浙教版数学八年级上册期末押题卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·定海期末）2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．即沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合的图形；需逐一分析选项中的图形是否符合该定义.
2．（2024·顺德模拟）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．2，2，3 D．5，12，13
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，能构成直角三角形，故不符合题意；
B.，能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，故符合题意；
D.，能构成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八上·通渭期中）《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半叫做宣，一宣半的角叫做欘……”.即1宣矩，1欘宣，其中一矩=90°，图(1)为古代一种强弩，图(2)为这种强弩的部分组件示意图，若∠A=1矩，∠B=1橛，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=1矩，1矩=90°，
∴∠A=90°。
∵1 欘 =宣=宣，又1宣=矩，1矩=90°，
∴1宣=×90°=45°，
∴∠B=×45°=67.5°。
在△ABC中，
∠C=180°-∠A-∠B
=180°-90°-67.5°
=22.5°
故答案为：B
【分析】先依据题目所给的角度定义，分别算出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
4．（2023八上·合肥期中）三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：设最小内角为x，则有x+2x+6x=180°
解得：x=20°
则最大外角为：。
故答案为：C.
【分析】由比例结合三角形内角和为180°求出最小外角，最后根据最大外角和最小内角互补即可求解。
5．（2023七下·惠来期末）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证≌的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：A、∵、，
若，
则（SAS），
故A不符合题意；
B、∵、，
若，
不能判定，
故B符合题意；
C、根据，可得，
又∵、，
则（SAS），
故C不符合题意；
D、∵、，
若
则（SSS），
故D不符合题意．
故选：D．
【分析】 已知AB=DE，BC=EF，只需再找一个夹角或者一条边相等，利用SAS或SSS即可判定．
6．（2023八上·宝鸡期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：纵坐标相等为2，0-（-1）=1；
∴点A（-1，2）关于y轴对称的点B的坐标为（1，2）
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数.
7．（2023七下·岐山期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
8．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，，，
，
，，
∴BC=2BD=6，
∴的周长为；
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出BD的长，然后根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD=6，最后根据三角形周长计算方法可算出△ABC的周长.
9．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，有四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： ①设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴y=3x+4，
当x=4时，，
∴点C（4，11）不在一次函数y=3x+4的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
②设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
③设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
④设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点在一次函数的图象上，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
综上所述，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点.
故答案为：B.
【分析】 分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点；②一次函数的图象恰好经过点；③一次函数的图象恰好经过点；④一次函数的图象恰好经过点，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得．
10．（2025八上·长沙期中）如图，在等边△ABC中，AB=4，点 P 是边BC上的动点，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=CE=1.当PD+PE的值最小时，BP的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点P，此时DP＋EP最小，
连接CE'，由对称性可知：CE'＝CE＝AD，∠ECB＝∠E'CB，
∴∠ECE'＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AB∥CE'，
连接AE'，
∴∠DAE'＝∠CE'A.
又∵DA＝CE'，AE'＝E'A，
∴△DAE'≌△CE'A(SAS)，
∴∠DE'A＝∠CAE'，
∴DE'∥AC，
∴∠BPD＝∠BCA＝60°，
∴△BPD是等边三角形，
∴BP＝BD＝3.
故答案为：C
【分析】作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点P，此时DP＋EP最小，连接CE'，由对称性可知：CE'＝CE＝AD，∠ECB＝∠E'CB，再证明△DAE'≌△CE'A，再说明△BPD是等边三角形，进而得出答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·钱塘期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则t的值为 ．
【答案】4
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：4．
【分析】根据y轴上的点的特点“横坐标为零”建立关于字母t的方程，求解即可．
12．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a 1-2b。（填“＞”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
13．（2024八上·重庆市月考）如图，在中，，点在上，连接，若，则的度数为 ．
【答案】28°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴∠BAD=∠ADB==90°-，
∵，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=114°-90°+=24°+，
∵，
∴，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，
∴90°-=24°++24°+，
∴x=28，
∴.
故答案为：．
【分析】设，再根据等边对等角性质用含有x的代数式表示∠BAD、∠ADB、∠DAC与∠C，再根据外角的性质建立方程式，即可得出答案．
14．（2024·广西壮族自治区模拟） 已知和是直线上的两点，则与的大小关系是 .（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＜
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵中的，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜.
