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期末题型突破06 有理数及其运算题型全归纳
一．正数和负数（共6小题）
1．（2024秋 玉环市期末）下列四个有理数中，负数的是（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．
2．（2024秋 长兴县期末）冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作（ ）
A．+8℃ B．﹣8℃ C．+5℃ D．﹣5℃
3．（2024秋 江山市期末）某品牌乒乓球的直径规格为40mm±0.05mm，下列该品牌乒乓球直径合格的是（ ）
A．40.07mm B．40.05mm C．39.94mm D．39.90mm
4．（2024秋 拱墅区校级期末）七年级（1）班知识竞赛的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣6分，表示得了（ ）分
A．84 B．73 C．80 D．77
5．（2024秋 诸暨市期末）如果收入600元，记作+600元，那么支出500元记作 元．
6．（2024秋 海曙区期末）如表是10筐蔬菜的质量记录，每筐以20kg为标准质量（高于标准质量记为“+”），则这10筐蔬菜总质量为 kg．
筐数 2 3 1 2 2
与标准质量比较/kg ﹣0.8 +0.5 ﹣0.5 +0.4 +0.5
二．有理数（共3小题）
7．（2025秋 婺城区校级期中）下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．7 B．0 C．﹣3.6 D．
8．（2025秋 江北区校级期中）下列各数中，是负数也是分数的是（ ）
A．0 B． C．﹣81 D．20.25
9．（2025秋 义乌市期中）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数
B．有理数不包括分数
C．正分数和负分数统称为分数
D．不带“﹣”号的数就是正数
三．数轴（共11小题）
10．（2024秋 义乌市期末）数轴上与﹣3的距离等于2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．5或1
11．（2024秋 东阳市期末）在数轴上到原点的距离小于3的点对应的x满足（ ）
A．﹣3＜x＜3 B．x＜﹣3或x＞3 C．x＜3 D．x＞3
12．（2024秋 余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6
13．（2024秋 苍南县期末）如图，数轴上点P在数﹣1表示的点的左侧，则点P表示的数可能是（ ）
A．﹣1.5 B． C．0.5 D．1.5
14．（2024秋 嵊州市期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+b+c＞0 B．|a+b|＜c C．|a﹣c|＝|a|+c D．|b﹣c|＞|c﹣a|
15．（2024秋 温州期末）数轴上点A与点B相距3个单位，若点B表示﹣2，则点A表示的数是 ．
16．（2024秋 嵊州市期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 ．
17．（2025秋 钱塘区校级期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数： ；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
18．（2025秋 余姚市期中）某外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为+4，﹣2，﹣3，+7，+1，﹣2（单位：千米）．
（1）当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？
（2）若该电动车充满电可行驶25千米，取完外卖后该电动自行车还可行驶多少千米？
19．（2025秋 瑞安市期中）数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和5，点C是数轴上的任意一点．
（1）点A与点B两点间的距离为 ；如果以点C为折点，将数轴对折，这时点A和点B正好重合，则点C表示的数是 ．
（2）如果点C到点A距离是点C到点B距离的2倍，则点C表示的数是多少？请说明理由．
（3）如果以点C为折点，将数轴对折，这时点B和点D正好重合，且点D到点C的距离是点D到点A距离的2倍，则点C表示的数是 ．（直接写出答案）
20．（2025秋 鄞州区期中）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为．
【感受新知】
如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，．
解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10
线段AB的中点表示的数为
当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t
∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）|
当时，
∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5
解得，t＝1或t＝3
∴当t为1秒或3秒时，．
【学以致用】
如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求当t为何值时，；
【综合运用】
（2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合；
【拓展提升】
（3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长．
四．相反数（共4小题）
21．（2025秋 滨江区期末）2026的相反数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
22．（2025秋 婺城区校级期中）下列两个数中，互为相反数的是（ ）
A．+5和﹣（﹣5） B．+（﹣8）和﹣（﹣8）
C．﹣7和 D．4和
23．（2025秋 拱墅区校级期中）若a，b互为相反数且a＜b，则下列各组数中一定互为相反数的是（ ）
A．2a和﹣2b B．a﹣1和b+1 C．a+1和b+1 D．a﹣1和b﹣1
24．（2025秋 鄞州区期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数，计算3a+3b+c＝ ．
