；③当d＞r时，直线与圆相交，据此判断即可.
2．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
切线性质定理：圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
此题关键在于发现所求角与已知转角的关系，并转化成求两个全等的直角三角形的内角。
3．如图，点O是内切圆的圆心，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC的内切圆，
∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点可得OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，于是结合已知可求得∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形内角和定理即可求解.
4．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，若tan∠BCO=，则tan∠ACO=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于点E．
∵AB为⊙O的直径，⊙O的切线是BC，
∴∠ABC=90°．
又∵tan∠BCO=，
∴=，
∴OB=BC，则AB=BC．即△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=2AO，∠A=45°，OE=AE=AO，
∴tan∠ACO===．
故选B．
【分析】如图，过点E作OE⊥AC于点E．在Rt△OEC中运用三角函数的定义求解．
5．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．4.5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故答案为：B．
【分析】根据点I为△ABC的内心，可证得∠CAI=∠BAI，由平移的性质可得出∠CAI=∠AID，再证明∠BAI=∠AID，得出AD=DI，同理证得BE=EI，从而将要求△DIE的周长转化为线段AB的长。继而可得出答案。
6．如图所示，∠APB＝30°，O为PA上一点，且PO＝6，以点O为圆心，半径为3 的圆与PB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切、相离或相交
【答案】C
【解析】【解答】解：过O作OC⊥PB于C，
∵∠APB＝30°，OP＝6，
∴OC＝ OP＝3＜3 ，
∴半径为3 的圆与PB的位置关系是相交，
故答案为：C.
【分析】过O作OC⊥PB于C，根据直角三角形的性质得到OC＝3，根据直线与圆的位置关系即可得到结论.
7．如图，已知的半径长是2，BA，BC分别切于点A，C，连结BO并延长交于点，连结AD，CD．若四边形ABCD是菱形，则BD的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AO，CO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
由圆周角定理得：∠AOB=2∠ADB，
∴∠AOB=2∠ABD，
∵BA切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠BAO=90°，
∴∠AOB+∠ABD=90°，
∴∠ABO=30°，
∵AO=2，
∴OB=2OA=4，
∴BD=OB+OD=6，
故答案为：C.
【分析】连接AO，CO，根据萎形的性质得到AB=AD，求得∠ABD=∠ADB，根据圆周角定理即可得到∠AOB=2∠ABD，根据切线的性质得到∠BAO=90°，即可得到∠ABO的度数，根据含30°角直角三角形的性质可得OB的长度，进而可得BD的长度.
8．如图，已知等腰，，以为直径的圆交于点D，过点D的的切线交于点E，若，则的半径是（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OD，BD，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，且AB=BC，
∴AD=CD＝，且AO＝OB，
∴DO∥BC，且DE⊥OD，
∴DE⊥EC，
∴DE=，
∵tanC= ，
∴BD＝，
∴AB=，
∴OA=5 ，
故答案为：B．
【分析】连接OD，BD，利用勾股定理求出DE的长，结合tanC= ，求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可得到OA的长。
9．在平面直角坐标系中， 经过点 、 ， 与 轴相切于点 ，则点 的坐标是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】【解答】解：如图1，过P作PD⊥y轴于D，连接PC，PB，
∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC⊥x轴，
∴四边形OCPD是矩形，
∴PC=OD，PD=OC，
∵点A（0， ）、B（0，3 ），
∴AB=2 ，
∴BD=AD= AB= ，
∴OD=OA+AD=2
∴PC=OD=2 ，
∴PB=PC=2 ，
在Rt△PBD中， ，
∴P（3，2 ）；
如图2，同理可得，P（-3，2 ），
综上所述，点P的坐标是（3，2 ）或（-3，2 ），
故答案为：C.
【分析】 过P作PD⊥y轴于D，连接PC，PB，利用切线的性质可证得PC⊥x轴，易证四边形COPD是矩形，利用矩形的性质，可证得PC=OD，PD=OC；利用点A，B的坐标可求出AB，OA的长，即可得到AD的长，利用垂径定理求出BD的长；然后利用勾股定理求出PD的长，由此可得到点P的坐标；如图2，利用同样的方法，可求出点P的坐标.
10．如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为6cm，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接OC，则OC= =3，
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，即∠ACO=90°，
∵OA=OB，AB=6 ，
∴AC= AB=3 ，∠A=∠B，
在Rt△AOC中，tan∠A= ，
∴∠A=30°，
∴∠AOB=180°-∠A-∠B=120°，
∴S阴影=S△AOB-S扇形ODE= = ，
故答案为：C.
