浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训七
一、不等式（组）实际应用
1．（2025八上·镇海区期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
2．（2024八上·衢江期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故答案为：D．
【分析】设他答对道题，根据“ 共道抢答题， 得分不低于分 ”列不等式解题即可．
3．（2025八上·滨江期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，
根据题意可得：，
解得：，
为正整数，
，
答：小滨最多能买的笔记本数是本．
故答案为： ．
【分析】设小滨购买了本笔记本，根据题意列不等式，求出不等式的解集，因然后取最大整数解题即可．
4．（2024八上·莲都期末）小明欲购买款糖果共50千克，已知A款糖果的单价为10元/千克，B款糖果的单价为15元/千克． 为保证最终购买的平均单价不高于13元/千克，小明至少购买款糖果 千克．
【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买款糖果x千克，则购买B款糖果千克，根据题意得：
，
解得：，
∴小明至少购买款糖果20千克．
故答案为：20．
【分析】设购买款糖果x千克，根据“购买的平均单价不高于13元/千克”列不等式解题即可．
5．（2024八上·慈溪期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
【答案】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则
，解得
答：1个甲部件，1个乙部件．
（2）解：设电梯一次装运套设备，由题意得
解得
因为为正整数，所以取最大整数为7，即货运电梯一次最多装运7套设备．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）列一元一次方程解决配套问题，只需找准选题关系；
（2）列不等式解应用题的关键，是确定不等关系，同时需要结合实际情况，可能需要对解集进行适当改变.
6．（2025八上·定海期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元．
（1）钥匙扣和立牌单价分别是多少？
（2）学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？
【答案】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：
解得，
答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件
（2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得：
，
解得，
答：最多购买立牌件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用.
（1）通过设定钥匙和立牌的单价，根据两种定制方案的费用列出二元一次方程组，利用消元法求解得到钥匙扣和立牌的单价；
（2）设立牌买m件，钥匙扣买件，结合钥匙扣的购买数量和总费用不超过1000元的限制列出一元一次不等式，求解得到立牌的最大购买数量.
（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：
解得，
答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件．
（2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得：
，
解得，
答：最多购买立牌件．
二、不等式组中的方案问题
7．（2025八上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事.
如何设计志愿者招募方案
素材一 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次专业志愿者/名本地志愿者/名总费用/元第一场次310690第二场次45545
素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展，专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元.
问题解决
任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资；
任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案.
【答案】解：任务一：确定志愿者薪资
解：设专业志愿者每场薪资为x元，本地志愿者每场薪资为y元，可列方程组：
解得：
答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元.
任务二：探究志愿者数量
解：设招募专业志愿者a名，则本地志愿者为 (20-a)名(a为正整数)，可列不等式：
80a+45(20-a)≤1075
解得a≤5
因为a为正整数， 且a≥3， 所以为a=3， 4或5， 于是20-a=17， 16或15.
答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名：方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：确定志愿者薪资
先设未知数；再根据素材一的两场数据列二元一次方程组；最后解方程组，即可得出答案.
任务二：拟定招募方案
先设未知数；再根据素材二列不等式组；最后解不等式并确定正整数解，即可得出答案.
8．（2025八上·镇海区期末）为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元．
（1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？
（2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？
（3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系．
【答案】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
可列方程组为：，
解得：，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可以取的值为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵ （2）中所有购买方案补贴后的费用相同 ，
，
．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，再根据两种购买方式列出方程组求解；
（2）设购入个绿色垃圾桶，可用a表示出购入灰色垃圾桶的数量，再根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，列出不等式组求解；
（3）设购买总费用为元，则，再根据 （2）中所有购买方案补贴后的费用相同，得到m、n的方程求解．
（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
由题意得：，
解得，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可能为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵（2）中的所有购买方案费用相同，
，
．
9．（2025八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
【答案】解：任务1：设长方体的高度为x cm，
根据题意可列方程为：60-2x=2（40-2x），
解得：x=10，
答：长方体的高度为；
任务2：设图1方式需要裁剪m张木板，图2方式需要裁剪（100-m）张木板，
∴，
∴，
∴m的整数解有：83，84，85，
∴共有3种方案：①83张木板按图1方式裁剪，17张木板按图2方式裁剪；
②84张木板按图1方式裁剪 ，16张木板按图2方式裁剪 ；
③85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ；
任务3：由任务2中的三种方案，根据题意可得，
①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额=（83-17×3）×20+17×3×30+83×4×5=3830（元）；
②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额=（84-16×3）×20+16×3×30+84×4×5=3840（元）；
③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额=（85-15×3）×20+15×3×30+85×4×5=3850（元）；
综上所述：方案③利润最大，85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ，最大利润为3850-15×100=2350（元）．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务1：由图1，根据“底面长与宽之比为”列一元一次方程求解即可；
任务2：根据题意中“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列一元一次不等式组求解即可；
任务3：根据任务2，计算出每种方案的销售额即可得出答案.
