浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训五
一、HL证全等
1．（2025八上·东莞期末）如图，交于点．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】首先根据垂直的定义，得出，进而根据HL即可得出．
2．（2025八上·定西期末）如图，于点E，于点F，，且，求证：．
【答案】证明：∵于点E，于点F，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
3．（2023八上·汉川月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
【答案】（1）证明：连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DG是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF.
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵CF=AF-AC，
∴CF=AE-AC，
又∵BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC，
∴5-AE=AE-3，
∴2AE=8，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接BD、CD，先由角平分线性质得DE=CF，再由垂直平分线性质得BD=CD，接着根据HL证Rt△BED≌Rt△CFD，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，BE=CF，则AB-AE= AE-AC，进而求出AE的长，最后根据线段的和差即可得出答案．
（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
4．（2025八上·义乌期中）如图，已知，相交于点，且，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在与中，
，
；
（2）解：，
，
又，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）直接利用HL判定即可；
（2）由全等的性质可得，则由三角形外角的性质可得.
5．（2025八上·定海期末）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）判断△OBC的形状，并说明理由．
【答案】（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定以及等腰三角形的证明.（1）利用“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）根据全等三角形的性质可得角相等，进而推出OB＝OC，判定△OBC是等腰三角形．
二、勾股定理
6．（2025八上·贵阳期末）四根小木棒的长度分别为3，4，5，6，小星从中拿出三根为边摆三角形，摆出的三角形是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．3，4，6 C．3，5，6 D．4，5，6
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理逆定理a2+b2=c2，逐项判断．
7．（2024八上·高碑店月考）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，
旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴是直角三角形，
∴折断的旗杆为，
∴旗杆折断之前高度为．
故答案为：B．
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理算出AB的长，然后根据旗杆折断前的高度等于AC+AB可算出答案.
8．（2025八上·祁东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由题意可知，BC2＝25，AB2=169，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2=AB2-BC2=169-25=144，
即正方形M的面积为144，
故答案为：B．
【分析】由正方形的面积公式和勾股定理即可得出答案.
9．（2024八上·盐城期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长．
【答案】解∶设的长为，则，
，
，
，，
中，，即，
解得，
答∶的长为．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设的长为，则，根据边之间的关系可得OC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．（2025八上·柯城期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：正方形的面积，
∴，
正方形的面积，
∴，
∴，
正方形的面积的，
，
∴，
∴
，
是中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式求出，，，利用勾股定理的逆定理得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
11．（2025八上·顺德期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：是以为斜边的直角三角形，
，
而，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：A．
【分析】本题结合图形中的信息和已知条件，可以得到然后推出，结合条件 ，即可求出，最后阴影部分可以看作是底面为BC、高也是BC的三角形，即可列式并求出阴影部分的面积．
12．（2025八上·上城期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ．
【答案】；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：为中点，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【分析】
（1）由于为中点，且，即DE垂直平分AF，则DF=DA，再由正方形的面积知DF等于DA等于；
（2）先由等边对等角可得，再由全等三角形的性质知，则由等角的余角相等可得，由等角对等边可得，再设BM=x，则CM、DM均可用含x的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
13．（2024八上·浦江期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设的斜边为，两直角边分别为，，斜边的正方形面积为，直角边的正方形面积分别为，，
∴，
∴由勾股定理得：，
，
，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：12．
【分析】设的斜边为，两直角边分别为，，斜边的正方形面积为，直角边的正方形面积分别为，，利用勾股定理得到，从而得，然后求出，代入数值进行计算即可.
14．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
三、等边三角形
15．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，，
∴
，
，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质可得然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
16．（2025八上·旺苍期末）如图，，，，点在线段上．若，．
（1）求证：为等边三角形；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在△ABD和△ACE中，
，
∴（SAS），
∴，
∴，
∵AD=AE，
∴为等边三角形；
（2）解：∵为等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∵∠CAE=20°，∠2=40°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠2=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AEB=120°-60°=60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角度之间的等量关系可求出，从而利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，求出，因为AD=AE，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠AEC，而∠AEB=60°，则可以求出∠BEC．
17．（2025八上·叙永期末）如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（ ）
①；②；③；④平分；⑤平分，
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②⑤
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①和均是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，①正确；
②由①知，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，②正确；
③由②得，在，，
，③错误；
④过点C作于点Q，于点H，如图所示：
由①得，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴④不正确，
⑤由④得到，且，，
平分，⑤正确；
综上可知，①②⑤正确，
故答案为：D.
