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投影与三视图 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
3．下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
5．如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，它的左视图的面积为（ ）
A．24 B．30 C．18 D．14.4
6．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是由若干个同样大小的正方体搭成几何体从上往下看到的图形，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体从正面看应该是（ ）
A． B． C． D．
8．下面立体图形中，从左面看到的平面图形与其他三个不一样的是（ ）.
A． B．
C． D．
9．图中圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为（ ）
A．（6+4π）cm B．2 cm C．7πcm D．5πcm
10．如图，由6个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体（ ）
A．主视图改变，左视图不变 B．俯视图改变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图改变
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为 ．
12．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从左面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最少是 个.
13．如图，沿虚线折叠能形成一个立体图形，它的名称是 .
14．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 ．
15．一个正方体的六个面上分别涂有红、白、黄、绿、蓝、紫六种不同的颜色，其中红、白、黄、绿、蓝、紫，分别代表的是数字﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5、﹣6中的一个数，如图是这个正方体的三种放置方法，若三个正方体下底面所标颜色代表的数字分别是a，b，c，则a+b+c+abc= ．
16．一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，求该几何体的体积.
18．如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？
19．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？
20．用小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看所得的平面图形如图所示，搭建这样的几何体最多要几个小立方块？最少要几个小立方块？
21．长方体的主视图与俯视图如图所示，这个长方体的体积是多少？
22．正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的；如图所示，请至少再画出三种不同的平面展开图．
23．某几何体的三视图如下，在△EFG中，FG=18cm，EG=12cm，∠EGF=30°．在矩形ABCD中，AD=16cm．
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状．
（2）求AB的长．
（3）求该几何体的体积．
24．长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
25．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有哪几个？
（2）若AD=4AB，AN=3AB，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．
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投影与三视图 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 从正面看，底部是两个正方形，上层的右边是一个正方形
故答案为：B.
【分析】 从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.
2．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ）
A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样
【答案】B
【解析】【解答】解：假定小正方体一个面的面积为1，则主视图的面积为5；左视图的面积为3；俯视图的面积为5.所以三种视图中面积最小的是左视图。
故答案为：B。
【分析】假定小正方体一个面的面积为1，首先得出各个视图的面积，即可得出答案。
3．下列图形不是正方体展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、C、D可组成正方体；
B折叠后，有2个正方形重合，不是正方体的展开图形，
故答案为：B
【分析】根据正方体的展开图求解即可。
4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“亮”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．青 B．春 C．梦 D．想
【答案】D
【解析】【解答】在原正方体中，
与“亮”字所在面相对的面上的汉字是：想，
与“点”字所在面相对的面上的汉字是：春，
与“青”字所在面相对的面上的汉字是：梦，
故答案为：D．
【分析】根据所给的正方体的展开图计算求解即可。
5．如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，它的左视图的面积为（ ）
A．24 B．30 C．18 D．14.4
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5，
∴俯视图为直角三角形，且斜边为5，
故斜边上的高为 =
∵左视图为长方形，其长为6，宽为 ，
∴左视图的面积=6× =14.4，
故选：D．
【分析】根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，宽为 ，进而得到左视图的面积．
6．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图可以看出这个几何体应该是圆锥，且底面圆的半径为2，母线长为4，
因此侧面面积为 ，底面积为 ．
表面积为 ；
故答案为：D．
【分析】根据几何体的三视图，计算得到几何体的表面积即可。
7．如图是由若干个同样大小的正方体搭成几何体从上往下看到的图形，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体从正面看应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据几何体的特征即可判断出从正面看到的图形.由图可得这个几何体从正面看应该是第四个图形，故答案为：D.
【分析】观察已知的图形可知：主视图有2列，每一列小正方形的数目从右至左依次分别为3、2，根据这个特征可画出主视图.
8．下面立体图形中，从左面看到的平面图形与其他三个不一样的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】三棱锥、三棱柱、圆锥从左面看到的形状都是三角形，
而四棱柱从左面看的形状是四边形.
故答案为：B.
【分析】根据常见立体图形的三视图确定出三棱锥、三棱柱、圆锥、四棱柱的左视图，据此判断.