10．（2025八上·嘉兴期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回．
（1）若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值；
（2）若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？
【答案】（1）解：，，
，
的最大值为2；
（2）解：设景点与校门口的距离为．
根据题意得，
解得．
学校可能组织学生去景点或景点．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列不等式解题；
（2）设景点与校门口的距离为．列不等式求出y的取值范围解题即可．
（1）解：，，
，
的最大值为2；
（2）解：设景点与校门口的距离为．
根据题意得，
解得．
学校可能组织学生去景点或景点．
11．（2024八上·婺城期末）根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目谷物牛奶鸡蛋蛋白质（g）3.015脂肪（g）32.43.65.2碳水化合物（g）50.84.51.4
素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？
任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？
【答案】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有：；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得：，
解得：，
∴或，
当时，，
当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．
【知识点】一元一次不等式组的应用；百分数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有：；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得：，
解得：，
∴或，
当时，，
当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．
【分析】任务一：根据素材1得出谷物、牛奶和鸡蛋中各含蛋白质的百分数，再算出任务一中各食物中蛋白质的含量相加即可；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组解答即可；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意列方程组解答即可．
12．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
13．（2024八上·鄞州期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
（1）求A模型和B模型的单价．
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元
（2）解：设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）设购买A模型m个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，得到关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，然后得到购买方案，再根据总价=单价×数量可求出方案所需费用，比较解题即可．
14．（2024八上·开化期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破．智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利．某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共40台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台型号机器人？
（2）机器人公司报价型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过313万元，则有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人
答：最多购买25台型号机器人．
（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人
，且是整数或25
答：有两种方案：A型号24台、B型号16台或型号25台、型号15台．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买台型号机器人，根据不等关系“B型号机器人的数量≥A型号机器人的数量×”可得关于x的不等式，解之可求解；
（2）设购买台型号机器人，根据题中的不等关系“x台A型号机器人的费用+（40-x）台B型号机器人的费用≤313”，解之即可求解.
三、不等式与方程
15．（2025八上·柯桥期末）已知下列表格中的每组的值分别是关于的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】由表格可知，当x=-2时，y=0，
当x＞-2时，y＞0，
∴关于x的不等式ax+b≥0的解集为：x≥-2，
故答案为：x≥-2.
【分析】根据表格找到方程y=ax+b中对应的x的值，再根据y随x的变化趋势求得不等式的解集即可.
16．（2024八上·柯桥期末）已知，且，，若，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意得出，代入等式m=x+2y得：，然后根据x、y的范围即可求解．
17．（2023八上·宁波期末）若数a既使得关于x、y的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为 ．
【答案】-15
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得 ，
解得，
∵ 不等式组的解集为，
∴2a+15＜15，解得a＜5，
∵二元一次方程组有正整数解，
∴3+与3-均为正整数，
∴a=0，-5，-10，
∴ 所有满足条件的a的值之和为0+（-5）+（-10） =-15.
故答案为：-15.
【分析】先解方程组得，再解不等式组，然后结合不等式组的解集可得a＜5，由3+与3-均为正整数，可得出a值，再相加即可.
18．（2024八上·杭州期末）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】15
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x≥1，
由②得x≤，
∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴4≤m＜8；
解关于y的方程 得，，
∵该方程的解为非负数，
∴，
∴m≤6，
综上所述，m的取值范围为：4≤m≤6，
∴整数m为4、5、6，
∴ 满足条件的所有整数m的和为4+5+6=15.