【分析】①利用等边三角形的性质据全等三角形的判定证出即可；
②由①得，再根据全等三角形的判定证出，进而利用全等三角形的对应边相等得出即可；
③在中，可得，易知；
④由①得，，则，得到，根据全等三角形的判定HL证出，得到，但不一定等于即可；
⑤根据，且，，得到即可.
18．（2025八上·增城期末）如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：是等边三角形．
【答案】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意可得，由是等边三角形 ， 可以得到，即可解答；
（2）由 ，，是等边三角形，，进而推出，结合，即可证明结论．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
19．（2025八上·宁波期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连结AE，CD，EA的延长线交CD于点F.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠CFE的度数，
【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB，
∴∠ABE=∠CAD，
∵AD=BE，
∴△ABE≌△CAD(SAS)
（2）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△ABE≌△CAD，
∵∠E=∠D，
∴∠CFE=∠CDAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明三角形全等即可；
（2）先得到∠ABC=60°，然后根据全等得到E=∠D，然后根据三角形的外角解题即可.
四、垂线段最短
20．（2025八上·义乌期末）如图，在等边中，点D是边上固定一点，点P是边上一动点，连接．当时，，当时，有最小值．则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：如图，作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵当时，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴、，
∴ ，
∴.
故答案为：．
【分析】
由于等边三角形的三边相等、三个角都是60度，则当DB＝DP时为等边三角形，则可取BP中点Q，再连接DQ，可由等腰三角形三线合一知，则AQ＝3，又因为AP＝1，则PQ＝2，所以BD＝BP＝4、AQ＝3，则利用勾股定理可依次得，．
21．（2024八上·钱塘期末）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
22．（2024九上·南海期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
23．（2024八下·铁东期末）如图，在四边形中ABCD，，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若，，则EF的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
24．（2025八上·吴兴期末）如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使得，连接，，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CF的长及∠ABF的度数，由此可得到BF的长，同时可证得△ABF是等边三角形，可得到∠AFB的度数；再证明∠FBE=∠ABD，利用SAS可证得△FBE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出∠BFE、∠AFE的度数，可推出点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，可求出CH的长，根据CE≥CH，可求出CE的最小值.
1 / 1浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训五
一、HL证全等
1．（2025八上·东莞期末）如图，交于点．求证：．
2．（2025八上·定西期末）如图，于点E，于点F，，且，求证：．
3．（2023八上·汉川月考）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
4．（2025八上·义乌期中）如图，已知，相交于点，且，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
5．（2025八上·定海期末）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）判断△OBC的形状，并说明理由．
二、勾股定理
6．（2025八上·贵阳期末）四根小木棒的长度分别为3，4，5，6，小星从中拿出三根为边摆三角形，摆出的三角形是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．3，4，6 C．3，5，6 D．4，5，6
7．（2024八上·高碑店月考）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·祁东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25，169，则正方形M的面积为（ ）
A．100 B．144 C．154 D．194
9．（2024八上·盐城期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，（图中的、、、在同一平面上），测得，．求的长．
10．（2025八上·柯城期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
11．（2025八上·顺德期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
12．（2025八上·上城期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的赵爽弦图，得到正方形与正方形，连结并延长，交于点．若，为中点，则的长为 ；的长为 ．
13．（2024八上·浦江期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为 ．
14．（2024八上·武义期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：过点作于点，延长交于点，则若，则其中正确的结论个数是( )
A．个 B．个 C．个 D．个
三、等边三角形
15．（2025八上·嘉兴期末）如图，在等边中，，，，交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
16．（2025八上·旺苍期末）如图，，，，点在线段上．若，．
（1）求证：为等边三角形；
（2）求的度数．
17．（2025八上·叙永期末）如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（ ）
①；②；③；④平分；⑤平分，
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②⑤
18．（2025八上·增城期末）如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接．
（1）若，求的长；
（2）求证：是等边三角形．
19．（2025八上·宁波期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BA至点D，延长CB至点E，使AD=BE，连结AE，CD，EA的延长线交CD于点F.