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而增大（或减小），比较自变量的大小即可．
15．（2024八下·渠县期中）若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组有三个非负整数解，
∴不等式组三个非负整数解是0，1，2，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据“不等式组有三个非负整数解”求出m的取值范围即可.
16．（2025八上·镇海区开学考）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于E，设的面积为m，
∵为的角平分线，垂直于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，再根据的面积为m，求解即可得到结论．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2023八上·龙泉期中）解下列不等式（组）：
（1）3x－2≤2x
（2）
【答案】（1）移项得：
合并同类项得：
（2）解①得：
解②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按照移项、合并同类项的步骤计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，最后根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，据此即可求解.
18．（2023八下·龙门期中）已知y与2x﹣1成正比例，当x＝2时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
【答案】（1）解：设y＝k（2x﹣1），
把x＝2时，y＝6代入得：6＝3k，解得k＝2，
∴y＝2（2x﹣1），
即y＝4x﹣2；
（2）解：把y＝﹣6代入y＝4x﹣2得﹣6＝4x﹣2，
解得x＝﹣1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，将已知点的坐标代入即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数上点的性质，已知y值，将其代入一次函数，即可求出相应的x的值.
19．（2024·河南模拟）如图，已知，，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数．
【答案】（1）解：如图所示，即为所要求作的边的垂直平分线；
（2）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵点D是上靠近点A的三等分点，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∴的度数．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线；正弦的概念
【解析】【分析】（1）分别以B，C为圆心画弧，再利用垂直平分线的作图步骤作图即可解答；
（2）由垂直平分得到，然后结合题意得到，再利用三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质和等边对等角求解即可解答．
20．（2025八上·镇海区期末）如图，已知为延长线上一点，，．
（1）求证：．
（2）连接交于点F，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先得到，再根据，即可证明出；
（2）先根据得到，再利用三角形内角和定理求出，进而求得，再求出，根据，结合三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求得．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（2025七下·广东期末）如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用点在函数图象上时，坐标满足函数解析式，先将代入求出b，得到P点坐标后，再代入求出m；而方程组的解就是两直线交点P的坐标；
（2）根据函数图象，找L1图象在L2图象上方（包括重合）时x的取值范围；
（3）先求出A、B两点坐标（函数与x轴交点，即y = 0时x的值 ），算出AB的长度，再结合P点纵坐标（三角形的高 ），用三角形面积公式求解 即可.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
22．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
23．（2025八上·宁波期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买A，8两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是18元和15元.根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共24本，并且购买A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量的
（1）问至少购买A种笔记本多少本
（2）当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少 最少的费用是多少元
【答案】（1）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24-x)本
由愿意可得x≥(24-x)，解得x≥8，
答：至少购买A种笔记本8本.
（2）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24-x)本
设购买 A，B两种笔记本的总费用为W元
W=18x+15(24-x)=3x+360，
∵k=3>0，
∴W的值随x的增大而增大，
∴当x=8时，W有最小值，最小值是3×8+360=384，
∴24-x=24-8=16，
答：当购买A种笔记本8本，B种笔记本16本时，费用最少，最少的费用是 384元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据购买A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量的 可以列出相应的不等式，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出总费用与购买A种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值.