故答案为：15.
【分析】将m作为字母系数，根据解不等式的步骤求出不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组有解且至多有2个整数解，可得，求解得出m的取值范围；再将m作为字母系数解方程，由该方程的解为非负数，可得，再求解可得符合题意得m的取值范围为4≤m≤6，从而此题就易得答案了.
19．（2024八上·余杭期末）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
①+②得2x+2y=2m+4，
则x+y=m+2，
∵，
∴m+2＞1，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【分析】先运用加减消元法得到x+y=m+2，然后根据题意列关于m的一元一次不等式，解出m的取值范围即可.
20．（2025八上·叙永期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：原方程
去分母得：，
整理得：，
∵有意义，
∴
∴且，
解得且
当时，方程的解为正数；
当时，方程无解；
∴当，方程的解为负数，
解得：，
综上所述，此时k的范围为，且，
故答案为：D.
【分析】先去分母，移项，合并同类项表示成整式方程，再根据分母不为0和解为负数讨论即可.
21．（2024八上·三台期末）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 。
【答案】21
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据分式方程可得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
由于方式方程分母为，
所以，即，
所以，
解关于y的不等式组得：
，
因不等式组有个整数解，即，，三个整数解，
故，
解得：，
综上所得：且，则的整数值为：，，，，
因为，
故答案为：
【分析】结合“关于的分式方程的解为非负数”解出分式方程得出，根据分式方程分母不为0可得，根据“关于y的不等式组有个整数解”解得，进而可确定a的取值，求和即可得出结果。
四、不等式与定义新运算
22．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-8【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
23．（2023八上·西湖期末）定义关于@的一种运算：，如．
（1）若，且x为正整数，求x的值．
（2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．
【答案】（1）解：由得：，解得，
∵x为正整数，
∴
（2）解不等式得：，由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义列出不等式，解不等式求出x的取值范围，然后求出整数x的值.
（2）先求出不等式的解集，再根据新定义列出不等式，求出此 不等式的解集，再根据两个不等式的解集相同求出a的值．
（1）解：由得：，
解得，
∵x为正整数，
∴；
（2）解不等式得：，
由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
24．（2025八上·余杭期末）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，又，，．
又，①
不等式①三者同加2，得．即②
得，．
问题：
（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）．
【答案】（1）解：，
．又，
，
．
又，
．①
同理得：②
由得：，
．
（2）解：设每张椅子的价格为m元，则每张桌子的价格为元，
则一套桌椅的价格为(2m+50)元.
一张桌子的售价不低于120元，
，
一把椅子的售价不超过90元.
，
，
，
，
答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接类比方法与步骤解答即可；
（2）设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可．
（1）解：，
．又，
，
．
又，
．①
同理得：②
由得：，
．
（2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，
由已知可知，
解得，
，
，
，
，
答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围．
1 / 1浙江省数学八年级上册期末常考题型真题分类专项特训七
一、不等式（组）实际应用
1．（2025八上·镇海区期末）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·衢江期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
3．（2025八上·滨江期末）小滨用元钱去购买笔记本和水笔共件．已知每本笔记本元，每支水笔元，则小滨最多能买的笔记本数是 本．
4．（2024八上·莲都期末）小明欲购买款糖果共50千克，已知A款糖果的单价为10元/千克，B款糖果的单价为15元/千克． 为保证最终购买的平均单价不高于13元/千克，小明至少购买款糖果 千克．
5．（2024八上·慈溪期末）某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过3000kg．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由1个甲部件和2个乙部件组成．现已知2个甲部件和1个乙部件总质量为440kg，3个甲部件和4个乙部件质量相同．
（1）求1个甲部件和1个乙部件的质量各是多少kg；
（2）每次装运都需要两名工人装卸，设备需要成套装运，现已知两名装卸工人质量分别为82kg和78kg，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？
6．（2025八上·定海期末）舟山市某校第届科技体育人文艺术节，吉祥物“菱菱”脱颖而出，学校将它定制成钥匙扣和立牌．若定制钥匙扣件，立牌2件共需要8元；若定制钥匙扣件，立牌5件共需要元．
（1）钥匙扣和立牌单价分别是多少？
（2）学校计划购买钥匙扣和立牌共件，总费用不超过元，那么最多能购买立牌多少件？
二、不等式组中的方案问题
7．（2025八上·温州期中）根据以下素材，探索完成任务.