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠CFE的度数，
四、垂线段最短
20．（2025八上·义乌期末）如图，在等边中，点D是边上固定一点，点P是边上一动点，连接．当时，，当时，有最小值．则线段的长为 ．
21．（2024八上·钱塘期末）如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为 ．
22．（2024九上·南海期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
23．（2024八下·铁东期末）如图，在四边形中ABCD，，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若，，则EF的最小值为 ．
24．（2025八上·吴兴期末）如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】垂线的概念；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】首先根据垂直的定义，得出，进而根据HL即可得出．
2．【答案】证明：∵于点E，于点F，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
3．【答案】（1）证明：连接BD、CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DG是线段BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF.
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∵CF=AF-AC，
∴CF=AE-AC，
又∵BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC，
∴5-AE=AE-3，
∴2AE=8，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接BD、CD，先由角平分线性质得DE=CF，再由垂直平分线性质得BD=CD，接着根据HL证Rt△BED≌Rt△CFD，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据HL证Rt△AED≌Rt△AFD得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，BE=CF，则AB-AE= AE-AC，进而求出AE的长，最后根据线段的和差即可得出答案．
（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
4．【答案】（1）证明：在与中，
，
；
（2）解：，
，
又，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）直接利用HL判定即可；
（2）由全等的性质可得，则由三角形外角的性质可得.
5．【答案】（1）∵∠A＝∠D＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DCB中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
理由：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定以及等腰三角形的证明.（1）利用“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DCB；
（2）根据全等三角形的性质可得角相等，进而推出OB＝OC，判定△OBC是等腰三角形．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理逆定理a2+b2=c2，逐项判断．
7．【答案】B
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【解答】解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，
旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴是直角三角形，
∴折断的旗杆为，
∴旗杆折断之前高度为．
故答案为：B．
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理算出AB的长，然后根据旗杆折断前的高度等于AC+AB可算出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：由题意可知，BC2＝25，AB2=169，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据勾股定理可得，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2=AB2-BC2=169-25=144，
即正方形M的面积为144，
故答案为：B．
【分析】由正方形的面积公式和勾股定理即可得出答案.
9．【答案】解∶设的长为，则，
，
，
，，
中，，即，
解得，
答∶的长为．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】设的长为，则，根据边之间的关系可得OC，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：正方形的面积，
∴，
正方形的面积，
∴，
∴，
正方形的面积的，
，
∴，
∴
，
是中点，
，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积公式求出，，，利用勾股定理的逆定理得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：是以为斜边的直角三角形，
，
而，
，
，
，
∴阴影部分的面积=，
故答案为：A．
【分析】本题结合图形中的信息和已知条件，可以得到然后推出，结合条件 ，即可求出，最后阴影部分可以看作是底面为BC、高也是BC的三角形，即可列式并求出阴影部分的面积．
12．【答案】；
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；“赵爽弦图”模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：为中点，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
【分析】
（1）由于为中点，且，即DE垂直平分AF，则DF=DA，再由正方形的面积知DF等于DA等于；
（2）先由等边对等角可得，再由全等三角形的性质知，则由等角的余角相等可得，由等角对等边可得，再设BM=x，则CM、DM均可用含x的代数式表示，再在中应用勾股定理即可．
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：设的斜边为，两直角边分别为，，斜边的正方形面积为，直角边的正方形面积分别为，，
∴，
∴由勾股定理得：，
，
，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：12．
【分析】设的斜边为，两直角边分别为，，斜边的正方形面积为，直角边的正方形面积分别为，，利用勾股定理得到，从而得，然后求出，代入数值进行计算即可.