24．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
1 / 1浙教版数学八年级上册期末押题卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·定海期末）2024年巴黎第33届夏季奥运会，中国代表团以40金27银24铜共91枚奖牌，创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·顺德模拟）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．3，4，5 C．2，2，3 D．5，12，13
3．（2025八上·通渭期中）《周礼考工记》中记载有“……半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)……”.意思是“……直角的一半叫做宣，一宣半的角叫做欘……”.即1宣矩，1欘宣，其中一矩=90°，图(1)为古代一种强弩，图(2)为这种强弩的部分组件示意图，若∠A=1矩，∠B=1橛，则∠C的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
4．（2023八上·合肥期中）三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·惠来期末）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证≌的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八上·宝鸡期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·岐山期末）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·宁波期末）如图，在中，，于点D，若，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，有四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·长沙期中）如图，在等边△ABC中，AB=4，点 P 是边BC上的动点，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=CE=1.当PD+PE的值最小时，BP的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024八上·钱塘期末）在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则t的值为 ．
12．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a 1-2b。（填“＞”或“＜”）
13．（2024八上·重庆市月考）如图，在中，，点在上，连接，若，则的度数为 ．
14．（2024·广西壮族自治区模拟） 已知和是直线上的两点，则与的大小关系是 .（填“＞”，“＜”或“＝”）
15．（2024八下·渠县期中）若不等式组有三个非负整数解，则m的取值范围是 ．
16．（2025八上·镇海区开学考）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2023八上·龙泉期中）解下列不等式（组）：
（1）3x－2≤2x
（2）
18．（2023八下·龙门期中）已知y与2x﹣1成正比例，当x＝2时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
19．（2024·河南模拟）如图，已知，，．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中作的垂直平分线与边交于点D，且点D是上靠近点A的三等分点．求的度数．
20．（2025八上·镇海区期末）如图，已知为延长线上一点，，．
（1）求证：．
（2）连接交于点F，若，，求的度数．
21．（2025七下·广东期末）如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于两点．
（1）求的值，并结合图象写出关于的方程组的解；
（2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集；
（3）求的面积．
22．（2024八上·红花岗期末）在中，平分交于．
（1）如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：；
（2）如图2，若，，，，，求四边形的周长．
23．（2025八上·宁波期末）为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买A，8两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是18元和15元.根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共24本，并且购买A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量的
（1）问至少购买A种笔记本多少本
（2）当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少 最少的费用是多少元
24．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意；
B．不是轴对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，不合题意；
D．是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【分析】本题考查轴对称图形的定义．即沿一条直线折叠后直线两旁的部分能互相重合的图形；需逐一分析选项中的图形是否符合该定义.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.，能构成直角三角形，故不符合题意；
B.，能构成直角三角形，故不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，故符合题意；
D.，能构成直角三角形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A=1矩，1矩=90°，
∴∠A=90°。
∵1 欘 =宣=宣，又1宣=矩，1矩=90°，
∴1宣=×90°=45°，
∴∠B=×45°=67.5°。
在△ABC中，
∠C=180°-∠A-∠B
=180°-90°-67.5°
=22.5°
故答案为：B
【分析】先依据题目所给的角度定义，分别算出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和定理求出∠C的度数。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：设最小内角为x，则有x+2x+6x=180°
解得：x=20°
则最大外角为：。
故答案为：C.
【分析】由比例结合三角形内角和为180°求出最小外角，最后根据最大外角和最小内角互补即可求解。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：A、∵、，
若，
则（SAS），
故A不符合题意；
B、∵、，
若，
不能判定，
故B符合题意；
C、根据，可得，
又∵、，
则（SAS），
故C不符合题意；
D、∵、，
若
则（SSS），
故D不符合题意．
故选：D．
【分析】 已知AB=DE，BC=EF，只需再找一个夹角或者一条边相等，利用SAS或SSS即可判定．
6．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：纵坐标相等为2，0-（-1）=1；
∴点A（-1，2）关于y轴对称的点B的坐标为（1，2）
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数.
7．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由解集在数轴上的表示可知，
该不等式组为，
故答案为：D．
【分析】
根据在数轴上表示不等式组的解集的表示方法：大小小大取中间，实心圆点含等号，空心圆点不含等号，解答即可．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，，，
，
，，
∴BC=2BD=6，
∴的周长为；
故答案为：A.
【分析】首先根据勾股定理算出BD的长，然后根据等腰三角形的三线合一得BC=2BD=6，最后根据三角形周长计算方法可算出△ABC的周长.
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： ①设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴y=3x+4，
当x=4时，，
∴点C（4，11）不在一次函数y=3x+4的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
②设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
③设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
④设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点在一次函数的图象上，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
综上所述，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点.
故答案为：B.
【分析】 分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点；②一次函数的图象恰好经过点；③一次函数的图象恰好经过点；④一次函数的图象恰好经过点，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点P，此时DP＋EP最小，
连接CE'，由对称性可知：CE'＝CE＝AD，∠ECB＝∠E'CB，
∴∠ECE'＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AB∥CE'，
连接AE'，
∴∠DAE'＝∠CE'A.
又∵DA＝CE'，AE'＝E'A，
∴△DAE'≌△CE'A(SAS)，
∴∠DE'A＝∠CAE'，
∴DE'∥AC，
∴∠BPD＝∠BCA＝60°，
∴△BPD是等边三角形，
∴BP＝BD＝3.