背景介绍 浙BA省赛激战正酣！温州组委会正加急招募志愿者保障赛事.
如何设计志愿者招募方案
素材一 下表是温州组委会连续两场比赛招募专业志愿者、本地志愿者的情况： 场次专业志愿者/名本地志愿者/名总费用/元第一场次310690第二场次45545
素材二 下一场次需招募专业志愿者与本地志愿者共20名，为保证赛事顺利开展，专业志愿者不少于3人，但赛事经费有限，总招募费用不能超过1075元.
问题解决
任务一 确定志愿者薪资 结合素材一，求专业志愿者和本地志愿者的每场薪资；
任务二 拟定招募方案 结合素材一、二，求出所有符合要求的招募方案.
8．（2025八上·镇海区期末）为落实“垃圾分类”的环保理念，某学校同时购进绿色和灰色两种颜色的垃圾桶，若购进2个绿色垃圾桶和3个灰色垃圾桶共需340元；若购进3个绿色垃圾桶和2个灰色垃圾桶共需360元．
（1）求绿色垃圾桶和灰色垃圾桶每个进价分别为多少元？
（2）为创建垃圾分类示范学校，学校预计用不超过3600元的资金购入两种垃圾桶共计50个，且绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，请求出共有几种购买方案？
（3）为落实垃圾分类的环保理念，县政府对学校采购垃圾桶进行补贴．每购买一个绿色垃圾桶和灰色垃圾桶，政府分别补贴m元和n元，如果（2）中所有购买方案补贴后的费用相同，求m与n之间的数量关系．
9．（2025八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务，
如何确定木板分配方案？
素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，．
素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子．
素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个．
问题解决
任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度．
任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案．
任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润．
10．（2025八上·嘉兴期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到，，三个景点的距离分别为，，．学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为小时，再以平均每小时的速度返回．
（1）若学校组织学生前往景点游玩，且恰好在返回校门口，求的最大值；
（2）若，，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去，，中的哪几个景点？
11．（2024八上·婺城期末）根据以下素材，探索完成任务：
快餐方案的确定
素材1 谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见表： 项目谷物牛奶鸡蛋蛋白质（g）3.015脂肪（g）32.43.65.2碳水化合物（g）50.84.51.4
素材2 阳光营养餐公司为学生提供的早餐中，蛋白质总含量占早餐总质量的8%．该早餐包含一个的鸡蛋、一份牛奶和一份谷物食品．
素材3 阳光营养餐公司为学生提供的午餐有A、B两种套餐（见表）．为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过． 套餐主食肉类其他AB
问题解决
任务1 若一份早餐包含一个的鸡蛋、牛奶和谷物食品，求该份早餐中蛋白质总含量为多少g？
任务2 已知阳光快餐公司提供的一份早餐的总质量为，则每份早餐中牛奶和谷物食品各多少g？
任务3 为平衡膳食，每个学生一周内午餐可以选择A、B套餐各几天（一周按5天计算）？
12．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
13．（2024八上·鄞州期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
（1）求A模型和B模型的单价．
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
14．（2024八上·开化期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破．智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利．某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共40台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
（1）该连锁酒店最多购买几台型号机器人？
（2）机器人公司报价型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过313万元，则有哪几种购买方案？
三、不等式与方程
15．（2025八上·柯桥期末）已知下列表格中的每组的值分别是关于的二元一次方程的解，则关于的不等式的解集为 ．
16．（2024八上·柯桥期末）已知，且，，若，则m的取值范围是 ．
17．（2023八上·宁波期末）若数a既使得关于x、y的二元一次方程组有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的a的值之和为 ．
