2025-2026学年浙教版数学九年级上学期期末仿真模拟试卷【范围：九年级上册】

2025-2026学年浙教版数学九年级上学期期末仿真模拟试卷【范围：九年级上册】
一、选择题：1-10（30分，每题3分）
1．（2025九上·金东期中）小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是(　　)
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件，
故答案为：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
2．（2025九上·深圳期中）下列各式中，是y关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y=-3x+7 C． D．y=3x
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是二次函数，符合题意；
B．是一次函数，不符合题意；
C．是反比例函数，不符合题意；
D．是正比例函数，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”进行逐一判断即可．
3．（2025九上·奉化期中）⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，则点A与圆的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，
6cm＞3.6cm，
∴点在圆内，
故答案为：B.
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可得出答案.点到圆心的距离＞圆的半径，点在圆外；点到圆心的距离=圆的半径，点在圆上；点到圆心的距离＜圆的半径，点在圆内.
4．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．（2025九上·乐清期中）若点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=2x2-x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=2x2-x的图象上，
∴y1=2×（-1）2-（-1）=2×1+1=2+1=3，y2=2×02-0=0，y3=2×12-1=2-1=1，
∵0＜1＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【分析】将点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）的坐标代入二次函数y=2x2-x，求出y1，y2，y3的值，直接比较大小即可．
6．（2025九上·沭阳月考）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
【分析】根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出OD长解答即可．
7．（2023九上·诸暨月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
【分析】根据圆周角定理的推论得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可.
8．（2024九上·仁寿期末）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理计算得给出的三角形的三边长分别为：，
A、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，A选项不符合题意；
B、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，B选项不符合题意；
C、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，C选项不符合题意；
D、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，D选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理计算出各三角形三边的长，再根据三边成比例的两个三角形相似判断即可.
9．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数 为常数)在-1A． B． C．-1【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由题意，可得“和谐点”所在直线为y=-x+6，将x=-1代入y=-x+6，得y=7，将x=3代入y=-x+6，得y=3.
如图，设A(-1，7)，B(3，3)，联立y=-x+6与y= 得方程 -x+6，即 抛物线与直线.y=-x+6有两个交点， 解得 当直线x=-1和直线x=3与抛物线的交点在点 A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-1代入 得y=3+c，把x=3代入 得y=3+c， 解得 c > 4. ∴ 4<
故答案为：B.
【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y=-x+6上，由-110．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为 E，F 为 的中点，连结AF，BF，CF，AC，AF交CD 于点M，过点 F 作FH⊥AC，垂足为G，交⊙O 于点H，连结CH.有下列结论：①DF；②HC=BF；③FM=FC；④ 其中，正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ F 为 的中点，
，故①正确；
，
∴∠FAC=∠FCM，
∵∠FCG=∠ACM+∠FCM，∠AME=∠FMC=∠ACM + ∠FAC，
∴ ∠AME =∠FMC=∠FCG>∠FCM，
∴ FC≠FM，故③错误；
∵ AB⊥CD，FH⊥AC，
∴ ∠AEM= ∠CGF= 90°，
∴∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°，
又∵∠AME =∠FCG，
∴∠CFH=∠BAF，
∴ HC=BF，故②正确；
∵ ∠AGF = 90°，
∴ ∠CAF +∠AFH=90°，
∴的度数 的度数=180°，
又∵，
∴的度数 的度数=180°，
∵HC=BF，
∴，
又∵∠CFH+∠ACF=90°，
∴的度数 的度数=180°，即的度数 的度数=180°，
∴，故④正确.
综上所述，正确的结论有：①②④，正确的个数是3.
故答案为：C .
【分析】利用圆周角定理及推论可判断①②，利用角的和差及圆周角定理，可判断③④.熟练掌握圆周角定理及推论，结合条件合理转化是解题的关键.
二、填空题：11-16（18分，每题3分）
11．（2024九上·闵行期中）已知，那么　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
【分析】根据比例的性质计算即可求出答案.
12．（2025九上·龙港期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是4：n：5，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ， 则n为　 　.
【答案】2
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设布袋中红球、黄球、自球的个数分别为4k、nk、5k(k为正整数)，
∴
∴n=2
故答案为：2.
【分析】设布袋中红球、黄球、自球的个数分别为4k、nk、5k(k为正整数)，根据概率公式即可求解.
13．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6，　 　.
【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
14．（2025九上·嘉兴月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形可知：阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”，利用扇形面积公式即可得解.