五．绝对值（共6小题）
25．（2024秋 钱塘区期末）下列各组实数的值，使得|a﹣b|＝﹣a﹣b成立的是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝0，b＝﹣5
26．（2024秋 柯桥区期末）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝ ．
27．（2024秋 江山市期末）计算：|﹣2025|＝ ．
28．（2024秋 丽水期末）若2024a+b＝0（a≠0），则的值为 ．
29．（2025秋 杭州期中）已知，且abc＞0，a+b+c＝0．则m＝ ．
30．（2025秋 奉化区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（1）数轴上表示3和8两点之间的距离是 ，数轴上表示0和﹣4的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离表示为 ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
六．非负数的性质：绝对值（共2小题）
31．（2024秋 诸暨市校级期中）若|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则x+y的值为（ ）
A．9 B．8 C．﹣6 D．﹣8
32．（2025秋 拱墅区校级期中）已知a为有理数，则|a+2|﹣5的最小值为 ．
七．倒数（共1小题）
33．（2024秋 钱塘区校级期末）2025的倒数是（ ）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
八．有理数大小比较（共4小题）
34．（2024秋 拱墅区期末）下列四个数中比﹣1.4小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
35．（2024秋 鄞州区期末）如下是鄞州区12月份4个周日中午12时的气温，则气温最低的日期是（ ）
8号 15号 22号 29号
2℃ 0℃ 4℃ ﹣1℃
A．8号 B．15号 C．22号 D．29号
36．（2024秋 玉环市期末）比较大小： （用“＞或＝或＜”填空）．
37．（2024秋 杭州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
a+b 0．c﹣a 0，b+2 0．
（2）化简：3|a+b|﹣2|c﹣a|﹣|b+2|．
九．有理数的加法（共3小题）
38．（2024秋 德清县期末）计算：﹣1+3＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
39．（2024秋 乐清市期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶15m，再向西行驶20m，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（ ）
A．（+15）+（+20） B．（+15）+（﹣20）
C．（﹣15）+（+20） D．（﹣15）+（﹣20）
40．（2024秋 湖州期末）如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如c＝a+b，则当c＝5时，x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
十．有理数的减法（共1小题）
41．（2024秋 余杭区期末）北京3月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（ ）
A．﹣8℃ B．﹣14℃ C．8℃ D．14℃
十一．有理数的加减混合运算（共2小题）
42．（2024秋 钱塘区期末）把算式（﹣8）+（﹣6）﹣（﹣7）写成省略加号的和的形式为（ ）
A．﹣8﹣6+7 B．﹣8﹣6﹣7 C．﹣8+6﹣7 D．﹣8+6+7
43．（2024秋 绍兴期末）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计了一种新的加减记数法：
比如：9写成1，110﹣1；
198写成20，20200﹣2；
7683写成13，13＝10000﹣2320+3．
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算5331＝ ．
十二．有理数的乘法（共3小题）
44．（2024秋 金东区期末）若2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ ）
A．都为0 B．只有一个0
C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0
45．（2024秋 乐清市期末）计算： ．
46．（2024秋 杭州期末）若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是 ．
十三．有理数的除法（共2小题）
47．（2025秋 义乌市校级期中）计算得（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣25 D．25
48．（2025 沂南县一模）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 ．
十四．有理数的乘方（共1小题）
49．（2024秋 拱墅区校级期末）20255是20254的（ ）倍．
A．5 B．2025 C．
十五．有理数的混合运算（共7小题）
50．（2024秋 江山市期末）对于算式（﹣2）□（+3），若使得该算式的结果最小，则□填入的运算符号应为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
51．（2024秋 绍兴期末）分配律用式子可表达为a×（b+c）＝a×b+a×c．下列四个计算：
①；
②；
③；
④．
适合运用分配律来简化计算的算式有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
52．（2024秋 柯桥区期末）自定义运算：a☆b例如：2☆（﹣4）＝2×2﹣（﹣4）＝8，若m，n在数轴上的位置如图所示，且（m+n）☆（m﹣n）＝7，则6n﹣2m+2021的值等于（ ）
A．2028 B．2035
C．2028或2035 D．2021或2014
53．（2024秋 杭州期末）计算：
（1）；
（2）；
54．（2024秋 拱墅区期末）计算：
（1）；
（2）．