9．图中圆柱的主视图与俯视图如图所示，一只蚂蚁从A点沿着圆柱的侧面爬行到B点的最短路线长为（ ）
A．（6+4π）cm B．2 cm C．7πcm D．5πcm
【答案】D
【解析】【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，
∵BC=4πcm，AC为底面半圆弧长，即AC= ×6 π=3π（cm），
∴AB= =5π（cm），
故选：D
【分析】首先根据圆锥的主视图和俯视图的尺寸确定展开矩形的长和宽，利用勾股定理求得对角线的长即可．
10．如图，由6个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体（ ）
A．主视图改变，左视图不变 B．俯视图改变，左视图不变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图改变
【答案】A
【解析】【解答】解：观察所给的几何体，∵在正方体①的正上方再放一个这样的正方体，
∴所得的几何体主视图改变，左视图不变，俯视图不变，
故答案为：A.
【分析】先观察所给的几何体，再根据主视图，左视图和俯视图的定义一 一判断求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r
根据题意得
解得
故答案为：．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的侧面积结合弧长公式即可求解。
12．如图，是由一些大小相同的小正方体搭成的几何体分别从左面看和从上面看得到的平面图形，则搭成该几何体的小正方体最少是 个.
【答案】7
【解析】【解答】解：由俯视图易得最底层有5个小正方体，第二层最少有1个小正方体，第三层第二层最少有1个小正方体，
则搭成该几何体的小正方体最少是5+1+1＝7个.
故答案为：7.
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由左视图可得第二层和第三层小正方体的最少个数，相加即可.
13．如图，沿虚线折叠能形成一个立体图形，它的名称是 .
【答案】四棱锥
【解析】【解答】解：∵四棱锥的侧面展开图是三角形，下面是四边形，
∴上图应是四棱锥的展开图；
故答案为：四棱锥.
【分析】底面是一个四边形，侧面是四个全等的三角形组成的，故得到的立体图形是四棱锥。
14．已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为 ．
【答案】 cm2
【解析】【解答】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6cm，即底面圆的半径为3cm，圆锥的高为4cm，
所以圆锥的母线长= =5，所以这个圆锥的侧面积=π×3×5=15π（cm2）．
故答案为：15πcm2．
【分析】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为6cm，即底面圆的半径为3cm，圆锥的高为4cm，由于底面圆的半径，圆锥的高，圆锥的母线长三线构成一个直角三角形，根据勾股定理算出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式=即可算出答案。
15．一个正方体的六个面上分别涂有红、白、黄、绿、蓝、紫六种不同的颜色，其中红、白、黄、绿、蓝、紫，分别代表的是数字﹣1、﹣2、﹣3、﹣4、﹣5、﹣6中的一个数，如图是这个正方体的三种放置方法，若三个正方体下底面所标颜色代表的数字分别是a，b，c，则a+b+c+abc= ．
【答案】-85
【解析】【解答】∵根据图形可知：白色面相邻的面有紫、蓝、绿、红，
∴“紫”与“绿”是对面，“红”与“蓝”是对面，“白”与“黄”是对面．
∴第一个正方体的底面是黄色，第二个正方体的底面是紫色，第三个正方体的底面是绿色．
∴a=﹣3，b=﹣6，c=﹣4．
∴a+b+c+abc=（﹣3）+（﹣6）+（﹣4）+（﹣3）×（﹣6）×（﹣4）=﹣13+（﹣72）=﹣85．
故答案为：﹣85
【分析】由三个正方体可知与白色相邻的面为蓝、紫、绿和红，所以白色与黄色是相对的；另外与蓝色相邻的面是白，绿，紫，所以与蓝色与红色是相对的；由此可以确定绿色与紫色是相对的。即a=-3，b=-6，c=-4，代入代数式中即可求得a+b+c+abc的值。
16．一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为 cm3.
【答案】6552
【解析】【解答】解：设减去的正方形的边长为x厘米，则体积V=x（50-2x）（40-2x）=2×2x（25-x）（20-x）；
因为2x+（25-x）+（20-x）=45，当2x、（25-x）、（20-x）三个值最接近时，积最大，而每一项=45÷3=15时，积最大，而取整数厘米，所以2x=14，即x=7时；
这时纸盒的容积v=（50-7×2）×（40-7×2）×7，
=36×26×7，
=6552cm3.
故答案为：6552.
【分析】根据题意，这张纸板上在它的四个角上剪去大小相等的四个正方形，然后做成一个无盖的纸盒,也就是纸板的长和宽分别减去所剪正方形的两个边长，是纸盒底面的长和宽，纸盒的高就等于所剪去的正方形的边长；当纸盒的长、宽、高三个值最接近时，它们的容积最大，因此可以设减去的正方形的边长为x厘米，列方程解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示，求该几何体的体积.