15．如图，A是函数 图象上的一点，点 B，D 在y 轴正半轴上，△ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD的位似比是1：3，△ABD 的面积为1，则 k的值为　 　.
【答案】8
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AE⊥x轴，垂足为 E.∵ △ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD 的位似比是1：3， .设BD=x，AB=y，则OD=3x.
易得四边形OBAE 是矩形，∴ OE=AB=y，AE=OB=BD+OD=4x.∵△ABD 的面积为 ∴xy=2.∴ AB·AE=4xy=8.∴ k=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 是 关于点D的位似图形，且 与 的位似比是1： 3， 得出 进而得出假设EBD=x，AE=4x，DO=3x，AB=y，根据 的面积为1，求出xy=2即可得出答案.
16．（2024九上·江岸期中）已知二次函数（a为常数），下列四个结论：
①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点；
②该二次函数图象经过定点；
③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；
④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则．
其中正确的结论序号是　 　．
【答案】①③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于①，，
若，则，
∴
∴该二次函数图象与x轴有两个交点，
故①正确；
对于②，，
即，
使得过定点，则与无关，
故，
∴，
∴过定点，
故②错误；
对于③，，
∴顶点为，
若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解，
故顶点始终不在y轴的正半轴上，
故③正确；
对于④，，该二次函数图象与直线交于点，
则得到，
此时为该一元二次方程的两根，
则，
∵，
∴，
故④错误，
故答案为：①③．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
三、解答题：17-24（72分）
17．（2025九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移个单位得到，请画出；
（2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
（3）与关于点位似，请写出点坐标．
【答案】（1）解：如图，将向下平移个单位得到，
∴即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，
∵，，，，，，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（）根据平移，将A、B、C三点向下平移三个单位，得到，，，然后描点连线得到即可；
（）因为 相似比为 ，且 在 第三象限，根据第三象限横纵坐标均为负数的特点，因此把的横纵坐标都乘以得到，，，然后描点连线即可；
（）对比，，，，，，即可得到点坐标．
（1）解：如图，将向下平移个单位得到，
∴即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，
∵，，，，，，
∴．
18．（2024九上·武侯期末）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
【答案】（1）150，45，36
（2）21.6°
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
【分析】（1）用B类别人数除以占比得到被调查学生的总数，然后用总人数减去喜爱其它类型的人数得到m值，再求出喜爱娱乐节目的占比即可求出n；
（2）用360°乘以E类别人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答．
（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
19．（2025九上·钱塘期中） 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）和（1，2）.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）判断点A（2，1）是否在该二次函数图象上.
【答案】（1）解：将点(0，3)，(1，2)代入解析式得
解得b=-2，c=3
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+3；
（2）解：∵
∴ 点A（2，1）不在该二次函数上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将 点（0，3）和（1，2） 代入函数解析式，解方程组即可求出b，c的值；
(2)将点A的坐标代入解析式，左右两边不相等，说明点不在函数图象上 。
20．（2025九上·台州期中） 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
21．（2025九上·兰州期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【答案】解：解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，
∵∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴．
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m，
∴，
∴BC＝12m，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋12＝13.5（m）．
答：树高AB为13.5m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
22．（2025九上·南山期中）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC=12cm，高AD=8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm.
（1）写出y与x的函数关系式：
（2）当x取多少时，EFGH是正方形.
【答案】（1）解：∵BC=12cm，高AD=8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，
∴AK=AD-y=8-y，HG=EF=x
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，即，
∴
（2）解：由（1）可知，y与x的函数关系式为
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF，即x=y，
∴
解得
答：当时，四边形EFGH是正方形.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得AK=AD-y=8-y，HG=EF=x ，再根据相似三角形判定定理可得△AHG∽△ABC，则，代值化简即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得HE=EF，即x=y，建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025九上·长兴期中）已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由A为弧中点知AE=AF，同时由∠AEC=∠AFB，EC=BF 得△AEC≌△AFB(SAS)，由全等的性质得EM=BM+BF；
(2)先得△AEF为等边三角形得EF=AE=20，即可得△BEF的周长；
(3)在EB延长线上截取BC=BF=19，连接AC，AF，FC，由题中数据知EM=MC，同时由BC=BF得∠BFC=∠BCF，得AF=AC，由此AE=AF，得∠AEF=61°.
24．（2025九上·温州期中）在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）.
（1）当c=a+1时.
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点（0，-8）和（4，0），求m的值.
（2）已知点M（2，2n-4），N（-1，3n+2）都在抛物线上，且c＜0，求n的取值范围.