55．（2024秋 江北区期末）以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ．
（3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子：① ，② ．
56．（2024秋 钱塘区期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目：
计算：（1）97×11．（2）﹣15×33+16×33．
有两位同学的解法如下： （1）97×11＝（100﹣3）×11＝1100﹣33＝1067． （2）﹣15×33+16×33＝（﹣15+16）×33＝33．
请参考上述解法，计算下列两题：
（1）98×（﹣15）．
（2）．
十六．近似数和有效数字（共2小题）
57．（2024秋 杭州期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
58．（2024秋 义乌市期末）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为 ．
十七．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
59．（2025秋 滨江区期末）温州有轨交通S2线总投资约21 600 000 000元，数据21 600 000 000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.216×1011 B．2.16×1010
C．21.6×109 D．216×108
60．（2024秋 浦江县期末）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元．数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5784×108 B．5.784×1010
C．5.784×1011 D．0.5784×1012中小学教育资源及组卷应用平台
期末题型突破06 有理数及其运算题型全归纳
一．正数和负数（共6小题）
1．（2024秋 玉环市期末）下列四个有理数中，负数的是（ ）
A．0 B．﹣1 C．3 D．
【答案】B．
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：A．0既不是正数，也不是负数，故A选项错误；
B．﹣1＜0，是负数，故B选项正确；
C．3＞0，是正数，故C选项错误；
D．0，是正数，故D选项错误；
故选：B．
2．（2024秋 长兴县期末）冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作（ ）
A．+8℃ B．﹣8℃ C．+5℃ D．﹣5℃
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，冰箱冷藏室的温度零上3℃，记作+3℃，冷冻室的温度零下8℃，应记作﹣8℃．
故选：B．
3．（2024秋 江山市期末）某品牌乒乓球的直径规格为40mm±0.05mm，下列该品牌乒乓球直径合格的是（ ）
A．40.07mm B．40.05mm C．39.94mm D．39.90mm
【答案】B
【分析】根据正数和负数的实际意义求得合格直径的范围后进行判断即可．
【解答】解：某品牌乒乓球的直径规格为40mm±0.05mm，
则合格直径的范围为39.95mm～40.05mm，
那么40.05mm符合题意，
故选：B．
4．（2024秋 拱墅区校级期末）七年级（1）班知识竞赛的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣6分，表示得了（ ）分
A．84 B．73 C．80 D．77
【答案】D
【分析】由正负数的概念可计算．
【解答】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作+7分，小英的成绩记作﹣6分，表示得了83﹣6＝77分，
故选：D．
5．（2024秋 诸暨市期末）如果收入600元，记作+600元，那么支出500元记作 ﹣500 元．
【答案】﹣500．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入600元，记作+600元，那么支出500元记作﹣500元．
故答案为：﹣500．
6．（2024秋 海曙区期末）如表是10筐蔬菜的质量记录，每筐以20kg为标准质量（高于标准质量记为“+”），则这10筐蔬菜总质量为 201.2 kg．
筐数 2 3 1 2 2
与标准质量比较/kg ﹣0.8 +0.5 ﹣0.5 +0.4 +0.5
【答案】201.2．
【分析】用20筐标准质量的重量加上20筐实际蔬菜重量与标准质量相差的总和即可求解．
【解答】解：用20筐标准质量的重量加上20筐实际蔬菜重量与标准质量相差的总和为：
20×10+[2×（﹣0.8）+3×0.5+1×（﹣0.5）+2×0.4+2×0.5]
＝200+（﹣1.6+1.5﹣0.5+0.8+1）
＝200+1.2
＝201.2（kg）
故答案为：201.2．
二．有理数（共3小题）
7．（2025秋 婺城区校级期中）下列四个数中，是正整数的是（ ）
A．7 B．0 C．﹣3.6 D．
【答案】A
【分析】根据正整数的定义，逐一判断各选项是否为大于0的整数．
【解答】解：A、7是大于0的整数，属于正整数；
B、0不是正数；
C、﹣3.6是负数且不是整数；
D、是分数，不是整数．
故选：A．
8．（2025秋 江北区校级期中）下列各数中，是负数也是分数的是（ ）
A．0 B． C．﹣81 D．20.25
【答案】B
【分析】利用有理数定义，正数和负数的意义解答．
【解答】解：四个选项中只有是负分数，符合题意．
故选：B．
9．（2025秋 义乌市期中）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数
B．有理数不包括分数
C．正分数和负分数统称为分数
D．不带“﹣”号的数就是正数
【答案】C
【分析】分别根据有理数的分类以及正数和负数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．整数分为正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意；
B．整数和负数统称有理数，原说法错误，故本选项不合题意；
C．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意；
D．不带“﹣”号的数就是正数，说法错误，如0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意．