故答案为：C
【分析】作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点P，此时DP＋EP最小，连接CE'，由对称性可知：CE'＝CE＝AD，∠ECB＝∠E'CB，再证明△DAE'≌△CE'A，再说明△BPD是等边三角形，进而得出答案.
11．【答案】4
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：4．
【分析】根据y轴上的点的特点“横坐标为零”建立关于字母t的方程，求解即可．
12．【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
13．【答案】28°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设，
∵，
∴∠BAD=∠ADB==90°-，
∵，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=114°-90°+=24°+，
∵，
∴，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，
∴90°-=24°++24°+，
∴x=28，
∴.
故答案为：．
【分析】设，再根据等边对等角性质用含有x的代数式表示∠BAD、∠ADB、∠DAC与∠C，再根据外角的性质建立方程式，即可得出答案．
14．【答案】＜
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵中的，
∴y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：＜.
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而增大（或减小），比较自变量的大小即可．
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组有三个非负整数解，
∴不等式组三个非负整数解是0，1，2，
∴．
故答案为：．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据“不等式组有三个非负整数解”求出m的取值范围即可.
16．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于E，设的面积为m，
∵为的角平分线，垂直于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，再根据的面积为m，求解即可得到结论．
17．【答案】（1）移项得：
合并同类项得：
（2）解①得：
解②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）按照移项、合并同类项的步骤计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，最后根据：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，据此即可求解.
18．【答案】（1）解：设y＝k（2x﹣1），
把x＝2时，y＝6代入得：6＝3k，解得k＝2，
∴y＝2（2x﹣1），
即y＝4x﹣2；
（2）解：把y＝﹣6代入y＝4x﹣2得﹣6＝4x﹣2，
解得x＝﹣1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据一次函数的性质，将已知点的坐标代入即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数上点的性质，已知y值，将其代入一次函数，即可求出相应的x的值.
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所要求作的边的垂直平分线；
（2）解：连接，
∵垂直平分，
∴，
∵点D是上靠近点A的三等分点，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∴的度数．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；尺规作图-垂直平分线；正弦的概念
【解析】【分析】（1）分别以B，C为圆心画弧，再利用垂直平分线的作图步骤作图即可解答；
（2）由垂直平分得到，然后结合题意得到，再利用三角函数求出，然后利用三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质和等边对等角求解即可解答．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先得到，再根据，即可证明出；
（2）先根据得到，再利用三角形内角和定理求出，进而求得，再求出，根据，结合三角形内角和定理求出，最后根据三角形外角的性质求得．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）利用点在函数图象上时，坐标满足函数解析式，先将代入求出b，得到P点坐标后，再代入求出m；而方程组的解就是两直线交点P的坐标；
（2）根据函数图象，找L1图象在L2图象上方（包括重合）时x的取值范围；
（3）先求出A、B两点坐标（函数与x轴交点，即y = 0时x的值 ），算出AB的长度，再结合P点纵坐标（三角形的高 ），用三角形面积公式求解 即可.
（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴直线的解析式为，
由函数图象可知，方程组的解即为直线和直线的交点的坐标，
∴方程组的解为；
（2）解：由函数图象可得，当时，，
∴不等式的解集为；
（3）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）过点D作于G，得到和，即可得到，，进而得到结论；
（2）过点D作于E，得到，即可得到，然后推理得到，，根据的直角三角形的性质求出，，，，然后解题即可．
（1）证明：过点D作于G，如图1，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）解：过点D作于E，如图2，
，，
，，
，
，
，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，，，
同理可得：，
四边形AMDN的周长为．
23．【答案】（1）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24-x)本
由愿意可得x≥(24-x)，解得x≥8，
答：至少购买A种笔记本8本.
（2）解：设购买A种笔记本x本，则购买B种笔记本(24-x)本
设购买 A，B两种笔记本的总费用为W元
W=18x+15(24-x)=3x+360，
∵k=3>0，
∴W的值随x的增大而增大，
∴当x=8时，W有最小值，最小值是3×8+360=384，
∴24-x=24-8=16，
答：当购买A种笔记本8本，B种笔记本16本时，费用最少，最少的费用是 384元.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据购买A种笔记本的数量要不少于B种笔记本数量的 可以列出相应的不等式，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出总费用与购买A种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值.
24．【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
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