18．（2024八上·杭州期末）若实数m使关于x的不等式组有解且至多有2个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数m的和为 ．
19．（2024八上·余杭期末）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
20．（2025八上·叙永期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
21．（2024八上·三台期末）若整数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 。
四、不等式与定义新运算
22．（2022八上·定海期末）对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 （ ）
A．-8≤m<-5 B．-823．（2023八上·西湖期末）定义关于@的一种运算：，如．
（1）若，且x为正整数，求x的值．
（2）若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值．
24．（2025八上·余杭期末）阅读下列材料：
解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法：
解：，，又，，．
又，①
不等式①三者同加2，得．即②
得，．
问题：
（1）已知，且，，求的取值范围；
（2）一家具生产企业，生产学生用的课桌椅，一张桌子的售价比一把椅子高50元，若一张桌子的售价不低于120元，一把椅子的售价不超过90元，求出售一套桌椅（一张桌子一把椅子）定价的范围（定价用w表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
2．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故答案为：D．
【分析】设他答对道题，根据“ 共道抢答题， 得分不低于分 ”列不等式解题即可．
3．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小滨购买了本笔记本，则购买了支水笔，
根据题意可得：，
解得：，
为正整数，
，
答：小滨最多能买的笔记本数是本．
故答案为： ．
【分析】设小滨购买了本笔记本，根据题意列不等式，求出不等式的解集，因然后取最大整数解题即可．
4．【答案】20
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买款糖果x千克，则购买B款糖果千克，根据题意得：
，
解得：，
∴小明至少购买款糖果20千克．
故答案为：20．
【分析】设购买款糖果x千克，根据“购买的平均单价不高于13元/千克”列不等式解题即可．
5．【答案】（1）解：设1个甲部件质量为，1个乙部件质量为，则
，解得
答：1个甲部件，1个乙部件．
（2）解：设电梯一次装运套设备，由题意得
解得
因为为正整数，所以取最大整数为7，即货运电梯一次最多装运7套设备．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）列一元一次方程解决配套问题，只需找准选题关系；
（2）列不等式解应用题的关键，是确定不等关系，同时需要结合实际情况，可能需要对解集进行适当改变.
6．【答案】（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：
解得，
答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件
（2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得：
，
解得，
答：最多购买立牌件
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用.
（1）通过设定钥匙和立牌的单价，根据两种定制方案的费用列出二元一次方程组，利用消元法求解得到钥匙扣和立牌的单价；
（2）设立牌买m件，钥匙扣买件，结合钥匙扣的购买数量和总费用不超过1000元的限制列出一元一次不等式，求解得到立牌的最大购买数量.
（1）解：设钥匙扣单价为x元/件，立牌单价为y元/件，依题意可得：
解得，
答：钥匙扣单价为元/件，立牌单价为1元/件．
（2）解：设立牌买m件，钥匙扣买件，依题意可得：
，
解得，
答：最多购买立牌件．
7．【答案】解：任务一：确定志愿者薪资
解：设专业志愿者每场薪资为x元，本地志愿者每场薪资为y元，可列方程组：
解得：
答：专业志愿者每场薪资80元，本地志愿者每场薪资45元.
任务二：探究志愿者数量
解：设招募专业志愿者a名，则本地志愿者为 (20-a)名(a为正整数)，可列不等式：
80a+45(20-a)≤1075
解得a≤5
因为a为正整数， 且a≥3， 所以为a=3， 4或5， 于是20-a=17， 16或15.
答：方案一：专业志愿者3名，本地志愿者17名；方案二：专业志愿者4名，本地志愿者16名：方案三：专业志愿者5名，本地志愿者15名.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-计费；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务一：确定志愿者薪资
先设未知数；再根据素材一的两场数据列二元一次方程组；最后解方程组，即可得出答案.
任务二：拟定招募方案
先设未知数；再根据素材二列不等式组；最后解不等式并确定正整数解，即可得出答案.