故选：C．
三．数轴（共11小题）
10．（2024秋 义乌市期末）数轴上与﹣3的距离等于2的数是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．5或1
【答案】C
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为﹣3﹣2＝﹣5，﹣3+2＝﹣1，
所以数轴上与﹣3的距离等于2的数是﹣5或﹣1．
故选：C．
11．（2024秋 东阳市期末）在数轴上到原点的距离小于3的点对应的x满足（ ）
A．﹣3＜x＜3 B．x＜﹣3或x＞3 C．x＜3 D．x＞3
【答案】A
【分析】数轴上任意一点的绝对值都表示点到原点的距离，原点左边的数为负数，右边的数为正数．由此可解本题．
【解答】解：由题意得，|x|＜3，
即﹣3＜x＜3．
故选：A．
12．（2024秋 余杭区期末）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1或﹣1 C．5或﹣5 D．4或6
【答案】D
【分析】先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可．
【解答】解：由条件可知：点B表示的数是：﹣1和1，
∵点A向左移动5个单位后到达点B，
∴点A表示的数是4或6，
故选：D．
13．（2024秋 苍南县期末）如图，数轴上点P在数﹣1表示的点的左侧，则点P表示的数可能是（ ）
A．﹣1.5 B． C．0.5 D．1.5
【答案】A
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点P在数﹣1表示的点的左侧，
所以点P表示的数比﹣1小，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
14．（2024秋 嵊州市期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子中一定成立的是（ ）
A．a+b+c＞0 B．|a+b|＜c C．|a﹣c|＝|a|+c D．|b﹣c|＞|c﹣a|
【答案】C
【分析】先根据数轴确定a．b，c的取值范围，再逐一对各选项判定，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：a＜b＜0＜c，
∴a+b+c＜0，故A错误；
|a+b|＞c，故B错误；
|a﹣c|＝|a|+c，故C正确；
|b﹣c|＜|c﹣a|，故D错误；
故选：C．
15．（2024秋 温州期末）数轴上点A与点B相距3个单位，若点B表示﹣2，则点A表示的数是 ﹣5或1 ．
【答案】﹣5或1．
【分析】根据数轴的知识点进行解题即可．
【解答】解：当点A在点B右侧时，点A表示的数是﹣2+3＝1，
当点A在点B左侧时，点A表示的数是﹣2﹣3＝﹣5．
故答案为：﹣5或1．
16．（2024秋 嵊州市期末）如图，数轴上点A表示数是0，则点B表示的数是 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据所给图形，结合数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由所给数轴可知，
因为3﹣2＝1，
所以点B在点A左边，且与点A相距1．
因为点A表示的数是0，
所以点B表示的数是﹣1．
故答案为：﹣1．
17．（2025秋 钱塘区校级期中）已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数： 1 ；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
【分析】（1）根据向右就做加法，列式求解；
（2）根据两点间的距离公式列方程求解；
（3）设P点运动时间为t，列方程求出t的值，再求P，Q对应的数．
【解答】解：（1）﹣3+4＝1，
故答案为：1；
（2）设P点表示的数为x，则|x+3|+|x﹣1|＝5，
解得：x＝﹣3.5或x＝1.5；
（3）设P点运动的时间为t秒，则Q运动的时间为（t﹣5）秒，
由题意得：|（﹣3﹣2t）﹣[1﹣3（t﹣5）]|＝2，
解得：t＝17或t＝21，
当t＝17时，P表示的数为：﹣3﹣34＝﹣37，Q表示的数为：1﹣36＝﹣35，
当t＝21时，P表示的数为：﹣3﹣42＝﹣45，Q表示的数为：1﹣48＝﹣47．
18．（2025秋 余姚市期中）某外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，向西为负，从出发点开始所走的路程为+4，﹣2，﹣3，+7，+1，﹣2（单位：千米）．
（1）当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？
（2）若该电动车充满电可行驶25千米，取完外卖后该电动自行车还可行驶多少千米？
【分析】（1）根据数与负数的意义结合数轴可将所给数值直接相加，计算可求解；
（2）利用可行驶的路程减去已行驶的路程计算可求解．
【解答】解：（1）（+4）+（﹣2）+（﹣3）+（+7）+（+1）+（﹣2）
＝4﹣2﹣3+7+1﹣2
＝5（千米），
答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点5千米，在出发点正东方向；
（2）25﹣（|+4|+|﹣2|+|﹣3|+|+7|+|+1|+|﹣2|）
＝25﹣（4+2+3+7+1+2）
＝25﹣19
＝6（千米），
答：取完外卖后该电动自行车还可行驶6千米．
19．（2025秋 瑞安市期中）数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和5，点C是数轴上的任意一点．
（1）点A与点B两点间的距离为 6 ；如果以点C为折点，将数轴对折，这时点A和点B正好重合，则点C表示的数是 2 ．
（2）如果点C到点A距离是点C到点B距离的2倍，则点C表示的数是多少？请说明理由．
（3）如果以点C为折点，将数轴对折，这时点B和点D正好重合，且点D到点C的距离是点D到点A距离的2倍，则点C表示的数是 1或 ．（直接写出答案）
【分析】（1）利用数轴知识解答；
（2）利用数轴知识解答；
（3）利用数轴知识解答．
【解答】解：（1）5﹣（﹣1）＝6，6÷2＝3，﹣1+3＝2，
∴点A与点B两点间的距离为 6；如果以点C为折点，将数轴对折，这时点A和点B正好重合，则点C表示的数是2；
故答案为：6；2；
（2）设点C表示的数为c，
当点C在点A、B之间时，
AC＝2BC，
c﹣（﹣1）＝2（5﹣c），
c＝3，
当点C在点B右侧时，
AC＝2BC，
c﹣（﹣1）＝2（c﹣5），
c＝11，
∴点C表示的数是3或11；