【答案】（1）解：
①
抛物线的对称轴为直线，顶点为；
②设抛物线向下平移m个单位后得到的抛物线解析式为：
抛物线经过点 （0，-8）和 （4，0）
解得：
答：
（2）解：
抛物线的对应轴为直线
且
当时，
答：n的取值范围为
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①把代入到抛物线解析式中得，则由二次函数的图象知其对称轴为直线，顶点为；
② 先利用二次函数平移变换规律得平移后的抛物线解析式，再利用抛物线上点的坐标特征联立方程组并求解即可；
（2）由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线上的点到对称轴的距离越远对应的函数值越大，即可得不等式，再由抛物线上点的坐标特征结合已知c<0可得不等式，再解关于n的不等式组得.
1 / 12025-2026学年浙教版数学九年级上学期期末仿真模拟试卷【范围：九年级上册】
一、选择题：1-10（30分，每题3分）
1．（2025九上·金东期中）小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数.这个事件是(　　)
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
2．（2025九上·深圳期中）下列各式中，是y关于x的二次函数的是（　　）
A． B．y=-3x+7 C． D．y=3x
3．（2025九上·奉化期中）⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，则点A与圆的位置关系是（　　）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
4．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：16 D．无法确定
5．（2025九上·乐清期中）若点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=2x2-x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
6．（2025九上·沭阳月考）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
7．（2023九上·诸暨月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
8．（2024九上·仁寿期末）下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
9．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数 为常数)在-1A． B． C．-110．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为 E，F 为 的中点，连结AF，BF，CF，AC，AF交CD 于点M，过点 F 作FH⊥AC，垂足为G，交⊙O 于点H，连结CH.有下列结论：①DF；②HC=BF；③FM=FC；④ 其中，正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：11-16（18分，每题3分）
11．（2024九上·闵行期中）已知，那么　 　．
12．（2025九上·龙港期中）一个布袋里放着红球、黄球和白球的个数之比是4：n：5，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ， 则n为　 　.
13．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6，　 　.
14．（2025九上·嘉兴月考）如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．如图，A是函数 图象上的一点，点 B，D 在y 轴正半轴上，△ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD的位似比是1：3，△ABD 的面积为1，则 k的值为　 　.
16．（2024九上·江岸期中）已知二次函数（a为常数），下列四个结论：
①若，则该二次函数图象与x轴有两个交点；
②该二次函数图象经过定点；
③ 该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；
④ 若，该二次函数图象与直线交于点，则．
其中正确的结论序号是　 　．
三、解答题：17-24（72分）
17．（2025九上·福田期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将向下平移个单位得到，请画出；
（2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为；
（3）与关于点位似，请写出点坐标．
18．（2024九上·武侯期末）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 12 30 m 54 9
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为 人，统计表中m的值为 ，统计图中n的值为 ；
（2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为 ；
（3）喜爱体育电视节目的学生中有4人（甲、乙、丙、丁）在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人代表参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少．（用列表法或树状图法求概率）
19．（2025九上·钱塘期中） 已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，3）和（1，2）.
（1）求该二次函数的表达式.
（2）判断点A（2，1）是否在该二次函数图象上.
20．（2025九上·台州期中） 如图， 圆内接四边形ABDC， AB是⊙O的直径， OD⊥BC交BC于点E.
（1） 求证： 点 D为的中点；
（2） 若BE=4， AC=6，求DE 的长.
21．（2025九上·兰州期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小明利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小明的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
22．（2025九上·南山期中）有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知BC=12cm，高AD=8cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm.
（1）写出y与x的函数关系式：
（2）当x取多少时，EFGH是正方形.
23．（2025九上·长兴期中）已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
24．（2025九上·温州期中）在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）.
（1）当c=a+1时.
①求抛物线的对称轴和顶点坐标；
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线经过点（0，-8）和（4，0），求m的值.
（2）已知点M（2，2n-4），N（-1，3n+2）都在抛物线上，且c＜0，求n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：小凯准备去医院就诊，在微信小程序上挂号，得到的数字号码是奇数．这个事件是随机事件，
故答案为：D．
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
2．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A．是二次函数，符合题意；
B．是一次函数，不符合题意；
C．是反比例函数，不符合题意；
D．是正比例函数，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”进行逐一判断即可．
3．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A到圆心O的距离是3.6cm，
6cm＞3.6cm，
∴点在圆内，
故答案为：B.
【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可得出答案.点到圆心的距离＞圆的半径，点在圆外；点到圆心的距离=圆的半径，点在圆上；点到圆心的距离＜圆的半径，点在圆内.