【分析】如图，连接OC，由切线的性质可得∠ACO=90°，根据OA=OB，AB=6 ，可得AC=3 ，∠A=∠B，在Rt△AOC中，可求得∠A=30°，继而可得∠AOB=120°，根据S阴影=S△AOB-S扇形ODE进行计算即可得.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B点，C为优弧ACB上除A、B一点，若∠P＝70°，则∠ACB的大小为 度.
【答案】55
【解析】【解答】解：如图，连接
PA、PB分别切⊙O于A、B点，
故答案为：55.
【分析】连接 由AP、BP为圆的切线可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形内角和为360°可得∠AOB的度数，由同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半可得结果.
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为
【答案】
【解析】【解答】解：连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
又∵∠P=60°，
∴∠PBA=60°；
又∵BC是圆的直径，
∴CB⊥PB，∠BAC=90°，
∴∠ABC=30°，
而BC=4，
∴在Rt△ABC中，cos30°= ，
∴AB=4× = ．
故答案为：
【分析】根据切线可得PA=PB，再利用锐角三角函数求出AB的长即可。
13．如图，PA，PB是的切线，切点分别是A，B，如果，那么 .
【答案】50°
【解析】【解答】解：如图所示是的切线，切点分别是
故答案为：50°.
【分析】由切线的定义知，，则四边形中，与互补，由圆周角定理知，则可求.
14．如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 °．
【答案】66
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵BF是切线，AB是直径，
∴∠ABF=90°.
∴∠AFB=68°，
∴∠BAF=90°-∠AFB=22°，
∴∠BOD=2∠BAF=44°.
∵，
∴∠COA=2∠BOD=88°，
∴∠CDA=∠COA=44°，
∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
故答案为：66.
【分析】连接OC、OD，由切线的性质可得∠ABF=90°，则∠BAF=90°-∠AFB=22°，由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAF=44°，结合可得∠COA=2∠BOD=88°，由圆周角定理可得∠CDA=∠COA=44°，根据外角的性质可得∠DEB=∠BAF+∠CDA，据此计算.
15．已知⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，且点O到直线AB的距离是，则直线AB与⊙O的位置关系是 .
【答案】相交
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是一元二次方程x2+6x﹣16＝0的解，
解方程x2+6x﹣16＝0，
（x+8）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣8（舍去），x2＝2，
∴r＝2，
∵点O到直线AB距离d是，
∴d＜r，
∴直线AB与圆相交.
故答案为：相交.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，据此可得半径，然后结合直线与圆的位置关系进行判断.
16．如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，圆上的点 均在格点上．
（1） 的面积为 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出 外接圆的圆心 ，内切圆圆心 ，并简要说明圆心的位置是如何找到的（不要求证明）
【答案】；解：如图，点O，点K即为所求；方法：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接，交于点K，点O，点K即为所求．故答案为：取格点M，N作直线交于点J，取格点E，F，连接交网格线于点Q，取的中点P，作直线交直线于点O，交于点L，连接交于点K，点O，点K即为所求．
【解析】【解答】解：（1）的面积．
故答案为：；
【分析】（1）利用网格的特点，通过割补法来计算三角形的面积，我们可以把放在一个矩形里，然后利用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就可以得到的面积；
（2）外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，内切圆的圆心是三角形是三条角平分线的交点，利用网格的对称性和格点的特点，通过构造垂直平分线和角平分线来找到圆心.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，AB是圆O的直径，AD是弦，∠DAB＝22.5°，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C.
（1）求∠C的度数；
（2）若AB＝2 ，求BC的长度.
【答案】（1）解：连接 ，
则 ， ， ，
，
，
（2）解： ， ，
由（1）可知， 为等腰直角三角形，
，
.
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠DOB的度数，进而根据三角形的内角和求得∠C；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出OC的长，进而根据线段的和差即可算出BC的长.
18．如图，在Rt中，，点在AC上，以CE为直径的经过AB上的点，与OB交于点，且.
（1）求证：AB是的切线；
（2）若，求CF的长.