（3）根据题意可知点C在点A与点B之间，点D在点A的左侧或点A的右侧，
设点C、D表示的数分别为c、d，
当点D在点A的左侧时，
，
解得；
当点D在点A的右侧时，
，
解得，
∴点C表示的数是1或，
故答案为：1或．
20．（2025秋 鄞州区期中）【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为．
【感受新知】
如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，．
解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10
线段AB的中点表示的数为
当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t
∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）|
当时，
∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5
解得，t＝1或t＝3
∴当t为1秒或3秒时，．
【学以致用】
如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）求当t为何值时，；
【综合运用】
（2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合；
【拓展提升】
（3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长．
【分析】（1）利用含t的代数式表示出点M，N运动t秒时表示的数，利用题干中的方法列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（2）利用线段中点的关系式求得点C表示的数，列出关于t的方程，解方程即可得出结论；
（3）用线段中点的关系式求得点E，F表示的数，利用题干中的方法求得EF的长度，化简即可得出结论．
【解答】解：（1）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t，
∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|；
又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MNAB，
∴|﹣10+7t|＝5，
解得：t或t．
∴当t为或秒时，．
（2）当点M，N运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点N表示的数为8﹣4t，
∴线段MN的中点C表示的数为，
由题意得：3，
∴t＝12．
∴当t为12秒时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合．
（3）点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．理由：
∵当点M运动t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，
∴MA的中点E表示的数为，MB的中点F表示的数为，
∴EF＝||＝|﹣5|＝5．
∴点M在运动过程中，线段EF的长度不会发生变化，线段EF的长为5．
四．相反数（共4小题）
21．（2025秋 滨江区期末）2026的相反数是（ ）
A．﹣2026 B．2026 C． D．
【答案】A．
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：2026的相反数是﹣2026．
故选：A．
22．（2025秋 婺城区校级期中）下列两个数中，互为相反数的是（ ）
A．+5和﹣（﹣5） B．+（﹣8）和﹣（﹣8）
C．﹣7和 D．4和
【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是 0，负数的相反数是正数．
【解答】解：A、﹣（﹣5）＝5，两个数不是互为相反数，不符合题意；
B、+（﹣8）＝﹣8，﹣（﹣8）＝8，两个数是互为相反数，符合题意；
C、﹣7和，不是互为相反数，不符合题意；
D、4和，不是互为相反数，不符合题意．
故选：B．
23．（2025秋 拱墅区校级期中）若a，b互为相反数且a＜b，则下列各组数中一定互为相反数的是（ ）
A．2a和﹣2b B．a﹣1和b+1 C．a+1和b+1 D．a﹣1和b﹣1
【答案】B
【分析】根据相反数的定义进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵a，b互为相反数且a＜b，
∴a+b＝0，
∴2a+2b＝0，a﹣1+b+1＝0，
A、2a和2b互为相反数，故A不符合题意；
B、a﹣1和b+1互为相反数，故B符合题意；
C、a+1和b+1不互为相反数，故C不符合题意；
D、a﹣1和b﹣1不互为相反数，故D不符合题意；
故选：B．
24．（2025秋 鄞州区期中）已知：a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数，计算3a+3b+c＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1
【分析】结合已知条件及有理数的相关概念求得a，b，c的值，然后代入3a+3b+c中计算即可．
【解答】解：∵a是﹣（﹣5）的相反数，b比最小的正整数大4，c是最大的负整数，
∴a＝﹣5，b＝1+4＝5，c＝﹣1，
则3a+3b+c＝﹣15+15﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
五．绝对值（共6小题）
25．（2024秋 钱塘区期末）下列各组实数的值，使得|a﹣b|＝﹣a﹣b成立的是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2 B．a＝1，b＝﹣3 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝0，b＝﹣5
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣2时，|a﹣b|＝0，﹣a﹣b＝4，|a﹣b|≠﹣a﹣b，故A不符合题意；
当a＝1，b＝﹣3时，|a﹣b|＝4，﹣a﹣b＝2，|a﹣b|≠﹣a﹣b，故B不符合题意；
当a＝﹣3，b＝2时，|a﹣b|＝5，﹣a﹣b＝1，|a﹣b|≠﹣a﹣b，故C不符合题意；
当a＝0，b＝﹣5时，|a﹣b|＝5，﹣a﹣b＝5，|a﹣b|＝﹣a﹣b，故D符合题意；
故选：D．