【答案】该几何体的体积为.
【解析】【分析】该几何体为棱长为5的立方体挖去长5，底面为边长为1的正方形的长方体，以此求出该几何体的体积.
18．如图，这是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，求的值是多少？
【答案】解：∵“”与面“”相对，面“”与面“”相对，“”与面“”相对，又∵相对面上的两个数互为相反数，
∴，，，
∴
【解析】【分析】本题考查了相反数，正方体的相对面上的文字，以及代数式求值；根据相对面上的两个数互为相反数，得到“”与面“”相对，面“”与面“”相对，“”与面“”相对，求得，，，再将其代入再代入 ，进行计算，即可得到答案.
19．有一个正方体，在它的各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．小明、小刚、小红三人从不同的角度去观察此正方体，观察结果如图所示，问这个正方体各个面上的数字对面各是什么数字？
【答案】解：从3个小立方体上的数可知，
与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，
所以数字1面对数字5面，
同理，立方体面上数字3对6．
故立方体面上数字2对4．
【解析】【分析】由图一和图二可看出看出1的相对面是5；再由图二和图三可看出看出3的相对面是6，从而2的相对面是4．
20．用小立方块搭成一个几何体，从正面看和从上面看所得的平面图形如图所示，搭建这样的几何体最多要几个小立方块？最少要几个小立方块？
【答案】解：从正面看，它自下而上共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列2块，
从上面看，它自左而右共有3列，第一列3块，第二列2块，第三列2块，
从上面看的块数只要最低层有一块即可．
因此，综合两图可知这个几何体的形状不能确定，并且最少要11块．最多要17块，如图．
【解析】【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可.
21．长方体的主视图与俯视图如图所示，这个长方体的体积是多少？
【答案】解：由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，
因此这个长方体的长、宽、高分别为4、2、3，
因此这个长方体的体积为4×2×3＝24．
答：这个长方体的体积是24．
【解析】【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高，让它们相乘即可得到体积．
22．正方体是由六个平面图形围成的立体图形，设想沿着正方体的一些棱将它剪开，就可以把正方体剪成一个平面图形，但同一个正方体，按不同的方式展开所得的平面展开图是不一样的；如图所示，请至少再画出三种不同的平面展开图．
【答案】解：根据题意画图如下：
【解析】【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图的特点分别画出图形即可．
23．某几何体的三视图如下，在△EFG中，FG=18cm，EG=12cm，∠EGF=30°．在矩形ABCD中，AD=16cm．
（1）请根据三视图说明这个几何体的形状．
（2）求AB的长．
（3）求该几何体的体积．
【答案】（1）解：由几何体的三视图可知这个几何体为三棱柱
（2）解：过点E作EH⊥FG于点H，
AB=EH=sin30°×EG=×12=6(cm)
（3）解：V=Sh=×18×6×16=864(cm3)．
答：该几何体的体积为864cm3
【解析】【分析】(1)根据三视图，可知这个几何体上下两个底面都是三角形的，侧面是长方形的，因此这个几何体是三棱柱；
(2)AB的长就是俯视图中三角形FG边上的高，
(3)求出俯视图中FG上的高，进而求出三棱柱底面面积，AD=16，进而求出体积.
24．长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是多少？
【答案】解：将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，
由题意可得：BD=BC+CD=5+10=15cm，AD=CH=15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，
由题意得：BH=BC+CH=5+15=20cm，AH=10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是15 cm.
连接AB，如图3，
由题意可得：BB′=B′E+BE=15+10=25cm，AB′=BC=5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：
∵
∴则需要爬行的最短距离是
【解析】【分析】根据两点之间线段最短，将长方体展开， 将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内 可得矩形AGFD，结合已知条件可知AD，BD的长，利用勾股定理求出AB的长；将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内， 利用同样的方法求出AB的长，再根据图3求出AB的长，然后比较大小就可得出爬行的最短距离。
25．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体．
（1）与字母F重合的点有哪几个？
（2）若AD=4AB，AN=3AB，长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8，求原长方体的容积．
【答案】解：（1）与F重合的点是B．
（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z．
根据题意得：
解得：．
∴原长方体的容积=4×8×12=384．
【解析】【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与F重合的点即可；
（2）设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，根据题意可知：2z+y=4z，x=3z，2x+2z﹣（2z+2y）=8，从而可求得x、y、z的值，从而可求得元长方体的容积．
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