【答案】（1）证明：连接OD，
OB=OB，OD=OC，BD=BC
(SSS)
ODAB
OD是的半径
AB是的切线
（2）解：设的半径为R
在Rt中， ，则AO=AE+OE=1+R，OD=R
根据勾股定理可得 ，则
解之得 R=1
OD=1
由（1）可知(SSS)
弧CF的长为：
【解析】【分析】（1）连接OD，证明(SSS)，得到，根据切线的判定定理即可证得结论；
（2）设的半径为R，在Rt中， ，则AO=AE+OE=1+R，OD=R，根据勾股定理可得 ，解之得 R=1，根据可得，则，利用弧长公式可求得弧CF的长。
19．（1）引入：
如图1，直线为的弦，，交于点P，且，直线是否与相切，为什么？
（2）引申：
如图2，记（1）中的切线为直线l，在（1）的条件下，将切线l向下平移，设平移后的直线l与的延长线相交于点，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点，找出图2中与相等的线段，并说明理由．
【答案】解：（1）相切，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵为半径，
∴与相切；
（2），理由：
∵，，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据，得到，再根据等腰三角形的性质可得，，然后利用等量代换可得，从而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）由（1）可得，等量代换可得∠，由，，易得，得出结论．
20．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线．
（2）解：是的直径，且于点M，
，
，，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再结合OA是的半径，即可证出直线是的切线；
（2）先利用角的运算求出，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 ，利用勾股定理求出AM的长，最后求出即可．
21．如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为.位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是.
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．
【答案】解：（1）∵⊙P的直径=4，∴⊙P的半径=2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为=π，NP=2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为=2π，S半圆==2π，S扇形==4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC﹣HC=NC﹣PA=1，于是sin∠NPH==，∴∠NPH=30°．∴∠MPA=60°．从而的长为=，于是OA的长为π+4+π=π+4．
【解析】【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；
（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；
（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出的长，
22．已知内接于为的直径，弦与相交于点．
（1）如图①，若平分，连接，求和的大小；
（2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小．
【答案】（1）解：∵为的直径，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得，，则，再根据角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据等边对等角可得，，根据角之间的关系可得∠OCD，∠POD，再根据切线性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵为的直径，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴．
23．如图，是的直径，点，为上的两点且，连接，交于点，点F为延长线上一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则，
解得：，
∴．
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，，再根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据切线的判定结合题意即可求解；
（2）根据勾股定理得到AC，进而根据相似三角形的判定（AA）与性质证明得到，设，代入即可求解。
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，则，
解得：，
∴．
24．如图，在中，，平分，交于点，经过，两点，且圆心在上
（1）尺规作图：请画出（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：是的切线．
（3）若与的另一个交点为，，，求的长
【答案】（1）解：如下图所示，
分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，
两弧分别交于两点，过两点作直线交于点，
点即为所求圆心。
（2）证明：如下图所示，连接，
则，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线。
（3）解：如下图所示，连接，过点作，
，，
，
设的半径为，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
。
【解析】【分析】（1）按照垂直平分线的作图步骤，作BD的垂直平分线，然后再连接两条弧与AB和BC的交点，其中与AB的交点即为所求。
（2）根据，易得，然后再根据平分，可知，进而可得，根据平行线的判定定理，可得，最后再根据平行线的性质可证结论成立；
（3）连接，过点作，根据和CB的值，在直角三角形ABC中，根据正弦函数的定义：，代入数据即可求出AB的值，在直角三角形ADO中，根据正弦函数的定义：，求出圆的半径，然后再根据勾股定理可以求出AD的值，因为，根据平行线的性质，易得，然后再根据相似三角形对应边成比例可求出，的值，最后再根据勾股定理寄了求的长。
（1）解：如下图所示，
分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，
两弧分别交于两点，过两点作直线交于点，
点即为所求圆心；
（2）证明：如下图所示，连接，
则，
，
平分，
，
，
，
，
是的切线；
（3）解：如下图所示，连接，过点作，
，，
，
设的半径为，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
25．在 中，弦 与直径 相交于点P， ．
（1）如图①，若 ，求 和 的大小；
（2）如图②，若 ，过点D作 的切线，与 的延长线相交于点E，求 的大小．
【答案】（1）解： 是 的一个外角， ， ，
．
在 中， ，
．
为 的直径，
．
在 中， ，
又 ，
．
（2）如下图所示，连接OD，
，
．
．
在 中，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：
，
∴ ，
是 的切线，
．即 ，
，
．
故答案为： ．
【解析】【分析】(1)先由△CPB中外角定理求出∠C的大小，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠BAD的值；且∠ADC=∠ABC，再由直径AB所对的圆周角等于90°求出∠ADB=90°，最后∠ADB-∠ADC即可得到∠CDB的值；(2)连接OD，由CD⊥AB先求出∠DCB，再由圆周角定理求出∠BOD，最后由切线的性质可知∠ODE=90°，进而求出∠E的度数．
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