8．【答案】（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
可列方程组为：，
解得：，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可以取的值为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵ （2）中所有购买方案补贴后的费用相同 ，
，
．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，再根据两种购买方式列出方程组求解；
（2）设购入个绿色垃圾桶，可用a表示出购入灰色垃圾桶的数量，再根据总费用和绿色垃圾桶数量不少于灰色垃圾桶数量的，列出不等式组求解；
（3）设购买总费用为元，则，再根据 （2）中所有购买方案补贴后的费用相同，得到m、n的方程求解．
（1）解：设每个绿色垃圾桶的进价为元，每个灰色垃圾桶的进价为元，
由题意得：，
解得，
答：每个绿色垃圾桶的进价为80元，每个灰色垃圾桶的进价为60元．
（2）解：设购入个绿色垃圾桶，则购入个灰色垃圾桶，
由题意得：，
解得，
为正整数，
可能为23，24，25，26，27，28，29，30，
答：共有8种购买方案．
（3）解：设购买总费用为元，
则，
∵（2）中的所有购买方案费用相同，
，
．
9．【答案】解：任务1：设长方体的高度为x cm，
根据题意可列方程为：60-2x=2（40-2x），
解得：x=10，
答：长方体的高度为；
任务2：设图1方式需要裁剪m张木板，图2方式需要裁剪（100-m）张木板，
∴，
∴，
∴m的整数解有：83，84，85，
∴共有3种方案：①83张木板按图1方式裁剪，17张木板按图2方式裁剪；
②84张木板按图1方式裁剪 ，16张木板按图2方式裁剪 ；
③85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ；
任务3：由任务2中的三种方案，根据题意可得，
①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额=（83-17×3）×20+17×3×30+83×4×5=3830（元）；
②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额=（84-16×3）×20+16×3×30+84×4×5=3840（元）；
③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额=（85-15×3）×20+15×3×30+85×4×5=3850（元）；
综上所述：方案③利润最大，85张木板按图1方式裁剪 ，15张木板按图2方式裁剪 ，最大利润为3850-15×100=2350（元）．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】任务1：由图1，根据“底面长与宽之比为”列一元一次方程求解即可；
任务2：根据题意中“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列一元一次不等式组求解即可；
任务3：根据任务2，计算出每种方案的销售额即可得出答案.
10．【答案】（1）解：，，
，
的最大值为2；
（2）解：设景点与校门口的距离为．
根据题意得，
解得．
学校可能组织学生去景点或景点．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列不等式解题；
（2）设景点与校门口的距离为．列不等式求出y的取值范围解题即可．
（1）解：，，
，
的最大值为2；
（2）解：设景点与校门口的距离为．
根据题意得，
解得．
学校可能组织学生去景点或景点．
11．【答案】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有：；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得：，
解得：，
∴或，
当时，，
当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．
【知识点】一元一次不等式组的应用；百分数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【解答】解：任务一：由题意可知：谷物中蛋白质含量，牛奶中蛋白质含量，鸡蛋中蛋白质含量，有：；
答：该份早餐中蛋白质总含量为；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组得：，
解得：，
答：该早餐中牛奶，谷物；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意得：，
解得：，
∴或，
当时，，
当时，．
答：每个学生一周内午餐可以选择A套餐3天、B套餐2天或可以选择A套餐4天、B套餐1天．
【分析】任务一：根据素材1得出谷物、牛奶和鸡蛋中各含蛋白质的百分数，再算出任务一中各食物中蛋白质的含量相加即可；
任务二：设该早餐中牛奶，谷物，列方程组解答即可；
任务三：设每周共有a天选A套餐，天选B套餐，根据题意列方程组解答即可．
12．【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
13．【答案】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元
（2）解：设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）设购买A模型m个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，得到关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，然后得到购买方案，再根据总价=单价×数量可求出方案所需费用，比较解题即可．
14．【答案】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人
答：最多购买25台型号机器人．
（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人
，且是整数或25
答：有两种方案：A型号24台、B型号16台或型号25台、型号15台．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设购买台型号机器人，根据不等关系“B型号机器人的数量≥A型号机器人的数量×”可得关于x的不等式，解之可求解；
（2）设购买台型号机器人，根据题中的不等关系“x台A型号机器人的费用+（40-x）台B型号机器人的费用≤313”，解之即可求解.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】由表格可知，当x=-2时，y=0，
当x＞-2时，y＞0，
∴关于x的不等式ax+b≥0的解集为：x≥-2，
故答案为：x≥-2.
