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浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在一元二次方程中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
【答案】B
【解析】 由一元二次方程 可知， 常数项为 -2.故B符题意.
故答案为：B.
2．一元二次方程的解完全正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴或，
∴，
故选：B．
3．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】A
【解析】∵ x2+kx+k-1=0，
∴b2-4ac=k2-4（k-1）=k2-4k+4=（k-2）2，
当k为任意实数时，（k-2）2≥0即b2-4ac≥0，
∴方程有两个实数根.
故答案为：A
4．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
【答案】C
【解析】∵ x2-7x-4m2=0；
∴由韦达定理得，；
故答案为：C.
5．已知关于x的方程与的解完全相同，则常数c的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【解析】∵ ，
∴x1=1，x2=m，
将x1=1，x2=m代入 得，
整理的，
1-4m+4m2=m2，
3m2-4m+1=0，
(m-1)(3m-1)=0，
解得，m=1(不符合）或m=，
即m=代入①得
；
故答案为：B.
6．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是
故答案为： D.
7．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
【答案】D
【解析】∵b2=4c，
，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为0．
故答案为：D.
8．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（ ）
A．2024 B． C．-2024 D．
【答案】B
【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)一个实数根为2024，
∴20242a+2024b+c=0，
∴
∴
∴是方程cx2+bx+a=0的实数根，
故答案为：B.
9．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】①，
方程有两个相等的实数根．
①正确；
②一元二次方程（为常数）最多有两个解，
②错误；
③方程的解为，
将代入得，即：，
将代入得，即：，
∴，则，
即：
③正确．
故答案为：B．
10．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】A、∵，，
∴，，即，，
∵，∴，
∵，无法确定符号，∴的值无法确定，∴此选项不符合题意；
B、∵，，∴，，即，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴此选项不符合题意；
C、∵，，，，即，
，，
而，
，，，
；∴此选项符合题意；
D、∵，，∴，，即，，
∵，∴，
∵，无法确定的符号，
∴的值无法确定，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程的根是 ．
【答案】
【解析】
，
解得：，
故答案为：．
12．若关于x的一元二次方程 的一个根是1，则a的值为 .
【答案】-1
【解析】将x=1代入 方程 ，得1-a+2a=0，
解得 a=-1.
故答案为：-1.
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，且，解得：且．
故答案为：且．
14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 。
【答案】11
【解析】由题意得，
或
解得：
当 时， 不能构成三角形，
当 时，三角形的周长为
故答案为： 11.
15．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
【答案】4或5
【解析】由题意得：丙的长为，丙的宽为，
∵丙地的面积为，列方程得：，即，
解得：，，
所以x的值为4或5 ．
故答案为：4或5
16．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
【答案】3或6或11
【解析】∵ 一元二次方程有两个有理根，
∴，
∵该方程有2个有理根，其中为自然数，
∴是完全平方数，
令（m为整数），
∴，
∴将该方程看作关于的一元二次方程，
∴，
∴为完全平方数，
令（k为整数），
∴，
∴或
解得：或
当，，解得：或（舍）；
当，，解得或，
综上：或或，
故答案为：3或6或11．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）4x2=12x：
（2）2x（x-3）+x=3
（3）4x2-28x+13=0
（4）x2+x+2=0
【答案】（1）解：移项得：
提取公因式，得到：
解方程和，得到：和
（2）解：展开得：，即
十字相乘法得：
解方程和，得到：和
（3）解：方程系数为
∴
∴
解方程，
（4）解：将方程两边乘2得，再乘-1得：
十字相乘法得：
解方程和，得到和
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．
【答案】（1）证明：，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，
，．
方程两个根的绝对值相等，
．
或．
19．已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
【答案】（1）解：∵ 方程的一个根为2 ，
把代入一元二次方程中，得，
，
．
（2）证明：
，
，
方程有两个实数根．
20．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
21．北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
【答案】（1）解：设购进A款钥匙扣x件，购进B款钥匙扣件，
由题意得：，
解得：，
则（件）；
答：购进A款钥匙扣20件，购进B款钥匙扣件．
（2）解：设将B款钥匙扣销售价定为每件y元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：将B款钥匙扣销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元．
22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，
∴当时，方程有两个实数根.
（2）解：∵，
∴由根与系数的关系，得，．
，
．
，
．
解得：，．
∵，
．
23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
【答案】（1）证明：，
∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
（2）解：，
解得：，，
方程的“友好点”为
（3）解：由题意，∵直线，
∴过定点，∴两个根为，
∴，
∴
∴，即
24．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点
（1）求直线解析式；
（2）连接，将线段沿轴正方向平移到
①若，求满足条件的点的坐标；
②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，将代入得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）①解：直线解析式为，
当时，，当时，，
∴，，
∴
∴
∵
∵将线段沿轴正方向平移到，
∴的纵坐标为，
设，
∴
解得：或
∴或
∵，
∴或
②设点平移的距离为，
∴
∵，，
∴，，
如图，当时，
解得：
如图，当时，
解得：或（舍去）
当时，
解得：或（舍去）
综上所述，点平移的距离为或或．
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浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章一元二次方程 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在一元二次方程中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
2．一元二次方程的解完全正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．关于x的一元二次方程x2+kx+k-1=0的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
4．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2-7x-4m2=0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（ ）
A．-4 B．4 C．7 D．-7
5．已知关于x的方程与的解完全相同，则常数c的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
6．某校为响应阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．若设进馆人次的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．若非零实数b，c满足b2=4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根之差必为（ ）
A．-b B．c C．b+c D．0
8．关于x的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根x=（ ）
A．2024 B． C．-2024 D．
9．对于代数式（，a，b，c为常数），下列说法正确的是（ ）
①若，则有两个相等的实数根；
②存在三个实数，使得；
③若与方程的解相同，则．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．方程的根是 ．
12．若关于x的一元二次方程 的一个根是1，则a的值为 .
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是 ．
14．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为 。
15．如图是我市将要开发的一块长方形土地，长为，宽为，建筑开发商将这块土地分成甲、乙、丙三部分，其中甲和乙均为正方形，现计划甲地建住宅区，乙地建商业区，丙地开辟成小区公园．若已知丙地的面积为，则的值是 ．
16．如果一元二次方程有两个有理根，其中为自然数，则 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）4x2=12x： （2）2x（x-3）+x=3 （3）4x2-28x+13=0 （4）x2+x+2=0
18．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．
19．已知一元二次方程．
（1）若方程的一个根为2，求的值．
（2）当时，求证：方程有两个实数根．
20．用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
21．北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别价格 A款钥匙扣 B款钥匙扣
进货价（元／件） 30 25
销售价（元／件） 45 37
（1）网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？
（2）冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
22．已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
23．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的“友好点”．已知关于x的一元二次方程为．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）求“友好点”M的坐标（用含m的式子表示）；
（3）若无论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，直线过点
（1）求直线解析式；
（2）连接，将线段沿轴正方向平移到
①若，求满足条件的点的坐标；
②在平移过程中，是否存在点使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点平移的距离，若不存在，请说明理由．
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