14．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF，正方形BCGH和正方形ACMN，∴
，，故①正确；如图所示：过点F作交NA延长NA延长线于点O，
故在和中：，
故②正确；如图所示：过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作
在和中：故同理可证得：又在和中，故正确；又
，同理可证得：
故正确，综上所述，正确的结论个数为4个.
故答案为：D.
【分析】本题主要考查勾股勾股定理，全等三角形的判定及性质，属于较难题型.根据题意可证得：可得：，即可判定①；过点F作交NA延长NA延长线于点O，证明得到：得到：，然后利用三角形的面积公式进行求解即可判定②；过点A作交BJ的延长线于点P，过点C作，证得：得到：同理得到：CQ=BI，进而得到：CQ=AP，同理可证得：AJ=CJ，进而即可判定③；根据全等三角形的性质得到EH=2BJ，然后利用勾股定理得到：
同理可证得：然后再进行判定即可求解④.
15．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，，，
∴
，
，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质可得然后根据直角三角形的两锐角互余解题．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在△ABD和△ACE中，
，
∴（SAS），
∴，
∴，
∵AD=AE，
∴为等边三角形；
（2）解：∵为等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∵∠CAE=20°，∠2=40°，
∴∠AEC=180°-∠CAE-∠2=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AEB=120°-60°=60°
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角度之间的等量关系可求出，从而利用SAS证明，根据全等三角形的性质得到，求出，因为AD=AE，有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，即可求证；
（2）根据三角形内角和定理可求出∠AEC，而∠AEB=60°，则可以求出∠BEC．
17．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：①和均是等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，①正确；
②由①知，
，
∵，
∴，
在和中，
，
，
，②正确；
③由②得，在，，
，③错误；
④过点C作于点Q，于点H，如图所示：
由①得，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴④不正确，
⑤由④得到，且，，
平分，⑤正确；
综上可知，①②⑤正确，
故答案为：D.
【分析】①利用等边三角形的性质据全等三角形的判定证出即可；
②由①得，再根据全等三角形的判定证出，进而利用全等三角形的对应边相等得出即可；
③在中，可得，易知；
④由①得，，则，得到，根据全等三角形的判定HL证出，得到，但不一定等于即可；
⑤根据，且，，得到即可.
18．【答案】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意可得，由是等边三角形 ， 可以得到，即可解答；
（2）由 ，，是等边三角形，，进而推出，结合，即可证明结论．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
19．【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠CAB，
∴∠ABE=∠CAD，
∵AD=BE，
∴△ABE≌△CAD(SAS)
（2）解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴△ABE≌△CAD，
∵∠E=∠D，
∴∠CFE=∠CDAF+∠D=∠BAE+∠E=∠ABC=60°.
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明三角形全等即可；
（2）先得到∠ABC=60°，然后根据全等得到E=∠D，然后根据三角形的外角解题即可.
20．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：如图，作于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵当时，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴、，
∴ ，
∴.
故答案为：．
【分析】
由于等边三角形的三边相等、三个角都是60度，则当DB＝DP时为等边三角形，则可取BP中点Q，再连接DQ，可由等腰三角形三线合一知，则AQ＝3，又因为AP＝1，则PQ＝2，所以BD＝BP＝4、AQ＝3，则利用勾股定理可依次得，．
21．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过A点作于H点，如图，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最短时，最大，
此时，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【分析】过A点作于H点，如图，根据等腰三角形的三线合一得到，再利用勾股定理计算出；由折叠的性质得到，由于，故最短时最大，根据垂线段最短，当时BF最短，然后利用等面积法求出此时的长，从而得到的最大值．
22．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【分析】
连接，利用菱形的性质得到和都为等边三角形，再结合等边三角形的性质可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算即可求解．
23．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
24．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：B．
【分析】延长到点，使得，连接，，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CF的长及∠ABF的度数，由此可得到BF的长，同时可证得△ABF是等边三角形，可得到∠AFB的度数；再证明∠FBE=∠ABD，利用SAS可证得△FBE≌△ABD，利用全等三角形的性质可求出∠BFE、∠AFE的度数，可推出点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，可求出CH的长，根据CE≥CH，可求出CE的最小值.
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