26．（2024秋 柯桥区期末）已知a、b、c的位置如图：则化简|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|＝ ﹣2a+b ．
【答案】﹣2a+b．
【分析】利用数轴知识解答．
【解答】解：由数轴图可知，a＜0＜b＜c，|a|＜b＜c，
∴a﹣c＜0，c﹣b＞0，
∴|a|+|a﹣c|﹣|c﹣b|
＝﹣a+[﹣（a﹣c）]﹣（c﹣b）
＝﹣a﹣a+c﹣c+b
＝﹣2a+b．
故答案为：﹣2a+b．
27．（2024秋 江山市期末）计算：|﹣2025|＝ 2025 ．
【答案】2025
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答；
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数可得：
|﹣2025|＝2025，
故答案为：2025．
28．（2024秋 丽水期末）若2024a+b＝0（a≠0），则的值为 ﹣2025 ．
【答案】﹣2025．
【分析】根据景德镇的定义以及a、b的符号进行解答即可．
【解答】解：∵2024a+b＝0，
∴b＝﹣2024a，a、b异号，
∴，
当a＞0，b＜0时， ，，
当a＜0，b＞0时， ，，
所以0，
2025＝﹣2025，
故答案为：﹣2025．
29．（2025秋 杭州期中）已知，且abc＞0，a+b+c＝0．则m＝ 0或﹣2或﹣4 ．
【答案】0或﹣2或﹣4．
【分析】由题意进行分类讨论，然后利用绝对值的性质计算即可．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
∴a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
∴m，
∵abc＞0，a+b+c＝0，
∴a，b，c中必是一正两负，
当a＞0，b＜0，c＜0时，
m＝﹣1+2﹣3＝﹣2；
当b＞0，a＜0，c＜0时，
m＝﹣1﹣2+3＝0；
当c＞0，a＜0，b＜0时，
m＝1﹣2﹣3＝﹣4；
综上，m＝0或﹣2或﹣4，
故答案为：0或﹣2或﹣4．
30．（2025秋 奉化区校级期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
（1）数轴上表示3和8两点之间的距离是 5 ，数轴上表示0和﹣4的两点之间的距离是 4 ；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点之间的距离表示为 |x+5| ．
（3）若x表示一个有理数，则|x﹣1|+|x+3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离；
（2）根据绝对值的几何意义，即可得数轴上两点间的距离；
（3）根据绝对值的几何意义，当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|取最小值，求1与﹣3之间的距离即可．
【解答】解：（1）数轴上表示3和8两点之间的距离是：|8﹣3|＝5，
数轴上表示0和﹣4的两点之间的距离是：|0﹣（﹣4）|＝4，
故答案为：5，4．
（2）|x﹣（﹣5）|＝|x+5|，
故答案为：|x+5|．
（3）|x﹣1|+|x+3|有最小值，
|x﹣1|+|x+3|表示：数轴上表示x的点到表示1与﹣3的点的距离之和，
∴当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|取最小值，最小值为|1﹣（﹣3）|＝4，
答：|x﹣1|+|x+3|有最小值，最小值为4．
六．非负数的性质：绝对值（共2小题）
31．（2024秋 诸暨市校级期中）若|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则x+y的值为（ ）
A．9 B．8 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|x﹣2|+|y﹣6|＝0，
∴x﹣2＝0，y﹣6＝0，
∴x＝2，y＝6，
∴x+y＝2+6＝8．
故选：B．
32．（2025秋 拱墅区校级期中）已知a为有理数，则|a+2|﹣5的最小值为 ﹣5 ．
【答案】﹣5．
【分析】利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值．
【解答】解：∵|a+2|≥0，
∴当|a+2|＝0时，代数式|a+2|﹣5有最小值为0﹣5＝﹣5．
故答案为：﹣5．
七．倒数（共1小题）
33．（2024秋 钱塘区校级期末）2025的倒数是（ ）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
【答案】C
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，根据定义即可求解．
【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，
故选：C．
八．有理数大小比较（共4小题）
34．（2024秋 拱墅区期末）下列四个数中比﹣1.4小的数是（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：A．0＞﹣1.4，故不符合题意；
B．∵|﹣2|＝2，|﹣1.4|＝1.4，2＞1.4，∴﹣2＜﹣1.4，故符合题意；
C．∵|﹣1|＝1，|﹣1.4|＝1.4，1＜1.4，∴﹣1＞﹣1.4，故不符合题意；
D．1＞﹣1.4，故不符合题意；
故选：B．
35．（2024秋 鄞州区期末）如下是鄞州区12月份4个周日中午12时的气温，则气温最低的日期是（ ）
8号 15号 22号 29号
2℃ 0℃ 4℃ ﹣1℃
A．8号 B．15号 C．22号 D．29号
【答案】D
【分析】根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”解答即可．
【解答】解：气温最低是29号，
故选：D．
36．（2024秋 玉环市期末）比较大小： ＜ （用“＞或＝或＜”填空）．
【答案】＜
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴；
故答案为：＜．
37．（2024秋 杭州期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空：
a+b ＞ 0．c﹣a ＜ 0，b+2 ＞ 0．
（2）化简：3|a+b|﹣2|c﹣a|﹣|b+2|．
【分析】（1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可；
（2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可．