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的相似比为1：2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y=2x2-x的图象上，
∴y1=2×（-1）2-（-1）=2×1+1=2+1=3，y2=2×02-0=0，y3=2×12-1=2-1=1，
∵0＜1＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【分析】将点A（-1，y1），B（0，y2），C（1，y3）的坐标代入二次函数y=2x2-x，求出y1，y2，y3的值，直接比较大小即可．
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
故选：A．
【分析】根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出OD长解答即可．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解： AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
【分析】根据圆周角定理的推论得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据圆内接四边形的对角互补解答即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设网格中小正方形的边长为1，由勾股定理计算得给出的三角形的三边长分别为：，
A、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，A选项不符合题意；
B、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，B选项不符合题意；
C、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，C选项不符合题意；
D、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：，
，D选项不符合题意.
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理计算出各三角形三边的长，再根据三边成比例的两个三角形相似判断即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由题意，可得“和谐点”所在直线为y=-x+6，将x=-1代入y=-x+6，得y=7，将x=3代入y=-x+6，得y=3.
如图，设A(-1，7)，B(3，3)，联立y=-x+6与y= 得方程 -x+6，即 抛物线与直线.y=-x+6有两个交点， 解得 当直线x=-1和直线x=3与抛物线的交点在点 A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-1代入 得y=3+c，把x=3代入 得y=3+c， 解得 c > 4. ∴ 4<
故答案为：B.
【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y=-x+6上，由-110．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵ F 为 的中点，
，故①正确；
，
∴∠FAC=∠FCM，
∵∠FCG=∠ACM+∠FCM，∠AME=∠FMC=∠ACM + ∠FAC，
∴ ∠AME =∠FMC=∠FCG>∠FCM，
∴ FC≠FM，故③错误；
∵ AB⊥CD，FH⊥AC，
∴ ∠AEM= ∠CGF= 90°，
∴∠CFH+∠FCG=90°，∠BAF+∠AME=90°，
又∵∠AME =∠FCG，
∴∠CFH=∠BAF，
∴ HC=BF，故②正确；
∵ ∠AGF = 90°，
∴ ∠CAF +∠AFH=90°，
∴的度数 的度数=180°，
又∵，
∴的度数 的度数=180°，
∵HC=BF，
∴，
又∵∠CFH+∠ACF=90°，
∴的度数 的度数=180°，即的度数 的度数=180°，
∴，故④正确.
综上所述，正确的结论有：①②④，正确的个数是3.
故答案为：C .
【分析】利用圆周角定理及推论可判断①②，利用角的和差及圆周角定理，可判断③④.熟练掌握圆周角定理及推论，结合条件合理转化是解题的关键.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
【分析】根据比例的性质计算即可求出答案.
12．【答案】2
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设布袋中红球、黄球、自球的个数分别为4k、nk、5k(k为正整数)，
∴
∴n=2
故答案为：2.
【分析】设布袋中红球、黄球、自球的个数分别为4k、nk、5k(k为正整数)，根据概率公式即可求解.
13．【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意，得，
∵，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形可知：阴影部分的面积=扇形的面积+以为直径的半圆的面积 -以为直径的半圆的面积=扇形的面积”，利用扇形面积公式即可得解.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AE⊥x轴，垂足为 E.∵ △ABD 是△COD关于点 D 的位似图形，且△ABD 与△COD 的位似比是1：3， .设BD=x，AB=y，则OD=3x.
易得四边形OBAE 是矩形，∴ OE=AB=y，AE=OB=BD+OD=4x.∵△ABD 的面积为 ∴xy=2.∴ AB·AE=4xy=8.∴ k=8.
故答案为：8 .
【分析】根据 是 关于点D的位似图形，且 与 的位似比是1： 3， 得出 进而得出假设EBD=x，AE=4x，DO=3x，AB=y，根据 的面积为1，求出xy=2即可得出答案.