【分析】根据表格找到方程y=ax+b中对应的x的值，再根据y随x的变化趋势求得不等式的解集即可.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据题意得出，代入等式m=x+2y得：，然后根据x、y的范围即可求解．
17．【答案】-15
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解得 ，
解得，
∵ 不等式组的解集为，
∴2a+15＜15，解得a＜5，
∵二元一次方程组有正整数解，
∴3+与3-均为正整数，
∴a=0，-5，-10，
∴ 所有满足条件的a的值之和为0+（-5）+（-10） =-15.
故答案为：-15.
【分析】先解方程组得，再解不等式组，然后结合不等式组的解集可得a＜5，由3+与3-均为正整数，可得出a值，再相加即可.
18．【答案】15
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
由①得x≥1，
由②得x≤，
∵该不等式组有解且至多有2个整数解，
∴，
∴4≤m＜8；
解关于y的方程 得，，
∵该方程的解为非负数，
∴，
∴m≤6，
综上所述，m的取值范围为：4≤m≤6，
∴整数m为4、5、6，
∴ 满足条件的所有整数m的和为4+5+6=15.
故答案为：15.
【分析】将m作为字母系数，根据解不等式的步骤求出不等式组中每一个不等式的解集，由该不等式组有解且至多有2个整数解，可得，求解得出m的取值范围；再将m作为字母系数解方程，由该方程的解为非负数，可得，再求解可得符合题意得m的取值范围为4≤m≤6，从而此题就易得答案了.
19．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
①+②得2x+2y=2m+4，
则x+y=m+2，
∵，
∴m+2＞1，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【分析】先运用加减消元法得到x+y=m+2，然后根据题意列关于m的一元一次不等式，解出m的取值范围即可.
20．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：原方程
去分母得：，
整理得：，
∵有意义，
∴
∴且，
解得且
当时，方程的解为正数；
当时，方程无解；
∴当，方程的解为负数，
解得：，
综上所述，此时k的范围为，且，
故答案为：D.
【分析】先去分母，移项，合并同类项表示成整式方程，再根据分母不为0和解为负数讨论即可.
21．【答案】21
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据分式方程可得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得：，
由于方式方程分母为，
所以，即，
所以，
解关于y的不等式组得：
，
因不等式组有个整数解，即，，三个整数解，
故，
解得：，
综上所得：且，则的整数值为：，，，，
因为，
故答案为：
【分析】结合“关于的分式方程的解为非负数”解出分式方程得出，根据分式方程分母不为0可得，根据“关于y的不等式组有个整数解”解得，进而可确定a的取值，求和即可得出结果。
22．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得到不等式组：
，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是≤x＜2，
∵不等式组有3个整数解，即整数解为-1，0，1，
∴-2＜≤-1，
解得：-8＜m≤-5.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算：p@q＝p-q＋pq，可得到关于x的不等式组，求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组有3个整数解，可得到整数解为-1，0，1，由此可得到关于m的不等式组，然后求出不等式组的解集.
23．【答案】（1）解：由得：，解得，
∵x为正整数，
∴
（2）解不等式得：，由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义列出不等式，解不等式求出x的取值范围，然后求出整数x的值.
（2）先求出不等式的解集，再根据新定义列出不等式，求出此 不等式的解集，再根据两个不等式的解集相同求出a的值．
（1）解：由得：，
解得，
∵x为正整数，
∴；
（2）解不等式得：，
由得：，
解得：，
∵关于x的不等式的解和的解相同，
∴，
解得．
24．【答案】（1）解：，
．又，
，
．
又，
．①
同理得：②
由得：，
．
（2）解：设每张椅子的价格为m元，则每张桌子的价格为元，
则一套桌椅的价格为(2m+50)元.
一张桌子的售价不低于120元，
，
一把椅子的售价不超过90元.
，
，
，
，
答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接类比方法与步骤解答即可；
（2）设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，由已知可知，再求出的范围即可．
（1）解：，
．又，
，
．
又，
．①
同理得：②
由得：，
．
（2）解：设每张椅子的价格为x元，则每张桌子的价格为元，
由已知可知，
解得，
，
，
，
，
答：出售一套桌椅（一张桌子+一把椅子）定价的范围．
1 / 1