【解答】解：（1）由数轴可得：﹣2＜b＜c＜0＜2＜a，
则a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0．
故答案为：＞，＜，＞；
（2）∵a+b＞0，c﹣a＜0，b+2＞0，
∴3|a+b|﹣2|c﹣a|﹣|b+2|
＝3a+3b+2（c﹣a）﹣（b+2）
＝3a+3b+2c﹣2a﹣b﹣2
＝a+2b+2c﹣2．
九．有理数的加法（共3小题）
38．（2024秋 德清县期末）计算：﹣1+3＝（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则直接计算即可．
【解答】解：﹣1+3＝2．
故选：A．
39．（2024秋 乐清市期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶15m，再向西行驶20m，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（ ）
A．（+15）+（+20） B．（+15）+（﹣20）
C．（﹣15）+（+20） D．（﹣15）+（﹣20）
【答案】B
【分析】运用正负数是表示一对意义相反的量进行求解．
【解答】解：由题意得，
赛车相对于起点位置的是（+15）+（﹣20），
故选：B．
40．（2024秋 湖州期末）如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如c＝a+b，则当c＝5时，x的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据题意先得出a＝x﹣3+x＝2x﹣3，，再根据c＝a+b列出方程，解方程即可．
【解答】解：a＝x﹣3+x＝2x﹣3，
，
∵c＝a+b，c＝5，
∴2x﹣3+x+2＝5，
2x+x＝5+3﹣2，
3x＝6，
解得：x＝2．
故选：C．
十．有理数的减法（共1小题）
41．（2024秋 余杭区期末）北京3月份某天的最高气温是11℃，最低气温是﹣3℃，则这天的温差是（ ）
A．﹣8℃ B．﹣14℃ C．8℃ D．14℃
【答案】D
【分析】温差为最高温度减去最低温度，由此列式计算即可．
【解答】解：根据题意，得11﹣（﹣3）＝11+3＝14（℃），
即温差是14℃，
故选：D．
十一．有理数的加减混合运算（共2小题）
42．（2024秋 钱塘区期末）把算式（﹣8）+（﹣6）﹣（﹣7）写成省略加号的和的形式为（ ）
A．﹣8﹣6+7 B．﹣8﹣6﹣7 C．﹣8+6﹣7 D．﹣8+6+7
【答案】A
【分析】利用有理数的加减法则计算即可．
【解答】解：（﹣8）+（﹣6）﹣（﹣7）
＝﹣8﹣6+7，
故选：A．
43．（2024秋 绍兴期末）大家都知道，八点五十五可以说成九点差五分，有时这样表达更清楚．这启发人们设计了一种新的加减记数法：
比如：9写成1，110﹣1；
198写成20，20200﹣2；
7683写成13，13＝10000﹣2320+3．
总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算5331＝ 2068 ．
【分析】利用所给的记数方式进行求解即可．
【解答】解：5331
＝（5000﹣200）+（30﹣1）﹣[3000﹣240+1]
＝4800+29﹣2761
＝4829﹣2761
＝2068．
故答案为：2068．
十二．有理数的乘法（共3小题）
44．（2024秋 金东区期末）若2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（ ）
A．都为0 B．只有一个0
C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0
【答案】D
【分析】根据0乘任何数都得0判断即可．
【解答】解：若2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数至少有一个0，
故选：D．
45．（2024秋 乐清市期末）计算： ﹣10 ．
【答案】﹣10．
【分析】运用有理数的乘法法则进行计算、求解．
【解答】解：10，
故答案为：﹣10．
46．（2024秋 杭州期末）若|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的值是 ﹣2或2 ．
【答案】﹣2或2．
【分析】利用绝对值的定义判断a、b的符号，再确定a、b的值，代入求值．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
∵|a|＝3，|b|＝5，
∴a＝3时，b＝﹣5，
a＝﹣3时，b＝5，
∴a+b＝﹣2或2，
故答案为：﹣2或2．
十三．有理数的除法（共2小题）
47．（2025秋 义乌市校级期中）计算得（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣25 D．25
【答案】C
【分析】根据除以一个分数等于乘以它的倒数，即可得答案．
【解答】解：．
故选：C．
48．（2025 沂南县一模）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 10或64 ．
【答案】10或64
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【解答】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
十四．有理数的乘方（共1小题）
49．（2024秋 拱墅区校级期末）20255是20254的（ ）倍．
A．5 B．2025 C．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：20255÷20254＝2025．
故选：B．
十五．有理数的混合运算（共7小题）
50．（2024秋 江山市期末）对于算式（﹣2）□（+3），若使得该算式的结果最小，则□填入的运算符号应为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【答案】C
【分析】将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算相应的结果，然后观察即可．
【解答】解：（﹣2）+3＝1，
（﹣2）﹣3＝﹣5，
（﹣2）×3＝﹣6，
（﹣2）÷3，
则15＜﹣6，
∴在算式（﹣2）□（+3）的□中填上“×”时，使结果最小，
故选：C．
51．（2024秋 绍兴期末）分配律用式子可表达为a×（b+c）＝a×b+a×c．下列四个计算：
①；
②；
③；
④．