16．【答案】①③
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：对于①，，
若，则，
∴
∴该二次函数图象与x轴有两个交点，
故①正确；
对于②，，
即，
使得过定点，则与无关，
故，
∴，
∴过定点，
故②错误；
对于③，，
∴顶点为，
若二次函数图象的顶点始终在y轴的正半轴上，则，此时无解，
故顶点始终不在y轴的正半轴上，
故③正确；
对于④，，该二次函数图象与直线交于点，
则得到，
此时为该一元二次方程的两根，
则，
∵，
∴，
故④错误，
故答案为：①③．
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，将向下平移个单位得到，
∴即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，
∵，，，，，，
∴．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】（）根据平移，将A、B、C三点向下平移三个单位，得到，，，然后描点连线得到即可；
（）因为 相似比为 ，且 在 第三象限，根据第三象限横纵坐标均为负数的特点，因此把的横纵坐标都乘以得到，，，然后描点连线即可；
（）对比，，，，，，即可得到点坐标．
（1）解：如图，将向下平移个单位得到，
∴即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，
∵，，，，，，
∴．
18．【答案】（1）150，45，36
（2）21.6°
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
【分析】（1）用B类别人数除以占比得到被调查学生的总数，然后用总人数减去喜爱其它类型的人数得到m值，再求出喜爱娱乐节目的占比即可求出n；
（2）用360°乘以E类别人数占比解答即可；
（3）画树状图得到所有等可能结果数，找出符合条件的结果数，根据概率公式解答．
（1）解：被调查的学生总数为：30÷20%＝150（人），
则m＝150﹣（12＋30＋9＋54）＝45，n%＝54÷150×100%＝36%，
∴n＝36，
故答案为：150，45，36；
（2）解：E类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝21.6°，
故答案为：21.6°；
（3）解：画树状图，如图所示：
共有12种等可能的结果，其中甲丙同时被选中的结果有2种，
∴甲丙同时被选中的概率为＝．
19．【答案】（1）解：将点(0，3)，(1，2)代入解析式得
解得b=-2，c=3
∴二次函数的解析式为y=x2-2x+3；
（2）解：∵
∴ 点A（2，1）不在该二次函数上
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)将 点（0，3）和（1，2） 代入函数解析式，解方程组即可求出b，c的值；
(2)将点A的坐标代入解析式，左右两边不相等，说明点不在函数图象上 。
20．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
即点D为BC的中点
（2）解：∵AB是⊙O 的直径， OD⊥BC，
∴BE=EC=4， ∴BC=8，
∵AB是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，
∴DE=OD-OE=5-3=2.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】(1)由垂径定理可得；
(2)先根据垂径定理求出BC=8，圆周角定理得∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB，得到半径OD=OB=5，由勾股定理求出OE=3，由DE=OD-OE求解即可.
21．【答案】解：解：根据题意可得∠DEF＝∠BCD＝90°，AC＝DM＝1.5m，AM＝CD＝18m，
∵∠EDF＝∠CDB，
∴△DEF∽△DCB，
∴．
∵EF＝0.2m，DE＝0.3m，AM＝CD＝18m，
∴，
∴BC＝12m，
∴AB＝AC＋BC＝1.5＋12＝13.5（m）．
答：树高AB为13.5m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先证出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出BC的长，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
22．【答案】（1）解：∵BC=12cm，高AD=8cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，四边形EFGH是矩形，
∴AK=AD-y=8-y，HG=EF=x
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴，即，
∴
（2）解：由（1）可知，y与x的函数关系式为
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=EF，即x=y，
∴
解得
答：当时，四边形EFGH是正方形.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得AK=AD-y=8-y，HG=EF=x ，再根据相似三角形判定定理可得△AHG∽△ABC，则，代值化简即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得HE=EF，即x=y，建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由A为弧中点知AE=AF，同时由∠AEC=∠AFB，EC=BF 得△AEC≌△AFB(SAS)，由全等的性质得EM=BM+BF；
(2)先得△AEF为等边三角形得EF=AE=20，即可得△BEF的周长；
(3)在EB延长线上截取BC=BF=19，连接AC，AF，FC，由题中数据知EM=MC，同时由BC=BF得∠BFC=∠BCF，得AF=AC，由此AE=AF，得∠AEF=61°.
24．【答案】（1）解：
①
抛物线的对称轴为直线，顶点为；
②设抛物线向下平移m个单位后得到的抛物线解析式为：
抛物线经过点 （0，-8）和 （4，0）
解得：
答：
（2）解：
抛物线的对应轴为直线
且
当时，
答：n的取值范围为
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①把代入到抛物线解析式中得，则由二次函数的图象知其对称轴为直线，顶点为；
② 先利用二次函数平移变换规律得平移后的抛物线解析式，再利用抛物线上点的坐标特征联立方程组并求解即可；
（2）由于抛物线的二次项系数为正，则抛物线上的点到对称轴的距离越远对应的函数值越大，即可得不等式，再由抛物线上点的坐标特征结合已知c<0可得不等式，再解关于n的不等式组得.
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