适合运用分配律来简化计算的算式有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据题意将各式变形后进行判断即可．
【解答】解：①原式＝1×（﹣12）（﹣12）（﹣12），它可以利用乘法分配律，符合题意；
②无法利用乘法分配律，不符合题意；
③原式＝18×（0.125），它可以利用乘法分配律，符合题意；
④原式＝24×（1），它可以利用乘法分配律，符合题意；
综上，适合运用分配律来简化计算的算式有①③④，
故选：D．
52．（2024秋 柯桥区期末）自定义运算：a☆b例如：2☆（﹣4）＝2×2﹣（﹣4）＝8，若m，n在数轴上的位置如图所示，且（m+n）☆（m﹣n）＝7，则6n﹣2m+2021的值等于（ ）
A．2028 B．2035
C．2028或2035 D．2021或2014
【答案】B
【分析】根据数轴可得，n＜0＜m，从而可以得到m﹣n＞m+n，再根据（m+n）☆（m﹣n）＝7，即可得到3n﹣m＝7，然后将所求式子变形，再将3n﹣m＝7代入即可．
【解答】解：由数轴可得，
n＜0＜m，
∴m﹣n＞m+n，
∴（m+n）☆（m﹣n）
＝（m+n）﹣2（m﹣n）
＝m+n﹣2m+2n
＝3n﹣m
＝7，
∴6n﹣2m+2021
＝2（3n﹣m）+2021
＝2×7+2021
＝14+2021
＝2035．
故选：B．
53．（2024秋 杭州期末）计算：
（1）；
（2）；
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算；
（2）先计算乘方，再利用分配律计算乘法，最后计算加减运算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
＝﹣27﹣16+12﹣15
＝﹣46．
54．（2024秋 拱墅区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；
（2）先算乘方，再算乘法，然后算加减法即可．
【解答】解：（1）
（）
；
（2）
2424+（﹣8）
＝12﹣16+（﹣8）
＝﹣12．
55．（2024秋 江北区期末）以下有5张数字卡片，请你按要求取出卡片，解决下列各问题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是 8 ．
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是 ﹣4 ．
（3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方混合运算，使运算结果为24（每个数字只能用一次），请写出两种符合要求的运算式子：① [﹣2×（﹣4）]×3×1＝24 ，② ﹣4×3÷1×（﹣2）＝24 ．
【分析】（1）根据乘积最大的就是找符号相同且数值最大的数，即可求解；
（2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，据此求解即可；
（3）用加减乘除只要答数是24即可．
【解答】解：（1）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，
最大值是：（﹣4）×（﹣2）＝8，
故答案为：8；
（2）从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，
最小值是：﹣4÷1＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）由题意可得，[﹣2×（﹣4）]×3×1＝24，
﹣4×3÷1×（﹣2）＝24，
故答案为：[﹣2×（﹣4）]×3×1＝24，﹣4×3÷1×（﹣2）＝24．
56．（2024秋 钱塘区期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目：
计算：（1）97×11．（2）﹣15×33+16×33．
有两位同学的解法如下： （1）97×11＝（100﹣3）×11＝1100﹣33＝1067． （2）﹣15×33+16×33＝（﹣15+16）×33＝33．
请参考上述解法，计算下列两题：
（1）98×（﹣15）．
（2）．
【分析】（1）仿照第一位同学的解法解答；
（2）仿照第二位同学的解法解答．
【解答】解：（1）98×（﹣15）
＝（100﹣2）×（﹣15）
＝100×（﹣15）﹣2×（﹣15）
＝﹣1500+30
＝﹣1470；
（2）
＝2025×（32）
＝2025×1
＝2025．
十六．近似数和有效数字（共2小题）
57．（2024秋 杭州期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数0.010精确到0.01
B．近似数43.0精确到个位
C．近似数2.8与2.80表示的意义相同
D．近似数4.3万精确到千位
【答案】D
【分析】根据近似数的精确度的概念逐一判断即可．
【解答】解：A．近似数0.010精确到0.001，此选项错误；
B．近似数43.0精确到十分位，此选项错误；
C．近似数2.8与2.80精确度不同，其表示的意义也不相同，此选项错误；
D．近似数4.3万精确到千位，此选项正确；
故选：D．
58．（2024秋 义乌市期末）用四舍五入法将数18.49精确到个位，其近似值为 18 ．
【答案】18．
【分析】把十分位上的数字4进行四舍五入即可．
【解答】解：18.49精确到个位，其近似值为：18，
故答案为：18．
十七．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
59．（2025秋 滨江区期末）温州有轨交通S2线总投资约21 600 000 000元，数据21 600 000 000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.216×1011 B．2.16×1010
C．21.6×109 D．216×108
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：21600000000＝2.16×1010．
故选：B．
60．（2024秋 浦江县期末）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元．数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5784×108 B．5.784×1010
C．5.784×1011 D．0.5784×1012
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：5784亿＝578400000000＝5.784×1011．
故选：C．
